THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ ĐỨC DUY PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH Hà Nội – Năm 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm tuần hồn phản tuần hồn cộng tính 1.2 Biểu diễn số lớp hàm tuần hoàn phản tuần hoàn Phương trình hàm sai phân bậc 2.1 11 Hàm số xác định phép biến đổi tịnh tiến đồng dạng 11 2.1.1 Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến 11 2.1.2 Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng 13 2.2 Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d 16 2.3 Hàm số xác định phép biến đổi phân tuyến tính 19 2.4 Ví dụ áp dụng 22 2.5 Bài tập 24 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai 3.1 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 3.2 25 25 Phương trình với hàm số tuần hồn phản tuần hồn nhân tính 34 3.3 Ví dụ áp dụng 45 3.4 Bài tập 48 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 4.1 50 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 4.1.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với ba nghiệm đơn 4.1.2 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với hai nghiệm đơn 4.1.3 53 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với nghiệm bội ba 4.2 50 57 Phương trình hàm sai phân tuyến tính khơng bậc ba 64 4.3 Ví dụ áp dụng 65 4.4 Bài tập 68 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Sai phân kiến thức quan trọng Toán học, có ứng dụng cao khoa học ngành kỹ thuật (Q trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu sinh học ) Trong đó, phương trình hàm sai phân mảng kiến thức khó, chưa đề cập nhiều Hầu hết kiến thức tiếp cận em học sinh trường chun Đây dạng tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức giải kiến thức phương trình hàm kiến thức sai phân Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phương trình hàm sai phân, phân loại dạng phương trình với tổng hợp phương pháp giải đóng góp cho việc định hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh Luận văn chia làm bốn chương với nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức Lý thuyết phương trình hàm, nhằm áp dụng cho nội dung Cịn có ví dụ minh họa cho đơn vị kiến thức Chương Phương trình hàm sai phân bậc Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh bới phép biến đổi hình học phép đồng dạng, phép tịnh tiến Chương Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com bậc hai với vế phải hàm số hàm tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính, nhân tính Chương Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba Nội dung xét phương trình hàm sai phân bậc ba với nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương trình khơng Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình TS Lê Đình Định - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội với nỗ lực thân, giúp đỡ động viên thầy cô, đồng nghiệp bạn bè Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, tận tâm dạy suốt thời gian qua Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô trường THPT Yên Viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành khóa học nghiên cứu luận văn Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ tác giả Cuối cùng, cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp từ thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để hồn thiện Hà Nội, Tháng 09 năm 2016 Tác giả Đỗ Đức Duy TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f(x) gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a(a>0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M (1.1) Cho f (x) hàm tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng tuần hồn với chu kỳ bé T Ví dụ 1.1.1 Tồn hay không tồn hàm số f (x) khác số, tuần hoàn R khơng có chu kỳ sở Lời giải Xét hàm Dirichle f (x) = x ∈ Q x ∈ /Q Khi f (x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a ∈ Q+ tùy ý Vì Q+ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Ví dụ 1.1.2 Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hồn M có chu kỳ a b ∈ Q Chứng minh F (x) = f (x) + g(x) G(x) = f (x)g(x) hàm tuần hoàn M sở a b với (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N + , (m, n) = cho a b = m n Đặt T = na = mb Khi đó: F (x + T ) = f (x + nx) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M (1.2) Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) hàm tuần hoàn M Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f (x) gọi phản tuần hồn cộng tính chu kỳ b(b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M (1.3) Nếu f (x) hàm phản tuần hồn chu kỳ b0 M mà khơng hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b0 M b0 gọi chu kỳ sở của hàm phản tuần hoàn f (x) M Ví dụ 1.1.3 Chứng tỏ hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M Lời giải Theo giả thiết, ∃b > cho ∀x ∈ M x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ∀x ∈ M x ± 2b ∈ M và: f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Vậy f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b M Ví dụ 1.1.4 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M f (x) có dạng: f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Ví dụ 1.1.5 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b M f (x) có dạng: f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M Lời giải Thật vậy, ta có: f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −(g(x + b) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M x ± b ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Ngược lại, với f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M , chọn g(x) = − 21 f (x) g(x) hàm tuần hồn chu kỳ 2b M 1 g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − (− f (x)) 2 1 = − (−f (x)) + f (x) = f (x), ∀x ∈ M 2 1.2 Biểu diễn số lớp hàm tuần hoàn phản tuần hồn Bài tốn 1.2.1 Cho số b, c ∈ R\{0} d ∈ R Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R (1.4) Lời giải i) Trường hợp c = Khi (1.4) có dạng f (x + b) = f (x) + d (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 d d ⇔ f (x + b) − (x + b) = f (x) − x, ∀x ∈ R b b hay d g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − x, ∀x ∈ R b Vậy d f (x) = g(x) + x b g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + b) = g(x), ∀x ∈ R ii) Trường hợp c 6= Đặt f (x) = g(x) + d 1−c thay vào (1.4) ta g(x + b) = cg(x) Đặt x g(x) = |c| b h(x) h(x + b) = h(x) c > −h(x) c < (1.5) Vậy f (x) = x d + |c| b h(x) 1−c Bài toán 1.2.2 Cho h(x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.6) Lời giải Ta có h(x) = (x + a) − x (x + a)h(x + a) xh(x) h(x) = − , ∀x ∈ R a a a Khi viết (1.6) dạng f (x + a) − f (x) = (x + a)h(x + a) xh(x) − a a (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 hay g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − xh(x) a Vậy xh(x) a g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R f (x) = g(x) + Bài toán 1.2.3 Cho h(x) hàm phản tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.7) Lời giải Do h(x) hàm phản tuần hoàn nên h(x + a) = −h(x) h(x) h(x + a) h(x) = − 2 h(x + a) −h(x) =− − , ∀x ∈ R 2 Khi viết (1.7) dạng f (x + a) − f (x) = −h(x + a) −h(x) − 2 hay g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) + h(x) Vậy h(x) g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R f (x) = g(x) − Bài toán 1.2.4 Cho b 6= −1 h(x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.8) (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Ví dụ 3.3.2 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + 6) − 2f (x + 3) + f (x) = 0, ∀x ∈ R (1) Lời giải Phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + = có nghiệm kép λ = Ta có: (1) ⇔ f (x + 6) − f (x + 3) == f (x + 3) − f (x), ∀x ∈ R Ta đặt g(x) = f (x + 3) − f (x), ∀x ∈ R Khi g(x + 3) = g(x), ∀x ∈ R Ta có g(x) = (x+3)−x g(x) = x+3 g(x f (x + 3) − f (x) = f (x) = + 3) − x3 g(x), ∀x ∈ R nên x+3 x g(x + 3) − g(x), ∀x ∈ R 3 x+3 x g(x + 3) = f (x) − g(x) 3 ⇔ h(x + 3) = h(x), ∀x ∈ R ⇔ f (x + 3) − Với h(x) = f (x) − x3 g(x), ∀x ∈ R Vậy f (x) = h(x) + x3 g(x), ∀x ∈ R h(x), g(x) hàm tuần hồn cộng tính chu kì R tùy ý Ví dụ 3.3.3 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (x + 2) − 8f (x + 1) + 15f (x) = 16 (3.39) Lời giải Đặt f (x) = g(x) + C (3.39) ⇔ g(x + 2) − 8g(x + 1) + 15g(x) + 8C = 16 Chọn C = ⇒ g(x + 2) − 8g(x + 1) + 15g(x) = Xét phương trình đặc trưng: λ2 − 8λ + 15 = 46 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 ∆ = > ⇒ λ1 = 3; λ2 = Áp dụng công thức nghiệm với ∆ > ta có g(x) = x [5 h1 (x) − 3x h2 (x)] x [5 h1 (x) − 3x h2 (x)] + 2 Với h1 (x) h2 (x) hai hàm tùy ý thỏa mãn: h1 (x + 1) = h1 (x); h1 : R → R h2 (x + 1) = h2 (x); h2 : R → R ⇒ f (x) = Ví dụ 3.3.4 Cho g(x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ 3, (g(3x) = g(x)); h(x) hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ 3, (h(3x) = −h(x)) Xác định tất hàm f : R∗ → R cho: f (9x) − 7f (3x) + 10f (x) = 5g(x) + 21h(x) Lời giải Xét phương trình đặc trưng λ2 − 7λ + 10 = ⇔ λ1 = 2; λ2 = Áp dụng tốn tổng qt ta có f (x) = h(x) g(x) log3 + + |x| h1 (x) − |x|log3 h2 (x) 18 h1 (x), h2 (x) hai hàm tùy ý thỏa mãn h1 (3x) = h1 (x); h2 (3x) = h2 (x) Ví dụ 3.3.5 Cho hàm g(x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ − 31 , (g(− 13 ) = g(x)); h(x) hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ − 31 , (h(− 13 ) = −h(x)) Xác định tất hàm f : R\{0} → R cho 1 f ( x) + 2f (− x) + f (x) = 4g(x) − 7h(x) + 13 Lời giải Đặt g1 (x) = 4g(x) + 13 ⇒ g1 (− 31 ) = g1 (x) 47 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Xét phương trình đặc trưng: λ2 + 2λ + = Có ∆ = ⇒ λ1 = λ2 = −1 α = 2, áp dụng tốn tổng qt ta có: f (x) = 4g(x) + 13 ln9ln|3x| − (ln|x|)2 ln|3x|g1 (x) − 7h(x) + + g2 (x) 2(ln3)2 ln3 g1 (x), g2 (x) hàm tùy ý thỏa mãn: 1 g1 (− x) = −g1 (x); g2 (− x) = −g2 (x) 3 Ví dụ 3.3.6 Cho hàm g(x) hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ −e, (g(−ex) = g(x)); h(x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ −e, h(−ex) = −h(x)) Xác định tất hàm f : R\{0} → R cho √ f (e2 x) − 3f (−ex) + 4f (x) = h(x) − 3g(x) Lời giải √ Xét phương trình đặc trưng λ2 − 3λ + = Có ∆ = −1 < phương trình có nghiệm λ1 = √ − i; λ2 = √ + i; r = |λ1 | = |λ2 | = 2; q = √ π cosϕ = ⇒ϕ= Áp dụng tốn tổng qt ta có h(x) 3g(x) πln|x| πln|x| √ − √ + 2ln|x| cos f (x) = n(x) + sin m(x) 6 5+2 5−2 m(x), n(x) hai hàm thỏa mãn m(−ex) = m(x); n(−ex) = n(x) 3.4 Bài tập Bài toán 3.4.1 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + 4) − 4f (x + 2) − 21f (x) = 0, ∀x ∈ R 48 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Bài tốn 3.4.2 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + 8) − 6f (x + 4) + 9f (x) = 0, ∀x ∈ R Bài toán 3.4.3 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện 4f (x + 5) + 20f (x + 1) + 25f (x − 3) = 2010, ∀x ∈ R Bài tốn 3.4.4 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện √ √ √ 2x + f + x = 2f + x , ∀x ∈ R f Bài tốn 3.4.5 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện √ f (x + 6) + 3f (x + 3) + 4f (x) = 0, ∀x ∈ R 49 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Chương Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 4.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 4.1.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với ba nghiệm đơn Việc giải phương trình hàm sai phân bậc hai khó khăn phức tạp, việc giải phương trình hàm sai phân bậc ba gặp khó khăn nhiều Trong chương ta nghiên cứu toán tổng quát với phương pháp tương tự Cuối chương có ví dụ giải chi tiết tập đề xuất để vận dụng khắc sâu nội dung Bài toán 4.1.1 Cho a ∈ R\{0}, α, β, γ ∈ R, γ 6= Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + 3a) + αf (x + 2a) + βf (x + a) + γf (x) = (4.1) Phương trình dạng (4.1) gọi phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba Lời giải Xét phương trình λ3 + αλ2 + βλ + γ = (4.2) (Gọi phương trình đặc trưng phương trình (4.1)) Trường hợp phương trình (4.2) có ba nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 50 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Áp dụng định lý Viete, ta có: λ1 + λ2 + λ3 = −α λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 = β λ1 λ2 λ3 = −γ Thay vào (4.1) ta f (x+3a)−(λ1 +λ2 λ3 )f (x+2a)+(λ1 λ2 +λ2 λ3 +λ3 λ1 )f (x+a)−λ1 λ2 λ3 f (x) = (4.3) Phương trình (4.3) tương đương f (x + 3a) − λ1 f (x + 2a) − (λ2 + λ3 )f (x + 2a) + λ1 (λ2 + λ3 )f (x + a) + λ2 λ3 (f (x + a) − λ1 f (x)) = Hay f (x + 3a) − λ1 f (x + 2a) − (λ2 + λ3 )(f (x + 2a) − λ1 f (x + a)) + λ2 λ3 (f (x + a) − λ1 f (x)) = (4.4) Đặt f1 (x) = f (x + a) − λ1 f (x) (4.5) Phương trình (4.4) trở thành f1 (x + 2a) − (λ2 + λ3 )f1 (x + a) + λ2 λ3 f1 (x) = ⇔ f1 (x + 2a) − λ2 f1 (x + a) = λ3 [f1 (x + a) − λ2 f1 (x)] (4.6) Đặt: g1 (x) = f1 (x + a) − λ2 f1 (x) Phương trình (4.6) trở thành g1 (x + a) = λ3 g1 (x) (4.7) x Đặt g1 (x) = |λ3 | a h1 (x) Trong đó: h1 (x + a) = h1 (x) λ3 > −h1 (x) λ3 < 51 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Khi ta có x f1 (x + a) − λ2 f (x) = |λ3 | a h1 (x) (4.8) Đổi vai trò λ2 λ3 biến đổi tương tự ta x f1 (x + a) − λ3 f (x) = |λ2 | a h2 (x) (4.9) Trong đó: h2 (x + a) = h2 (x) λ3 > −h2 (x) λ2 < Trừ (4.8) cho (4.9) ta x x (λ3 − λ2 )f1 (x) = |λ3 | a h1 (x) − |λ2 | a h2 (x) nên f1 (x) = x x |λ3 | a h1 (x) − |λ2 | a h2 (x) λ3 − λ2 Theo (4.5) ta x x |λ3 | a h1 (x) − |λ2 | a h2 (x) λ3 − λ2 Đổi vai trò λ1 , λ2 , λ3 làm ta x x |λ1 | a k1 (x) − |λ3 | a k2 (x) f (x + a) − λ2 f (x) = λ1 − λ3 Trừ (4.10) cho (4.11) ta x x 1 f (x) = |λ3 | a h1 (x) − |λ2 | a h2 (x) λ2 − λ1 λ3 − λ2 x x 1 − |λ1 | a k1 (x) − |λ3 | a k2 (x) λ2 − λ1 λ1 − λ3 f (x + a) − λ1 f (x) = (4.10) (4.11) (4.12) Trong h1 (x) λ3 > −h1 (x) λ3 < h2 (x) λ2 > −h2 (x) λ2 < k1 (x) λ1 > −k1 (x) λ1 < k2 (x) λ3 > −k2 (x) λ3 < h1 (x + a) = h2 (x + a) = k1 (x + a) = k2 (x + a) = 52 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 4.1.2 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với hai nghiệm đơn Trường hợp phương trình (4.2) có hai nghiệm phân biệt λ1 = λ2 6= λ3 Khi đó: 2λ1 + λ3 = −α λ2 + 2λ1 λ3 = β 12 λ1 λ3 = −γ Thay vào (4.1) ta f (x + 3a) − (2λ1 + λ3 )f (x + 2a) + (λ21 + 2λ1 λ3 )f (x + a) − λ21 λ3 f (x) = ⇔ f (x + 3a) − λ1 f (x + 2a) − (λ1 + λ3 )(f (x + 2a) − λ1 f (x + a)) + λ1 λ3 [f (x + a) − λ1 f (x)] = (4.13) Đặt g(x) = f (x + a) − λ1 f (x) (4.14) Phương trình (4.13) trở thành g(x + 2a) − (λ1 + λ3 )g(x + a) + λ1 λ3 g(x) = Suy g(x) = x x |λ3 | a h1 (x) − |λ1 | a h2 (x) λ3 − λ1 Trong h1 (x), h2 (x) hai hàm số tùy ý thỏa mãn h (x) λ3 > h1 (x + a) = −h1 (x) λ3 < h2 (x + a) = h2 (x) λ1 > −h2 (x) λ1 < Do đó, theo (4.14) ta f (x + a) − λ1 f (x) = x x |λ3 | a h1 (x) − |λ1 | a h2 (x) λ3 − λ1 (4.15) 53 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Trường hợp h1 (x) hàm phản tuần hoàn, h2 (x) hàm tuần hồn Trước hết ta tìm nghiệm phương trình f (x + a) − λ1 f (x) = ⇔ (λ3 − λ1 )f (x + a) x a − x λ1a h2 (x) λ3 − λ1 (λ3 − λ1 )f (x) x−a λ1 (4.16) = h2 (x) λ1 a Khi f1 (x + a) − f1 (x) = h2 (x) (4.17) f1 (x) = (λ3 − λ1 )f (x) x−a λ1 a Suy xh2 (x) a với g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x) Do f1 (x) = g1 (x) + x−a x−a λ a g1 (x) λ1 a xh2 (x) f (x) = + λ3 − λ1 (λ3 − λ1 )a Ta có x−a λ1 a x f ∗ (x) = h2 (x) (λ3 − λ1 )a nghiệm riêng phương trình (4.16) Thay vào ta x x−a x λ1a x+a λ1 a x λ1a h2 (x + a) − λ1 h2 (x) = h2 (x) (4.18) λ3 − λ1 a λ3 − λ1 a λ3 − λ1 Cộng vế với vế (4.15) (4.16) ta ! x x−a λ1 a (x + a)λ1a x h2 (x + a) − λ1 f (x) + f (x + a) + h2 (x) a(λ3 − λ1 ) λ3 − λ1 a x (−λ3 ) a = h1 (x) λ3 − λ1 Đặt (4.19) x−a λ1 a x q(x) = f (x) + h2 (x) (λ3 − λ1 )a 54 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Phương trình (4.19) trở thành x (−λ3 ) a q(x + a) − λ1 q(x) = h1 (x) λ3 − λ1 x (−λ3 ) a (λ3 − λ1 )h1 (x) = ⇔q(x + a) − λ1 q(x) − (λ3 − λ1 )2 x+a x (−λ3 ) a (−λ3 ) a ⇔q(x + a) − h1 (x + a) − λ1 (q(x) − h1 (x)) = (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )2 ⇔q1 (x + a) − λ1 q1 (x) = (4.20) x Trong q1 (x) = q(x) − (−λ3 ) a (λ3 −λ1 )2 h1 (x) Phương trình (4.20) có nghiệm x q1 (x) = λ1a r(x), r(x + a) = r(x) Do x−a x λ1 a x (−λ3 ) a f (x) = λ1 r(x) + h (x) − h2 (x) (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )a x a Trường hợp h1 (x) hàm tuần hoàn h2 (x) hàm phản tuần hồn Phương trình f (x + a) − λ1 f (x) = − x (−λ1 ) a h2 (x) λ3 − λ1 có nghiệm riêng x−a (−λ1 ) a (x − a) f (x) = h2 (x) (λ3 − λ1 )a ∗ Do x x−a x (−λ1 ) a x (−λ1 ) a (x − a) (−λ1 ) a x h2 (x + a) − λ1 h2 (x) = − h2 (x) (λ3 − λ1 )a (λ3 − λ1 )a (λ3 − λ1 )a (4.21) Cộng vế với vế (4.15) (4.21), ta x a f (x + a) + x−a a ! (−λ1 ) x (−λ1 ) (x − a) h2 (x + a) − λ1 f (x) + h2 (x) (λ3 − λ1 )a (λ3 − λ1 )a x λ3a = h1 (x) λ3 − λ1 (4.22) 55 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Đặt x−a (−λ1 ) a (x − a) f1 (x) = f (x) + h2 (x) (λ3 − λ1 )a Phương trình (4.22) trở thành x λ3a f1 (x + a) − λ1 f1 (x) = h1 (x) λ3 − λ1 x+a x λ3 a λ3a ⇔f1 (x + a) − h1 (x + a) − λ1 (f1 (x) − h1 (x)) = (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )2 ⇔q1 (x + a) − λ1 q1 (x) = (4.23) x Trong q1 (x) = f1 (x) − λ3a (λ3 −λ1 )2 h1 (x) Phương trình (4.23) có nghiệm x q1 (x) = (−λ1 ) a r(x), r(x + a) = −r(x) Do x x−a λ3a (−λ1 ) a (x − a) h (x) − h2 (x) f (x) = (−λ1 ) r(x) + (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )a x a Trường hợp h1 (x) h2 (x) hàm phản tuần hoàn Lập luận tương tự, ta x−a x λ3a λ1 a x f (x) = λ1 r(x) + h (x) − h2 (x) (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )a x a với r(x) hàm tùy ý thỏa mãn r(x + a) = r(x) Trường hợp h1 (x) h2 (x) hàm phản tuần hoàn Lập luận tương tự, ta x x−a (−λ3 ) a (−λ1 ) a x f (x) = (−λ1 ) r(x) + h (x) − h2 (x) (λ3 − λ1 )2 (λ3 − λ1 )a x a 56 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 4.1.3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với nghiệm bội ba Phương trình (4.1) viết lại α2 α3 f (x + a) + f (x) = 27 i 2α h α α f (x + 2a) + f (x + a) ⇔f (x + 3a) + f (x + 2a) + 3 i h α α + f (x + a) + f (x) = (4.24) f (x + 3x) + αf (x + 2a) + Đặt g(x) = f (x + a) + α (4.25) Khi phương trình (4.24) trở thành α2 2α g(x + a) + g(x) = g(x + 2a) + (4.26) Xét phương trình đặc trưng 2α α2 λ + λ+ =0 có nghiệm kép λ1 = λ2 = − α3 Trường hợp − α3 = ⇔ α = −3 Khi g(x) = f (x + a) − f (x) Phương trình (4.26) trở thành g(x + 2a) − 2g(x + a) + g(x) = ⇔g(x + 2a) − g(x + a) = g(x + a) − g(x) (4.27) Khi g(x + a) − g(x) = q(x) với q(x + a) = q(x) Suy x g(x) = h(x) + q(x) a 57 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 với h(x) hàm tùy ý thỏa mãn h(x + a) = h(x) Khi f (x + a) − f (x) = h(x) + xq(x) a xq(x) = h(x) a (x + a)2 q(x + a) − x2 q(x) − a2 q(x) = h(x) ⇔f (x + a) − f (x) − a 2a (x + a)2 q(x + a) x2 q(x) q(x) ⇔f (x + a) − f (x) − + + = h(x) 2a2 2a2 (x + a)2 q(x + a) x2 q(x) + ⇔f (x + a) − f (x) − 2a2 2a2 (x + a)q(x + a) xq(x) + − = h(x) 2a 2a (x + a)2 q(x + a) (x + a)q(x + a) ⇔f (x + a) − + 2a2 2a x2 q(x) xq(x) + = h(x) − f (x) − 2a2 2a (4.28) ⇔f (x + a) − f (x) − Đặt p(x) = f (x) − x2 q(x) xq(x) + 2a2 2a Khi (4.28) trở thành p(x + a) − p(x) = h(x) Ta xh(x) a Trong k(x) hàm tùy ý thỏa mãn k(x + a) = k(x) Suy xh(x) x2 − ax f (x) = k(x) + + q(x) a 2a2 Trường hợp − α3 = −1 ⇔ α = Khi g(x) = f (x + a) + f (x) p(x) = k(x) + 58 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Phương trình (4.26) trở thành g(x + 2a) + 2g(x + a) + g(x) = ⇔g(x + 2a) + g(x + a) = −[g(x + a) + g(x)] (4.29) Khi g(x + a) + g(x) = q(x) với q(x + a) = −q(x) Suy (x − a) q(x) a với h(x) hàm tùy ý thỏa mãn h(x + a) = −h(x) Ta có g(x) = h(x) − (x − a)q(x) a (x − a)q(x) ⇔f (x + a) + f (x) + = h(x) a (x + a)2 q(x + a) + x2 q(x) + a2 q(x) ⇔f (x + a) + f (x) + a −2a xq(x + a) (x − a)q(x) − − − = h(x) a a (x + a)2 q(x + a) x2 q(x) q(x) ⇔f (x + a) + f (x) − − − 2a2 2a2 xq(x + a) (x − a)q(x) + + = h(x) a a (x + a)2 q(x + a) x2 q(x) xq(x + a) ⇔f (x + a) + f (x) − − + 2a2 2a2 a (x − a)q(x) xq(x + a) (x − a)q(x) + − − − = h(x) a a a f (x + a) + f (x) = h(x) − ⇔ f (x+a)+ 3ax − (x + a)2 3a(x − a) − x2 q(x+a)+f (x)+ q(x) = h(x) 2a 2a2 (4.30) Đặt p(x) = f (x) + 3a(x − a) − x2 q(x) 2a2 59 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Khi (4.30) trở thành p(x + a) + p(x) = h(x) Ta (x − a)h(x) a Trong k(x) hàm tùy ý thỏa mãn k(x + a) = −k(x) Do p(x) = k(x) − (x − a)h(x) 3a(x − a) − x2 f (x) = k(x) − − q(x) a 2a2 Trường hợp α < 0, α 6= −3 hay α 6= ±1 Theo (4.26) ta đặt g(x + a) + α g(x) = h(x) Khi α h(x + a) = − h(x) Giải phương trình ta α xa h(x) = − q(x) q(x + a) = q(x) Suy α α xa g(x + a) − − g(x) = − q(x) 3 g(x + a) α g(x) ⇔ x − − x = q(x) −α a −α a ⇔ g(x + a) g(x) q(x) x = x+a − − α3 − α3 a − α3 a (4.31) Đặt g(x) q(x) = q1 (x) x = g1 (x); − α3 − α3 a Khi (4.31) ⇔ g1 (x + a) − g1 (x) = q1 (x) 60 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.sai.phan.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 21/12/2023, 03:47
Xem thêm: