Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Xột tập hữu hạn A := {a 1 , a 2 ,ã ã ã , a n } gồm n phần tử. Định nghĩa 1.1.1 Một hoán vị của A là một cách xếp theo một thứ tự xác định.
A cũng là một hoán vị của nó, được gọi là hoán vị đồng nhất. Định lý 1.1.2 Số cỏc hoỏn vị của A là P n = n! = 1.2ã ã ã(n−1).n.
Chứng minh Chúng ta có thể xem một hoán vị các phần tử của A là một công việc gồm n bước được thực hiện liên tiếp như sau:
Bước 1: Lấy một phần tử của A để xếp vào vị trí thứ nhất Bước này có n cách thực hiện.
Sau khi hoàn thành bước 1, bước 2 yêu cầu lấy một phần tử từ các phần tử còn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai, với n−1 cách thực hiện khác nhau.
Để thực hiện bước k, ta cần lấy một phần tử từ các phần tử còn lại của tập A sau khi đã hoàn thành các bước trước đó, nhằm xếp vào vị trí thứ k Bước này có n - k + 1 cách thực hiện.
Bước n: Còn lại phần tử cuối cùng xếp vào vị trí thứ n.
Theo quy tắc nhân, chúng ta có n! hoán vị của A.
Xét một tập hợp A gồm n phần tử, trong đó k (1 ≤ k ≤ n) là số phần tử khác nhau được rút ra Định nghĩa một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A là một tập hợp k phần tử khác nhau được chọn từ A và sắp xếp theo một thứ tự xác định.
Hoán vị của tập hợp A được định nghĩa là một chỉnh hợp chập n của n phần tử trong A Các chỉnh hợp này có thể khác nhau, với các phần tử không trùng lặp hoặc có thể trùng lặp nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau Theo định lý 1.1.4, số lượng chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A được xác định cụ thể.
Chứng minh Chúng ta có thể xem một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A là một công việc gồm k bước được thực hiện liên tiếp như sau:
Bước 1: Lấy một phần tử của A để xếp vào vị trí thứ nhất Bước này sẽ có n cách thực hiện.
Bước 2: Chọn một phần tử từ các phần tử còn lại của A sau khi thực hiện bước 1 để đặt vào vị trí thứ hai Có tổng cộng n−1 cách để thực hiện bước này.
Để xếp một phần tử vào vị trí thứ k trong tập hợp A, bạn cần chọn một phần tử từ các phần tử còn lại sau khi thực hiện các bước trước đó Số cách thực hiện bước này là n−k+1.
Theo quy tắc nhân, định lý sẽ được chứng minh Một tổ hợp chập k của n phần tử của A là một bộ phận gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau được rút ra từ A mà không xét đến thứ tự Số lượng tổ hợp chập k của n phần tử của A được tính bằng một công thức nhất định.
Chứng minh rằng khi lấy một tổ hợp chập k của n phần tử trong tập A và thực hiện một hoán vị, ta thu được một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A Số hoán vị khả thi từ tổ hợp chập k là k!, do đó có thể viết C(n, k) = A(n, k) / k! Lưu ý rằng theo quy ước, 0! = 1, A(0, n) = 1 và C(n, 0) = 1.
Lý thuyết xác suất cổ điển trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán
Một số khái niệm
Chúng ta bắt đầu với việc điểm lại một số khái niệm cơ bản sau:
Phép thử ngẫu nhiên là hiện tượng phát sinh từ việc thực hiện các điều kiện nhất định Số kết cục của phép thử có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, duy nhất hoặc không duy nhất, và khả năng xảy ra có thể đồng nhất hoặc không Theo quan điểm cổ điển, xác suất được xác định dựa trên số kết cục hữu hạn, duy nhất và đồng khả năng.
Biến cố là hiện tượng xảy ra trong kết quả của một phép thử ngẫu nhiên Trong quá trình thực hiện phép thử này, có ba loại biến cố thường gặp: biến cố chắc chắn xảy ra, biến cố không thể xảy ra và biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hoặc không khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này là điều không thể đoán trước do tính khách quan của các điều kiện thử nghiệm Theo xác suất cổ điển, số lượng kết cục xảy ra của một biến cố là hữu hạn, được gọi là các kết cục thuận lợi cho biến cố đó.
Giả sử n là số kết cục đồng khả năng của phép thử và m là số kết cục thuận lợi cho biến cố X Tỉ số m/n được định nghĩa là xác suất (cổ điển) xảy ra biến cố.
Xác suất cổ điển của một biến cố là con số xác định thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó trong một phép thử ngẫu nhiên Khả năng xuất hiện của các biến cố ngẫu nhiên khác nhau là không giống nhau và được quy định bởi những quy luật nhất định Khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên nhiều lần trong cùng một điều kiện, tính ngẫu nhiên của biến cố sẽ giảm dần.
Ví dụ 1.2.2 Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất.
Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất là một phép thử ngẫu nhiên Việc mặt có số chấm nào đó xuất hiện là biến cố.
Gọi A − 7 là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 7" Khi đó,
A − 7 chắc chắn xảy ra và là một biến cố chắc.
Gọi A + 7 là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 7" Khi đó, A + 7 nhất định không xảy ra và là một biến cố không thể có.
Gọi A c là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm chẵn" Khi đó, A c là một biến cố ngẫu nhiên.
Các kết cục của phép thử ngẫu nhiên "Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất" bao gồm: Xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm,
Các kết cục 4 chấm, 5 chấm và 6 chấm là duy nhất, với mỗi kết quả của phép thử chỉ xảy ra một lần trong các kết quả đã được liệt kê Hơn nữa, khả năng xảy ra của những kết cục này là như nhau, thể hiện tính đồng khả năng trong các tình huống thử nghiệm.
Các kết cục thuận lợi cho biến cố A c là: Xuất hiện mặt 2 chấm, 4 chấm và 6 chấm.
Theo định nghĩa xác suấtP(A c ) = 3
Khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên "tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất" vô hạn lần, xác suất xảy ra của biến cố A c đạt 50%.
Các tính chất sau đây về xác suất được suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.2.1.
(a) Xác suất của biến cố bất kỳ nằm trong đoạn [0,1] Tức là
(b) Xác suất của biến cố không thể có bằng không.
(c) Xác suất của biến cố chắc chắn bằng một.
(d) Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng
Xác suất cổ điển của biến cố, theo Định nghĩa 1.2.1, cho phép chúng ta xác định chính xác giá trị xác suất khi phép thử đáp ứng đầy đủ các yêu cầu Việc tính toán này có thể thực hiện giả định mà không cần thực hiện phép thử thực tế Tuy nhiên, Định nghĩa 1.2.1 có nhược điểm là yêu cầu số kết cục của phép thử phải hữu hạn, duy nhất và đồng khả năng, điều này thường không xảy ra trong thực tế Tính đồng khả năng thường liên quan đến tính đối xứng và bản chất của phép thử, khiến việc khắc phục điểm này trở nên khó khăn Ngoài Định nghĩa 1.2.1, còn tồn tại các định nghĩa khác về xác suất cổ điển như theo quan điểm thống kê và hình học.
Định lý cộng và định lý nhân xác suất
Việc tính xác suất của một biến cố trực tiếp thường gặp nhiều khó khăn, do đó, phương pháp gián tiếp trở thành một giải pháp hiệu quả Phương pháp này cho phép chúng ta tính xác suất thông qua các biến cố liên quan, áp dụng định lý cộng và nhân xác suất để đạt được kết quả chính xác.
Giả sử A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là nhúm n biến cố. Định nghĩa 1.2.4.
Biến cố A được gọi là tổng của nbiến cố {A i } n i=1 nếuA xảy ra khi có ớt nhất một biến cố A i , i ∈ {1,2,ã ã ã , n}, xảy ra Ký hiệu A n
Hai biến cốAi và Aj được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên.
Nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n được gọi là xung khắc từng đụi một nếu Ai và Aj, i, j ∈ {1,2,ã ã ã , n}, i ̸= j, xung khắc.
Nhúm n biến cố A1, A2, , An được gọi là đầy đủ các biến cố nếu trong mỗi lần thực hiện phép thử, chỉ có một trong các biến cố đó xảy ra.
Hai biến cố A_i và A_j được coi là đối lập nếu chúng tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, ký hiệu là A_i = ¯A_j Định lý 1.2.5 cho biết rằng nếu A_i và A_j là hai biến cố xung khắc, thì
Giả sử số kết cục của phép thử ngẫu nhiên liên quan đến các biến cố ngẫu nhiên A i và A j là n Số kết cục thuận lợi cho biến cố A i là m i và cho A j là m j Vì A i và A j xung khắc, không có kết cục nào có thể xảy ra đồng thời cho cả hai biến cố này Do đó, số kết cục thuận lợi cho A i hoặc A j là tổng m i + m j Theo định nghĩa về xác suất, điều này dẫn đến việc tính toán xác suất cho các biến cố ngẫu nhiên.
Hệ quả 1.2.6 Giả sử nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An xung khắc từng đụi một Khi đó,
Chúng ta áp dụng phương pháp quy nạp để chứng minh kết quả, bắt đầu với n = 2, đã được xác nhận bởi Định lý 1.2.5 Giả sử kết quả đúng với n−1 biến cố.
Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n biến cố, tức là:
Thật vậy nếu kí hiệu Pn−1 i=1 A i = B thì theo giả thiết A n và B là xung khắc Khi đó
Hệ quả 1.2.7 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là một nhúm đầy đủ các biến cố Khi đó, n
Chứng minh Vỡ nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là một nhúm đầy đủ cỏc biến cố, biến cố Pi=1 n A i là một biến cố chắc Do đó,
Mặt khác, các biến cố của nhóm đầy đử là xung khắc từng đôi một với nhau Theo Hệ quả 1.2.6,
Hệ quả 1.2.8 Giả sử A là biến cố ngẫu nhiên với biến cố đối A Khi đó,
Chứng minh Vì A và A tạo nên nhóm đầy đủ các biến cố Nên hệ quả được chứng minh nhờ Hệ quả 1.2.7. Định nghĩa 1.2.9.
Biến cố A được gọi là tích của nbiến cố {A i } n i=1 nếu A xảy ra khi cả n biến cố A i , i ∈ {1,2,ã ã ã , n}, xảy ra Ký hiệu A = Q i=1 n A i
Hai biến cố Ai và Aj được coi là độc lập khi sự xảy ra hoặc không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại Ngược lại, nếu một biến cố làm thay đổi xác suất của biến cố kia, thì chúng được xem là phụ thuộc lẫn nhau.
Nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An được gọi là độc lập từng đụi một với nhau nếu A i và A j , i, j ∈ {1,2,ã ã ã , n}, i̸= j, độc lập với nhau.
Nhúm n biến cố A1, A2, , An được coi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố đều độc lập với bất kỳ tổ hợp nào của các biến cố còn lại Theo định lý 1.2.10, nếu A i và A j là hai biến cố độc lập, thì chúng không ảnh hưởng đến nhau trong bất kỳ tình huống nào.
Giả sử n_i và n_j lần lượt là số kết cục đồng khả năng cho các biến cố A_i và A_j xảy ra, trong khi m_i và m_j là số kết cục thuận lợi cho A_i và A_j Vì A_i và A_j độc lập với nhau, số kết cục đồng khả năng cho tích của chúng cũng được xác định dựa trên các yếu tố này.
A i A j xảy ra sẽ là n i n j và số kết cục thuận lợi cho tích xảy ra là m i m j Vì vậy:
= P(A i )P(A j ). Đối với lý thuyết xác suất cổ điển thì điều kiện (1.9) vừa là điều cần và điều kiện đủ để A i và A j độc lập.
Hệ quả 1.2.11 Giả sử A i và A j là các biến cố độc lập, P(A i ) > 0 và
Hệ quả sau được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Hệ quả 1.2.12 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là độc lập toàn phần Khi đó,
P(Ai) (1.11) Định nghĩa 1.2.13 Xác suất của biến cố A i được tính với điều kiện biến cố A j đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A i Kí hiệu:
P(A i |A j ). Định lý 1.2.14 Giả sử A i và A j là hai biến cố phụ thuộc Khi đó,
P(AiAj) = P(Ai) P(Aj|A i ) = P(Aj)P(Ai|A j ) (1.12)
Giả sử n là tổng số kết cục có thể xảy ra trong phép thử, mi là số kết cục thuận lợi cho biến cố Ai, mj là số kết cục thuận lợi cho biến cố Aj, và k là số kết cục thuận lợi cho cả Ai và Aj đồng thời xảy ra.
Dưới điều kiện biến cố A i xảy ra, số kết cục đồng khả năng của phép thử cho biến cố A j là m i, trong đó có k kết cục thuận lợi cho A j xảy ra.
Như vậy P(A i A j ) = k n = mi n k m i = P(A i )P(A j |A i ) Đẳng thức còn lại được chứng minh hoàn toàn tương tự khi vai trò hai biến cố A i và A j được hoán đổi.
Hệ quả 1.2.15 Giả sử A i và A j là hai biến cố thỏa mãn P(A i ) > 0 và
Hệ quả sau là kết quả nhận được bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
Hệ quả 1.2.16 Giả sử nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An phụ thuộc Khi đó,
Hệ quả sau là kết quả trực tiếp suy ra từ Định lý 1.2.10 và Hệ quả 1.2.15.
Hệ quả 1.2.17 Giả sử A i và A j là hai biến cố độc lập Khi đó,
P(A i |A j ) =P(A i ) và P(A j |A i ) = P(A j ) (1.16) Định lý 1.2.18 Giả sử A i và A j là hai biến cố không xung khắc Khi đó,
Công thức xác suất cho hai biến cố Ai và Aj được biểu diễn như sau: P(Ai + Aj) = P(Ai) + P(Aj) - P(AiAj) Để chứng minh điều này, giả sử n là tổng số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong một phép thử, trong đó mi là số kết cục thuận lợi cho biến cố Ai, mj là số kết cục thuận lợi cho biến cố Aj, và k là số kết cục thuận lợi cho tích Ai Aj Như vậy, số kết cục thuận lợi cho ít nhất một trong hai biến cố Ai hoặc Aj xảy ra là mi + mj - k.
P(Ai+Aj) = m i +m j −k n = m i n +m j n −k n = P(Ai) +P(Aj)−P(AiAj).
Nếu hai biến cố Ai và Aj độc lập thì công thức có dạng:
Nếu hai biến cố A i và A j phụ thuộc thì công thức có dạng:
P(Ai+ Aj) = P(Ai) +P(Aj)−P(Ai)P(Aj|A i ).
Nếu hai biến cố A i và A j thì P(A i +A j ) = P(A i ) + P(A j ).
Sử dụng phương pháp quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được hệ quả sau cho nhóm n biến cố không xung khắc.
Hệ quả 1.2.20 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n khụng xung khắc. Khi đó,
Hệ quả sau đây là kết quả suy trực tiếp từ Định lý 1.2.18, Hệ quả 1.2.20 và sử dụng phương pháp quy nạp.
Hệ quả 1.2.21 Giả sử A1, A2,ã ã ã , An là nhúm n cỏc biến cố ngẫu nhiờn. Khi đó,
P(A i +A j +A k )− ã ã ã+ (−1) n−1 P(A 1 +A 2 +ã ã ã+A n ) (1.19) Định lý 1.2.22 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n khụng xung khắc và độc lập toàn phần với nhau Khi đó,
Chứng minh Đặt A = P i=1 n A i Khi đó, A = Q n i=1 A i Ta có
Vì nhóm các biến cố {A i } n i=1 là độc lập toàn phần, nên nhóm n các biến cố {A i } n i=1 cũng là độc lập toàn phần với nhau Suy ra,
Công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Định lý Bayes 1.2.23, hay còn gọi là công thức Bernoulli, áp dụng cho n phép thử ngẫu nhiên độc lập theo lược đồ Bernoulli Các điều kiện cần thiết bao gồm việc {A, A} là nhóm đầy đủ các biến cố của mỗi phép thử, với xác suất P(A) = p và P(A) = q = 1−p.
Khi đó, xác suất để biến cố A xuất hiện đúng x lần trong n phép thử được xác định như sau:
Công thức xác suất Pn(x) = C n x p x q n−x, với x = 0, 1, 2, , n, mô tả khả năng xảy ra biến cố A trong n phép thử Việc chứng minh cho thấy rằng việc thực hiện n phép thử với biến cố A xuất hiện x lần tương đương với việc chọn x vị trí từ n vị trí để sắp xếp.
A, các vị trí còn lại chúng ta sắp xếp A Vì {A, A} là nhóm đầy đủ các biến cố và các phép thử là độc lập nên kết quả của Định lý 1.2.23 suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.10. Định lý 1.2.24 (Công thức xác suất đầy đủ) Giả sử nhóm n các biến cố A 1 , A 2 , , A n là nhóm đầy đủ các biến cố và B là biến cố xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố Khi đó,
Chứng minh Chúng ta có thể biểu diễn biến cố B như sau
Theo giả thiết, nhúmncỏc biến cốA 1 B;A 2 B;ã ã ã ;A n B là xung khắc từng đôi một Sử dụng Hệ quả 1.2.6, ta có
Sử dụng Định lý 1.2.14, ta có
Định lý Bayes (Công thức Bayes) cho biết rằng nếu A1, A2, , An là một nhóm đầy đủ các biến cố và B là một biến cố xảy ra đồng thời với một trong các biến cố này, thì xác suất P(Ai) nhân với xác suất P(B|Ai) sẽ được áp dụng để tính toán xác suất của các biến cố trong nhóm.
Chứng minh Theo Định lý 1.2.14, ta có
Sử dụng Định lý 1.2.24, ta có
Nhóm n các biến cố A1, A2, , An đóng vai trò như các giả thuyết trong việc đánh giá lại vai trò của chúng khi biến cố B xảy ra Công thức Bayes cho phép chúng ta điều chỉnh xác suất của các giả thuyết Ai dựa trên thông tin mới từ biến cố B.
P(H1), P(H2), , P(Hn) được gọi là xác suất tiên nghiệm Các xác suất
P(A 1 |B), P(A 2 |B), , P(A n |B) được gọi là xác suất hậu nghiệm.
Không gian xác suất
Tập hợp
Chúng ta bắt đầu bằng việc điểm lại một số nội dung cơ bản về lý thuyết tập hợp như sau:
Tập Ω là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, dùng để mô tả không gian mẫu của một thí nghiệm ngẫu nhiên Mỗi điểm trong tập Ω đại diện cho các kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm ngẫu nhiên mà chúng ta đang nghiên cứu.
P(Ω) là tập hợp gồm tất cả các tập con của Ω.
Một phần tử của tâp Ω: ω ∈ Ω.
A c là phần bù của tập con A⊂ Ω.
Giả sử T là tập chỉ số và với mỗi t ∈ T, A t ⊂ Ω Ta định nghĩa:
Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các tập con của Ω Ta định nghĩa:
Giả sử {A j } n j=1 là họ các tập con của Ω Ta định nghĩa:
Các tập con {A_t, t ∈ T} được gọi là tách rời từng cặp nếu với t, t' ∈ T và t ≠ t', thì A_t ∩ A_t' = ∅ Để đơn giản hóa ký hiệu, chúng ta ký hiệu A_i A_j = A_i ∩ A_j Nếu {A_j} ∞ j=1 là tách rời từng cặp, thì
Tập A i được gọi là tập con của tập A j , ký hiệu A i ⊂ A j , nếu ω ∈ A i thì ω ∈ A j Tập A i được gọi là bằng tậpA j nếuA i ⊂ A j và A j ⊂A i
Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các tập con trong Ω Ta định nghĩa: k≥ninf A k : ∞
Tập A được gọi là giới hạn của dãy {A j } ∞ j=1 , ký hiệu lim n→∞A n = A hoặc A n →A, nếu lim inf n→∞ A n = lim sup n→∞
Dãy {A_j} ∞ j=1 được gọi là dãy không tăng nếu A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 và dãy không giảm nếu A_1 ⊂ A_2 ⊂ A_3 Nếu dãy {A_j} ∞ j=1 thỏa mãn một trong hai điều kiện này, nó được gọi là dãy đơn điệu Định nghĩa 1.3.1 cho biết rằng A ⊂ P(Ω) là một tập hợp con của P(Ω) bao gồm các tập con của Ω.
1 A được gọi là một đại số nếu
2 A được gọi là một σ-đại số nếu
Xác suất của biến cố
Định nghĩa 1.3.2 Bộ ba (Ω,A, P) được gọi là một không gian xác suất nếu
Ω là một không gian mẫu tương ứng với các kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên.
A là một σ-đại số các tập con của Ω Các tập con này được gọi là các biến cố.
P là một hàm số với miền xác định A, miền giá trị [0,1] và thỏa mãn(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A.
P(A i ) với {A j } ∞ j=1 là các biến cố tách rời nhau.
Chúng ta có thể chứng minh được các kết quả sau Định lý 1.3.3 Giả sử (Ω,A, P) là một không gian xác suất Khi đó,
6 Nếu {A i } n i=1 là dãy các biến cố trong A, thì P(
Chứng minh 1 Từ tính chất (ii) và (iii) của P, ta có P(A) +P(A c ) P(A∪A c ) = P(Ω) = 1 Suy ra, P(A c ) = 1−P(A) với mọi A∈ A.
4 Tính chất này thu được nhờ sử dụng tính chất 3 và phương pháp quy nạp.
Sử dụng tính chất (ii) của P và tính chất 5, ta suy ra
P(A1). Định lý 1.3.4 Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các biến cố trong A.
1 Nếu {A j } ∞ j=1 là dãy không giảm thỏa mãn A n → A, thì P(A n ) →
2 Nếu {A j } ∞ j=1 là dãy không tăng thỏa mãn A n → A, thì P(A n ) →
3 P(lim inf n→∞ An) ≤ lim inf n→∞ P(An) ≤ lim sup n→∞
Chứng minh định lý này khá phức tạp và sẽ không được trình bày chi tiết ở đây Hướng tiếp cận xác suất dựa trên hàm xác suất, trong đó xác suất điều kiện của biến cố được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3.5 Giả sử A, B ∈ A, xác suất điều kiện của biến cố A khi biến cố B xảy ra được xác định theo một công thức cụ thể.
P(B) nếu P(B) > 0, không xác định nếu P(B) = 0. Định nghĩa 1.3.6 Giả sử Ai ∈ A, i∈ I ⊂ {1,2,ã ã ã , n}.
1 Biến cố A i và A j được gọi là độc lập nếu
2 Các biến cố {A i , i∈ I} được gọi là độc lập nếu
Một số vấn đề về xây dựng không gian xác suất
Định nghĩa 1.3.7 Họ S các tập con của Ω được gọi là một nửa đại số nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(ii) S là đóng với phép giao hữu hạn.
(iii) Nếu A ∈ S, thỡ tồn tại cỏc tập rời nhau C1, C2,ã ã ã , Cn của S thỏa mãn
Chúng ta bắt đầu từ một nửa đại số, chúng ta sẽ có một đại số nhờ kết quả sau:
Bổ đề 1.3.8 Giả sử S là một nửa đại số các tập con của Ω Khi đó,
C i : I hữu hạn, {C i , i∈ I} rời nhau, C i ∈ S}. là một đại số.
Việc xây dựng không gian xác suất dựa trên các định lý mở rộng sẽ được trình bày trong bài viết này Do tính chất kỹ thuật của các chứng minh, nội dung chi tiết của chúng sẽ không được đề cập Định lý 1.3.9 nêu rõ rằng giả sử S là một nửa đại số các tập con của Ω và P: S 7→.
[0,1] là σ-cộng tính trên S và thỏa mãn P(Ω) = 1 Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng P ′ của P trên A(S) xác định bởi
P(C i ). Định lý 1.3.10 Giả sử độ đo xác suất P được định nghĩa trên đại số
A Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng độ đo xác suất trên σ(A) (σ-đại số sinh bởi A). Định lý 1.3.11 Giả sử S là một nửa đại số các tập con của Ω và P :
S 7→ [0,1] là σ-cộng tính trên S và thỏa mãn P(Ω) = 1 Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng P ′ của P trên σ(S).
Thiết lập độ đo xác suất P là nền tảng cho việc xây dựng không gian xác suất Trong không gian R n, việc thiết lập này có thể được thực hiện thông qua hàm phân phối xác suất và độ đo Lebesgue.
Các bài toán điển hình về xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông và đời sống 23
Phương pháp tính xác suất của biến cố
Theo Định nghĩa 1.2.1, giá trị xác suất của một biến cố có thể được xác định chính xác mà không cần thực hiện phép thử ngẫu nhiên Các phương pháp phổ biến để tìm xác suất của biến cố bao gồm nhiều kỹ thuật khác nhau.
1 Phương pháp suy luận trực tiếp: Phương pháp này thường được sử dụng khi số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là ít và dễ dàng tính toán được.
Trong một hộp bút, có a cái bút đỏ và b cái bút đen Khi lấy ngẫu nhiên một cái bút từ hộp, xác suất để lấy được cái bút đỏ được tính bằng tỷ lệ số lượng bút đỏ so với tổng số bút trong hộp Cụ thể, xác suất này là a/(a+b).
Lời giải Gọi Alà biến cố "Lấy được cái bút đỏ" Vì tổng số bút trong hộp là a + b nên số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = a+ b.
Số kết cục thuận lợi đối với biến cố A là m = a Theo định nghĩa cổ điển về xác suất, ta có:
2 Phương pháp dùng sơ đồ Venn: Sơ đồ Venn được dùng để giúp chúng ta mô tả số kết cục của phép thử ngẫu nhiên, cũng như số kết cục thuận lợi của một biến cố Phương pháp này được sử dụng khi số kết cục của một phép thử ngẫu nhiên tương đối lớn và việc tính toán phức tạp hơn Trong thực tế chúng ta thường dùng một trong các loại sơ đồ sau: a Sơ đồ hình cây
Giả sử một gia đình có 3 người con và khả năng sinh con trai hoặc con gái là như nhau, xác suất để gia đình đó có 2 con gái có thể được tính toán Với mỗi con, xác suất sinh con gái là 0.5, do đó, xác suất có 2 con gái trong 3 người con là một bài toán xác suất thú vị.
Lời giải: Gọi A là biến cố "Gia đình đó có 2 con gái" Sơ đồ hình cây mô tả khả năng sinh con của gia đình như sau:
Hình 2.1: Sơ đồ hình cây
Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = 8, bao gồm các kết quả: GGG, GGT, GTG, GTT, TGG, TGT, TTG, TTT Trong đó, có 3 kết cục thuận lợi cho biến cố A Do đó, xác suất P(A) = 3.
Ví dụ 2.1.3 Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất hai lần. Tìm xác suất để trong đó có một lần được 6 chấm.
Lời giải: Gọi A là biến cố xảy ra khi có một lần xuất hiện số 6 Số kết cục tổng thể của phép thử ngẫu nhiên cùng với số kết cục thuận lợi cho biến cố A được trình bày rõ ràng trong bảng dưới đây.
Như vậy số kết cục của phép thử ngẫu nhiên làn = 36 Trong đó số kết cục thuận lợi đối với biến cốAlàm = 10 VậyP(A) = m n = 10
18. c Sơ đồ dạng tập hợp
Hình 2.2: Sơ đồ dạng bảng
Trong một chi đoàn gồm 50 học sinh, có các sở thích thể thao được phân bố như sau: 20 học sinh chơi bóng đá, 15 học sinh chơi bóng chuyền và 10 học sinh chơi bóng rổ Số học sinh tham gia nhiều môn thể thao là 8 học sinh chơi cả bóng đá và bóng chuyền, 5 học sinh chơi bóng đá và bóng rổ, 3 học sinh chơi bóng chuyền và bóng rổ, và 1 học sinh chơi cả ba môn thể thao Để tìm xác suất học sinh được chọn chơi ít nhất một môn thể thao, ta cần xác định số học sinh không tham gia vào bất kỳ môn thể thao nào và tính toán từ đó.
Biến cố A được định nghĩa là "Học sinh được chọn chơi ít nhất một môn thể thao" Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên và số kết cục thuận lợi cho biến cố này được thể hiện thông qua các tập hợp cụ thể.
Hình 2.3: Sơ đồ dạng tập hợp
Như vậy số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = 50 Trong đó số kết cục thuận lợi đối với biến cốAlàm = 8+5+3+7+4+2+1 = 30.
3 Phương pháp dùng các công thức đại số tổ hợp: Phương pháp này thường được sử dụng khi mà số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là rất nhiều dẫn tới việc tính toán trực tiếp là khó khăn và không khả thi Để tính toán số số kết cục của phép thử ngẫu nhiên và số kết cục thuận lợi của biến cố, chúng ta có thể thực hiện được bằng việc sử dụng các công thức về đại số tổ hợp.
Trong tình huống Anh X cần liên lạc với Anh Y nhưng quên hai số cuối trong số điện thoại, chỉ biết rằng hai số này khác nhau, chúng ta có thể tính xác suất để Anh X liên lạc thành công với Anh Y trong lần đầu tiên Việc xác định xác suất này dựa trên các khả năng kết hợp của hai số khác nhau trong dãy số điện thoại.
Trong bài toán này, chúng ta định nghĩa B là biến cố "Anh X liên lạc được với anh Y trong lần liên lạc đầu tiên" Mỗi cặp số phân biệt được rút ra từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sẽ tạo thành một kết cục của phép thử, từ đó ta có tổng số kết cục là n = A 2 10 = 90 Tuy nhiên, số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy ra chỉ có một kết cục duy nhất.
Trong một bình chứa 6 quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 6, ta thực hiện việc lấy ngẫu nhiên từng quả cầu Mục tiêu là tìm xác suất để số quả cầu được lấy ra trùng với số thứ tự của lần lấy.
Trong bài toán này, chúng ta định nghĩa biến cố A là "Số của các quả cầu lấy ra trùng với số thứ tự cần lấy" Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên này tương ứng với số hoán vị của 6 phần tử, tức là n = P6 = 6! = 720 Tuy nhiên, chỉ có một kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra, đó là lấy các quả cầu theo trình tự 1, 2, 3, 4, 5, 6 Do đó, xác suất P(A) được tính là m/n = 1.
Các dạng toán điển hình về xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông
trình toán trung học phổ thông
2.2.1 Bài toán xác suất sử dụng định lý cộng và nhân xác suất
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.2.1 Nhà Hạnh có ba chiếc xe máy Khả năng có sự cố của mỗi xe tương ứng là: 5%; 20%; 15% Tìm khả năng của các tình huống sau:
1 Có ít nhất một xe hoạt động tốt.
2 Cả ba xe cùng hoạt động tốt.
3 Có không quá hai xe bị sự cố.
Lời giải Gọi A i là biến cố xe thứ i bị sự cố; i = 1; 2; 3.
1 Gọi B:"Có ít nhất một xe hoạt động tốt" Suy ra B = A 1 ∪A 2 ∪A 3 Khi đó B:"Không có xe nào hoạt động tốt".
2 Gọi C:"Cả ba xe cùng hoạt động tốt" Suy ra C = A 1 ∩A 2 ∩A 3 Suy ra P(D) =P(A 1 ).P(A 2 ).P(A 3 ) = 0,95.0,8.0,85 = 0,646.
3 Gọi D ="Không có quá hai xe bị sự cố"="Có ít nhất một xe hoạt động tốt"= B.
Bài toán 2.2.2 đề cập đến khả năng bắn trúng mục tiêu của một thợ săn nhím, với xác suất trúng mục tiêu tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn Anh thợ săn bắt đầu bắn ở khoảng cách 20 mét, với xác suất trúng là 50% Nếu không trúng, anh sẽ bắn ở khoảng cách 30 mét và tiếp tục bắn ở khoảng cách 50 mét nếu vẫn trượt Mục tiêu là tính xác suất để anh ta có thể bắn trúng nhím trong lần đi săn này.
Bài toán này liên quan đến phép thử có số lần bắn tối đa là ba, và phép thử sẽ dừng lại khi nhím bị bắn trúng Để phân tích vấn đề này, chúng ta có thể xác định các biến cố xảy ra cho phép thử như sau: T1 là thợ săn bắn trúng nhím ở lần thứ nhất, T1T2 là thợ săn bắn trúng nhím ở lần thứ nhất và thứ hai, T1T2T3 là thợ săn bắn trúng nhím ở cả ba lần, và T là nhím sống sót sau cuộc đi săn này.
Bài toán 2.2.3 yêu cầu tính xác suất để mã định danh nhân viên gồm 5 chữ số, được tạo từ các chữ số từ 0 đến 9, không chứa chữ số 3 hoặc 7 Anh Mario chọn ngẫu nhiên mã định danh cho mình, do đó, cần xác định số lượng mã hợp lệ và tổng số mã có thể Số lượng chữ số có thể sử dụng là 8 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9) Từ đó, xác suất để mã định danh của anh Mario không có chữ số 3 hoặc 7 có thể được tính bằng cách chia số mã hợp lệ cho tổng số mã có thể.
Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 10 5
Gọi biến cố A: "Mã định danh không có chữ số 3" B: "Mã định danh không có chữ số 7".
A∩B: "Mã định danh không có chữ số 3và 7" Suy ra, n(A∩B) = 8 5
B Một số bài toán trắc nghiệm.
Bài toán 2.2.4 Một chiếc hộp có 8 quả bóng bàn được đánh số từ 1 đến
8 Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra 2 quả bóng rồi nhân hai số ghi trong quả bóng với nhau Tính xác xuất để kết quả nhận được là một số chẵn?
Biến cố A xảy ra khi có một quả bóng mang số chẵn và một quả bóng mang số lẻ, trong khi biến cố B xảy ra khi có hai quả bóng mang số chẵn Do tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong số đó là chẵn, suy ra biến cố A hợp B dẫn đến tích là số chẵn Với tổng cộng 4 quả bóng chẵn và 4 quả bóng lẻ, chúng ta có thể xác định khả năng xảy ra của các biến cố này.
14. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên:
Bài toán 2.2.5 Một tổ học sinh gồm 6 nữ và 4 nam Chọn ngẫu nhiên 3 em Tính xác suất để 3 em được chọn có ít nhất 1 nam?
Gọi biến cố A: "Chọn được 1 nam, 2 nữ"; B: "Chọn được 2 nam, 1 nữ";
Suy ra A∪ B ∪ C: "Ba em được chọn có ít nhất 1 nam" Hơn nữa, các biến cố A, B, C là đôi một xung khắc.
Ta có, không gian mẫu: n(Ω) = C 10 3 = 120; n(A) = C 6 2 C 4 1 = 60; n(B) C 4 2 C 6 1 = 36; n(C) =C 4 3 = 4.
Bài toán 2.2.6 yêu cầu tìm xác suất xuất hiện một mặt có số chấm chẵn trên một vật khối hộp có 6 mặt Trong đó, mặt 4 chấm có khả năng xuất hiện gấp ba lần so với các mặt khác, trong khi các mặt còn lại có xác suất xuất hiện như nhau Để giải bài toán, cần xác định xác suất của từng mặt và tính tổng xác suất cho các mặt có số chấm chẵn.
Gọi A i là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i = 1,2,3,4,5,6)
8 Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A = A 2 ∪A 4 ∪A 6
Vì các biến cố A i xung khắc nên:
2.2.2 Bài toán xác suất sử dụng công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
A Một số bài toán tự luận.
Phương Anh có một hộp chứa 10 chiếc kẹp tóc, trong đó có 6 chiếc còn mới Hôm qua, cô đã lấy ra 3 chiếc và sau đó để lại vào hộp Hôm nay, cô lại lấy ra 3 chiếc nữa Bài toán yêu cầu tính xác suất để tìm ra các trường hợp liên quan đến số lượng kẹp tóc còn mới trong lần lấy thứ hai.
3 chiếc kẹp tóc lấy ra hôm nay đều là kẹp tóc mới?
Gọi biến cố A là "Ba chiếc kẹp tóc lấy ra hôm nay là mới" và biến cố B i là "Ba chiếc kẹp tóc lấy ra hôm qua có i chiếc mới", với i = 0, 1, 2, 3, tạo thành bốn trường hợp đầy đủ.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
Để xác định số viên đạn tối thiểu mà học sinh cần bắn để có xác suất 80% bắn trúng tâm ít nhất 1 viên, ta sử dụng xác suất bắn trúng tâm là 0,3 Tính toán cho thấy, học sinh cần bắn ít nhất 5 viên đạn để đạt được mục tiêu này.
Trong bài toán này, giả sử số đạn cần bắn là x Việc bắn n viên đạn vào tâm có thể được xem như n phép thử Bernoulli, với biến cố A là "bắn trúng tâm" và xác suất p = 0,3.
Bài toán 2.2.9 yêu cầu tính xác suất để sinh viên A trả lời đúng câu hỏi từ hai hộp phiếu thi Hộp thứ nhất chứa 15 phiếu, trong đó sinh viên A chỉ thuộc 10 câu hỏi Hộp thứ hai có 9 phiếu, với 8 câu hỏi mà sinh viên A nắm vững Thầy giáo sẽ rút ngẫu nhiên một phiếu từ mỗi hộp, sau đó sinh viên A sẽ chọn một phiếu từ hai phiếu đã được rút Để tính xác suất, cần xác định số lượng câu hỏi mà sinh viên A có khả năng trả lời trong tổng số câu hỏi được rút.
Lời giải Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1; E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2.
E 1 , E 2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ.
Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc Ta có
B Một số bài toán trắc nghiệm.
Bài toán 2.2.10 đề cập đến ba hộp giống nhau: Hộp I chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, Hộp II có c quả cầu trắng và d quả cầu đen, trong khi Hộp III chỉ chứa k quả cầu trắng Khi chọn ngẫu nhiên một hộp và lấy ra một quả cầu, cần tính xác suất để quả cầu được lấy ra là quả cầu trắng.
Gọi A i :"Biến cố lấy được hộp thứ i"; i = 1,2,3 Gọi A:"Cầu lấy ra là cầu trắng".
Các biến cố A và A i lập thành một hệ đầy đủ.Ta có
Bài toán 2.2.11 Có 3 túi đựng bài thi, mỗi túi có 10 bài thi Túi I có
Trong bài toán xác suất này, chúng ta có hai túi: túi II chứa 3 bài thi và túi III có 6 bài thi dưới trung bình Khi lấy ngẫu nhiên một bài thi từ mỗi túi, chúng ta cần tính xác suất để trong ba bài thi được chọn có đúng một bài thi dưới trung bình.
Gọi Ai:"bài thi lấy ra thuộc túi thứ i là dưới trung bình"; i = 1,2,3.
A i :"bài thi lấy ra thuộc túi thứ i là không dưới trung bình"; i = 1,2,3.
A:"Trong 3 bài thi lấy ra có đúng một bài dưới trung bình".
Tại một trang trại chăn nuôi, lợn bị phát hiện mắc bệnh với xác suất 0,7 cho bệnh A và 0,5 cho bệnh B, có khả năng mắc cả hai bệnh Để điều trị, hai loại thuốc M và N được sử dụng Với thuốc M, xác suất khỏi bệnh cho lợn mắc bệnh A là 0,8, bệnh B là 0,6, và cả hai bệnh là 0,3 Trong khi đó, thuốc N cho xác suất khỏi bệnh cho lợn mắc bệnh A là 0,6, bệnh B là 0,7, và cả hai bệnh là 0,4.
Khả năng chữa khỏi bệnh cho lợn bằng thuốc M và N, loại nào tốt hơn?
Gọi biến cố A:"Lợn bị mắc bệnh A" B:"Lợn bị mắc bệnh B" AB:"Lợn bị mắc bệnh Avà B".
Suy ra P(AB) = P(A).P(B) = 0,7.0,5 = 0,35 Ba biến cố đôi một xung khắc.
Gọi biến cố C:"Lợn bị mắc bệnh" Suy ra C = A∪B ∪AB.
Giả sử H đại diện cho việc "Lợn khỏi bệnh bằng thuốc M" và K là "Lợn được chữa khỏi bằng thuốc N" Biến cố CH liên quan đến việc lợn mắc bệnh và được chữa khỏi bằng thuốc M Khi đó, CH có thể được biểu diễn dưới dạng CH = (A∪B ∪AB)H, tương đương với AH ∪BH ∪ABH.
Hoàn toàn tương tự, giả sử CK là biến cố lợn mắc bệnh và được chữa khỏi bằng thuốc N Ta có P(CK) = 0,91.
Suy ra, khả năng chữa khỏi bệnh cho lợn bằng thuốc M tốt hơn.
2.2.3 Bài toán xác suất về số các chữ số thỏa mãn điều kiện cho trước
2.2.3.1 Bài toán xác suất liên quan đến tính chia hết
A Một số bài toán tự luận.
Một số ứng dụng của xác suất trong thực tiễn cuộc sống
2.3.1 Ứng dụng của xác suất trong việc dự báo, trù bị kết quả sẽ xảy ra
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.3.1 VN-index đưa ra phân tích nhận định về triển vọng cổ phiếu của các doanh nghiệp đang phát hành sau một năm như sau
20%số cổ phiếu tỏ ra tốt hơn nhiều so với trung bình của thị trường.
30% số cổ phiếu tỏ ra xấu hơn nhiều so với trung bình thị trường.
50% bằng trung bình của thị trường.
VN-index nhận định cổ phiếu mua tốt như sau
Trong số những cổ phiếu trở nên tốt có 25% được đánh giá là mua tốt.
Trong số những cổ phiếu trở nên xấu có 10% được đánh giá là mua tốt.
Trong số những cổ phiếu trung bình có 15% được đánh giá là mua tốt.
Xác suất một cổ phiếu được đánh giá là "mua tốt" sẽ thực sự trở nên tốt trong tương lai và xác suất cổ phiếu đó sẽ trở nên xấu là hai yếu tố quan trọng mà nhà đầu tư cần xem xét Việc hiểu rõ những yếu tố này giúp tối ưu hóa quyết định đầu tư và giảm thiểu rủi ro.
Giả sử có n cổ phiếu đang lưu hành trên thị trường Gọi A là sự kiện mà một cổ phiếu được đánh giá là cơ hội mua tốt sẽ trở nên hấp dẫn Theo đó, số lượng cổ phiếu thỏa mãn điều kiện này là n(A) = n.
Do đó, xác suất một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ trở nên tốt là P(A) = 10
31. b Gọi B là biến cố một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ trở thành xấu.Ta có n(B) = n
Việc tham gia vào các lĩnh vực kinh doanh và đầu tư luôn tiềm ẩn rủi ro, do đó, để giảm thiểu những rủi ro này và nâng cao khả năng thành công, nhà đầu tư cần thực hiện phân tích, phán đoán và tính toán cẩn thận trước khi đưa ra quyết định Theo nghiên cứu, trong số các cổ phiếu được đánh giá là có tiềm năng mua tốt, chỉ có khoảng 1/3 khả năng cổ phiếu sẽ thành công, trong khi tỷ lệ cổ phiếu trở nên xấu cũng không cao Do đó, nhà đầu tư cần cân nhắc kỹ lưỡng khi lựa chọn các loại cổ phiếu phù hợp để tối ưu hóa lợi nhuận.
Cơn bão Nesat đang tiến vào vùng biển Việt Nam và dự kiến sẽ đổ bộ vào đất liền sau 72 giờ Đường đi của bão rất phức tạp và liên tục thay đổi, khiến cơ quan khí tượng thủy văn chưa thể xác định chính xác tỉnh ven biển nào sẽ bị ảnh hưởng Hãy tính xác suất cơn bão sẽ đổ bộ vào tỉnh Thanh Hóa.
Trong cuộc tranh luận giữa Nam và Bắc về việc học tập cho kỳ thi THPT quốc gia, Nam cho rằng các môn thi trắc nghiệm không cần học vẫn có thể đạt điểm, trong khi Bắc khẳng định rằng không học sẽ không thể đạt điểm cao Điều này phản ánh sự khác biệt trong động lực học tập của hai nhân vật: Nam có điều kiện tốt nhưng thiếu sự nghiêm túc, trong khi Bắc, với hoàn cảnh khó khăn, lại nỗ lực không ngừng để có tương lai tốt hơn Qua đó, bài học rút ra là sự chăm chỉ và nghiêm túc trong học tập là yếu tố quyết định thành công, bất kể hoàn cảnh xuất phát.
Khi tham gia thi trắc nghiệm với 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ một đáp án đúng, việc chọn ngẫu nhiên sẽ ảnh hưởng đến khả năng đạt điểm cao.
Xác suất để đạt 10 điểm bài thi trắc nghiệm khách quan là: (1
Xác suất để đạt 0 điểm là (3
Xác suất để đạt 3 điểm là 8,9.10 −2
Xác suất để đạt 4 điểm là 7,65.10 −3
Xác suất để đạt 5 điểm là 8,45.10 −5
Xác suất để đạt 6 điểm là 1,3.10 −7
Nhìn vào các số liệu tính toán trên, chúng ta có thể thấy rằng hai bạn Nam và Bắc đều trả lời có ý đúng và có ý sai Cụ thể
Bạn Nam cho rằng việc điền ngẫu nhiên có thể đạt 10 điểm là đúng, nhưng xác suất xảy ra rất nhỏ, gần như không thực tế Tuy nhiên, bạn khẳng định rằng việc bị điểm 0 là sai, mặc dù xác suất xảy ra cũng rất thấp.
Bạn Bắc đúng khi cho rằng có thể không bị điểm 0, nhưng không thể đạt điểm 10 là sai dù thực tế gần như không khi nào xảy ra.
Khả năng bị điểm kém của học sinh khi chọn ngẫu nhiên các đáp án trong kỳ thi cao hơn nhiều so với khả năng đạt điểm trung bình hoặc khá Nếu học sinh không học bài và chỉ trả lời ngẫu nhiên, xác suất bị điểm kém sẽ tăng lên đáng kể Bài toán 2.3.5 trình bày sơ đồ hệ thống điện của khu dân cư EF.
Dòng điện di chuyển từ E đến F qua năm trạm biến áp A, B, C, D, G, với các trạm biến áp này hoạt động độc lập Xác suất xảy ra sự cố kỹ thuật tại mỗi trạm A, B, C sau một thời gian hoạt động là 0,2.
D, G là 0,1 Tính xác suất để khu vực F không mất điện.
Gọi F là biến cố khu vực F không mất điện và A, B, C, D, G lần lượt là các biến cố trạm biến áp A, B, C, D, G gặp sự cố kĩ thuật Khi đó,
2.3.2 Ứng dụng của xác suất đối với các trò chơi
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.3.6 Có nên mua số đề hay không?
Luật chơi đề rất đơn giản: Người chơi đặt cược một số tiền X (đồng) vào một số từ 00 đến 99 Mục tiêu là số hai chữ số này phải trùng với hai chữ số cuối cùng của giải xổ số đặc biệt do xổ số kiến thiết miền Bắc phát hành trong ngày Nếu trúng, người chơi sẽ nhận được 70 lần số tiền đã đặt cược, còn nếu không trúng, số tiền X sẽ bị mất.
Vì có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là: 1
100 Và xác suất thua là: 99
Như vậy, nếu ta đánh 100.000 đồng chia đều cho 100 số, thì ta sẽ lỗ 30.000 đồng.
Nhiều người chơi nghĩ rằng đầu tư 100.000 đồng vào số đề có thể mang lại lợi nhuận 6,9 triệu đồng nếu trúng Tuy nhiên, khả năng trúng thưởng rất thấp và người chơi có thể thua nhiều lần, dẫn đến tổng số tiền thua lỗ tăng cao Điều này cho thấy rằng việc chơi số đề có thể khiến người chơi chịu lỗ nặng.
Vì vậy, chúng ta không nên mua số đề.
Việc tham gia vào các trò chơi đỏ đen như mua vé số, chơi bầu cua, cá cọp, và chơi bài đang trở thành một vấn nạn trong xã hội hiện nay Chúng ta cần phải giải thích rõ ràng về những tác hại của những trò chơi này, đồng thời cảnh báo và vận động mọi người tránh xa để giảm thiểu những hệ lụy mà chúng gây ra.
Bài toán 2.3.8 Chia giải thưởng thế nào cho công bằng?
Trong một trận đấu tranh chức vô địch giữa hai đối thủ ngang tài, người thắng cuộc là người đầu tiên giành được 6 ván Tuy nhiên, do lý do bất khả kháng, trận đấu phải dừng lại khi người thứ nhất đã thắng 5 ván và người thứ hai mới thắng 3 ván Vấn đề đặt ra là cách phân chia phần thưởng một cách hợp lý trong tình huống này.
Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 5 : 3, vì theo như tỉ lệ thắng của người chơi.
Một quan điểm khác cho rằng nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 2:1, vì người thứ nhất thắng người thứ hai 2 trận Hai trận này tương đương với 1/3 tổng số trận, do đó người thứ nhất sẽ nhận 1/3 giải thưởng, trong khi phần còn lại sẽ được chia đều cho cả hai, tức là người thứ nhất và người thứ hai mỗi người sẽ nhận thêm 1/3 giải.
Để chia giải thưởng một cách công bằng, cần dựa vào khả năng thắng thua của hai đối thủ Điều này có nghĩa là đối thủ có xác suất thắng cao hơn sẽ nhận được phần thưởng lớn hơn Vậy, câu hỏi đặt ra là xác suất thắng thua của hai đối thủ được xác định như thế nào?