THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VIẾT HOÀN an lu n va p ie gh tn to w d oa nl ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH FLETT VÀ ỨNG DỤNG oi m ll fu an v an lu nh at z LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z @ om l.c gm an Lu Bình Định - 2020 n va a th c si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VIẾT HOÀN an lu n va gh tn to p ie ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH FLETT VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w v an lu Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 oi m ll fu an nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC at z z @ om l.c gm Người hướng dẫn: TS DƯƠNG VIỆT THƠNG an Lu Bình Định - 2020 n va a th c si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Dương Việt Thơng Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố bất an lu kỳ phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan va n Quy Nhơn, ngày 09 tháng 07 năm 2020 Người cam đoan p ie gh tn to w Nguyễn Viết Hoàn d oa nl oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Tiến sĩ Dương Việt Thông, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khóa Cao học an lu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đọc n va gh tn to luận văn cho nhận xét sâu sắc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người luôn bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn p ie w Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến d oa nl thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn oi m ll fu an v an lu Quy Nhơn, ngày 09 tháng 07 năm 2020 Người cam đoan nh Nguyễn Viết Hoàn at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mục lục an lu Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu n va gh tn to Định lý Flett Kiến thức chuẩn bị Định lý Flett số hệ 10 1.3 Một số dạng thức khác định lý Flett 15 p ie 1.1 1.2 w Ứng dụng định lý Flett vào việc giải số toán Ứng dụng cho phương trình tốn tử Volterra fu an KẾT LUẬN v an lu 2.1 2.2 20 d oa nl Ứng dụng 20 36 41 oi m ll nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an LỜI NĨI ĐẦU Trong Giải tích tốn học, nhiều nhà nghiên cứu cho việc giảng dạy khái niệm tốn học cho học sinh phổ thơng hay sinh viên năm đại học nên trình bày cách dễ hiểu trực quan dùng đồ thị, ý nghĩa hình học thay khái niệm toán học trừu tượng Để làm điều cần định lý, cơng cụ cần thiết cho việc trực an lu quan hóa khái niệm tốn học Một cơng cụ định lý giá trị trung bình Ví dụ điển hình đạo hàm Bên cạnh định nghĩa n va gh tn to thống khái niệm trừu tượng giới hạn đạo hàm cịn biểu diễn trực quan qua hệ số góc đường tiếp tuyến Và định lý giá trị trung bình cầu nối việc chứng minh biểu diễn hình học p ie w đạo hàm Ngồi ra, định lý giá trị trung bình từ trước đến vốn có tầm quan d oa nl trọng Giải tích tốn học Các định lý vừa có hình thức biểu diễn đơn giản lại vừa cơng cụ tốn học mạnh mẽ, phù hợp để giải nhiều fu an v an lu toán Ví dụ hàm số có đạo hàm dương hàm tăng ngặt hệ suy từ định lý giá trị trung bình Trong chương trình m ll Tốn học nhiều quốc gia giới có Việt Nam, định lý giá trị trung bình đưa vào sách Giải tích tốn hoc để giảng dạy cho oi học sinh, sinh viên Có nhiều định lý giá trị trung gian khác Fermat, Rolle, nh at z Lagrange, hay Cauchy, nhiên tập trung vào định lý Flett Luận z @ văn có tên “Định lý giá trị trung bình Flett ứng dụng” Luận văn gồm hai chương: gm om l.c Chương Tác giả nhắc lại số kết hàm số liên tục, hàm số khả vi chứng minh định lý giá trị trung bình Flett hai cách khác an Lu Ngoài ra, tác giả đưa số hệ dạng thức khác định lý Flett có nhiều ứng dụng chương n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Tác giả sử dụng hệ dạng thức khác định lý Flett Chương vào việc giải số toán định lý giá trị trung bình, tồn nghiệm phương trình tốn tử Volterra Quy Nhơn, ngày 09 tháng năm 2020 Học viên lu an Nguyễn Viết Hoàn n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Định lý Flett an lu Kiến thức chuẩn bị n va 1.1 p ie gh tn to Ở phần nhắc lại số định nghĩa, tính chất giới hạn hàm số, hàm số liên tục định lý giá trị trung bình cho hàm số khả vi liên tục w Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) , ta nói hàm d oa nl số f có giới hạn L x → x0 , viết lim f (x) = L, dãy {xn } ⊂ (a, b) x→x0 mà xn → x0 lim f (xn ) = L v an lu n→∞ Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) Hàm số f fu an gọi liên tục điểm x0 ∈ (a; b) lim f (xn ) = f (x0 ) với dãy n→∞ m ll {xn } ⊂ (a, b) xn → x0 n → ∞ Hàm số f gọi liên tục oi nh khoảng (a; b) liên tục điểm x0 ∈ (a; b) at Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f xác định khoảng (a, b) Hàm số f z z gọi liên tục khoảng (a, b) nếu: @ gm ∀ε > 0, ∃δ cho ∀x1 , x2 ∈ (a; b), |x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 ) | < ε om l.c Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số f xác định đoạn [a; b] Hàm số f đoạn [a; b] ký hiệu C([a; b]) an Lu gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục điểm x0 ∈ (a, b) hàm số f liên tục phải a, liên tục trái b Tập hợp tất hàm số liên n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý 1.1.1 (Định lý Weierstrass) Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a; b] Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 tồn hữu hạn giá trị giới hạn gọi đạo hàm hàm số f lim an lu x0 ký hiệu f (x0 ) Nếu hàm số f khả vi điểm x0 ∈ (a; b) nói f khả vi khoảng (a; b) n va số f có đạo hàm phải a, có đạo hàm trái b Tập hợp tất hàm số khả vi có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] ký hiệu C ([a; b]) p ie gh tn to Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm số f xác định đoạn [a; b] Hàm số f gọi khả vi đoạn [a; b] khả vi điểm x0 ∈ (a, b) hàm d oa nl w Định lý 1.1.2 (Định lý Fermat) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] đạt cực trị điểm c ∈ (a; b) Nếu f (c) tồn f (c) = v an lu Định lý 1.1.3 (Định lý Darboux) Giả sử hàm số f khả vi (a; b) Khi f có tính chất giá trị trung bình (a; b) oi m ll f (c) = fu an Định lý 1.1.4 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f (a) = f (b) tồn c ∈ (a; b) cho nh Định lý 1.1.5 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Khi tồn c ∈ (a; b) cho at z f (b) − f (a) b−a z @ f (c) = gm om l.c Định lý 1.1.6 (Tính khả vi hàm cận trên) Nếu f hàm liên tục [a; b] hàm số F (x) xác định Zx F (x) = f (t)dt an Lu n va a a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an an lu n va gh tn to Hình 1.1: Ý nghĩa hình học định lý giá trị trung bình Rolle p ie d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ Hình 1.2: Ý nghĩa hình học định lý giá trị trung bình Lagrange om l.c gm khả vi x ∈ [a; b] F (x) = f (x) n va an Lu Định nghĩa 1.1.7 (Khơng gian hàm bình phương khả tích) Z L [0, 1] := {f : [0, 1] → R đo cho |f (x)|2 dx < +∞} a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Do tính liên tục Rt xh(x)dx, nên khơng tính tổng qt ta giả sử Z t xh(x)dx > 0 Đặt t Z h(x)dx H(t) = an lu Bằng cách lấy tích phân phần ta có Z t Z t 0< xh(x)dx = tH(t) − H(x)dx, ∀t ∈ (0; 1) 0 va Cho t → ta n Z H(x)dx gh tn to ≤ H(1) − p ie R1 Suy H(x)dx ≤ Xét hàm µ : [0; 1] → R cho Z t H(x)dx, t 6= t µ(t) = 0, t = d oa nl w fu an v an lu Ta thấy oi hay nh tH(t) − H(x)dx , t ! t at µ0 (t) = Z t Z m ll µ0 (t) = tH(t) − t H(x)dx > t2 z z Do µ tăng (0; 1), suy µ tăng [0; 1] Từ ta @ hay Z Điều mâu thuẫn, ta có điều phải chứng minh an Lu H(x)dx > om l.c gm µ(1) > µ(0) n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục thỏa mãn Z h(x)dx = 0 Chứng minh tồn c1 ∈ (0; 1) cho Z c1 c1 h(c1 ) = xh(x)dx Chứng minh Xét hàm an lu va h(t) = e −t t Z xh(x)dx n gh tn to Ta dễ thấy h(0) = ta có −t −t t Z p ie h (t) = e th(t) − e w d oa nl =e −t Z th(t) − xh(x)dx ! t xh(x)dx v an lu Theo Bài tập tồn c ∈ (0; 1) cho h(c) = Do ta đươc h(0) = oi m ll fu an h(c) = Theo định lý Rolle tồn c1 ∈ (0; c) cho h0 (c1 ) = 0, nghĩa Z c1 −c1 xh(x)dx = 0, c1 h(c1 ) − h (c1 ) = e nh at điều tương đương với z c1 c1 h(c1 ) − z Z @ xh(x)dx = xh(x)dx om c1 h(c1 ) = c1 l.c Z Do gm an Lu Bài tốn chứng minh n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số khả vi liên tục thỏa mãn Z h(x)dx = 0 Chứng minh tồn c1 ∈ (0; 1) cho Z c1 c1 h(c1 ) = h (c1 ) xh(x)dx Chứng minh Ta xét hàm số lu −h(t) t Z an h(t) = e xh(x)dx va n Ta có gh tn to −h(t) h (t) = e th(t) − e t Z −f (t) h (t) p ie −h(t) t Z th(t) − h (t) w =e xh(x)dx ! xh(x)dx d oa nl Nhận xét h(0) = Do theo Bài tập tồn c ∈ (0; 1) cho fu an v an lu h(c) = Khi đó, theo định lý Rolle tồn c1 ∈ (0; c) cho h0 (c1 ) = 0, nghĩa Z c1 −h(c1 ) xh(x)dx = 0, h (c1 ) = e c1 h(c1 ) − h (c1 ) hay oi m ll Z nh c1 c1 h(c1 ) − h (c1 ) at xh(x)dx = 0 z z Do Z xh(x)dx gm c1 h(c1 ) = h (c1 ) c1 @ om l.c Bài toán chứng minh n va an Lu Bài toán Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục thỏa mãn Z Z h(x)dx = xh(x)dx a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Chứng minh tồn c ∈ (0; 1) cho Z c h(x)dx = 0 Chứng minh Xét hàm g : [0; 1] → R cho Z t Z t g(t) = t h(x)dx − xh(x)dx 0 Khi ta có lu t Z an g (t) = h(x)dx va n Hơn to Z Z h(x)dx − gh tn g(0) = xh(x)dx = 0, p ie Z Z h(x)dx − w g(1) = 1 xh(x)dx = 0 d oa nl Do theo định lý Rolle, tồn c ∈ (0; 1) cho g (c) = 0, nghĩa Z c h(x)dx = v an lu m ll fu an Vậy toán chứng minh oi Bài toán 10 Cho h : [0; 1] → R hàm số liên tục cho Z Z h(x)dx = xh(x)dx nh at 0 z z Chứng minh tồn c ∈ (0; 1) cho Z c xh(x)dx = @ om l.c gm n va an Lu Chứng minh Cách 1: Xét hàm số Z t Z t h(t) = t h(x)dx − xh(x)dx a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Ta có t Z h(x)dx h (t) = Theo Bài tập tồn c1 ∈ (0; 1) cho h0 (c1 ) = Do đó, ta h0 (0) = h0 (c1 ) = Nhờ định lý Flett, tồn c ∈ (0; c1 ) cho h0 (c) = nghĩa lu Z h(c) − h(0) , c−0 c an xh(x)dx = 0 n va gh tn to Cách 2: Xét hàm số H : [0; 1] → R cho Z t g(x)dx, H(t) = p ie d oa nl w v an lu Zs xh(x)dx, s ∈ (0; 1] s g(s) = h(0) , s = oi m ll fu an Vì g(s) liên tục H(0) = nên ta có Z Z s xh(x)dx d(− ) H(1) = lim+ →0 s Z s Z 1 = − lim+ xh(x)dx|1 + lim+ sh(s)ds →0 s →0 s Z Z = − xh(x)dx + h(x)dx = nh at z z gm @ om l.c Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (0; 1) cho H (c) = Điều có nghĩa Z c xh(x)dx = an Bài toán chứng minh Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 Bài toán 11 Giả sử h : [0; 1] → R hàm số liên tục cho Z Z h(x)dx = xh(x)dx 0 Chứng minh tồn c1 , c2 ∈ (0; 1) cho Z c1 h(c1 ) = h(x)dx, c2 Z lu c2 h(c2 ) = xh(x)dx an n va gh tn to Chứng minh Xét hàm g1 , g2 : [0; 1] → R cho Z t −t h(x)dx, g1 (t) = e p ie w g2 (t) = e Z t xh(x)dx d oa nl Khi −t v an lu g10 (t) −t −t t Z = e h(t) − e fu an =e t Z −t h(t) − h(x)dx ! h(x)dx m ll oi −t nh = e th(t) − e at g20 (t) −t z th(t) − xh(x)dx ! t xh(x)dx @ =e Z z −t t Z gm om l.c Theo Bài tốn Bài tốn 10 tồn c, c0 ∈ (0; 1) cho Z c Z c0 h(x)dx = xh(x)dx = an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Vậy g1 (0) = g1 (c) = 0, g2 (0) = g2 (c0 ) = Theo định lý Rolle, tồn c1 ∈ (0; c), c2 ∈ (0; c0 ) cho g10 (c1 ) = g20 (c2 ) = Điều có nghĩa c1 Z h(c1 ) = h(x)dx, c2 Z c2 h(c2 ) = xh(x)dx lu an Bài toán chứng minh va n Bài toán 12 Cho h : [0; 1] → R hàm số khả vi liên tục (0; 1) h gh tn to liên tục [0; 1] cho Z 1 Z p ie h(x)dx = xh(x)dx 0 w d oa nl Chứng minh tồn c1 , c2 ∈ (0; 1) cho Z c1 h(c1 ) = h (c1 ) h(x)dx, c2 xh(x)dx h(c2 ) = h (c2 ) fu an v an lu Z oi m ll Chứng minh Xét hàm g1 , g2 : [0; 1] → R cho Z t −h(t) g1 (t) = e h(x)dx, nh at t z Z xh(x)dx z g2 (t) = e−h(t) @ h(t) − e Z −h(t) h (t) t 0 Z t h(x)dx an h(t) − h (t) Lu =e −h(t) h(x)dx ! om =e −h(t) l.c g10 (t) gm Khi n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 g20 (t) −h(t) =e th(t) − e t Z −h(t) h (t) −h(t) t Z th(t) − h (t) =e xh(x)dx ! xh(x)dx lu Lập luận tương tự Bài tập 11, tồn c1 ∈ (0; 1) cho Z c1 g10 (c1 ) = e−h(c1 ) h(c1 ) − h0 (c1 ) h(x)dx = an va hay Z n c1 to h(c1 ) − h (c1 ) h(x)dx = 0, gh tn tức c1 Z p ie h(c1 ) = h (c1 ) h(x)dx w d oa nl Tương tự tồn c2 ∈ (0; 1) cho Z −h(c2 ) g2 (c2 ) = e h(c2 ) − h (c2 ) fu an Z c2 h(c2 ) − h (c2 ) h(x)dx = 0, oi m ll tức h(x)dx = 0 v an lu hay c2 Z c2 nh h(c2 ) = h (c2 ) h(x)dx at z Từ suy điều phải chứng minh z @ gm Bình luận: Qua toán ta nhận thấy định lý Flett thực om l.c định lý mạnh nhiên việc áp dụng đòi hỏi phải xây dựng hàm đặc trưng, điều thực không dễ chút Với thời gian tiếp xúc an Lu nhiều với toán định lý giá trị trung bình cho tích phân định lý Flett tơi hy vọng làm bạn khắc phục điều n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 2.2 Ứng dụng cho phương trình toán tử Volterra Trong phần này, ứng dụng cho phương trình tốn tử Volterra đề cập Chúng bắt đầu bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1 Cho u, v : [a; b] → R hàm số khả vi [a; b] cho v (x) 6= với x ∈ [a; b] u0 (a) u0 (b) = v (a) v (b) lu an Khi tồn c ∈ (a; b) cho n va u(c) − u(a) u0 (c) = v(c) − v(a) v (c) gh tn to p ie Chứng minh Xét hàm w : [a; b] → R cho u(x) − u(a) x 6= a, v(x) − v(a) w(x) = u0 (a) x = a v (a) d oa nl w v an lu Dễ thấy w liên tục [a; b] Khi w có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a, b] Nếu giá trị khác w(a) w(b) theo định lý Fermat tồn fu an x0 cho w0 (x0 ) = 0, tức oi m ll u(x0 ) − u(a) u0 (x0 ) = v(x0 ) − v(a) v (x0 ) nh Ngược lại ta có at w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] z z @ gm w(b) ≤ w(x) ≤ w(a), ∀x ∈ [a; b] om l.c Nếu w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] Ta giả sử v (x) > 0, ∀x ∈ [a; b] (vì ngược lại ta xét đến xét hàm số −u, −v thay u, v), an Lu v(x) > v(a) từ định nghĩa hàm số w có: u(x) ≤ u(a) + w(b)(v(x) − v(a)), ∀x ∈ [a; b] n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 Suy u(b) − u(a) − w(b)(v(x) − v(a)) u(b) − u(x) ≥ v(b) − v(x) v(b) − v(x) u(b) − u(a) = = w(b) v(b) − v(a) Cho x tiến đến b từ bên trái ta có u0 (a) u0 (b) = v (a) v (b) u(b) − u(x) ≥ w(b) = lim− x→b v(b) − v(x) w(a) = an lu n va gh tn to Khi w hàm [a; b] w0 = Nếu w(a) ≤ w(x) ≤ w(b), ∀x ∈ [a; b] việc chứng minh hoàn toàn tương p ie tự w Vậy bổ đề chứng minh d oa nl Cho hàm số Ψ φ : [0; 1] → R hàm số khả vi φ(x) 6= với fu an v an lu t ∈ (0; 1) Đặt V ánh xạ cho Z t V Ψ(t) = Ψ(x)dx oi m ll đồng thời định nghĩa Z nh Vφ Ψ(t) = t φ(x)Ψ(x)dx at z z Đặt @ l.c gm C˜ ([a; b]) := {φ : [a; b] → R : φ ∈ C ([a; b]); φ0 (x) 6= 0, x ∈ [a; b], φ(a) = 0} om Định nghĩa Cnull ([a; b]) không gian hàm số liên tục có tích phân khơng [a; b] an Lu Bây ta phát biểu kết quan trọng sau n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Định lý 2.2.1 Cho f ∈ Cnull ([a; b]) g ∈ C ([a; b]), với g (x) 6= với x ∈ [a; b] Khi tồn c ∈ (a; b) cho Vg f (c) = g(a).V f (c) Chứng minh Điều cần chứng minh tương đương với việc chứng minh tồn c ∈ (a; b) cho c Z Z c f (x)dx f (x)g(x)dx = g(a) a a an lu Chúng ta xét hàm u, v : [a; b] → R cho Z t Z t u(t) = f (x)g(x)dx − g(t) f (x)dx, n va gh tn to a a v(t) = g(t), ∀t ∈ [a; b] p ie Dễ dàng thấy w 0 Z t u (t) = g (t) f (x)dx a d oa nl Theo bổ đề tồn c ∈ (a, b) cho fu an v an lu u(c) − u(a) u0 (c) = , v(c) − v(a) v (c) oi m ll điều tương đương với Rc Rc Rc f (x)g(x)dx − g(c) f (x)dx −g (c) a a a f (x)dx = g(c) − g(a) g (c) nh at z Từ suy z c Z c @ Z gm f (x)g(x)dx − g(c) f (x)dx a Z c Z c = − g(c) f (x)dx + g(a) f (x)dx a om an Lu Vậy ta có điều phải chứng minh a l.c a n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Hệ 2.2.1 Nếu f ∈ Cnull ([a; b]) g ∈ C˜ ([a; b]) tồn c ∈ (a; b) cho c Z f (x)g(x)dx = a Chứng minh Do g ∈ C˜ ([a; b]) nên g(a) = Áp dụng định lý ta có điều phải chứng minh an lu Định lý 2.2.2 Nếu f, g : [0; 1] → R liên tục [0; 1] tồn x0 ∈ (0; 1) cho Z Z Vφ f (x0 ) g(x)dx−Vφ g(x0 ) f (x)dx 0 ! Z Z va n 1 g(x)dx − V g(x0 ) to = φ(0) V f (x0 ) gh tn f (x)dx p ie Chứng minh Xét hàm số u, v : [0; 1] → R, Z Z f (x)dx, g(x)dx − φ(t)V g(t) − Vφ g(t) u(t) = φ(t)V f (t) − Vφ f (t) w 0 d oa nl v(t) = φ(t) u(x0 ) − u(0) u0 (x0 ) = , v(x0 ) − v(0) v (x0 ) fu an v an lu Khi tồn x0 ∈ (0; 1) cho x0 Z Z x0 g(x)dx − f (x)dx z Z g(x) z = φ(0) x0 at Z 0 nh Z φ(x)g(x)dx oi m ll điều tương đương với Z Z Z x0 g(x)dx − φ(x)f (x)dx f (x)dx ! f (x)dx , 0 @ Z gm tức f (x)dx l.c g(x)dx − Vφ g(x0 ) Vφ f (x0 ) Z Z f (x)dx an Lu g(x)dx − V g(x0 ) = φ(0) V f (x0 ) ! om Z n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Hệ 2.2.2 Nếu φ(0) = tồn x0 ∈ (0; 1) cho Z Z f (x)dx.Vφ g(x0 ) = g(x)dx.Vφ f (x0 ) 0 Hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.3 Nếu f, g : [0; 1] → R hai hàm số liên tục tồn an lu x1 ∈ (0; 1) cho Z Z f (x)dx x1 Z xg(x)dx = x1 Z g(x)dx xf (x)dx va n Hệ suy trực tiếp từ Hệ 2.2.2 với φ(x) = x p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an v an lu nh at z z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 KẾT LUẬN an lu Trong luận văn "Định lý giá trị trung bình Flett ứng dụng", chúng tơi va n trình bày số vấn đề sau: minh định lý giá trị trung bình Flett hai cách khác p ie gh tn to Nhắc lại số kết hàm số liên tục, hàm số khả vi chứng w Đưa số hệ dạng thức khác định lý Flett có d oa nl nhiều ứng dụng kết Sử dụng hệ dạng thức khác định lý Flett vào việc giải v an lu số toán định lý giá trị trung bình, tồn nghiệm fu an phương trình tốn tử Volterra m ll Các vấn đề luận văn cịn mẻ học viên chúng tơi oi Một số chứng minh luận văn đòi hỏi biến đổi kỹ thuật nh phức tạp Những báo mà tham khảo viết vắn tắt at z cô đọng Chúng trình bày lại cách hệ thống chi tiết chứng minh z @ om l.c gm an Lu n va a th c si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 31/07/2023, 20:03
Xem thêm: