Cơ sở lý thuyết biến dạng dẻo kinh loại part 7 pptx

152 Phơng của ứng suất chính bằng: xy xy , tg = 2 2 21 (4.82) ứng suất pháp lớn nhất tính theo giá trị 1 và 2 : 2 2 21 22 xy yx max + = = (4.83) Tính các ứng suất thành phần trên mặt nghiêng góc : 2 2 2 22 2 22 21 2121 2121 sin sin cos xy y x = + = + + = (4.84) Phơng trình vi phân cân bằng - biến dạng phẳng trong toạ độ Đềcác: 0 0 =+ =+ z x zx zzx xzx (4.85) Phơng trình vi phân cân bằng - biến dạng phẳng trong toạ độ trụ: =++ = ++ 0 2 1 0 1 (4.86) 153 Chơng 5 Biến dạng dẻo nhỏ và tốc độ biến dạng 5.1. Khái niệm biến dạng dẻo nhỏ Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thớc của vật thể dới tác dụng của ngoại lực và nhiệt, đó cũng là kết quả tích luỹ liên tục của chuyển vị vô cùng nhỏ của các chất điểm trong vật thể. Dới tác dụng của ngoại lực, vật thể biến dạng từ đàn hồi sang dẻo rồi phá huỷ. Vật thể biến dạng đàn hồi chỉ làm thay đổi thể tích và rất nhỏ, trong khi biến dạng dẻo, lợng biến dạng rất lớn. Nếu lợng biến dạng nhỏ hơn 10%, ta có thể gọi đó là biến dạng dẻo nhỏ. Nếu lợng biến dạng trên 10% thuộc biến dạng dẻo lớn. Trong khái niệm của Cơ học môi trờng liên tục, phân biệt "điểm" và "hạt". Điểm đợc dùng để ký hiệu vị trí trong không gian bất động. Từ "hạt" là một phần tử thể tích rất nhỏ hay chất điểm trong môi trờng liên tục. Các chất điểm chuyển động trong hệ toạ độ tơng đối, nếu toạ độ của chúng thay đổi theo thời gian. Khi đó, các chất điểm di động theo thời gian nằm ở các không gian toạ độ khác nhau. Sự thay đổi vị trí trong không gian của chất điểm gọi là chuyển vị. Chuyển vị Lagrand. Đối với vật thể nghiên cứu là các phần vật chất. Cần nghiên cứu các đại lợng vô hớng và đại lợng vectơ của chúng, nh mật độ , nhiệt độ, tốc độ thay đổi vị trí của vật thể, và sự thay đổi các giá trị đó trong quá trình từ hạt này sang hạt khác. Các đại lợng này là các hàm của thời gian, chúng có thuộc tính riêng. Chuyển vị của các chất điểm trong hệ toạ độ đề các có thể xác định, nếu biết 3 hàm số sau: x = x (X, Y, Z, t) y = y (X, Y, Z, t) (5.1a) z = z (X, Y, Z, t) Biểu thức 5.1a biểu diễn chuyển vị tại từng thời điểm t trong hệ toạ độ di động x, y, z. Tại thời điểm t = t o , các toạ độ của điểm vật chất của điểm M 0 là M 0 (X, Y, Z). Nếu toạ độ ban đầu của điểm X, Y, Z cố định, thời gian thay đổi, biểu thức (5.1a) biểu diễn quy luật chuyển động của điểm nghiên cứu. Nếu X, Y, 154 Z thay đổi, t cố định, biểu thức biểu diễn quỹ đạo các điểm trong không gian tại thời điểm đ cho. Biến chuyển vị viết theo Lagrand: = = = Z - t) Z, Y, (X, z t) Z, Y, (X, w Y - t) Z, Y, (X,y t) Z, Y, (X, v X - t) Z, Y, (X, x t) Z, Y, (X, u (5.1b) Chuyển vị Euler. Chuyển vị và biến dạng đợc biểu diễn trong không gian quan sát cố định, hay hệ toạ độ cố định đợc chứa đầy vật chất chuyển động: = = = t) z, y, (x, Z Z t) z, y, (x, Y Y t) z, y, (x, X X (5.2.a) Có nghĩa là, các toạ độ X, Y, Z là hàm của x, y, z và t. Nh vậy, toạ độ x, y, z và thời gian t là các biến độc lập, biến Euler. Các biểu diễn Euler cho phép theo dõi sự chuyển vị của các chất điểm đến vị trí ban đầu mà nó chiếm vị trí. Biến chuyển vị viết theo Euler: = = = t) z, y, X(x, -z t) z, y, w(x, t) z, y, X(x, -y t) z, y, v(x, t) z, y, X(x, - x t) z, y, u(x, (5.2.b) Lagrand đợc dùng trong nghiên cứu quy luật biến đổi của các đại lợng của các chất điểm riêng biệt, nh áp lực, tốc độ, nhiệt độ và các đại lợng khác. Còn Euler dùng nghiên cứu sự thay đổi của các đại lợng đó tại một điểm trong không gian. Ta cũng có thể chuyển đổi giữa 2 cách biểu diễn. Trong tài liệu này đặt trọng tâm sử dụng biểu diễn Euler, nghiên cứu quá trình biến dạng dẻo nhỏ. Bài toán biến dạng dẻo lớn, sử dụng biểu diễn Lagrand, mô tả quá trình chảy dẻo của vật liệu, sẽ đợc trình bày ở giáo trình tiếp sau. Bài toán biến dạng dẻo nhỏ yêu cầu gradien chuyển vị phải nhỏ hơn nhiều lần so với đơn vị, nh vậy các vi phân bậc cao và tích của chúng có thể bỏ qua. Nếu các gradien chuyển vị nhỏ thì các tenxơ biến dạng vô cùng nhỏ. Cách biểu diễn Euler trùng với cách biểu diễn Lagrand. Ta có thể dùng các khái niệm và các 155 quy luật, định luật của biến dạng đàn hồi để khảo sát bài toán dẻo. Trong nghiên cứu biến dạng dẻo nhỏ, chỉ nghiên cứu cấu hình ban đầu và cấu hình đang xét, không xét các cấu hình biến dạng đi qua. Nhng khi xét bài toán biến dạng lớn, không thể sử dụng đợc các quan hệ chuyển vị và biến dạng trong biến dạng đàn hồi, mà phải đi từ bài toán tốc độ dòng chảy với phơng pháp tiếp cận Lagrand, hoặc kết hợp Euler-Lagrand. Thí dụ, khi nghiên cứu chuyển vị của thanh có kẻ lới song song với trục toạ độ, trong biểu diễn Lagrand, sau biến dạng, các đờng kẻ không bị biến dạng; nhng trong biểu diễn Euler, các đờng kẻ bị biến dạng. 5.2. chuyển vị và biến dạng của phân tố Theo lý thuyết biến dạng, ngời ta cũng đa vào khái niệm biến dạng tuyến tính hay độ dn dài tơng đối và biến dạng trợt (góc). Cũng nh ứng suất, các giá trị dn dài tơng đối và biến dạng trợt phụ thuộc vào góc phơng vị của phân tố. Ta cũng có thể xét sự biến dạng tuyến tính và trợt của tất cả các phơng của phân khối, đi qua điểm khảo sát, để nghiên cứu đặc trng của biến dạng. Nh chơng trớc đ phân tích, để nghiên cứu trạng thái ứng suất của phần tử khối, cần xác định các đặc trng của quá trình thay đổi các thành phần của tenxơ biến dạng, tốc độ biến dạng và các tham số vật lý khác, không phụ thuộc vào các giá trị hiện tại. Để giải quyết bài toán biến dạng, có nhiều lý thuyết về biến dạng: lý thuyết biến dạng dẻo nhỏ, lý thuyết biến dạng dẻo lớn , lý thuyết chảy dẻo, lý thuyết biến dạng dẻo hữu hạn Cần xuất phát từ lý thuyết biến dạng dẻo chung giải cho trờng hợp sự biến dạng tại mỗi thời điểm của quá trình, trong biến dạng dẻo kim loại, một trong lý thuyết thờng dùng là lý thuyết biến dạng dẻo nhỏ. Giả sử vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, mỗi chất điểm chuyển dịch từ vị trí ban đầu sang vị trí khác. Nhng, vật thể biến dạng luôn nằm ở trạng thái cân bằng, không có chuyển vị của vật rắn. Nh vậy, sự chuyển vị của các chất điểm trong vật thể đợc coi là biến dạng của vật thể, từ đó có thể nghiên cứu quan hệ 156 ứng suất, biến dạng và tốc độ biến dạng của chúng dới dạng phơng trình vi phân. Vec tơ chuyển vị Trong bài toán phẳng, điểm P có toạ độ x,y, chuyển đến điểm P' có toạ độ. Vectơ chuyển vị u(x,y) có thể viết: u(x,y) = u(x, y) i + v(x,y) j (5.3a) Trong đó: u(x, y) và v(x,y) là hình chiếu của vectơ chuyển vị trong hệ toạ độ. Trong không gian 3 chiều, vectơ chuyển vị của P(x, y, z) u(x,y,z) = u(x,y,z) i + v(x,y,z) j + w(x,y,z) k. (5.3b) Ta có thể xác định các thành phần chuyển vị của điểm P theo 3 trục toạ độ u, v, w. u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) - là các hình chiếu của chuyển vị trên các trục toạ độ. Chuyển vị là dạng ma trận cột: u v w Hình 5.1 Vec tơ chuyển vị của chất điểm P trong mặt phẳng 157 Hình 5.2 Biến dạng của phần tử PQ dài s Xét trờng hợp toạ độ 2 chiều - bài toán phẳng (hình 5.2). Để xác định biến dạng của của một đoạn thẳng nhỏ PQ, nằm trên vật thể, nghiêng với trục toạ độ x một góc , có chiều dài s, trong hệ toạ độ phẳng. Điểm P có toạ độ (x, y), điểm Q có toạ độ (x + x, y + y). Theo quan hệ hình học ta đợc: cos = x / s ; sin = y /s (5.4) Trong đó thay đổi từ 0 đến 2. Giả thiết sau khi biến dạng, đoạn PQ chuyển đến vị trí P'Q', chiều dài PQ bị biến dạng và có chiều dài mới là S. Vậy biến dạng tơng đối của PQ đợc tính bằng biểu thức sau (theo cách biểu diễn Lagrand): 1= = = s S s sS PQ PQQP '' (5.5) Hay S = s (1 + ) (5.6) Xét trong điều kiện rất nhỏ so với đơn vị << 1, các kết quả tơng ứng lý thuyết biến dạng nhỏ. Từ hình (5.2) ta đợc: (S) 2 = (X) 2 + (Y) 2 hay (s) 2 = (x) 2 + (y) 2 (5.7) 158 Các thành phần chuyển vị song song với trục toạ độ của điểm PQ X = x + u Q - u P ; Y = y + v Q - v P (5.8) trong đó u P = u(x, y) ; ++= ++= = = )yy,xx(vv )yyx, u(x u ; y) v(x, v )y,x(uu Q Q P p (5.9) Nh vậy, nếu x0 , y 0, ta có thể thay các giá trị của u Q , u P, v Q , v P vào biểu thức (5.8) và cho xấp xỉ vi phân chuyển vị bằng chuỗi Taylor và đơn giản ta đợc: ++=++= ++=++= ) y v (y x v xy y v x x v yY y u y) x u (xy y u x x u xX 1 1 (5.10) Từ biểu thức tìm ứng suất, ta có thể viết: (S) 2 = (s) 2 (1+ ) 2 = (X) 2 + (Y) 2 (5.11) Thay (5.10) vào (5.11) và bỏ qua các hạng thức bậc cao, có giá trị thành phần chuyển vị nhỏ, và rút gọn ta đợc: ) y v ()y( y v yx y u yx ) x u ()x()()s()()s( 2122 21211 2 2222 ++++ ++=+=+ (5.12) Nếu dùng biểu thức (5.7) đem chia cho (s) 2 và kết hợp với (5.4) ta có thể tìm đợc biểu thức để xác định biến dạng . +++= +++= 22 22 sin y v cossin) x v y u (cos x u ) s y ( y v s y s x ) x v y u () s x ( x u (5.13) 159 Phơng trình (5.13) dùng để xác định biến dạng của đoạn thẳng vô cùng nhỏ PQ, nằm nghiêng một góc so với trục x. Trong (5.13) có đạo hàm riêng của chuyển vị theo x và y. Ta có thể định nghĩa: + = = = x v y u y u x u xy y x (5.14) Các phơng trình (5.14) là các thành phần biến dạng hay quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị. Vậy, biểu thức (5.13) có thể viết: 22 sincossincos yxyx ++= (5.15) Xét các trờng hợp: Nếu góc = 0 có nghĩa PQ song song với x, ta đợc biến dạng theo x: x x u x = ; Nếu góc = 90 0 có nghĩa PQ song song với y, ta đợc biến dạng theo y: y u y = ; các biến dạng này do ứng suất pháp gây nên. Hình 5.3 Góc vuông SPR sau biến dạng góc (trợt) xy các biến dạng thẳng biến dạng góc 160 Biến dạng xy là biến dạng trợt, do ứng suất tiếp gây nên, biểu diễn sự thay đổi góc giữa hai đoạn thẳng vô cùng nhỏ. Xét 2 đoạn thẳng PR và PS, vuông góc với nhau và song song với toạ độ x,y. Có nghĩa góc giữa PR và x là = 0, còn góc giữa PS và x là = 90 0 . Xét các thành phần biến dạng của các điểm P, R và S hình (5.3 ). Ta có: u P = u(x, y) v P = v(x, y) u R = u(x + x, y) v R = v(x + x, y) u S = u(x, y + y) v S = v(x, y +y) Vec tơ P'R' có thể biểu diễn dới dạng: P'R' = (x + u R - u P )i + (v R - v P )j (5.16) trong đó, khi x > 0 , có thể viết dới dạng: j x v xi) x u (x'R'P ++= 1 (5.17) cũng nh vậy, ta đợc: j) y v (yi y u y'S'P ++= 1 (5.18) Các đoạn PR và PS còn có biến dạng xoay, góc giữa 2 đoạn sau biến dạng là /2 - xy . Biết rằng, nhân vô hớng 2 vectơ đơn vị sẽ cho cosin của góc giữa 2 vectơ đó. Vậy, ta có thể viết: xyxyxy sin)cos( 'S'P 'S'P . 'R'P 'R'P == 2 (5.19) Trong đó, xy có giá trị rất nhỏ, sao cho sin = . Nếu ta đem vế phải của tích vô hớng trên đem chia cho các thành phần chuyển vị và bỏ đi các giá trị biến dạng nhỏ so với đơn vị (1): 161 | P'R'| = x (1 + x ) |P'S'| = y(1 + y ) Từ đó ta đợc: x v y u xy += (5.20) Nh vậy, giá trị biến dạng xy dùng để xác định biến dạng trợt của một góc vuông có cạnh song song với các trục toạ độ x và y, đó là biến dạng trợt trong mặt phẳng x,y. Xét trong hệ toạ độ 3 chiều: Xét chuyển vị của MN trong không gian 3 chiều, sau khi chuyển vị, M chuyển đến M' và N chuyển đến N'. Cho u, v, w là các thành phần chuyển vị của M và u', v', w' là các thành phần chuyển vị của N theo 3 trục toạ độ x, y, z. Cũng nh trên, cho vật thể biến dạng đẳng hớng, đồng đều và liên tục, và N rất gần M, nên, có thể dùng chuyển vị của M để biểu diễn chuyển vị của N, trong hệ toạ độ 3 chiều: +++= +++= +++= dz z w dy y w dx x w ww dz z v dy y v dx x v vv dz z u dy y u dx x u uu (5.21) Nếu MN song song với x, vậy dy= dz = 0. Cho nên: += += += dx x w ww dx x v vv dx x u uu (5.22) [...]... biến dạng theo các hớng bằng không & & & x + y + z =0; (5.81) Ta cũng có thể tìm đợc trục chính của tốc độ biến dạng trên đó chỉ có tốc độ biến dạng đờng, không có biến dạng trợt; tốc độ biến dạng trợt chính & & 12,& 23 ,& 31 , tốc độ biến dạng 8 mặt &0 ; cờng độ tốc độ biến dạng trợt i , & cờng độ tốc độ biến dạng i 175 5.5 Biến dạng đồng nhất Trong các phơng trình (5.41) các th nh phần biến dạng. .. (5 .72 ), (5 .72 a) biểu diễn quan hệ giữa biến dạng d i tuyến tính v biến dạng trợt Nếu biết biến dạng d i ta có thể tính đợc biến dạng trợt v ngợc lại 5.4 Tốc độ chuyển vị v tốc độ biến dạng Trong quá trình biến dạng các điểm vật chất của vật thể biến dạng luôn chuyển động sao cho khoảng cách giữa chúng thay đổi v kèm theo sự biến dạng Khoảng cách giữa các điểm vật chất thay đổi c ng nhanh tốc độ biến dạng. .. biến biến dạng Các bất biến biến dạng cũng có ý nghĩa nh các bất biến ứng suất c Đối với trạng thái biến dạng, ta cũng có thể tìm đợc 3 trục chính, trực giao với nhau Mặt vuông góc với trục chính gọi l mặt chính Trên mặt chính không có biến dạng trợt, chỉ có biến dạng d i Biến dạng theo phơng trục chính gọi l biến dạng chính, biểu diễn bằng: 1, 2, 3 Các bất biến biến dạng: E1 = 1 + 2 + 3 1 67 E2 = 1... v biến dạng d i i Ta cũng có thể dùng vòng tròn Mo biến dạng để biểu diễn mối quan hệ giữa các biến dạng, với các toạ độ l v 1/2 Từ vòng tròn Mo có thể xác định các biến dạng chính 1, 2, 3, v các biến dạng trợt lớn nhất max = 13 = 1 - 3, 23 = 2 - 3, 12 = 1 - 2 Khi biến dạng dẻo, thể tích vật biến dạng không đổi, tenxơ biến dạng l tenxơ lệch, vì vậy trục luôn cắt vòng tròn Mo Khi nghiên cứu biến dạng. .. độ biến dạng đợc xác định nh đạo h m của biến dạng theo thời gian Thứ nguyên của tốc độ chuyển vị l m/s (mm/s), còn thứ nguyên của tốc độ biến dạng l 1/s ( s-1) Các th nh phần của tốc độ biến dạng cũng có thể biểu diễn bằng một tenxơ tốc độ biến dạng & x &= T 1 & xy 2 & y 1 & xz 2 1 yz 2 & z (5.80) Khi biến dạng dẻo, thể tích vật thể biến dạng không đổi, tenxơ tốc độ biến dạng. .. khối trớc biến dạng có thể tính: V0 = dx dy dz sau biến dạng: V = (dx + dx)(dy + dy)(dz + dz) = V0 (1 + x)(1 + y)(1 + z) V = V - V0 V0(x + y + z) Biến dạng thể tích tơng đối: = V/V = x + y + z = 1 + 2 + 3 = 3 0 0 l biến dạng d i tơng đối trung bình Trong quá trình biến dạng dẻo kim loại, thể tích thay đổi cũng rất nhỏ Thực tế cho biết, khi biến dạng dẻo kim loại, vật liệu đúc, tổ chức kim loại có thay... thái biến dạng, chỉ có một nhóm biến dạng chính Nói chung, trong quá trình biến dạng, phơng của biến dạng chính trùng với phơng của ứng suất chính, từng đôi một Nếu ứng suất chính: 1 > 2 >3 thì 1 > 2 >3 (5.49) d Biến dạng trợt lớn nhất l biến dạng trên mặt song song với một trục v cắt 2 trục khác cùng một góc 450 Biến dạng trợt lớn nhất đợc biểu diễn: 12, 23, 31 v đợc xác định qua giá trị của biến dạng. .. nhau phần hệ số Biến dạng chính d i có quan hệ với nhau: Trong trạng thái biến dạng phẳng: 3 = - 1 v 2 = 0 Trong kéo nén đơn (5. 57) 2 = 3 = - 0,5 1 (5.58) 1 l biến dạng d i lớn nhất về giá trị tuyệt đối Nếu thay số trên v o công thức tính biến dạng 8 mặt, ta cũng thấy: giá trị của biến dạng trợt 8 mặt cũng giao động trong khoảng 0,816~0,941 của biến dạng trợt lớn nhất h Trạng thái biến dạng phẳng, cũng... vật biến dạng không đổi, tenxơ biến dạng l tenxơ lệch, vì vậy trục luôn cắt vòng tròn Mo Khi nghiên cứu biến dạng v tốc độ biến dạng trong biến dạng dẻo, cần thấy rõ các th nh phần biến dạng đều Hình 5.5 Vòng Mo biến dạng 170 thuộc biến dạng dẻo nhỏ Trong khi xác định biến dạng ta đ bỏ qua th nh phần đạo h m bậc 2 Giá trị chính xác của x phải l : u 1 u v w x = + + + x 2 x ... phần biến dạng không phụ thuộc v o 1 trục toạ độ, chúng giữ nguyên không đổi Trong mặt vuông góc với trục toạ độ, các biến dạng trợt bằng không v ứng suất pháp bằng nửa tổng 2 ứng suất pháp khác : 2 = 1/2(1+3) Trong trạng thái biến dạng phẳng: cờng độ biến dạng trợt i bằng biến dạng trợt chính lớn nhất i = 1 cờng độ biến dạng d i (5.59a) i = 1,1551 (5.59b) Trong trờng hợp kéo nén đơn: cờng độ biến dạng . biến dạng dẻo nhỏ, lý thuyết biến dạng dẻo lớn , lý thuyết chảy dẻo, lý thuyết biến dạng dẻo hữu hạn Cần xuất phát từ lý thuyết biến dạng dẻo chung giải cho trờng hợp sự biến dạng tại mỗi thời. biến dạng, tốc độ biến dạng và các tham số vật lý khác, không phụ thuộc vào các giá trị hiện tại. Để giải quyết bài toán biến dạng, có nhiều lý thuyết về biến dạng: lý thuyết biến dạng dẻo. dạng là tenxơ lệch, vì vậy trục luôn cắt vòng tròn Mo. Khi nghiên cứu biến dạng và tốc độ biến dạng trong biến dạng dẻo, cần thấy rõ các thành phần biến dạng đều thuộc biến dạng dẻo