(LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình hàm schrӧder, abel và một số áp dụng liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HC T NHIấN NGUYN ễNG BC ă PHNG TRèNH HM SCHRODER, ABEL VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tác giả xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn tác giả Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả hồn thành luận văn Hà nội, tháng 09 năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Các ký hiệu quy ước Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1.Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 Phương trình hàm tuyến tính tổng quát Dãy xấp xỉ liên tiếp Định lý Banach - Schauder 10 Các ánh xạ liên hợp 10 Các chuỗi liên hợp hình thức 12 1.2.Nghiệm phương trình tuyến tính 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm đơn điệu phương trình tuyến tính lồi (lõm) phương trình tuyến tính liên tục phương trình tuyến tính khả vi phương trình tuyến tính giải tích phương trình tuyến tính 13 13 17 20 25 26 Chng Phng trỡnh Schră oder Abel 29 2.1.Phng trỡnh Schră oder 29 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm đơn điệu ca phng trỡnh Schrăoder li ca phng trỡnh Schrăoder khả vi phng trỡnh Schrăoder trơn phương trình Schrăoder RN giải tích ca phng trỡnh Schrăoder 2.2.Phương trình Abel 2.2.1 Nghiệm lồi phương trình Abel 2.2.2 Nghiệm khả vi phương trình Abel 2.2.3 Nghiệm giải tích phương trình Abel 29 30 30 32 33 36 36 37 40 Chương Một số áp dụng liên quan 44 3.1.Các nghiệm 44 3.2.Hệ tiền Schră oder 46 3.2.1 Hệ tương đương hàm tự đồng cấu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 47 MỤC LỤC 3.2.2 S tng ng ca phng trỡnh Schrăoder v h tin Schrăoder 3.3.H Schră oder-Abel v cỏc phng trỡnh kết hợp 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn Kết hp cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel Sự tồn phần tử sinh Nghiệm ca h Abel Schrăoder 3.4.Hệ Abel phương trình vi phân có lệch 3.4.1 Nhóm phép biến đổi 3.4.2 Hệ phương trình Abel đồng thời 3.5.H Schră oder đặc tính chuẩn 3.5.1 Đặc tính chuẩn 3.5.2 Hệ phng trỡnh Schrăoder ng thi 3.6.Các ý 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 48 49 49 51 52 54 57 57 60 61 61 62 64 Nghiệm ca h tin Schră oder Các tự đẳng cấu tăng Định lý 3.3.4 Các phương trình vi phân có lệch 64 65 65 66 3.6.5 Áp dụng định lý 3.4.5 3.6.6 Định lý 3.5.2 3.6.7 H phng trỡnh Schrăoder 3.6.8 Phng trỡnh Schră oder, Abel phương trình vi phân 3.6.9 Nửa nhóm xấp xỉ liên tục 3.6.10 Các phương trình Abel đồng thời 66 67 67 67 68 69 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Các ký hiệu quy ước * * * * * N - tập số nguyên dương N0 = N ∪ {0} - tập số tự nhiên R = [−∞; + ∞] - tập số thực mở rộng R+ = [0, + ∞) - tập số thực không âm x = (ξ1 , , ξn ) ∈ K n chuẩn x chuẩn Euclide v u n uX |x| = t |ξi | i=1 * Với ma trận A ∈ K m×n chuẩn A chuẩn tốn tử tuyến tính tương ứng tức kAk = sup |Ax| |x|=1 * * * * * cl(A) - bao đóng tập A int(A) - phần tập A [0, a| ký hiệu chung cho [0, a] [0, a), ý |a, ∞| |a, ∞) F(X, Y ) họ ánh xạ từ X vào Y, F(X) = F(X, X) C r (X, Y ), r ∈ N0 tập tất ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ X vào Y, C r (X) = C r (X, X), r ∈ N , C(X, Y ) = C (X, Y ), C(X) = C (X, X) * Cho X không gian tơpơ, Y khơng gian mêtric ta nói dãy hàm fn : X → Y, n ∈ N hội tụ hầu (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y X hội tụ tới f tập compact X * Ký hiệu f∗ dùng để ký hiệu cho logit(f ) (xem mục 1.1.5) * LAS viết tắt "nghiệm giải tích địa phương" * FPS viết tắt "chuỗi lũy thừa hình thức" TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nghiên cứu kiến thức phương trình tuyến tính để phục vụ cho vic nghiờn cu phng trỡnh Schrăoder v phng trỡnh Abel chương sau Về tổng thể chương gồm hai phần: ♦ Phần 1: Các khái niệm kiến thức liên quan ♦ Phần 2: Nghiệm phương trình tuyến tính Ở phần 1, ta nhắc lại số khái niệm số kết dùng phần như: dãy xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp ánh xạ tính chất Ở phần 2, ta trình bày kết nghiệm phương trình tuyến tính tổng qt phương trình tuyến tính đực biệt tính quy nghiệm phương trình tuyến tính tổng qt Tính quy nghiệm bao gồm tính chất nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi nghiệm, tính trơn nghiệm số tính chất khác 1.1 Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng qt Phương trình hàm tổng qt có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , , ϕ (fn (x))) = ϕ hàm chưa biết (hàm ẩn) hàm lại hàm cho, số n phương trình gọi bậc phương trình Như vậy, phương trình hàm bậc có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f (x))) = (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Các kiến thức chuẩn bị Phương trình hàm tuyến tính tổng qt phương trình hàm có dạng: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1) ϕ hàm chưa biết f g hàm cho Trong trường hợp đặc biệt h ≡ (1.1) trở thành: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.2) (1.2) gọi phương trình hàm tuyến tính tổng qt Hầu hết phương trình tuyến tính quan trng u thuc phng trỡnh Schrăoder v phng trỡnh Abel Phng trỡnh Schrăoder l phng trỡnh cú dng: (f (x)) = s.σ(x) (1.3) s thừa số vơ hướng Phương trình Abel phương trình có dạng: α(f (x)) = α(x) + A (1.4) A 6= phần tử cố định thuộc miền giá trị α (do tính tuyến tính phương trình nên ta thường xét trường hợp A = 1) Dễ dàng thấy ϕ σ nghiệm (1.2) kϕ + lσ, k, l = const nghiệm (1.2) Như vậy, (1.2) có nghiệm có nhiều nghiệm, nghiệm tạo thành họ nghiệm nghiệm họ sai khác số nhân 1.1.2 Dãy xấp xỉ liên tiếp Xét F(X) tập hợp tất tự ánh xạ tập X cho trước, toán tử hợp ◦0 có tính chất kết hợp F(X) nên (F(X), ◦) nửa nhóm với phần tử đơn vị idX Các luỹ thừa f n , n ∈ N với f phần tử F(X) gọi dãy xấp xỉ liên tiếp f Định lí 1.1.1 Cho X khơng gian tơpơ Hausdorff f : X → X hàm có f n liên tục Nếu với x ∈ X mà dãy (f n (x))n∈N hội tụ tới x0 ∈ X x0 điểm cố định f Cho X không gian tôpô f : X → X hàm Gọi x0 điểm cố định f Tập hợp n o Af (x0 ) = x ∈ X : lim f n (x) = x0 n→∞ (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Các kiến thức chuẩn bị gọi miền hút x0 Một điểm cố định x0 f gọi hút thoả mãn x0 ∈ int Af (x0 ) Như vậy, điểm cố định hút lơi phía xấp xỉ liên tiếp điểm thuộc lân cận Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2] Định lí 1.1.2 Cho f tự ánh xạ liên tục không gian tôpô X cho x0 ∈ X điểm cố định f Khi
(a) f Af (x0 ) ⊂ Af (x0 ) (b) Af (x0 ) tập mở x0 hút Xét giả thiết X = [0; a] với < a ≤ ∞ (1.5) Định lí 1.1.3 Giả sử ta (1.5) có với f : X → X hàm nửa liên tục bên phải Nếu f (x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6) với x ∈ X , dãy (f n (x))n∈N dãy giảm lim f n (x) = (1.7) n→+∞ Hơn thế, < f (x) < x với ∀x ∈ X\ {0} ∀x ∈ X\ {0}, dãy {fn (x)}n∈N dãy giảm nghiêm ngặt Chứng minh Do tính nửa liên tục bên phải f với (1.6) ngụ ý f (0) = Vì vậy, f (x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f (f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X Nếu có l = lim f n (x) > 0, với x ∈ X l = lim f n+1 (x) = lim f n (x)) ≤ n→∞ x→∞ x→∞ f (l) < l mâu thuẫn ta có (1.7) Tính giảm nghiêm ngặt hiển nhiên Định lí 1.1.4 Giả sử với (1.5) xét không gian mêtric (T, ρ) Giả sử ánh xạ f : X×T → X liên tục f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T Đặt gt (x) = f (x, t), (x, t) ∈ X × T dãy (gtn (x))n∈N tiến tới hầu (x, t) ∈ X × T Định lí 1.1.5 Cho X tập đóng KN chứa gốc Xét ánh xạ liên tục f : X → X cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, hội tụ (1.7) hầu X (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Các kiến thức chuẩn bị Xét giả thiết sau: (i) f ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào với < a ≤ ∞ (ii) f (x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , < p(x) + s < 1, x ∈ X lim p(x) = x→0 Bổ đề 1.1.6 Cho (xn )n∈N0 (yn )n∈N0 hai dãy số dương s ∈ (0, 1) cho hai dãy với − s, qn = yn+1 số hạng pn = xxn+1 yn − s, n ∈ N0 tiến tới n → ∞ Nếu n pn , qn ∈ (−s, − s), n ∈ N0 ∞ X |pn − qn | < ∞ (1.8) n=1 xn tồn thuộc (0, ∞) n→∞ yn lim (1.9) Hơn nữa, hiệu pn − qn , n ∈ N0 có dấu khơng đổi từ (1.9) suy (1.8) Định nghĩa 1.1.7 Chúng ta ký hiệu R họ hàm đo r : X → R+ cho Zδ r(x) dx < ∞, δ ∈ (0, a) x với α ∈ (0, 1) tồn β ∈ (1, ∞) cho r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10) r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11) Định lí 1.1.8 Với giả thiết (i) (ii), f hàm liên tục, s ∈ (0, 1) p(x) = O(r(x)) x → với r ∈ R với x ∈ X\{0} giới hạn f n (x) n→∞ sn lim tồn thuộc khoảng (0, ∞) (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1.9 Nếu giả thiết (i) (ii) thoả mãn, f hàm liên tục, s ∈ (0, 1) p hàm đơn điệu với x ∈ X tồn giới hạn: f n (x) n→∞ sn ϕ(x) = lim ϕ = ϕ = ∞ ϕ ∈ (0, ∞) với x ∈ X Trường hợp cuối Rδ xảy p(x) x dx hội tụ với δ ∈ (0, a) Định lí 1.1.10 Nếu giả thiết (i) (ii) thoả mãn với s = 1, f hàm liên tục
lim sup − xt p(x) = C ∈ (0, ∞) x→0
(tương ứng lim inf − x1t p(x) = c ∈ (0, ∞)) x→0 với d > C (tương ứng < d < c) với x ∈ X\ {0} có:
1/t n f (x) ≥ dtn (tương ứng f n (x) ≤
1/t ) dtn với n ∈ N đủ lớn Hơn nữa, f hàm tăng với trường hợp sau bất đẳng thức f n (x) ≤ (dtn)−1/t với z ∈ X ∩ [0, x] 1.1.3 Định lý Banach - Schauder Định lí 1.1.11 Cho f tự ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, ρ) ρ (f (x), f (y)) ≤ θ.ρ(x, y), x, y ∈ X với θ ∈ (0, 1) Khi đó, f có điểm cố định x0 ∈ X , miền hút x0 trùng với X Định lí 1.1.12 Cho X tập không rỗng, lồi compact không gian Banach, tự ánh xạ liên tục X có điểm cố định 1.1.4 Các ánh xạ liên hợp Chúng ta xét phương trình liên hợp: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.12) 10 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan 3.2.1 Hệ tương đương hàm tự đồng cấu Hệ tiền schroder (3.11) thú vị trường hợp n ≥ (với n = đồng thức) Mọi nghiệm σ : X → K phương trình (3.10) thỏa mãn phương trình (3.11), điều ngược lại khơng Định lí 3.2.1 Hàm σ : X → K thỏa mãn phương trình (3.11) với n ≥ tồn hàm ω : X → K cho σ ω thỏa mãn hệ phương trình: (3.12) σ (f (x)) = ω(x).σ(x) n−1 [ω(x)] = n−1 Y ω f i (x)
(3.13) i=1 Chứng minh Cố định n ≥ 2, dễ dàng thấy (3.12) (3.13) suy (3.11) Đảo lại, giả sử hàm σ : X → K thỏa mãn (3.11), đặt ω(x) = σ (f (x)) /σ(x) σ(x) 6= ω(x) = trường hợp lại Từ (3.11) kéo theo σ(x) = suy σ (f (x)) = Vì vậy, (3.12) theo định nghĩa ω : X → K Hơn nữa, σ(x) = ω(x) = ω (f (x)) = (3.13) đúng, σ(x) 6= [ω(x)]n = σ(f (x))n σ (f n (x)) = σ(x) σ(x)n
Nhưng (3.12) ngụ ý σ (f n (x)) = ω(x) ω f n−1 (x) σ(x) kéo theo (3.13) Với n = phương trình (3.13) có dạng: ω(x) = ω (f (x)) (3.14) Điều ngụ ý (3.13) với n ≥ Vì vậy, theo định lý 9.2.1, (3.11) thỏa mãn với n = thỏa mãn với n ≥ Nghiệm (3.14) gọi hàm tự đồng cấu Cấu trúc chúng xác định cấu trúc quỹ đạo X ánh xạ f Định lí 3.2.2 Cho X, Y tập hợp f : X → X hàm Hàm ω : X → K thỏa mãn phương trình (3.14) số quỹ đạo f Chứng minh Cho x, y ∈ X, x ∼ f y (xem mục 1.1) tồn p, q ∈ N0 cho f p (x) = f q (y) Vì thu từ (3.14) ω(x) = ω (f p (x)) = ω (f q (x)) = ω(y) 47 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Chú ý 3.2.3 Định lý 3.2.1 3.2.2 ta thay K trường (giao hoán) F Chúng ngụ ý X rút gọn quỹ đạo đơn ánh xạ f hệ (3.11) phương trình (3.10) tương đương Nhưng X bao gồm nhiều quỹ đạo (3.10) (3.11) khơng tương đương với số lớn lớp hàm (Kuczma [14]) 3.2.2 Sự tng ng ca phng trỡnh Schră oder v h tin Schră oder Nu chỳng ta hn ch lp cỏc hm mà hệ (3.11) nghiên cứu tỉ mỉ (3.11) (3.10) tương đương Dưới đưa hai định lý để có điều Giả sử rằng: (i) X ⊂ K lân cận gốc (ii) f : X → X hàm cho f (0) = f (0) tồn Trước hết xét lớp hàm khả vi gốc Định lí 3.2.4 Nếu giả thiết (i), (ii) thỏa mãn f (x) 6= với x ∈ X\ {0}, lim f k (x) = với x ∈ X hàm σ : X → K thỏa mãn hệ (3.11), có đạo hàm k→0 hữu hạn σ (0) 6= thỏa mãn (3.10) với s = f (0) Chứng minh Chúng ta có σ(x) 6= X\ {0} Cho σ(x0 ) = (x0 ∈ X\ {0}) ngụ ý
σ f k (x0 ) = với k ∈ N0
k σ (0) = lim σ f (x0 ) − σ(0) fk k→∞ (x0 ) =− σ(0) lim f k (x0 ) k→∞ Sẽ không vô hạn tùy theo σ(0) = hay không, điều mâu thuẫn với giả thiết Theo định lý 3.2.1 hàm ω(x) = σ (f (x)) /σ(x) với x ∈ X\ {0} thỏa mãn phương trình (3.14) (tức (3.13) với n = 2) Vì
ω(x) = ω f k (x) , x ∈ X\ {0} , k ∈ N (3.15) Chúng ta có với x ∈ X\ {0} ω f k (x) =


σ f k+1 (x) f k (x) f k+1 (x)
=
k k+1 k σ f k+1 (x) σ f k (x) f (x) σ f (x) f (x) (3.16)
Nếu σ(0) 6= lim ω f k (x) = theo đẳng thức (3.16) k→∞
Nếu σ(0) = từ đẳng thức thứ hai (3.16) ta thu lim ω f k (x) = k→∞ 48 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan f (0) Theo (3.15) hai trường hợp ω số X\ {0} σ thỏa mãn (3.10) với s = s = f (0) Theo tính liên tục σ khơng (3.10) tồn X Nếu s = σ tự đẳng cấu liên tục khơng Vì hàm X Điều ngụ ý σ (0) = mâu thuẫn với giả thiết, s = f (0) Bây chuyển qua lớp hàm giải tích X Định lí 3.2.5 Nếu giả thiết (i), (ii) thỏa mãn f hàm giải tích X, f (x) 6= 0, (x 6= 0), |f (0)| < Khi đó, hàm giải tích σ : X → K thỏa mãn hệ (3.11) thỏa mãn (3.10) với s = f (0)q , q bậc của σ gốc, σ = s tùy ý Chứng minh Chọn r > cho U = {x ∈ K : |x| < r} ⊂ X < |f (x)| < |x| U \ {0}
Nếu σ(x0 ) = với x0 ∈ U \ {0} σ f k (x0 ) = 0, ∀k ∈ N, theo định lý 1.1.5, σ = X Rõ ràng trường hợp (3.10) với s Bây giả sử σ(x) 6= U \ {0} ta viết σ(x) = xq ψ(x), q ∈ N0 , ψ(0) 6= Và ta lại có ω(x) = σ (f (x)) /σ(x) U \ {0} thỏa mãn (3.14) Chúng ta có với x ∈ U \ {0} "
# q k+1 (x) k+1 ψ f f (x)
= f (0)q ω(x) = lim ωf k(x) = lim k k→∞ k→∞ f (x) ψ f k (x) Vì σ thỏa mãn (3.10) với s = f (0)q U \ {0}, σ hàm giải tích nên (3.10) tồn X 3.3 H Schră oder-Abel v cỏc phng trỡnh kt hp Trong mc ny phng trỡnh Schrăoder v Abel s xut hin với phương trình kết hợp: T (T (x, y); z) = T (x; T (y, z)) ; ∀x, y, z ∈ [0; 1] (3.17) Chúng ta quan tâm tới phương trình dạng (3.17) mà tồn nghiệm T ánh xạ hình vng đơn vị vào khoảng đơn vị R, kết giới thiệu trích từ W.F.Darsow – M.J.Frank [9] 3.3.1 Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn Chúng ta giới hạn việc xem xét lớp nghiệm đặc biệt (3.17) Đặt X = [0; 1] A∗ = A\ {0} với A ⊂ X 49 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Định nghĩa 3.3.1 Hàm Archimedean T : X → X nghiệm (3.17) liên tục, tăng theo biến thỏa mãn điều kiện T (0, x) = T (x, 0) , T (1, x) = T (x, 1) = x với ∀x ∈ X T (x, x) < x với ∀x ∈ (0, 1) Một hàm Archimedean gọi kết hợp hoàn tồn tăng nghiêm ngặt biến X ∗ Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn viết tắt “s.A” Mọi s.A T cho cơng thức (xem Aczél [1, § 6.2.2]): T (x, y) = ϕ−1 (ϕ(x) + ϕ(y)) , x, y ∈ T (x, 0) = T (0, x) = 0, X∗ ) x∈X (3.18) ϕ : X ∗ → R+ song ánh giảm ϕ gọi sinh T Chú ý 3.3.2 Nếu ϕ sinh s.A T liên tục X ∗ sinh ϕ xác định sai khác số nhân Cho T s.A cho (3.18) với phần tử sinh ϕ1 ϕ2 , đặt φ = ϕ2 ◦ ϕ1−1 , φ : R+ → R+ hàm giảm nghiêm ngặt thỏa mãn phương trình Cauchy: φ(u + v) = φ(u) + φ(v), u, v ∈ R+ kéo theo φ = ku, k > (xem Aczél [1, § 2.3.4], Kuczma [16, § 13.5]) có ϕ2 = kϕ1 Bây giới thiệu khái niệm chéo u – lớp hàm Archimedean kết hợp T Chúng ta xét: f (x) = T (x, x), x ∈ X ∗ (3.19) f (x) gọi chéo T, f có cách (3.18) ta thay y = x, ta để ý f t phng trỡnh Schrăoder: (f (x)) = 2(x), x ∈ X ∗ (3.20) Tương tự, cố định u ∈ (0; 1) đặt: g (x) = T (x, u) (3.21) Khi g gọi u – lớp T Khơng tính tổng quát, giả sử ϕ(u) = thu từ (3.18) (bằng cách thay y = u) phương trình Abel: ϕ (g(x)) = ϕ(x) + 1, x ∈ X ∗ (3.22) Với u cố định chéo u – lớp s.A T có tính chất sau 50 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Bổ đề 3.3.3 (1) Một tự ánh xạ f X chéo s.A T tăng nghiêm ngặt X < f (x) < x (0; 1), f (0) = 0, f (1) = (2) Một tự ánh xạ g X u – lớp s.A T tăng nghiêm ngặt X, ánh xạ X vào [0; u] < g(x) < x X ∗ , g(0) = 0, g(1) = u Chứng minh Điều kiện cần hai trường hợp hiển nhiên, xem (3.19), (3.21) định nghĩa 3.3.1 Điều kiện đủ: cho f hàm thỏa mãn điều kiện định lý, áp dụng ý 3.6.3 để thu nghiệm giảm nghiêm ngặt ϕ : X ∗ → R+ (3.20) sinh T Tương tự, thu điều kiện đủ cho trường hợp (2) Định lí 3.3.4 Cho V tập X, T0 T hai s.A với phần tử sinh tương ứng ϕ ϕ0 (a) Giới hạn V chéo T0 T trùng ϕ0 = σ0 ϕ, đó: σ(2t) = 2.σ(t), t ∈ ϕ(V + ) (3.23) (b) Cho u ∈ (0, 1) cố định, hạn chế V u – lớp T0 T trùng ϕ0 (u) = ϕ(u) = ϕ0 = α0 ϕ, đó: α(t + 1) = α(t) + 1, t ∈ ϕ(V ∗ ) (3.24) Chứng minh Với (a) ta cần áp dụng công thức cho chéo T f = ϕ−1 (2ϕ) (xem (3.20)) Với (b) ta cần áp dụng công thức cho u – lớp T g = ϕ−1 (ϕ + 1) (Xem (3.22)), với T0 ta thay ϕ bng 3.3.2 Kt hp cỏc phng trỡnh Schră oder Abel Chúng ta đặt câu hỏi nói s.A T chéo u – lớp rõ Một phần tử sinh T phải thỏa mãn đồng thời phng trỡnh Schrăoder v Abel (3.20) v (3.22) õy, muốn thiết lập điều kiện cho tính s.A T có hạn chế f g cho Cố định u ∈ X ∗ giả sử cho s.A T0 T với phần tử sinh tương ứng ϕ0 ϕ, (ϕ0 (u) = ϕ(u) = 1) Các chéo T0 T trùng tập A ⊂ X u–lớp T0 T trùng tập B ⊂ X Theo định lý 3.3.4, hàm: φ = ϕ0 ϕ−1 (3.25) 51 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan phải thỏa mãn đồng thời phương trình: φ(2x) = 2φ(x), x ∈ ϕ(A∗ ) (3.26) φ(x + 1) = φ(x) + 1, x ∈ ϕ(B ∗ ) (3.27) Đối với A B, nghiệm chung φ (3.26) (3.27) đồng Để φ = idR+ điều kiện cần ϕ0 = ϕ, nghĩa T0 = T T xác định  hạn chế tập (x, x) ∈ X : x ∈ A ∪ (B × {u}) Chúng ta chứng minh định lý đề cập đến trường hợp A = X B = X Ký hiệu f0 f chéo T0 T, u – lớp tương ứng g0 g Định lí 3.3.5 Nếu T0 T s.A hai điều kiện sau ngụ ý T = T0 : (a) g0 = g f0 (x) = f (x); ∀x ∈ A = [0; a] , < a ≤ (b) f0 = f g0 (x) = g(x); ∀x ∈ B = [0; b] , < b ≤ Chứng minh (a) Hàm (3.25) thỏa mãn phương trình (3.26) ϕ(A∗ ) = [ϕ(a), ∞) phương trình (3.27) ϕ(X ∗ ) = R+ Áp dụng phương trình (3.27), quy nạp ta
φ(x + n) = φ(x) + n, x > 0, n ∈ N0 từ φ(1) = ϕ0 ϕ−1 (1) = ϕ0 (u) = φ(n) = n, ∀n ∈ N Từ (3.26) quy nạp ta có: φ(x) = 2−n φ(2n x) (3.28) Với x ≥ ϕ(a), n ∈ N, ta cố định số nguyên k ≥ ϕ(a) với số hữu tỷ nhị nguyên dương t = m.2−n có φ(t) = φ(t + k) − k = 2−n φ (2n (t + k)) − k = 2−n φ(m + k.2n ) − k = t t + k ≥ ϕ(a) m + k.2n số nguyên Vì vậy, φ(t) = t tập trù mật R+ Từ tính liên tục φ (xem ý 3.3.2) ta suy điều phải chứng minh (b) Bây (3.26) thỏa mãn R+ (3.27) thỏa mãn [ϕ(b), ∞) Chọn số nguyên dương k cho 2k ≥ ϕ(b) Dùng (3.28) (cái với x ≥ 0, n ∈ N) ϕ(1) = để từ (3.27) ta φ(m) = m, ∀m ≥ 2k Cho t số hữu tỷ nhị nguyên dương bất kỳ, lấy số nguyên n ≥ k cho 2n t ∈ N 2n t ≥ 2k Vì thế, φ(t) = 2−n φ(2n t) = 2−n (2n t) = t, từ tính liên tục φ ta có φ(x) = x, ∀x ≥ 3.3.3 Sự tồn phần tử sinh Chúng ta chuyển qua vấn đề tồn Archimedean T tình sau 52 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Cho A B đoạn đóng X cho u ∈ (0, 1) cố định Giả sử cho f : A → X g : B → X hàm liên tục tăng nghiêm ngặt Với điều kiện tồn s.A T0 cho f g hạn chế chéo f0 u–lớp g0 nó? Để trả lời câu hỏi làm sau: Trước hết, tìm ánh xạ ϕ liên tục, giảm nghiêm ngặt từ tập A∗ ∪f (A∗ ) vào R+ thỏa mãn phương trình (3.20) A* Tiếp theo cần song ánh tăng σ tập ϕ (A∗ ∪ f (A∗ )) vào thỏa mãn phương trình (3.23) ϕ(A∗ ) Theo định lý 3.3.4, T0 mà nhận f hạn chế chéo f0 sinh hàm ϕ0 có hạn chế A∗ ∪ f (A∗ ) có dạng σ ◦ ϕ Tương tự, g (nếu g hạn chế g0 ta nói g mảnh g0 ) mảnh u – lớp g0 T0 phần tử sinh ϕ0 T0 mở rộng giảm nghiêm ngặt lên X* hàm α ◦ ϕe, ϕe : B ∗ ∪ g(B ∗ ) → R+ hàm liên tục, giảm nghiêm ngặt thỏa mãn (3.22) B ∗ α tự ánh xạ tăng nghiêm ngặt tập ϕe (B ∗ ∪ g(B ∗ )) thỏa mãn (3.24) ϕe(B ∗ ) Nếu miền xác định ϕ ϕe không dẫm lên nhau, hàm σ ◦ ϕ α ◦ ϕe mở rộng thành phần tử sinh ϕ0 T0 Nhưng miền xác định dẫm lên tốn trở lên khó trường hợp tổng quát giải Chúng ta miêu tả nghiệm toán trường hợp A = B = [u, 1] (trường hợp khác đề cập Darsow – Frank [9] A = B = [0; u]) Các hàm liên tục tăng nghiêm ngặt f, g : [u, 1] → X tương ứng hạn chế chéo u–lớp s.A T Vì vậy, (xem định nghĩa 3.3.1) chúng cần phải thỏa mãn điều kiện: < g(x) < f (x) < x, ∀x ∈ (u, 1), < f (u) = g(u) < u, f (1) = 1, g(1) = u (3.29) Vậy A∗ ∪ f (A∗ ) = [f (u), 1], theo lập luận từ ý 3.6.3 tìm hàm ϕ liên tục, giảm nghiêm ngặt xác định [f (u), 1] = [g(u), 1] thỏa mãn (3.20) [u, 1] , ϕ(u) = Thay x = u sau x = vào (3.20) theo (3.29) ϕ (g(u)) = ϕ(1) = Vì thấy ϕ ánh xạ đoạn [g(u), 1] lên toàn [0; 2] [u; 1] lên X = ϕ(A) Xét hợp σ ◦ ϕ với σ : [0; 2] → [0; 2] hàm liên tục tăng nghiêm ngặt thỏa mãn (3.23) ϕ(A) = X Chúng ta hy vọng hợp nghiệm phương trình (3.22) tức là: (σ ◦ ϕ) (g(x)) = (σ ◦ ϕ) (x) + 1, x ∈ [u, 1] là: σ ϕ ◦ g ◦ ϕ−1 (t) = σ(t) + 1, t = ϕ(x) ∈ X
53 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Vì thế, σ phải nghiệm tăng nghiêm ngặt từ [0, 2] vào ca h Abel Schrăoder: (2x) = 2(x), x X (3.30) σ (h(x)) = σ(x) + 1, x ∈ X (3.31) Ở h hàm liên hợp với g theo ϕ: h(x) = ϕ ◦ g ◦ ϕ−1 (x), x ∈ X
(3.32) Nhớ rằng, h hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt h(0) = ϕ (g(1)) = ϕ(u) = 1, h(1) = ϕ (g(u)) = Vì vậy, h ánh xạ X lên [1;2] Theo cách ta chứng minh định lý sau: Định lí 3.3.6 Cố định u ∈ (0; 1) f, g : [u, 1] → X hàm liên tục tăng nghiệm ngặt thoả mãn điều kiện (3.29) Khi khẳng định sau tương đương: (a) Tồn s.A T có chéo u–lớp hạn chế [u, 1] tương ứng với f g (b) Có hàm σ từ [0; 2] vào liên tục tăng nghiêm ngặt thỏa mãn đồng thời phương trình (3.30) (3.31) X Ở đó, h cho (3.32) với ϕ hàm giảm nghiêm ngặt ánh xạ [g(u), 1] vào [0;2] thỏa mãn (3.20) A = [u;1] Hơn nữa, (b) thỏa mãn mở rộng σ ◦ ϕ : g(A) → [0; 2] tới song ánh giảm liên tục ϕ0 : X ∗ → R+ phần tử sinh đồng thời mở rộng Archimedean hoàn toàn f g 3.3.4 Nghiệm hệ Abel – Schră oder Chỳng ta s xem xột h (3.30) (3.31) Để thuận tiện ta đặt: Y = [1; 2], Z = [0; 2] Chúng ta giả sử rằng: (i) h hàm tăng nghiêm ngặt, liên tục ánh xạ X lên Y Chúng ta tìm hàm σ : Z → Z liên tục, tăng nghiêm ngặt thỏa mãn hai (3.30) (3.31) X Để thuận tiện ta thay (3.30) – (3.31) hệ tương đương: ϕ h(2−n y) = + 2−n ϕ(y), n ∈ N0 , y ∈ Y
(3.33) Bổ đề 3.3.7 Giả sử (i) đúng, σ : Z → Z đồng thời nghiệm (3.30) (3.31) 54 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan X ψ = σ|Y thỏa mãn (3.33) Đảo lại, ψ : Y → Y thỏa mãn (3.33) ψ(1) = 1, ψ(2) = σ : Z → Z xác định σ(0) = σ(x) = 2−n ψ(2n x), 2−n < x ≤ 2−n+1 , n ∈ N0 thỏa mãn (3.30) (3.31) X Hàm σ liên tục tăng tăng nghiêm ngặt Z ψ Y Chúng ta xây dựng nghiệm thích hợp (3.33) Dãy xác định tn = h(2−n ), n ∈ N0 dãy giảm nghiêm ngặt lim tn = h(0) = Cho ψ0 : Y → R hàm bất n→∞ kỳ thỏa mãn ψ0 (1) = 1, ψ0 (2) = Xác định dãy hàm ψm : Y → R, n ∈ N ) ψm (1) = ψm (y) = + 2−n ψm−1 2n h−1 (y) , < y < tn , ∀n0 ∈ N0
(3.34) Định lí 3.3.8 Với hàm bị chặn ψ0 : Y → R với ψ0 (1) = 1, ψ0 (2) = dãy (3.34) hội tụ tới hàm bị chặn ψ : Y → R với ψ(1) = 1, ψ(2) = 2, thỏa mãn hệ (3.33) Y (∀n ∈ N0 ) Nghiệm ψ liên tục tăng Y ψ0 Chứng minh Ứng với y ∈ Y \ {1} có n ∈ N0 cho tn+1 < y ≤ tn , tức y1 = 2n h−1 (y) ∈ Y \ {1} Vì theo (3.34) ta có: |ψm+1 (y) − ψm (y)| = 2−n |ψm (y1 ) − ψm−1 (y1 )| ≤ |ψm (y1 ) − ψm−1 (y1 )| Tiếp tục lập luận y1 tiếp tục cuối ta thu ym ∈ Y \ {1} cho: |ψm+1 (y) − ψm (y)| ≤ 2−m |ψ1 (ym ) − ψ0 (ym )| ≤ M 2−m Với y ∈ Y, m ∈ N, bất đẳng thức cuối thu từ tính bị chặn ψ0 Từ suy {ϕm } dãy hội tụ tới hàm ψ : Y → R Y Theo (3.34) có với n ∈ N0 cố định:
ψm h(2−n y) = + 2−n ψm−1 (y), y ∈ Y, m ∈ N Cho m → +∞ thây ψ thỏa mãn (3.33) Y Bây giờ, ψ0 liên tục tăng ánh xạ Y lên tính chất cho ψm , m ∈ N Q trình tính giới hạn bảo tồn tính chất nên ta có điều phải chứng minh 55 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Chúng ta xem xét tới nghiệm liên tục tăng nghiêm ngặt ψ : Y → Y (3.33) Đầu tiên xét chúng tập D gồm số hữu tỷ nhị nguyên (1, 2): ) ( k X 2−n1 − −nj ; nj ∈ N; j = 1, k, k ∈ N D = d ∈ (1, 2) : d = + j=1 Ta xét hàm hn : Y → [tn , tn−1 ] xác định bởi: hn (y) = h(2−n y), n ∈ N Bằng quy nạp thu với ψ thỏa mãn (3.33) d ∈ D ψ (hn1 ◦ hn2 ◦ ◦ hnk (y)) = d + 2−n1 − −nk (ψ(y) − 1) , k ∈ N (3.35) Tiếp theo thay y=1 viết: H(d) = hn1 ◦ hn2 ◦ ◦ hnk (1) với d = + k P 2−n1 − −nk ∈ D j=1 Gọi C dãy H(d), C = H(D) ⊂ (1, 2) Ta chứng minh H ánh xạ - tăng từ D vào C Từ ϕ(1) = 1, thu từ (3.35) ψ (H(d)) = d, d ∈ D (3.36) Vì vậy, ψ xác định C Cho cl(C) tập Y, lấy khoảng mở (a, b) ⊂ Y \cl (C) tiếp giáp với cl(C) Chúng ta chứng minh ψ(a) = ψ(b), tức ψ [a; b] Thật ψ(a) ≤ ψ(b) ψ hàm tăng Nếu ψ(a) < ψ(b) có d ∈ D cho ψ(a) < d < ψ(b) Hơn nữa, d = ψ(c) c = H(d) ∈ C a < c < b, theo (3.36) ψ song ánh tăng nghiêm ngặt từ C vào D Nhưng (a, b) chứa điểm C mâu thuẫn nên ψ(a) = ψ(b) Cuối cùng, C trù mật Y tính đơn điệu liên tục ψ với (3.36) ngụ ý tính nghiệm ψ : Y → Y (3.33) Lại theo (3.36), ψ cần phải tăng nghiêm ngặt Y Áp dụng định lý 3.3.8 bổ đề 3.3.7 ta chứng minh định lý sau: Định lí 3.3.9 Nếu giả thiết (i) thỏa mãn có hàm tăng, liên tục σ : Z → Z thỏa mãn (3.30) (3.31) X Hơn nữa, σ tăng nghiêm ngặt tập C = H(D) trù mật Y 56 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Chú ý 3.3.10 Định lý 3.3.9 ngụ ý s.A T nói đến định lý 3.3.6(a) tồn tập C trù mật [1,2] Các phần tử C khai triển qua f g, kiểm tra tính trù mật tốn khó (xem Darsow – Frank [9]) 3.4 Hệ Abel phương trình vi phân có lệch Chúng ta xét phương trình vi phân bậc với lệch f (x) là:
A(f ) = A x, y(x), y (f(x)) , y (x), y (f (x)) = phép đổi biến x → t = ϕ(x) phương trình A(f ) = chuyển sang dạng khác với lệch g(t), g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 Theo cách này, dẫn đến phương trình liên hợp (1.12), ϕ hàm khả nghịch đủ trơn Nếu muốn có lệch g(t) = t + c (1.12) trở thành phương trình Abel: α (f (x)) = α(x) + c Để tìm nghiệm α thích hợp, áp dụng lý thuyết nghiệm khả vi Bây xét phương trình bậc n với k lệch f1 (x), f2 (x), , fk (x) An (f1 , , fk ) = Việc tồn phép biến đổi α biến phương trình thành phương trình dạng Bn (g1 , , gn ) = với lệch số: gi (t) = t + ci , i = 1, , k; ci 6= tương đương với việc tồn nghiệm chung α hệ phương trình Abel đồng thời: α (fi (x)) = α(x) + ci , i = 1, , k, ci 6= (3.37) Hệ (3.37) giải giả thiết sau: (i) X ⊂ R tập mở bị chặn khoảng vô hạn (ii) fi : X → X thuộc lớp C n X, fi0 (x) > 0, ∀x ∈ X, fi (x) 6= x X, fi (X) = X với i = 1, 2, , k, n ∈ N 3.4.1 Nhóm phép biến đổi Chúng ta giả thiết thêm: (iii) Tồn nghiệm chung α : X → R (3.37) thuộc lớp C n X α0 (x) > X 57 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Từ (iii) kéo theo α(X) = R, lấy x0 ∈ X, j ∈ {1, , k} Ta tính được: lim α fjm (x0) =
m→±∞ lim m→±∞ (α(x0 ) + mcj ) = ±∞ Và nhận xét α hàm liên tục tăng nghiêm ngặt X Các phương trình (3.37) cho thấy hàm fi nhúng vào nhóm phép biến đổi tham số cho công thức α−1 (α(x) + c) , c ∈ R Mọi hợp hữu hạn fi nghịch đảo fi−1 thuộc nhóm Ta ký hiệu tập hợp là:  F = f1s1 ◦ f2s2 ◦ ◦ fksk : si ∈ Z, i = 1, , k Dễ dàng chứng minh tính chất sau nhóm F Bổ đề 3.4.1 Giả sử giả thiết (i) – (iii) thỏa mãn đó: (a) Hai phần tử F giao hốn F nhóm (b) Hai hàm F mà điểm X đồng trùng Một câu hỏi đặt tập hợp điểm nằm đồ thị hàm thuộc F trù mật X hay không Đặt G = (x, y) ∈ X : tồn f ∈ F cho f (x) = y}  Chúng ta nhớ lại điều kiện trù mật tập R Tính chất 3.4.2 Giả sử k ∈ N, k ≥ ci ∈ R\ {0} , i = 1, , k Tập hợp M = {x ∈ R : x = s1 c1 + + sk ck , si ∈ Z} (3.38) trù mật R có thương ci /cj số vô tỷ Bổ đề 3.4.3 Nếu giả thiết (i) – (iii) thỏa mãn thì: (a) Tập G trù mật X có cặp (i, j) với i, j ∈ {1, , k} cho thương ci /cj số vô tỷ (b) Nếu G không trù mật X có hàm g : X → X thuộc lớp C n X cho g (x) > 0, g(x) > x X fi xấp xỉ liên tiếp g, fi = g mi , mi ∈ Z, i = 1, , k 58 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Chứng minh (a) phép biến đổi T : X → R2 , (x, y) → (α(x), α(y)) vi phôi α0 (x) > X  Vì tập T(G) trù mật R2 G trù mật X Nhưng   k P T (G) = t, t + si ci : t ∈ R, si ∈ Z trù mật R2 tập i=1 M định nghĩa (3.38) trù mật R Từ tính chất (3.37) ta có điều phải chứng minh (b) Nếu G khơng trù R2 theo (a) có d > cho ci = mi d với mi ∈ Z Hàm g : X → X, g(x) = α−1 (α(x) + d) có tính chất mong muốn Theo khẳng định (b) bổ đề 3.4.1, hàm H : G → R cho H(x, y) = f (x) f ∈ F f (x) = y (3.39) định nghĩa tốt Nó có tính chất sau Bổ đề 3.4.4 Giả sử (i) – (iii) Khi đó: (a) Hàm H : G → R xác định (3.39) dương G thỏa mãn phương trình H(x, y)H(y, z) = H(x, z) (3.40) Với (x, y) (y, z) thuộc G (b) Tồn mở rộng H* H lên X hàm dương, thuộc lớp C n−1 thỏa mãn (3.40) X Hơn nữa, H có mở rộng với điều kiện G trù mật X Chứng minh (a) Tính dương h kéo theo từ (ii) định nghĩa Bây giờ, (x, y), (y, z) ∈ G tồn h1 , h2 ∈ F cho h1 (x) = y, h1 (y) = z Vì
0 (h1 ◦h2 )(x) = z h1 ◦h2 ∈ F, (x, z) ∈ G Theo tính chất (h1 ◦ h2 ) = h1 ◦ h2 h2 (3.39) có (3.40) (b) Chúng ta đặt 0 H ∗ (x, y) = α (x)/α (y) X Ở α hàm (iii) Hiển nhiên H* dương, thuộc lớp C n−1 thỏa mãn (3.40) X lấy (x, y) ∈ G cho f (x) = y với f ∈ F, f hợp xấp xỉ liên tiếp fi , i = 1, , k theo (iii) có α (f (x)) = α(x) + const 0 Do H ∗ (x, y) = α (x)/α (f (x)) = f (x) = H(x, y) tức H ∗ | G = H Tính hiển nhiên 59 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan 3.4.2 Hệ phương trình Abel đồng thời Bổ đề 3.4.3 3.4.4 gợi ý cho tồn định lý sau hệ (3.37) (xem Newman [21]) Định lí 3.4.5 Nếu giả thiết (i), (ii) thỏa mãn Trong hai trường hợp sau tồn số ci 6= 0, i = 1, , k cho hệ (3.37) có nghiệm α : X → R thuộc lớp C n X thỏa mãn α (x) > X (tức khẳng định (iii) đúng) (a) Tồn hàm g : X → X thuộc lớp C n X, thỏa mãn g’(x) > 0, g(x) > x X có số nguyên mi 6= cho fi = g mi , i = 1, , k (b) Tập G trù mật X , hàm H : G → R xác định tốt theo (3.39) có mở rộng H ∗ : X → R thuộc lớp C n−1 X đồng thời thỏa mãn phương trình (3.40) X Chứng minh (a) Từ định lý 1.2.20 biết phương trình Abel α (g(x)) = α(x) + Có nghiệm α : X → R thuộc lớp C n X thỏa mãn α (x) > X (nghiệm chứa hàm bất kỳ) Hàm α thỏa mãn hệ (3.37) với ci = mi từ có: α (fi (x)) = α (g mi (x)) = α(x) + mi , i = 1, , k (b) Đầu tiên ta ý H* > Thực vậy, H ∗ |G = H > theo (ii) (3.39), H* không dương X từ tính liên tục tồn điểm (u, v) ∈ X cho H*(u, v) = Nhưng có theo (3.40) với (x, y) ∈ X H ∗ (x, y) = H ∗ (x, u)H ∗ (u, v)H ∗ (v, y) = Đây mâu thuẫn Bây cố định x0 , y0 ∈ X định nghĩa hàm ϕ : X → R sau: Zx H ∗ (s, y0 )ds, x ∈ X α(x) = x0 Khi đó, α thuộc lớp Cn X, α (x) > X Chúng ta có
0 α ◦ fi ◦ α−1 (t) = H ∗ (fi (x), y0 ) fi (x)/H ∗ (x, y0 ), x = α−1 (t) (3.41) Nhận xét fi ∈ F theo (3.39) fi (x) = H (x, fi (x)) = H ∗ (x, fi (x)) 60 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan Chương Một số áp dụng liên quan Hàm H* mở rộng H Vì vậy, thu từ (3.41), từ H* thỏa mãn (3.40) (chúng ta lại đặt x = α−1 (t))
0 ∗ ∗ ∗ −1 α ◦ fi ◦ α (t) = H (fi (x), y0 ) H (x, fi (x)) /H (x, y0 ) = 1; i = 1, , k α ◦ fi ◦ α−1 (t) = t + di
Ở di = α (fi (x0 )) 6= từ α(x0 ) = 0, fi (x0 ) 6= x0 α tăng nghiêm ngặt Vì khẳng định (iii) cho hệ (3.37) với ci = di Chú ý 3.4.6 Định lý 3.4.5 bao gồm điều kiện để phương trình vi phân có lệch với lệch biến biến đổi dạng khác với lệch Phương pháp để chuyển phương trình vi phân có lệch dạng đơn giản đề xuất F Newman [20], [21] Phương pháp ông tìm nghiệm trơn phương trình Abel đồng thời dựa vào kết O.Boruvka liên quan đến nhóm phép biến đổi tham số Để tìm thêm kết phương trình hàm đề cập mục xem Bodewadt [3] Barvínek [4] Choczewski [5] 3.5 Hệ Schră oder v c tớnh ca chun c tớnh ca chuẩn theo phương trình hàm kết mục trích dẫn theo J Matkowski [19] 3.5.1 Đặc tính chuẩn Xét khơng gian lp gồm dãy số thực phức khả tổng bậc p (p ≥ 1): ( ) ∞ X |xi |p < ∞ lp = x = (xn )n∈N : xn ∈ K, i=1 Không gian với chuẩn: kxk = ∞ X !1/p |xi |p i=1 không gian Banach Chúng ta xét ϕ(t) = c.tp cơng thức trở thành: ! ∞ X kxkϕ = ϕ−1 ϕ (|xi |) (3.42) i=1 61 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.ham.schrĨ§der abel.va.mot.so.ap.dung.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com