(LUẬN án TIẾN sĩ) dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án hoàn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Thành TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, cẩn thận PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc PGS.TS Cung Thế Anh, người Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ ngày sau tốt nghiệp thạc sĩ Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu học tập Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt GS.TS Nguyễn Hữu Dư thầy giáo Bộ mơn Phương trình vi phân Hệ động lực Khoa Toán - Cơ - Tin học giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Ngồi ra, tác giả xin cảm ơn thầy giáo, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, PGS.TSKH Đồn Thái Sơn, Viện Tốn học, động viên, bảo, hướng dẫn kiến thức sở bổ ích cho hướng nghiên cứu tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, thầy cô anh chị đồng nghiệp công tác Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, đặc biệt người vợ yêu quý hai bên nội ngoại, người yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 15 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 17 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 18 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 19 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 21 1.1.1 Không gian Sobolev 21 1.1.2 Khơng gian Sobolev có trọng 22 1.1.3 Không gian hàm biến thời gian 23 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.2.1 Một số khái niệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 24 24 1.2.2 Khơng gian hàm q trình ngẫu nhiên 26 1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên không gian Hilbert 27 1.2.4 Công thức Ito không gian Hilbert 30 1.3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 31 1.4 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 33 1.4.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 33 1.4.2 Một số bổ đề quan trọng 35 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN NGẪU NHIÊN 37 2.1 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 37 2.1.1 Đặt toán 37 2.1.2 Sự tồn tập hút ngẫu nhiên không gian Lp (O) 41 2.1.3 Sự tồn tập hút ngẫu nhiên không gian D01 (O, σ) 56 2.2 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG BẰNG NHIỄU NGẪU NHIÊN NHÂN TÍNH 63 2.2.1 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình tất định 64 2.2.2 Ổn định hóa nghiệm dừng nhiễu ngẫu nhiên nhân tính 68 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHIÊN 74 3.1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 74 3.1.1 Đặt toán 74 3.1.2 Sự tồn tính nghiệm 77 3.2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM DỪNG 97 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.2.1 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt tất định 97 3.2.2 Ổn định mũ bình phương trung bình 99 3.2.3 Ổn định mũ hầu chắn 103 3.3 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÓ GIÁ ĐỦ LỚN BÊN TRONG MIỀN 105 3.3.1 Đặt toán 105 3.3.2 Sự ổn định hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên 106 3.3.3 Ổn định hóa điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên miền 108 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGTBRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHIÊN 112 4.1 Đặt toán 112 4.2 Tính ổn định mũ nghiệm dừng 113 4.2.1 Ổn định mũ bình phương trung bình 113 4.2.2 Ổn định mũ hầu chắn 117 KẾT LUẬN 121 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 121 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 122 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO 124 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer V′ không gian đối ngẫu không gian V | · |p chuẩn không gian Lp (O), p ≥ (·, ·), | · | tích vơ hướng chuẩn khơng gian H ((·, ·)), ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn không gian V ∥ · ∥∗ chuẩn không gian V ′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu V V ′ Id ánh xạ đồng A, B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-StokesVoigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer D(A) miền xác định toán tử A ⇀ hội tụ yếu (theo nghĩa giải tích hàm) Y X bao đóng Y X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B L2 (K0 , H) khơng gian tất các tốn tử tuyến tính Hilbert-Schmidt từ K0 vào H TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học mà tác động ngoại lực liên tục ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Một vấn đề định tính quan trọng nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng xét tính đặt tốn sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian t → ∞ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Do đó, biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng vài thập kỉ gần lí thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Hai hướng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên: • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực ngẫu nhiên (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên Bài tốn lí thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút ngẫu nhiên, chẳng hạn tính trơn tập hút, đánh giá số chiều tập hút, nghiên cứu phụ thuộc liên tục tập hút vào tham số, • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Nói riêng nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ tất định tương ứng ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhiên Trong trường hợp nghiệm dừng khơng ổn định, nghiên cứu tốn ổn định hóa nghiệm dừng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp sử dụng điều khiển phản hồi có giá biên bên miền Dưới điểm qua số kết tiêu biểu hai hướng nghiên cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung luận án Khái niệm tập hút ngẫu nhiên mở rộng khái niệm tập hút toàn cục hệ động lực tất định, giới thiệu H Crauel, A Debussche, F Flandoli [29, 30] Từ đời đến nay, hướng nghiên cứu tập hút ngẫu nhiên tính chất thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Sau hai thập kỉ phát triển, tồn tính chất tập hút ngẫu nhiên nghiên cứu cho lớp rộng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nói riêng, [29, 30] tác giả xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính dạng du = ∆udt + f (u)dt + m ∑ hj (x)dWj , j=1 số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức, chứng minh tồn tập hút ngẫu nhiên hệ động lực ngẫu nhiên sinh phương trình Tiếp tục phát triển vấn đề này, năm gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tồn tính chất tập hút ngẫu ∑m nhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính j=1 hj (x)dWj (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com j=1 Sử dụng bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy (xem Bổ đề 1.6) bất đẳng thức Cauchy ta thu E  2 m ∫s ∑  (h(s, um (s))e0j , um (s))dWj (s) sup m] s∈[0,t∧τn j=1 m ≤ 4E t∧τ m ∫ n ∑ j=1   ≤ 4E  ≤ (h(s, um (s))e0j , um (s))2 ds sup m] s∈[0,t∧τn  ∥h(s, um (s))∥2L2 (K0 ;H) ds |um (s)|2 E sup ∥um (s)∥4V + 20 s∈[0,t∧τnm ] +  m t∧τ ∫n 640 E (1 + λ1 α2 )2 (∫ 640T ∥γ∥2L∞ (0,T ) E (1 + λ1 α2 )2 m t∧τ ∫n ∥um (s)∥4V ds )2 T ∥h(s, 0)∥2L2 (K0 ;H) ds (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien 84 Vì vậy,  E sup m] t∈[0,t∧τn ≤ C0 + 2 m t∧τ ∫n  ∥um (t)∥4V + 2ν E   ∥um (s)∥2 ds 12820T ∥γ∥2L∞ (0,T ) (1 + λ1 α )2 m t∧τn ∫ E ∥um (s)∥4V ds, ∀t ∈ [0, T ], (3.11) với  C0 = 10E∥u0 ∥4V + ( + 2 10(1 + λ1 α )  E (νλ1 )2 12800 (1 + λ1 α2 )2 ) (∫ + 20 E 2 ∫T ∥f (s)∥2V ′ ds )2 T ∥h(s, 0)∥2L2 (K0 ;H) ds Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức Gronwall ý τnm ↑ T n → ∞, từ (3.11), ta suy tồn số C1 > phụ thuộc vào ν, T, ∥γ∥L∞ (0,T ) , C0 , α, λ1 cho với m ≥ 1, ta có  T 2 ∫ E sup ∥um (s)∥4V + E  ∥um (s)∥2 ds s∈[0,T ]   T 2  T 2  ∫ ∫   ≤ C1 E∥u0 ∥4V + E  ∥f (s)∥2V ′ ds + E  ∥h(s, 0)∥2L2 (K0 ,H) ds  := K 0 (3.12) Bước Qua giới hạn phương trình hữu hạn chiều Từ (3.3), (3.12) tính chất tốn tử B, suy ∫ T E ∥B(um (s), um (s))∥2V ′ ds ≤ C λ1/2 α  ∫ E T ∥un (s)∥2V ∥un (s)∥2 ds  T 2  T 2  ∫ ∫ C1   2 ≤ E∥u0 ∥V + E  ∥f (s)∥V ′ ds + E  ∥h(s, 0)∥L2 (K0 ,H) ds  0 (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien 85 Vì vậy, {B(um , um )} bị chặn L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V ′ )) Mặt khác, từ (H1)-(H3) (3.10), ta có {um }, {um (0)} {h(t, um )} bị chặn không gian Banach phản xạ L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V )), L4 (Ω, F0 , P; V ) L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; L2 (K0 ; H))), tương ứng Vì vậy, ta trích dãy {u′m } ⊂ {um } cho u′m ⇀ u L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V )), u′m (0) ⇀ ξ (3.13) L4 (Ω, F0 , P; V ), B(u′m , u′m ) ⇀ B L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V ′ )), h(t, u′m ) ⇀ H (3.14) L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; L2 (K0 , H))) Qua giới hạn hai vế (3.5) m → ∞, ta ∫t ⟨Au(s) + B(s), ϕ⟩ ds (u(t), ϕ)V + t ∫ ∫t ⟨f (s), ϕ⟩ ds + = (u0 , ϕ)V + (H(s)dW (s), ϕ), (3.15) với ϕ ∈ V Bước Chứng minh B = B(u, u) H = h(t, u) Để thuận tiện, ta kí hiệu {um } dãy {u′m } bước Với mỗi, m ∑ m ≥ 1, ta kí hiệu Pm u(t) = (u(t), vk ) vk , với Pm ∈ L(H, Hm ) phép chiếu k=1 trực giao H vào Hm ,ta có |Pm u(t)| = |u(t)|2 = m ∑ k=1 ∞ ∑ (u(t), vk )2 , (u(t), vk )2 , k=1 ∥Pm u(t)∥2V = ∥u(t)∥2V = m ∑ k=1 ∞ ∑ (u(t), vk )2 (1 + α2 λk ), (u(t), vk )2 (1 + α2 λk ) k=1 (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien 86 Vì vậy, ta suy |Pm u(t)| ≤ |u(t)|, |u(t) − Pm u(t)| ≤ |u(t)|, (3.16) ∥Pm um (t)∥V ≤ ∥u(t)∥V , λ1 ∥u(t) − Pm u(t)∥V ≤ ⟨Au(t) − APm u(t), u(t) − Pm u(t)⟩ + α λ1 ∞ ∑ = λi (u(t), ei )2 i=m ≤ ⟨Au(t), u(t)⟩ ≤ α−2 ∥u(t)∥2V Vì vậy, với dP × dt-hầu khắp nơi (ω, t) ∈ Ω × [0, T ], ta thu lim ∥u(ω, t) − Pm u(ω, t)∥V = m→∞ Theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue, ta suy ∫ T lim ∥u(s) − Pm u(s)∥2V ds = 0, m→∞ (3.17) ∫ T lim E ∥u(s) − Pm u(s)∥V2 ds = 0, m→∞ (3.18) lim E∥u(s) − Pm u(s)∥2V = m→∞ Vì vậy, Pm u → u L2 (Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V )) Hơn nữa, ta có (Pm u(t), vk )V = (u(t), vk )V , ∀1 ≤ k ≤ m Kết hợp với (2.26), ta suy (APm u(t), vk )V = (Au(t), vk )V , ∀1 ≤ k ≤ m Từ (3.5) (3.15), ta thu ∫t (Pm u(t) − um (t), vk )V + ⟨APm u(s) − um (s), vk ⟩ ds (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien 87 ∫t ⟨B(s) − B(um (s), um (s)), vk ⟩ ds + m ∫ ∑ ( t = ∫t ∞ ∑ ( ) H(s)e0j − h(s, um (s))e0j , vk dWj (s) + j=1 ) H(s)e0j , vk dWj (s) j=m+1 Vì vậy, áp dụng công thức Ito cho (Pm u(t) − um (t), vk )2 thực tính tốn (3.7), ta có ∫t ∥Pm u(t) − um (t)∥2V ⟨A(Pm u(s) − um (s)), Pm u(s) − um (s)⟩ ds +2 ∫t ⟨B(s) − B(um (s), um (s)), Pm u(s) − um (s)⟩ ds +2 m ∫ ∑ ( t ≤2 ) H(s)ej − h(s, um (s))e0j , Pm u(s) − um (s) dWj (s) j=1 +2 ∫t ∞ ∑ ( ) H(s)ej0 , Pm u(s) − um (s) dWj (s) j=m+1 m ∫ ∑ ( ) Pm H(s)e0j − h(s, um (s))e0j ds + + λ1 α2 j=1 t ∫ ∞ ∑ ( ) Pm H(s)e0j ds + + λ1 α j=m+1 t (3.19) Tiếp theo, ta đặt  χ(t) = exp −η1 t − η2 ∫t  ∥u(s)∥2 ds , t ∈ [0, T ], với η1 η2 hai số dương xác định sau Áp dụng công thức Ito cho χ(t)∥Pm u(t) − um (t)∥2V , kết hợp với (3.19), (2.26), tính chất B Pm , ta suy ∫t χ(t)∥Pm u(t) − um (t)∥2V + 2ν χ(s)∥Pm u(s) − um (s)∥2 ds (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien 88 ∫t ≤2 χ(s) ⟨B(um (s), um (s)) − B(Pm u(s), Pm u(s)), Pm u(s) − um (s)⟩ ds ∫t χ(s) ⟨B(Pm u(s), Pm u(s)) − B(s), Pm u(s) − um (s)⟩ ds +2 +2 m ∫ ∑ t ( ) χ(s) H(s)e0j − h(s, um (s))e0j , Pm u(s) − um (s) dWj (s) j=1 ∫t ∞ ∑ +2 ( ) χ(s) H(s)e0j , Pm u(s) − um (s) dWj (s) j=m+1 + + λ1 α ∫t χ(s)∥H(s) − h(s, um (s))∥2L2 (K0 ;H) ds ∫ ∞ ∑ + χ(s)|H(s)ej0 |2 ds + λ1 α2 j=m+1 t ∫t − η1 χ(s)∥Pm u(s) − um (s)∥2V ds ∫t − η2 χ(s)∥u(s)∥2 ∥Pm u(s) − um (s)∥2V ds, (3.20) với t ∈ [0, T ] m ≥ Để ước lượng số hạng bên phải, sử dụng (3.3) (3.17), ta có | ⟨B(um (s), um (s)) − B(Pm u(s), Pm u(s)), Pm u(s) − um (s)⟩ | = | ⟨B(um (s) − Pm u(s), Pm u(s)), Pm u(s) − um (s)⟩ | −1/4 ≤ 2Cλ1 ∥Pm u(s)∥∥Pm u(s) − um (s)∥2 4C ≤ ν∥Pm u(s) − um (s)∥2 + √ ∥u(s)∥2 ∥Pm u(s) − um (s)∥2 λ1 ν (3.21) Với toán tử H(s) h(s, um ), sử dụng (H3), ta có với t ∈ [0, T ], ∫ t χ(s)∥H(s) − h(s, um (s))∥2L2 (K0 ;H) ds + λ1 α2 (LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien(LUAN.an.TIEN.si).dang.dieu.tiem.can.nghiem.cua.mot.so.lop.phuong.trinh.dao.ham.rieng.ngau.nhien TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com