(Luận án tiến sĩ) tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2022 luan an MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án 10 Cấu trúc luận án 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 13 Nửa nhóm 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.1.2 Nửa nhóm giải tích 15 Không gian hàm, không gian nội suy số lớp hàm 16 1.2.1 Không gian nội suy thực 17 1.2.2 Không gian Lorentz 19 1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt 21 1.2.4 Không gian Besov 22 1.2.5 Hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình 23 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 27 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 2.2 30 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 31 2.1.1 Nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình 31 2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37 Tính chất nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40 2.2.1 Sự tồn số lớp nghiệm 40 2.2.2 Tính ổn định nghiệm 42 iii luan an 2.3 Một số ứng dụng 46 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi 47 2.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 48 2.3.3 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 50 2.3.4 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 52 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIERSTOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ CĨ TRỌNG MUCKENHOUPT 3.1 56 p q Các đánh giá L −L không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.2 Phương trình tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.3 58 60 Phương trình nửa tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 62 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN 4.1 4.2 Dạng ma trận hệ phương trình Boussinesq đánh giá Lp − Lq 71 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 72 4.2.1 Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hồn hầu tự đồng hình 72 4.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn tựa hầu tự đồng hình có trọng 4.3 69 79 Sự tồn tính ổn định nghiệm phương trình nửa tuyến tính 81 4.3.1 Sự tồn 81 4.3.2 Tính ổn định 83 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90 Những kết đạt 90 Đề xuất số hướng nghiên cứu 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 iv luan an MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn khái quát chúng phương trình tiến hóa hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm phương trình tiến hóa theo thời gian Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, số phương pháp thường sử dụng nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov [4] áp dụng cho số lớp phương trình vi phân cụ thể Các phương pháp phổ biến cho việc chứng minh tồn nghiệm tuần hồn tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua phép nhúng compact [3, 4, 5, 6] Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng miền khơng bị chặn hay phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng cịn tồn nghiệm bị chặn khó đạt Điều điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặn nghiệm khơng dễ dàng tìm Một phương pháp để giải khó khăn sử dụng nguyên lý dạng Massera, nghĩa phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hồn Thực tế, việc kết hợp nguyên lý dạng Massera không gian nội suy sử dụng để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình học chất lỏng (các dịng thủy khí) phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7, 8] Trong cơng trình này, hàm tử nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp Ergodic [8] Đối với trường hợp dòng thủy khí, tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes phương trình dạng Navier-Stokes trở thành hướng nghiên cứu quan trọng Trong miền bị chặn, Serrin sử dụng tính ổn định nghiệm bị chặn để tồn nghiệm tuần hoàn phương trình Navier-Stokes [9] Sau đó, tồn tại, nhất, tính ổn định dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn tồn khơng gian Rn , miền khơng bị chặn Rn tồn trục thời gian R mở rộng nghiên cứu luan an cơng trình [10, 11, 12, 13] Bên cạnh có số phương pháp khác sử dụng hữu hiệu Phương pháp phải kể đến kỹ thuật “miền xâm lấn” sử dụng Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] Yudovich [17] để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn miền khơng bị chặn Ngồi ra, cách sử dụng tính chất nội suy khơng gian Lp yếu, Yamazaki [18] tồn tính ổn định nghiệm tuần hoàn miền ngoại vi Cuối cùng, phải kể đến số kết nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi số cơng trình [19, 20, 21, 22] Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, số phương pháp phát triển Bochner, Stepanov, Besicovitch Weyl thông qua định nghĩa đưa H Bohr [23] vào năm 1925 Lớp hàm hầu tuần hồn đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học như: Phương trình vi phân, hệ động lực giải tích điều hịa Các kiến thức hàm hầu tuần hồn trình bày đầy đủ [24, 25, 26] Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn toàn trục thời gian mở rộng nghiên cứu cho phương trình dịng thủy khí miền khơng bị chặn Nguyễn Thiệu Huy & cộng [27, 28] Farwig & Tanuichi [29] Cụ thể [28], tác giả phát triển phương pháp [8] để chứng minh nguyên lý dạng Massera tồn tại, tính ổn định nghiệm hầu tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi, phương trình NavierStokes khơng gian Besov phương trình Navier-Stokes-Oseen miền khơng bị chặn Trong [27], tác giả xét lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng quát đưa hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết khơng gian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau sử dụng đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối ngẫu định lý nội suy tổng quát để chứng minh tồn tại, nghiệm hầu tuần hoàn áp dụng kết cho luồng thủy khí Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ nhỏ cho lớp phương trình tiến hóa parabolic [30] Bên cạnh đó, Farwig & Tanuichi chứng minh tính tồn cục nghiệm hầu tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes [29] Khái niệm hàm hầu tuần hồn có trọng giới thiệu Zhang [31] vào năm 1994 Sau đó, Diagana [32] đưa khái niệm hàm tựa hầu tuần hồn có trọng vào năm 2008 Trong năm gần đây, loại hàm nhận luan an nhiều quan tâm nhà toán học Điều thể rõ thông qua nhiều cơng trình nghiên cứu chun sâu nghiệm hầu tuần hồn có trọng cho phương trình vi phân phương trình sai phân (xem [33, 34, 35, 36, 37]) Khái niệm hàm hầu tự đồng hình lần đầu giới thiệu Bochner tổng qt hóa hàm hầu tuần hồn cơng trình nghiên cứu hình học vi phân có liên quan tới nhóm rời rạc (xem [38, 39]) Trong suốt năm gần đây, việc nghiên cứu khái niệm mở rộng với loại nghiệm khác phương trình vi phân phương trình sai phân nhận mối quan tâm lớn nhà toán học (xem [40, 41, 42, 43]) Sau đó, nhóm nghiên cứu N’Guérékata (xem [44]) Xiao (xem [45]) tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình hàm hầu tự đồng hình có trọng thiết lập tồn tại, nghiệm hầu tự đồng hình với lớp phương trình tiến hóa Gần đây, Blot & cộng giới thiệu khái niệm hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng để khái qt hóa khái niệm hàm tựa hầu tuần hồn có trọng Các tác giả chứng minh cách đầy đủ tính chất quan trọng hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng (xem [46]) Khái niệm hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov (xem [47]) đưa Casarino khái qt hóa hàm hầu tự đồng hình theo ý tưởng Stepanov Tiếp nối phát triển đời hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng giới thiệu Xia & Fan (xem [48]) Sau đó, nhiều cơng trình tồn tại, nghiệm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov nghiệm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng lớp phương trình vi phân cụ thể công bố (xem [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55]) Trong tất cơng trình này, tác giả giải trường hợp nửa nhóm liên kết ổn định mũ Cụ thể, tác giả sử dụng tính ổn định mũ nửa nhóm để chứng minh nguyên lý dạng Massera cho việc tồn tại, nghiệm phương trình tuyến tính sử dụng ngun lý điểm bất động để tồn nghiệm đủ nhỏ cho trường hợp phương trình phi tuyến Tóm lại, từ lịch sử trình nghiên cứu loại nghiệm cho phương trình parabolic tổng qt nói chung phương trình dịng thủy khí nói riêng, chúng tơi nhận thấy có số phương pháp chủ đạo sau: • Đối với số lớp phương trình tiến hóa cụ thể sử dụng nguyên lý điểm bất động Tikhonov hay hàm Lyapunov để tồn nghiệm tuần hoàn luan an (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian • Đối với phương trình Navier-Stokes miền bị chặn sử dụng phương pháp Serrin, nghĩa dùng tính ổn định để tồn nghiệm tuần hoàn phương pháp sử dụng tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré • Đối với nghiệm tuần hồn, hầu tuần hoàn số lớp nghiệm khác phương trình tiến hóa parabolic sử dụng phương pháp chứng minh nguyên lý dạng Massera để tồn lớp nghiệm cho phương trình tuyến tính tương ứng, sau dùng ngun lý điểm bất động để tồn nghiệm đủ nhỏ phương trình phi tuyến Trong miền bị chặn, nửa nhóm ổn định mũ tính bị chặn nghiệm không gian Lp thông thường Trong miền khơng bị chặn, nửa nhóm ổn định cấp đa thức cần sử dụng đánh giá Lp − Lq định lý nội suy để tính bị chặn nghiệm khơng gian nội suy phù hợp Từ bối cảnh lịch sử tầm quan trọng việc nghiên cứu lớp nghiệm đủ tốt phương trình tiến hóa dạng parabolic miền không bị chặn không gian nội suy, tiếp tục phát triển phương pháp sử dụng lý thuyết nội suy, không gian nội suy, nguyên lý dạng Massera để nghiên cứu toán tồn tại, số lớp nghiệm đủ tốt định nghĩa toàn trục thời gian tính ổn định chúng cho phương trình tiến hóa hệ phương trình có liên quan Trong luận án này, nghiên cứu dạng phương trình sau: • Dạng Xét phương trình tiến hóa tổng quát dạng: u0 (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (1) −A tốn tử sinh C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 B “tốn tử liên kết” khơng gian phát sinh phương trình Sau đó, chúng tơi áp dụng (1) vào phương trình dịng thủy khí với B = Pdiv Tuy nhiên, số ứng dụng khác (1) cho phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ phương trình Ornstein-Uhlenbeck B = I toán tử đồng (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian luan an (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian • Dạng Xét phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian Rn+ :   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF R × Rn+ ,      ∇·u = R × Rn+ , u(t, x) =       lim u(t, x) = |x|→∞ R × ∂Rn+ , (2) với t ∈ R Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu u0 (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R (3) • Dạng Xét hệ phương trình Boussinesq miền Ω sau: Không gian Rn , nửa không gian Rn+ , miền bị chặn Rn (n ≥ 3) miền ngoại vi Ω Rn (n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C 2+µ (µ > 0)   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF R × Ω,     ∇·u = R × Ω, (4)  θ − ∆θ + (u · ∇)θ = divf R × Ω,  t    u(t, x) = θ(t, x) = R × ∂Ω, x trường hấp dẫn; f F ten-xơ bậc hai với |x|3 divf hàm nhiệt độ divF hàm ngoại lực g := G Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu  u0 (t) + Au(t) = P(θ(t)g(t)) + Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), θ0 (t) + Bθ(t) = div(−θ(t)u(t)) + divf (t) (5) Đối với phương trình tiến hóa parabolic tổng qt dạng (1), cơng trình [7] Geissert, Hieber & Nguyễn Thiệu Huy, tác giả đưa hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết sau tồn nghiệm bị chặn phương trình tuyến tính liên kết nghiệm đủ nhỏ (1) với điều kiện ban đầu u(0) = u0 Sự tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn khơng gian nội suy chứng minh cơng trình gần Nguyễn Thiệu Huy & cộng [27, 30] Tuy nhiên, tồn nghiệm tựa hầu tuần hoàn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa tồn trục thời gian tính ổn định chúng vấn đề mở (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian luan an (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian Đối với phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian (2), cơng trình [56, 57] tác giả chứng minh số bất đẳng thức Lp − Lq trường hợp < p ≤ q < ∞ cho dòng chảy Stokes với kiện ban đầu không gian Lp có trọng Sau đó, Bae thu số kết cho trường hợp p = 1, q = ∞ (xem [58]) Sử dụng đánh giá Lp − Lq này, tác giả tồn nghiệm đủ tốt phương trình Navier-Stokes Rn+ Sau đó, Kobayashi & Kubo (xem [59]) thu số đánh giá Lp − Lq khác cho khơng gian Lp có trọng dạng ws (x) = hxisp với ≤ s < (n − 1)(1 − ) Gần đây, Kobayashi & Kubo tiếp tục p số bất đẳng thức Lp − Lq cho trọng dạng hx0 is1 hxn isn (xem [60]) Những kết giúp Kobayashi & Kubo không chứng minh tồn nghiệm đủ tốt mà dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes t → ∞ Tuy nhiên, việc tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn số lớp nghiệm khác tồn trục thời gian cho phương trình (2) tốn mở Đối với phương trình Boussinesq miền không bị chặn nửa trục thời gian R+ với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x) θ(0, x) = θ0 (x), tồn nghiệm yếu nghiệm đủ tốt hệ (4) nghiên cứu số cơng trình gần Fife [61], Cannon [62], Hishida [63], Ferreira [64, 65], dáng điệu tiệm cận nghiệm nghiên cứu Ferreira [66] Sự tồn nghiệm tuần hoàn nghiên cứu Roa [67] Nakao [68] Tuy nhiên, việc nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình số lớp nghiệm có trọng khác phương trình (4) tồn trục thời gian đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Từ lịch sử trình nghiên cứu lý dẫn đến việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình dáng điệu tiệm cận số luồng thủy khí tồn trục thời gian Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian luan an (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian hình có trọng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng phương trình hệ phương trình tiến hóa (1), (2) (4) khơng gian nội suy • Đối tượng nghiên cứu luận án: Một số lớp nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt (1), phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian (2) hệ phương trình Boussinesq (4) miền khơng bị chặn tồn trục thời gian R khơng gian nội suy khơng gian Lorentz, khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt, khơng gian Besov khơng gian tích Đề-Các khơng gian Lorentz • Phạm vi nghiên cứu luận án: Trong luận án này, nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình: - Phương trình tiến hóa parabolic tổng qt có dạng (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức không gian nội suy tổng quát Sau áp dụng vào phương trình động lực học thủy khí dạng Navier-Stokes miền khơng bị chặn - Phương trình Navier-Stokes (2) nửa khơng gian khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt - Phương trình Boussinesq (4) miền không bị chặn không gian tích Đề-Các khơng gian Lorentz Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép chiếu Helmholtz dạng ma trận hệ phương trình để chuyển phương trình hệ phương trình cụ thể dạng tổng quát phục vụ nghiên cứu • Sử dụng lý thuyết hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, loại hàm có trọng, lý thuyết nửa nhóm giải tích, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng, bất đẳng thức đối ngẫu định lý nội suy tổng (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian luan an (Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian(Luan.an.tien.si).tinh.hau.tuan.hoan hau.tu.dong.hinh.va.dang.dieu.tiem.can.cua.mot.so.luong.thuy.khi.tren.toan.truc.thoi.gian = Rr −r R −(s−τ )A e Bφ(τ ), ψ dτ ρ(s)ds m(r, ρ) −r −∞ Rr Rs −(s−τ )A e + Bφ(τ ), ψ dτ ρ(s)ds m(r, ρ) −r −r (2.11) Bây ta đánh giá số hạng (2.11) Trước tiên, Bổ đề 2.1.2 Zs −(s−τ )A Bφ(τ ) dτ < +∞ e Y −∞ Điều có nghĩa Z−r −(s−τ )A Bφ(τ ) dτ = lim e r→∞ −∞ Y Theo định nghĩa giới hạn hàm số, điều có nghĩa với ε > 0, tồn r0 ∈ R cho với r > r0 ta có Z−r D E −(s−τ )A Bφ(τ ), ψ dτ < εkψk(Z1 ,Z2 )θ,1 e −∞ Từ dẫn đến đánh giá cho số hạng thứ (2.11) sau m(r, ρ) = m(r, ρ) Zr Z−r