THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NHÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị ii 1.1 Hàm cộng tính 1.2 Giá trị trung bình Lagrange 1.3 Tỷ sai phân 1.4 Giá trị trung bình Pompeiu 14 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange 16 2.1 Phương trình hàm với cặp biến tự 16 2.2 Phương trình hàm với biến tự 27 2.3 Phương trình hàm với n biến tự 31 2.4 Một số ví dụ áp dụng 33 Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu 39 3.1 Các phương trình dạng Stamate 39 3.2 Phương trình Kuczma 44 3.3 Phương trình chuyển động theo quy tắc Simpson 50 3.4 Một số mở rộng 59 3.5 Một số ví dụ áp dụng 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 82 MỞ ĐẦU Phương trình hàm chuyên đề khó, hay xuất đề thi Olympic hay đề thi HSG quốc gia, quốc tế Tuy nhiên, chuyên đề lại không dạy cách thống cho học sinh trường sư phạm Điều gây khó khăn cho giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG Là giáo viên dạy chuyên, muốn nghiên cứu sâu phương trình hàm chọn phương trình hàm làm luận văn thạc sĩ Phương trình hàm vơ rộng lớn, thời gian ngắn, tơi nghiên cứu lĩnh vực nhỏ Được định hướng thầy hướng dẫn, tơi chọn phương trình hàm liên quan tới đại lượng trung bình Có đại lượng trung bình là: trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa trung bình bình phương Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình trình bày rõ ràng cụ thể tài liệu [1] Do đó, luận văn mình, tơi trình bày phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình giải tích trung bình Lagrange trung bình Pompeiu Nội dung Luận văn gồm có chương: Chương I Những kiến thức chuẩn bị Chương II Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Lagrange Chương III Phương trình hàm liên quan đến giá trị trung bình Pompeiu Hà Nội, Ngày tháng 12 năm 2014 Học viên thực Lê Thị Nhàn ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương trình bày số kiến thức nhằm chuẩn bị cho chương II chương III, bao gồm định nghĩa hàm cộng tính, giá trị trung bình Lagrange, giá trị trung bình Pompeiu số tính chất chúng Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Hàm cộng tính Định nghĩa 1.1 Hàm số f : R −→ R gọi hàm cộng tính thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Phương trình (1.1) đề cập A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809), A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng quát Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm số f : R −→ R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = ax, ∀x ∈ R, đó, a ∈ R số tùy ý Định lý 1.1 (Xem [8]) Cho hàm số f : R −→ R hàm cộng tính liên tục Khi đó, f hàm tuyến tính, nghĩa f (x) = ax, ∀x ∈ R, đó, a số thực tùy ý Định lý 1.2 (Xem [8]) Nếu hàm cộng tính liên tục điểm liên tục điểm R TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Như vậy, chứng tỏ hàm cộng tính liên tục tuyến tính Thậm chí giảm điều kiện liên tục liên tục điểm, hàm cộng tính cịn tuyến tính Trải qua nhiều năm, tồn hàm cộng tính gián đoạn tốn mở Các nhà tốn học khơng thể chứng minh hàm cộng tính liên tục khơng đưa ví dụ hàm cộng tính gián đoạn Nhà toán học người Đức G Hamel vào năm 1905 người thành công việc chứng minh tồn hàm cộng tính gián đoạn (xem [8]) 1.2 Giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.3 (Định lý Lagrange) Mọi hàm f : R → R liên tục [x1 , x2 ], khả vi (x1 , x2 ), tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η) x1 − x2 (1.2) Ý nghĩa hình học Định lý Lagrange: Nếu có cát tuyến cắt đồ thị (C) hàm f hai điểm A(x1 , f (x1 )) B(x2 , f (x2 )) đồ thị (C) tồn điểm C(η, f (η)), η ∈ (x1 , x2 ) cho tiếp tuyến C song song với đường thẳng AB f (x1 ) − f (x2 ) Tỷ số gọi tỷ sai phân hàm f hai điểm x1 − x2 phân biệt x1 , x2 Trong mục tiếp theo, tìm hiểu trình bày số kết có liên quan đến tỷ sai phân 1.3 Tỷ sai phân Định nghĩa 1.3 (Xem [8]) Tỷ sai phân hàm f : R → R n điểm phân biệt x1 , x2 , , xn kí hiệu f [x1 , x2 , , xn ] xác định bởi: f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , , xn ] = f [x1 , x2 , , xn−1 ] − f [x2 , x3 , , xn ] , ∀n ≥ x1 − xn (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Theo định nghĩa trên, ta có f [x1 , x2 ] = f (x1 ) − f (x2 ) , x1 − x2 f [x1 , x2 , x3 ] = (x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 ) (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) Định lý 1.4 Tỷ sai phân n- điểm f biểu diễn thành f [x1 , x2 , , xn ] = n X j=1 f (xj ) n Q , ∀n ∈ N∗ (1.3) (xj − xk ) k=1 k6=j Chứng minh : Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Với n = n = 2, ta có f [x1 ] = f (x1 ) f (x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) f (x1 ) + = x1 − x2 x2 − x1 x1 − x2 Do đó, biểu thức n = n = Giả sử biểu thức với n, ta cần chứng minh biểu thức với n + Theo định nghĩa tỷ sai phân (Định nghĩa 1.3), ta có f [x1 , x2 , , xn+1 ] = (f [x1 , x2 , , xn ] − f [x2 , x3 , , xn+1 ]) x1 − xn+1 f [x1 , x2 ] = Theo giả thiết quy nạp, vế phải (VP) biểu thức trở thành n+1 n+1 n n hX X Y Y 1 i VP = f (xj ) − f (xj ) x1 − xn+1 j=1 x − x x − x j k j k j=2 k=1 k=2 k6=j k6=j Phân tích n n X Y f (xj ) j=1 n+1 X j=2 f (xj ) k=1 k6=j n+1 Y k=2 k6=j n n n Y X Y 1 = f (x1 ) + f (xj ) xj − xk x − xk j=2 x − xk k=2 k=1 j k6=j n n n+1 Y X Y 1 = f (xn+1 ) + f (xj ) xj − xk x − x x − x n+1 k j k j=2 k=2 k=2 k6=j (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Khi n n n X Y f (x1 ) Y 1 VP = + f (xj ) x1 − xn+1 k=2 x1 − xk x1 − xn+1 j=2 x − xk k=1 j k6=j n n n+1 X Y f (xn+1 ) Y 1 − f (xj ) − x1 − xn+1 k=2 xn+1 − xk x1 − xn+1 j=2 x − xk k=2 j k6=j n n f (xn+1 ) Y f (x1 ) Y + = x1 − xn+1 k=2 x1 − xk xn+1 − x1 k=2 xn+1 − xk n X + j=2 n n+1 Y 1 i f (xj ) h Y − x1 − xn+1 k=1 xj − xk k=2 xj − xk k6=j k6=j n+1 Y n Y 1 = f (x1 ) + f (xn+1 ) x − xk x − xk k=2 k=1 n+1 + n X j=2 n iY f (xj ) h 1 − x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 k=2 xj − xk k6=j Mặt khác n X j=2 n iY f (xj ) h 1 − x1 − xn+1 xj − x1 xj − xn+1 k=2 xj − xk k6=j = n X j=2 n Y f (xj ) (xj − x1 )(xj − xn+1 ) k=2 xj − xk k6=j = n X j=2 f (xj ) n+1 Y k=1 k6=j xj − xk Do n+1 Y n n+1 n X Y Y 1 V P = f (x1 ) + + f (xn+1 ) f (xj ) x − x x − x x − x k j k n+1 k j=2 k=2 k=1 k=1 k6=j (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Vậy ta có hệ thức f [x1 , x2 , , xn+1 ] = n+1 X f (xj ) j=1 n+1 Y k=1 k6=j xj − xk Nhận xét 1.1 Vai trò xi , i = 1, n định nghĩa f [x1 , x2 , , xn ] Định lý 1.5 Giả sử f (x) = xl , l ∈ N, 0 n > l + 1, f [x1 , x2 , , xn ] = n = l + 1, x1 + · · · + xn n = l với số nguyên dương n Chứng minh : Với f (x) = xl , l ∈ N, ta đánh giá f [x1 , x2 , , xn ] Khi n = 2, ta có f (x1 ) − f (x2 ) xl1 − xl2 f [x1 , x2 ] = = x1 − x2 x1 − x2 (x1 − x2 ) xk1 xl−1−k k=0 = = l−1 P x1 − x2 l−1 X xk1 xl−1−k k=0 = X xp11 xp22 , p1 +p2 =l−1 p1 , p2 số nguyên không âm Khi n = 3, ta có f [x1 , x3 ] − f [x2 , x3 ] x1 − x2 P xp11 xp33 − xp22 xp33 f [x1 , x2 , x3 ] = P = p1 +p3 =l−1 p2 +p3 =l−1 x1 − x2 2 l−3 l−2 l−2 l−1 l−1 [(x1 −x2 )xl−2 +(x1 −x2 )x3 +· · ·+(x1 −x2 )x3 +(x1 −x2 )] x1 − x2 X X p1 p2 l−3 2 l−4 = xl−2 +(x +x )x +(x +x x +x )x +· · ·+ x x x + 2 3 3 = p1 +p2 =l−3 k1 +k2 =l−2 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com xk11 xk22 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 X = xp11 xp22 xp33 , p1 +p2 +p3 =l−2 với p1 , p2 , p3 , k1 , k2 số nguyên không âm Tương tự, phép quy nạp, ta có X f [x1 , x2 , , xn ] = xp11 xp22 xpnn , p1 +p2 +···+pn =l−n+1 p1 , p2 , , pn số nguyên không âm Khi với n = l, ta có X f [x1 , x2 , , xl ] = xp11 xp22 xpl l p1 +···+pl =1 Vì p1 , p2 , , pl số nguyên không âm nên từ p1 + · · · + pl = 1, suy pk = pj = 0, ∀j 6= k Do ta có X xp11 xp22 xpl l = p1 +···+pl =1 l X xj j=1 f [x1 , x2 , , xl ] = l X xj j=1 Tương tự, n = l + f [x1 , x2 , , xl+1 ] = X p l+1 xp11 xp22 xl+1 =1 p1 +···+pl+1 =0 f [x1 , x2 , , xl+2 ] = f [x1 , x2 , , xl+1 ] − f [x2 , x3 , , xl+2 ] = x1 − xl+2 Định lý chứng minh Định lý 1.6 Giả sử f : R → R có đạo hàm cấp n liên tục đoạn [min {x0 , x1 , , xn } , max {x0 , x1 , , xn }] Nếu tất điểm x0 , x1 , , xn phân biệt f [x0 , x1 , , xn ] Zt1 Z1 = dt1 0 tn−1 Z n X (n) dt2 f x0 + tk (xk − xk−1 ) dtn , n ≥ (1.4) k=1 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Giả sử s = t 6= (trường hợp s 6= t = làm theo cách tương tự) Khi đó, (3.116) rút gọn thành f (x) − f (y) = (x − y)[h(ty) + g(x) + g(y)] (3.128) Giả sử y = (3.128), ta f (x) = f (0) + x[h(0) + g(x) + g(0)] (3.129) Thay (3.129) vào (3.128), ta xg(x) − yg(y) = (x − y)[h(ty) + g(x) + g(y) − g(0) − h(0)] (3.130) Đổi chỗ x y (3.130), ta yg(y) − xg(x) = (y − x)[h(tx) + g(y) + g(x) − g(0) − h(0)] (3.131) Cộng phương trình (3.130) với (3.131), ta h(tx) = h(ty), (3.132) với x, y ∈ R với x 6= y Do từ (3.132), ta có h(x) = d, ∀x ∈ R, (3.133) đó, d số tùy ý Thay (3.133) vào (3.128), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[d + g(x) + g(y)] Do đó, từ trường hợp 1, (3.133) (3.127), ta f (x) = ax2 + (b + d)x + c g(x) = ax + 2b h(x) = d, (3.134) (3.135) a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Tiếp theo, giả sử s = t 6= Lần lượt cho y = x = (3.116), ta f (x) = f (0) + x[h(sx) + g(x) + g(0)] (3.136) f (y) = f (0) + y[h(ty) + g(y) + g(0)] (3.137) 62 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 tương ứng So sánh f (3.136) (3.137), ta có h(sx) = h(tx), (3.138) với x ∈ R \ {0} Thế (3.136) (3.137) vào (3.116) xắp xếp lại, ta y[h(sx)+g(x)−g(0)]−x[h(ty)+g(y)−g(0)] = (x−y)[h(sx+ty)−h(sx)−h(ty)], (3.139) với x, y ∈ R Bây giờ, ta xét trường hợp riêng: Trường hợp 3.1 Giả sử s = t Khi đó, (3.139) trở thành xϕ(y) − yϕ(x) = (x − y)[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)], (3.140) ϕ(x) = h(tx) + g(x) − g(0) ψ(x) = −h(tx) (3.141) Nghiệm phương trình hàm (3.140) thu từ kết Bài toán 3.4 ϕ(x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d ψ(x) = −ax3 − bx2 − A(x) − d, (3.142) A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số Từ (3.142), (3.141) (3.136), ta có nghiệm f (x) = 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α g(x) = 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β (3.143) h(x) = a( x )3 + b( x )2 + A( x ) + d, t t t A : R → R ánh xạ cộng tính a, b, c, d, α, β số tùy ý Trường hợp 3.2 Tiếp theo, giả sử s = −t Khi đó, từ (3.138), ta có h(tx) = h(−tx), ∀x ∈ R \ {0} Tức là, h hàm chẵn R Bây với s = −t sử dụng tính chẵn hàm h, từ (3.139), ta có y[h(tx)+g(x)−g(0)]−x[h(ty)+g(y)−g(0)] = (x−y)[h(tx−ty)−h(tx)−h(ty)], (3.144) 63 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 với x, y ∈ R Đặt G(x) = h(tx) + g(x) − g(0) H(x) = −h(tx) (3.145) Từ (3.144), ta có xG(y) − yG(x) = (x − y)[H(x − y) − H(x) − H(y)] (3.146) Ta thấy H hàm chẵn Thay y −y (3.146), ta xG(−y) + yG(x) = (x + y)[H(x + y) − H(x) − H(y)] (3.147) Giả sử x = y (3.147), ta G(−x) + G(x) = 2[H(2x) − 2H(x)], (3.148) với x 6= Do (3.145), nên (3.148) với x = Cộng theo vế (3.146) (3.147) sử dụng (3.148), ta có (x + y)H(x + y) + (x − y)H(x − y) = 2xH(x) + 2x[H(2y) − H(y)] (3.149) Đổi chỗ x y (3.149), ta (x + y)H(x + y) + (y − x)H(x − y) = 2yH(y) + 2y[H(2x) − H(x)] (3.150) Cộng theo vế (3.149) với (3.150), ta (x + y)H(x + y) − xH(x) − yH(y) = y[H(2x) − H(x)] + x[H(2y) − H(y)] (3.151) Phương trình (3.151) ϕ(x + y) − ϕ(x) − ϕ(y) = yψ(x) + xψ(y), (3.152) ϕ(x) = xH(x) ψ(x) = H(2x) − H(x) (3.153) Lưu ý từ (3.153), H hàm chẵn nên ϕ hàm lẻ ψ hàm chẵn Lần lượt thay x x − y y −y (3.152), ta ϕ(x) − ϕ(x − y) − ϕ(y) = yψ(x − y) + (x − y)ψ(y) (3.154) ϕ(x − y) − ϕ(x) − ϕ(−y) = −yψ(x) + xψ(−y) (3.155) 64 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Cộng theo vế (3.155) với (3.154) sử dụng tính chất ϕ hàm lẻ ψ hàm chẵn, ta y[ψ(x − y) − ψ(x) − ψ(y)] = −2xψ(y) (3.156) Thay y −y (3.156), ta có y[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2xψ(y), tức xy[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2x2 ψ(y), (3.157) với x 6= Đổi chỗ x y (3.157), ta có xy[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2y ψ(x) (3.158) Do đó, từ (3.157) (3.158), ta có 2x2 ψ(y) = 2y ψ(x), với x, y ∈ R \ {0} Do đó, ta có ψ(x) = 3ax2 , ∀x ∈ R \ {0}, (3.159) a số Do (3.153), nên (3.159) với x = Thay (3.159) vào (3.152), ta có ϕ(x + y) − ϕ(x) − ϕ(y) = 3ax2 y + 3axy , (3.160) với x, y ∈ R Hay ϕ(x + y) − a(x + y)3 = ϕ(x) − ax3 + ϕ(y) − ay , (3.161) ϕ(x) = ax3 + A(x), (3.162) A : R → R hàm cộng tính Từ (3.162) (3.153), ta xH(x) = ax3 + A(x) Thay (3.163) vào (3.146), ta i h i h A(x) A(y) − 2ay = y G(x) + − 2ax2 , x G(y) + y x (3.163) (3.164) 65 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 với x, y ∈ R \ {0}, x 6= y Do G(x) = 2ax2 + cx − A(x) , ∀x 6= 0, x (3.165) c số Từ (3.136), (3.145), (3.163) (3.165), ta có khẳng định nghiệm f (x) = 2ax3 + cx2 + 2βx − A(x) + α g(x) = 3ax2 + cx + β (3.166) h(x) = −a( x )2 − t A( x ) x 6= 0, t x t A : R → R ánh xạ cộng tính a,c, α, β số tùy ý s t Trường hợp 3.3 Giả sử s2 6= t2 , tức det t s 6= Lưu ý x y độc lập tuyến tính u = sx + ty v = sy + tx vậy, u, v phụ thuộc tuyến tính tồn số a b (khơng đồng thời 0) cho = au + bv = (as + bt)x + (at + bs)y Do x y độc lập tuyến tính nên ta có s t a t s b = s t Do det t s 6= nên a b Mâu thuẫn với giả thiết Bây giờ, ta quay lại với phương trình (3.139) Thay (3.138) vào (3.139), ta có y[h(sx)+g(x)−g(0)]−x[h(sy)+g(y)−g(0)] = (x−y)[h(sx+ty)−h(sx)−h(sy)], (3.167) với x, y ∈ R Đổi chỗ x y (3.167), ta có x[h(sy)+g(y)−g(0)]−y[h(sx)+g(x)−g(0)] = (y−x)[h(sy+tx)−h(sy)−h(sx)] (3.168) Cộng theo vế (3.167) (3.168), ta h(sx + ty) = h(sy + tx), (3.169) với x, y ∈ R, x 6= y Do h(x) = d, ∀x ∈ R, (3.170) d số Thay (3.170) vào (3.116), ta f (x) − f (y) = (x − y)[d + g(x) + g(y)] (3.171) 66 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Do đó, theo trường hợp 1, ta nghiệm f (x) = ax2 + (b + d)x + c g(x) = ax + 2b h(x) = d, (3.172) a, b, c, d số tùy ý Kết luận: ax2 + (b + d)x + c s = = t ax + (b + d)x + c s = 0, t 6= ax + (b + d)x + c s 6= 0, t = f (x) = 3ax + 2bx + cx + (d + 2β)x + α s = t 6= 2ax3 + cx2 + 2βx − A(x) + α s = −t 6= ax + (b + d)x + c 6= s2 6= t2 6= ax + 2b s = = t b ax + s = 0, t 6= b ax + s 6= 0, t = g(x) = 2ax + bx + cx − A(x) + β s = t 6= 3ax2 + cx + β s = −t 6= b 6= s2 6= t2 6= ax + tùy ý với h(0) = d s = = t d s = 0, t 6= d s 6= 0, t = h(x) = x x x a( t ) + b( t ) + A( t ) + d s = t 6= −a( xt )2 − xt A( xt ), x 6= s = −t 6= d 6= s2 6= t2 6= 0, A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d, α, β số thực tùy ý Bổ đề sau dùng để xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.117), cụ thể f (x) − g(y) = (x − y)[h(sx + ty) + ψ(x) + ϕ(y)], với x, y ∈ R s t tham số Bổ đề 3.3 Giả sử α số thực khác không Các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)[αxy + g(x) + g(y)], (3.173) 67 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 với x, y ∈ R f (x) = αx3 + βx2 + 2γx + δ g(x) = αx2 + βx + γ, (3.174) α, β, γ số tùy ý Chứng minh : Dễ dàng kiểm tra (3.174) thỏa mãn (3.173) Để chứng minh chiều ngược lại, giả sử y = (3.173) ta có f (x) = δ + x[g(x) + γ], (3.175) δ = f (0) γ = g(0) Thay (3.175) vào (3.173) rút gọn, ta có y[g(x) − αx2 − γ] = x[g(y) − αy − γ], với x, y ∈ R Do g(x) = αx2 + βx + γ (3.176) Từ (3.176) (3.175), ta có f (x) = αx3 + βx2 + 2γx + δ (3.177) ta chứng minh xong bổ đề Bây giờ, ta xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.117) Bài toán 3.8 Giả sử s t số thực Tìm tất hàm f, g, h, ϕ, ψ : R → R thỏa mãn phương trình hàm (3.117) với x, y ∈ R Lời giải Giả sử x = y (3.117), ta thấy f (x) = g(x), (3.178) với x ∈ R Thay (3.178) vào (3.117), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + ϕ(x) + ψ(y)] (3.179) Đổi chỗ x y (3.179) kết hợp với phương trình (3.179), ta có h(sx + ty) + ϕ(x) + ψ(y) = h(sy + tx) + ϕ(y) + ψ(x), (3.180) với x, y ∈ R, x 6= y Ta thấy (3.180) x = y 68 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Bây ta xét trường hợp: Trường hợp Giả sử s = = t Thay vào (3.180), ta ϕ(x) − ψ(x) = ϕ(y) − ψ(y), ∀x, y ∈ R Do ϕ(x) = ψ(x) − δ, ∀x ∈ R, (3.181) đó, δ số Thay (3.181) vào (3.179), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] (3.182) Do từ kết Bài tốn 3.7, (3.178) (3.181) ta khẳng định nghiệm f (x) = ax2 + (b + d)x + c g(x) = f (x) ϕ(x) = ax + b−δ b+δ ψ(x) = ax + h(x) = tùy ý với h(0) = d, a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s = t 6= (Trường hợp s 6= t = làm tương tự trường hợp này.) Trong trường hợp này, từ (3.180), ta có h(ty) + ψ(y) − ϕ(y) = h(tx) + ψ(x) − ϕ(x), (3.183) với x, y ∈ R Do ψ(x) = ϕ(x) − h(tx) − δ, (3.184) δ số Thay (3.184) vào (3.179) với s = 0, ta thấy f (x) − f (y) = (x − y)[ϕ(x) + ϕ(y) − δ] (3.185) Từ Bài tốn 3.5, (3.178) (3.184), ta có khẳng định nghiệm f (x) = ax2 + bx + c g(x) = f (x) ϕ(x) = ax + b+δ b−δ ψ(x) = ax + − h(tx) h(x) = tùy ý, a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s 6= t 6= Tiếp theo, ta xét trường hợp 69 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 riêng: Trường hợp 3.1 Giả sử s = t Từ (3.180), ta h(tx + ty) + ϕ(x) + ψ(y) = h(ty + tx) + ϕ(y) + ψ(x) (3.186) Do đó, ta có ϕ(x) = ψ(x) − δ, (3.187) δ số Thay (3.187) vào (3.179), ta f (x) − f (y) = (x − y)[h(tx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] Từ kết Bài toán 3.7, f (x) = g(x) = ϕ(x) = ψ(x) = h(x) = (3.188) (3.187) (3.178), ta 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α f (x) 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β − 2δ 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β + 2δ a( xt )3 + b( xt )2 + A( xt ) + d, a, b, c, d, α, β, γ, δ số tùy ý A : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.2 Giả sử s = −t Từ (3.180), ta h(ty − tx) + ϕ(x) + ψ(y) = h(tx − ty) + ϕ(y) + ψ(x), (3.189) với x, y ∈ R Hay h(tx − ty) − h(ty − tx) = H(x) − H(y), (3.190) H(x) = ϕ(x) − ψ(x) Giả sử x = (3.190), ta có h(−ty) − h(ty) = d − H(y), (3.191) d = H(0) Thay (3.191) vào (3.190), ta có H(x − y) − d = H(x) − d − H(y) + d, tức H(x) − d cộng tính tập số thực Do ψ(x) = ϕ(x) + A0 (x) − d, (3.192) A0 : R → R hàm cộng tính Thế (3.192) vào (3.179), ta f (x) − f (y) = (x − y)[h(ty − tx) + ϕ(x) + ϕ(y) + A0 (y) − d], (3.193) 70 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 tức F (x) − F (y) = (x − y)[K(tx − ty) + φ(x) + φ(y)], (3.194) F (x) = f (x) + dx K(x) = h(−x) − 21 A0 ( xt ) φ(x) = ϕ(x) + 21 A0 (x) (3.195) Do đó, từ kết Bài tốn 3.7, (3.178), (3.192) (3.195), ta lại có khẳng định nghiệm f (x) = 2ax3 + cx2 + (2β − d)x − A(x) + α g(x) = f (x) ϕ(x) = 3ax2 + cx − 12 A0 (x) + β ψ(x) = 3ax2 + cx + 21 A0 (x) + β − d h(x) = −a( x )2 − t A( x ) + A ( x ), x 6= 0, t x t t a, b, c, d, α, β số tùy ý A0 , A : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.3 Giả sử s2 6= t2 Cho y = (3.180), ta h(sx) + ϕ(x) + ψ(0) = h(tx) + ϕ(0) + ψ(x) (3.196) Hay ϕ(x) = h(tx) − h(sx) + ψ(x) + ϕ(0) − ψ(0), ∀x ∈ R (3.197) Thay (3.197) vào (3.180) rút gọn, ta có h(sx + ty) − h(sx) − h(ty) = h(sy + tx) − h(tx) − h(sy) y x Thay x y (3.179), ta s t x y xt − ys h x y i f −f = h(x + y) + ϕ +ψ s t st s t Đặt F (x) = stf ( xs ) Φ(x) = ϕ( x ) Ψ(y) = ψ( sy ) t thay (3.200) vào (3.199), ta có sy F (x) − F = (xt − ys)[h(x + y) + Φ(x) + Ψ(y)] t (3.198) (3.199) (3.200) (3.201) 71 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Lần lượt cho y = x = (3.201), ta có F (x) = F (0) + xt[h(x) + Φ(x) + Ψ(0)] (3.202) sy ) = F (0) + ys[h(y) + Φ(0) + Ψ(y)], (3.203) t tương ứng Thay (3.202) (3.203) vào (3.201), ta (sau rút gọn) F( xt[Ψ(0)−Ψ(y)−h(y)]−ys[Φ(0)−Φ(x)−h(x)] = (xt−ys)[h(x+y)−h(x)−h(y)] (3.204) Đổi chỗ x y , ta yt[Ψ(0)−Ψ(x)−h(x)]−xs[Φ(0)−Φ(y)−h(y)] = (yt−xs)[h(x+y)−h(x)−h(y)] (3.205) Trừ theo vế (3.205) (3.204), ta có xP (y) − yP (x) = (x − y)(s + t)[h(x + y) − h(x) − h(y)], (3.206) P (x) = t[Ψ(0) − Ψ(x) − h(x)] + s[Φ(0) − Φ(x) − h(x)] Theo kết Bài toán 3.4, nghiệm tổng quát (3.206) P (x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d (s + t)h(x) = −ax3 − bx2 − A(x) − d, (3.207) (3.208) A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Thay dạng h(x) (3.208) vào (3.198), ta 3astxy(s − t)(x − y) = 0, với x, y ∈ R Vì 6= s2 6= t2 6= nên a = Do đó, ta có (s + t)h(x) = −bx2 − A(x) − d (3.209) Thay (3.209) vào (3.197), ta ϕ(x) = ψ(x) + b(s − t)x2 + A(sx − tx) + α, s+t (3.210) α = ϕ(0) − ψ(0) Thay (3.209) (3.210) vào (3.179), ta k(x) − k(y) = (x − y)[α0 xy + Γ(x) + Γ(y)], (3.211) 72 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 d k(x) = f (x) + ( s+t − α)x bt2 x2 Γ(x) = ψ(x) − A(tx) − s+t s+t α = − 2bst s+t (3.212) Theo Bổ đề 3.3, ta có k(x) = α0 x3 + βx2 + 2γx + δ Γ(x) = α0 x2 + βx + γ, (3.213) β, γ, δ số Do từ (3.213), (3.212), (3.210) (3.209), ta có 2bstx3 d f (x) = − + βx2 + (2γ + α − )x + δ s+t s+t A(sx) bs(s − 2t)x2 + βx + +γ+α ϕ(x) = s+t s+t bt(t − 2s)x2 A(tx) ψ(x) = + βx + +γ s+t s+t bx2 A(x) d h(x) = − − − s+t s+t s+t b d A(x) Coi số b, d, hàm cộng tính A(x), s+t s+t s+t ta có nghiệm f (x) = −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d)x + δ ϕ(x) = bs(s − 2t)x2 + βx + A(sx) + γ + α ψ(x) = bt(t − 2s)x2 + βx + A(tx) + γ h(x) = −bx2 − A(x) − d Kết luận: g(x) = f (x), ∀x ∈ R ax2 + (b + d)x + c ax2 + (b + d)x + c ax + (b + d)x + c f (x) = 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α 2ax3 + cx2 + (2β − d)x − A(x) + α −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d)x + δ nếu nếu nếu s=0=t s = 0, t 6= s 6= 0, t = s = t 6= s = −t 6= 0 6= s2 6= t2 6= 73 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 ax + b−δ s = = t b+δ ax + s = 0, t 6= b+δ ax + s 6= 0, t = ϕ(x) = δ 2ax + bx + cx − A(x) + β − s = t 6= 3ax + cx − A0 (x) + β s = −t 6= bt(s − 2t)x + βx + A(sx) + γ + α 6= s2 6= t2 6= ax + b+δ s = = t b−δ s = 0, t 6= ax + − h(tx) b−δ ax + − h(sx) s 6= 0, t = ψ(x) = δ 2ax + bx + cx − A(x) + β + s = t 6= s = −t 6= 3ax2 + cx + 12 A0 (x) + β − d, bs(t − 2s)x + βx + A(tx) + γ 6= s2 6= t2 6= tùy ý với h(0) = d s = = t tùy ý s = 0, t 6= tùy ý s 6= 0, t = h(x) = x x x a( ) + b( ) + A( ) + d s = t 6= t t t x t x x −a( t ) − x A( t ) + A0 ( t ), x 6= s = −t 6= −bx2 − A(x) − d 6= s2 6= t2 6= A0 , A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d, α, β, γ, δ số thực tùy ý 3.5 Một số ví dụ áp dụng Bài tốn 3.9 Tìm tất hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm x2 f (y) − y f (x) = xy(x − y)h(x + y), ∀x, y ∈ R (3.214) Lời giải Cho y = 0, ta f (0) = Với xy 6= 0, ta có (3.214) ⇔ Đặt g(x) = xf (y) yf (x) − = (x − y)h(x + y), ∀x, y 6= y x f (x) − h(0) k(x) = h(x) − h(0), ta có k(0) = phương x trình xg(y) − yg(x) = (x − y)k(x + y), ∀x, y 6= (3.215) 74 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Cho y = −x phương trình trên, ta có g(−x) = −g(x), ∀x 6= Thay y −y , ta có −xg(y) + yg(x) = (x + y)k(x − y), ∀x, y 6= Vậy ta có (x − y)k(x + y) = −(x + y)k(x − y), ∀x, y 6= Đặt u = x + y v = x − y , ta có vk(u) = −uk(v), ∀u + v, u − v 6= (3.216) Chọn v = 1, ta có k(u) = au, ∀u 6= ±1 Thay vào phương trình trên, ta có auv = −auv, ∀u, v 6= ±1, u 6= ±v Từ đó, ta suy a = Vậy k(u) = 0, ∀u 6= ±1 Cho u = (3.216), ta k(1) = k(−1) = Vậy k(u) = 0, ∀u ∈ R Do đó, h(x) = b, ∀x ∈ R (b = h(0)) Từ phương trình (3.215), ta có xg(y) = yg(x), ∀x, y 6= Vậy g(x) = ax, ∀x 6= Từ đó, ta có f (x) = ax2 + bx, ∀x 6= Do f (0) = nên f (x) = ax2 + bx, ∀x ∈ R Kết luận: f (x) = ax2 + bx h(x) = b, với x ∈ R, a, b số tùy ý Bài tốn 3.10 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm h x − y x + y i −f , ∀x, y ∈ R (3.217) xf (y) − yf (x) = (x − y) f 2 75 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 Lời giải Cho y = (3.217), ta f (0) = Tiếp tục cho y = −x, ta f (−x) = f (x), ∀x 6= Suy f hàm số chẵn Thay y −y (3.217) sử dụng f hàm số chẵn, ta có h x + y x − y i xf (y) + yf (x) = (x + y) f −f , ∀x, y ∈ R (3.218) 2 Cộng theo vế (3.217) (3.218), ta h x + y x − y i xf (y) = y f −f , ∀x, y ∈ R 2 Đổi chỗ x y (3.219), ta có h x + y x − y i yf (x) = x f −f , ∀x, y ∈ R 2 (3.219) (3.220) Từ (3.219) (3.220), ta có x2 f (y) = y f (x), ∀x, y ∈ R Do f (x) = ax2 , ∀x ∈ R (a số tùy ý) Bài toán 3.11 Tìm tất hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm x[f (x) − g(y)] − y[f (y) − g(x)] = (x − y)f (x + y), ∀x, y ∈ R (3.221) Lời giải Ta có (3.221) ⇔ xf (x) − xg(y) − yf (y) + yg(x) = (x − y)f (x + y) ⇔ −xg(y) + yg(x) = (x − y)f (x + y) − xf (x) + yf (y) ⇔ −xg(y) + yg(x) + yf (x) − xf (y) = (x − y)[f (x + y) − f (x) − f (y)] ⇔ y[f (x) + g(x)] − x[f (y) + g(y)] = (x − y)[f (x + y) − f (x) − f (y)] Đặt h(x) = f (x) + g(x) k(x) = −f (x), ta xh(y) − yh(x) = (x − y)[k(x + y) − k(x) − k(y)], ∀x, y ∈ R 76 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.voi.cac.gia.tri.trung.binh.va.ap.dung.13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 21/12/2023, 04:57
Xem thêm: