Skkn phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng cao chất lượng kỳ thi tnthptqg

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG KỲ THI TNTHPTQG Người thực hiện: Lê Thị Thuỷ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn NĂM HỌC 2022 skkn MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3 Nội dung Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề nghiên cứu Các giải pháp sử dụng sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Một số giải pháp Biện pháp thực Hệ thống kiến thức cần vận dụng Xây dựng thuật giải từ tốn Lớp tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số , biết đồ thị bảng xét dấu hàm số 2.3.2.4 2.3.2.5 2.4 Lớp tốn tìm số điểm cực trị hàm số , biết đồ thị bảng xét dấu hàm số Lớp tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số , 12 16 biết đồ thị bảng xét dấu hàm số Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN CÁC PHỤ LỤC 18 20 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ quan trọng người thầy nói chung người thầy giảng dạy mơn Tốn nói riêng là: Phải tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với lực đối tượng học sinh, để em biết vận dụng, biết khai thác kiến thức lĩnh hội vào giải Tốn; Giúp em rèn luyện dần thơng thạo kĩ giải Tốn Để làm điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Tốn phải tìm hiểu thật kĩ tính cách, tâm lí, lực tiếp nhận… đối tượng học sinh Đặc biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải tốn người giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích kĩ tốn hướng dẫn cho em Hoạt động quan trọng, vừa giúp cho học sinh thấy mối liên hệ chặt chẽ kiến thức khác nhau, thấy nhiều phương pháp để giải toán, vừa gợi động cho em học tập kiến thức Bởi tơi nhận thấy khơng có cách “rèn luyện” phù hợp cho đối tượng học sinh, chí có q trình phân tích -Tổng hợp hiệu học sinh lại “vô nghĩa” với học sinh khác Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng đạo hàm chủ đề lớn xun suốt khơng thể thiếu kì thi Việc hoàn thiện kỹ từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giải toán khác đặt cho người học nhu cầu phù hợp Muốn giải dạng tập đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết đơn điệu, cực trị, đồ thị… hàm số phải “đọc” tính chất đồ thị Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, gợi cho em hướng giải tốt gặp dạng Toán dạng Tốn liên quan Tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG KỲ THI TNTHPTQG“ để giảng dạy trao đổi với đồng nghiệp skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu: Người giáo viên dạy Tốn cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu, phù hợp với lực đối tượng học sinh; giúp em tiếp cận nhanh nhất, hiệu việc giải toán xác định số tính chất hàm số Đồng thời, rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển số lực cho em như: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên cứu, tìm tịi cách tiếp cận, phương pháp giải toán trắc nghiệm chủ đề “ Hàm số” 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài Để có sở tiến hành nghiên cứu áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tơi đã: - Tìm hiểu việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn, đặc biệt phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức mơn Tốn Giải tích - Tìm hiểu thực trạng giải tập mơn Tốn Giải tích học sinh trường THPT Hàm Rồng - Tìm hiểu kĩ sử dụng thiết bị, sơ đồ tư học tập Tốn Giải tích - Tổ chức thực đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy số lớp 12 trường THPT Hàm Rồng - Tiến hành so sánh, đối chiếu đánh giá hiệu đề tài áp dụng skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm * Đồ thị hàm số: Đồ thị tất điểm hàm số xác định tập tập hợp mặt phẳng tọa độ với x [4] * Giao điểm đồ thị trục hoành (Sự tương giao đồ thị hàm số trục hoành): Giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm * Điểm thuộc đồ thị thuộc đồ thị nằm phía trục hồnh nằm trục hồnh ; * Hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp: Công thức đạo hàm hàm hợp a) Nếu hàm số có đạo hàm tại hàm số hợp f’(x).u’(x) [4] hàm số có đạo hàm b) Nếu giả thiết a) thoả mãn với x thuộc D g’(x)= f’(x).u’(x) [4] 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: có đạo hàm g’(x)= có đạo hàm - Trong q trình giảng dạy, tơi thấy khả đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị, khả biến đổi đồ thị nội dung quan trọng mà học sinh hiểu vận dụng chắn thuận lợi tiếp cận toán hàm số Tuy nhiên, thực tế nội dung vấn đề mà đa số học sinh thường gặp nhiều khó khăn, em học sinh có học lực khá, giỏi - Khi ơn tập, đặc biệt em làm kiểm tra nhận thấy: Một số em nắm kiến thức, biết cách làm kỹ tính tốn cịn chậm, việc tốn học hóa tình thực tiễn thường lúng túng vận dụng không linh hoạt - Giáo viên cố gắng đưa hệ thống câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát giải vấn đề theo yêu cầu câu hỏi Kết học sinh thuộc bài, hiểu chưa sâu sắc kiến thức, kĩ vận dụng vào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau thời gian không thường xuyên ôn tập tiếp tục học thêm nội dung học sinh khơng cịn nắm vững kiến thức học trước Từ nguyên nhân dẫn đến học sinh cảm thấy học tốn hàm số khó Dẫn đến kết học tập chưa cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số giải pháp skkn * Đưa quy tắc, bước yêu cầu giải toán hàm số để dễ dàng giải tập * Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững mối quan hệ tính chất hàm số tương ứng với đồ thị bảng biến thiên * Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý phần mềm giảng dạy Cabir, GSPS, Geogebra… * Dạy học theo chủ đề, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt * Sử dụng sơ đồ tư để ôn tập củng cố kiến thức cho học sinh 2.3.2 Biện pháp thực hiện: 2.3.2.1 Hệ thống kiến thức cần vận dụng: * Hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp: Công thức đạo hàm hàm hợp a) Nếu hàm số có đạo hàm hàm số hợp hàm số có đạo hàm có đạo hàm [4] b) Nếu giả thiết a) thoả mãn với có đạo hàm [4] 2.3.2.2 Xây dựng thuật giải từ toán: Xây dựng thuật giải: Thực chất quy trình, bước thực cố định để tìm đáp số lớp tốn có u cầu tương tự Thơng qua việc hình thành xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư thuật giải – loại hình tư quan trọng khơng Toán học mà nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh giải nhiều loại tập đặc biệt tập hàm số skkn Bài tốn 1: (Trích dề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 104) [1] Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau: Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng * Nhận xét: Ta có Định lý mở rộng: Cho hàm số có đạo hàm , (hoặc , ) điểm hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) Từ ta có kết luận: Dựa vào bảng xét dấu hàm số Nếu số hữu hạn [4] ta nhận thấy: a) Nếu nhận dấu “+” hàm số đồng biến khoảng tương ứng b) Nếu ứng nhận dấu “-” hàm số nghịch biến khoảng tương Dựa vào đồ thị hàm số a) Nếu phần đồ thị hàm số b) Nếu phần đồ thị hàm số ta nhận thấy: nằm phía trục hồnh khoảng tương ứng đồng biến (tăng) nằm phía trục hồnh khoảng tương ứng nghịch biến (giảm) a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng qt cho tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số biết bảng xét dấu đạo hàm đồ thị hàm đạo hàm sau: Bước 1: Xác định dấu (+), (-) hàm số bảng xét dấu phần đồ thị nằm phía (dưới) trục hồnh hàm số Bước 2: Xét tương ứng khoảng đồng biến (nghịch biến) skkn Bước 3: Kết luận tính đơn điệu hàm số khoảng tương ứng b) Lời giải: Chọn B Theo bảng xét dấu nên hàm số nghịch biến khoảng Bài tốn 2: (Trích đề THPTQG năm 2018) [1] Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình bên Hàm số đồng biến khoảng đây? A B C D Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có Ta có Để hàm số đồng biến Bài tốn 3: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1] Cho hàm số có đạo hàm hàm số cho A , B C Số điểm cực trị D * Ta có: Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số khoảng liên tục khoảng chứa điểm có đạo hàm Khi skkn với hàm số a) Nếu với đạt cực tiểu điểm với hàm số b) Nếu với đạt cực đại điểm [4] a) Với giả thiết hàm số liên tục khoảng , hàm số dấu qua điểm hàm số đạt cực trị điểm có đạo hàm đổi Từ ta có kết luận: b) Nếu hàm số có đạo hàm khoảng đạt cực đại cực tiểu Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bảng biến thiên Bảng 1: Hàm số đạt cực đại điểm Bảng 2: Hàm số đạt cực tiểu điểm – – a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng qt cho tốn tìm điểm cực trị hàm số biết bảng xét dấu đạo hàm đồ thị hàm đạo hàm sau: Bước 1: Tìm điểm dấu hàm hồnh điểm mà khơng xác định bảng xét hoành độ giao điểm đồ thị hàm với trục skkn Bước 2: Xét đổi dấu qua "băng qua" trục hoành đồ thị hàm (Cắt "băng qua" trục hoành từ xuống điểm cực đại; cắt "băng qua" trục hồnh từ lên điểm cực tiểu) Bước 3: Kết luận điểm cực trị hàm số b) Lời giải: Chọn A Ta có ; Bảng xét dấu Vì đổi dấu  lần qua điểm nên hàm số cho có cực trị Bài tốn 4: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1] Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên sau Bất phương trình A với B C D Lời giải Ta có: Xét ; nghịch biến Để bất phương trình với skkn * Nhận xét: 1) Bài tốn dẫn đến tìm giá trị lớn hàm số khoảng tương ứng 2) Với yêu cầu tốn: Tìm cần lưu ý điểm đầu mút để ta Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số bảng biến thiên [4] Bảng 3: Ta có: Bảng 4: Ta có: Bảng 5: Ta có: Bảng 6: Ta có: 2.3.2.3 Lớp tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số , biết đồ thị bảng xét dấu hàm số A Phương pháp giải: Bước 1: Tính 10 skkn Bước 2: Giải bất phương trình Bước 3: Dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số tìm tập nghiệm bất phương trình Từ khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng [2] Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số - ta có bảng biến thiên sau: 0 + - + Chọn đáp án: D Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số Nếu khoảng đồng biến Nếu khoảng đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) đồ thị hàm số nghịch biến nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) Nếu khoảng đồ thị hàm số vừa có phần nằm trục hồnh vừa có phần nằm trục hồnh loại phương án Trên khoảng ta chọn đáp án D ta thấy đồ thị hàm số nằm bên trục hồnh nên 11 skkn Ví dụ 2: Cho hàm số Biết có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Kết luận sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Hướng dẫn: Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm trục hồnh nên chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số Biết hàm số có đạo hàm hàm số nhận xét sau sai? có đồ thị hình vẽ bên Khi A Trên hàm số ln tăng B Hàm giảm đoạn C Hàm đồng biến khoảng D Hàm nghịch biến khoảng -2 -1 Hướng dẫn: Trên khoảng đồ thị hàm số Ví dụ 4: Cho hàm số nằm phía trục hồnh nên chọn B Biết có đạo hàm có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số Kết luận sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số cực tiểu có hai điểm cực đại điểm 12 skkn Hướng dẫn: Cách 1 : - + - + Ta chọn đáp án C Cách 2: Đồ thị hàm số phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái đơn vị Ta thấy khoảng g'(x) đồ thị hàm số f '(x) nằm bên trục hoành nên hàm số nghịch biến khoảng , ta chọn đáp án C 2.3.2.4 Lớp toán tìm số điểm cực trị hàm số , biết đồ thị bảng xét dấu hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? hàm số A Hàm số đạt cực đại điểm B Hàm số đạt cực tiểu điểm C Hàm số đạt cực tiểu điểm -2 skkn -1 y=f’(x) 13 D Hàm số đạt cực đại điểm [3] Hướng dẫn: Giá trị hàm số nên chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hàm số đổi dấu từ âm sang dương qua xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số đạt cực tiểu B Hàm số có cực trị C Hàm số đạt cực tiểu D Hàm số đạt cực đại [2] Hướng dẫn: Giá trị hàm số chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số đạo hàm hàm số hình vẽ Hàm số đại điểm đây? B A C đổi dấu từ âm sang dương qua Biết nên ta có có đồ thị đạt cực D Hướng dẫn : Cách 1 : 14 skkn - + - + Ta chọn đáp án B Cách 2 : đồ thị hàm số phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang phải đơn vị Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ giá f '(x) g'(x) trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua điểm Ta chọn đáp án B Ví dụ 4: Hàm số hàm số liên tục khoảng trên , biết đồ thị hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số A C B D Hướng dẫn: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị mà thôi, không kể điểm mà đồ thị cắt trục tiếp xúc với trục điểm Ta chọn B 15 skkn Nhận xét: Xét thực hàm số dương Ta đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị Chú ý số cực trị hàm số , hàm số đạt cực trị giá trị , đáp án khơng thay đổi khác nhau! Giả thiết ví dụ ví dụ sau thay đổi theo hướng sau: Hàm số liên tục khoảng nguyên hàm hàm số có đồ thị hình vẽ Biết Tìm số cực trị hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số xác định liên tục hình vẽ Tìm điểm cực tiểu hàm số A B C D Biết đồ thị hàm số đoạn ? và Hướng dẫn: Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta thấy đổi dấu từ âm sang dương qua nên chọn đáp án C Ví dụ 6: Cho hàm số hình vẽ Hàm số nhiêu điểm cực trị? A B C D xác định có đồ thị hàm số có bao Hướng dẫn: 16 skkn Cách 1: theo phương có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số lên đơn vị Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị hàm Dựa vào đồ thị hàm số nghiệm bội lẻ phương trình ta thấy phương trình có nghiệm đơn 2.3.2.5 Lớp tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số , biết đồ thị bảng xét dấu hàm số Ví dụ 1:   Cho hàm số tục xác định liên , có đồ thị hàm số hàm số A hình bên Tìm giá trị đạt giá trị lớn B C D để Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: + + - Ta chọn đáp án D Nhận xét : Trong toán này, ta cần đọc dấu đạo hàm dựa vào đồ thị (phần trục hồnh phần trục hồnh) từ lập bảng biến thiên ta có tập giá trị hàm số kết luận 17 skkn Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm Đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Biết giá trị lớn Tìm giá trị nhỏ đoạn A B C D [2] Hướng dẫn: 0 Ta chọn đáp án D Ví dụ 3:  Cho hàm số có đạo hàm Đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Biết giá trị nhỏ giá trị lớn Tìm đoạn  A B C D Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau: 18 skkn Dựa vào BBT ta có + , GTNN - Ta lại có: Ta chọn đáp án A Nhận xét: Cơ sở chung tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số tìm tập giá trị hàm số đó ; muốn tìm tập giá trị ta phải lập bảng biến thiên dựa vào dấu đạo hàm Ví dụ 4:    Cho hàm số , có đồ thị hàm số Mệnh đề sau đúng ? xác định liên tục hình vẽ sau Đặt A B C D Hướng dẫn : Ta có hệ đồ thị hàm số biên thiên: Ta xét mối quan đường thẳng Từ ta lập bảng 19 skkn Ta chọn đáp án B Nhận xét: Để so sánh giá trị hàm số, hướng so sánh trực tiếp sở tính giá trị ta cịn thực so sánh gián tiếp thơng qua t tính đơn điệu hàm số dựa vào đồ thị bảng xét dấu hàm đạo hàm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình định hướng toán với nhiều hướng giải khác nhau; đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận lớp toán nên lựa chọn cách giải phù hợp với lực học sinh thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh độ xác cao hơn.Từ kết kiểm tra tốt rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12B6,12B7 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt rõ rệt Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Lớp Điểm Số HS thực SL % nghiệm SL % SL % SL % 12B6 12B7 45 44 10 22% 30 29 67% 11% 0 0% Kết kiểm tra lần Số HS Điểm thực Lớp nghiệ SL % m 12B6 45 0% 12B7 44 0% Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % 4 9% 9% 21 17 47% 39% 20 23 44% 52% 20 skkn Năm học 2019-2020 Kết thi TNTHPTQG Năm học 2019-2020 Lớp Điểm trung bình Lớp Điểm trung bình 12B6 7,52 12B6 8,62 12B7 7,6 12B7 8,78 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên vài điều làm nhận thấy có kết rõ rệt Khơng giúp cho em nắm vững kiến thức mà giúp em có thói quen tư vận dụng kiến thức cách linh hoạt đặc biệt giúp học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia nay.Tuy nhiên khơng có cơng thức vạn theo nghĩa áp dụng cho toán Song cách làm mang lại cho học sinh kết định, giúp học sinh cảm thấy Tốn học sinh động đồng thời tơi thu nhiều điều bổ ích phục vụ tốt cho q trình dạy Tốn trắc nghiệm Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tơi nghiên cứu cịn hạn chế, chắn khơng tránh khỏi sai sót, mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Qua tơi xin có số đề xuất sau: Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tịi phương pháp, công thức, thủ thuật giải nhanh Toán trắc nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Tôi hy vọng vấn đề trình bày sáng kiến dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp giảng dạy lớp 12 trường phổ thông dạy bồi dưỡng ôn thi Tốn trắc nghiệm Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 skkn [1]- Đề tham khảo, đề thử nghiệm đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017, 2018, 2019, 2020 đề thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018, 2019 [2]- Các đề thi thử trường THPT tỉnh [3]- Tài liệu tham khảo diễn đàn toán học internet [4]- Nguồn Internet [5]- Sách giáo khoa Đại số 10; Đại số & Giải Tích 11; Giải Tích 12 - Nâng cao Cơ DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 22 skkn Họ tên tác giả: Lê Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Kết TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp đánh giá loại xếp loại (A, B, C) Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức SGD- ĐT Thanh Hoá B 2013-2014 Nghiên cứu số sai lầm giải toán vectơ tọa độ SGD- ĐT Thanh Hoá B 2016-2017 Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình” SGD- ĐT Thanh Hố C 2018-2019 Ứng dụng hình học giải toán moddun số phức mức độ vận dụng cao SGD- ĐT Thanh Hoá C 2020-2021 23 skkn