THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM THỊ HƯƠNG VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM THỊ HƯƠNG VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐÀO PHƯƠNG BẮC Hà Nội - 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Đào Phương Bắc Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới Thầy Người cho biết muốn làm khoa học phải học, phải đọc Được làm việc hướng dẫn Thầy, tơi thấy trưởng thành nhiều Thầy Người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội kiến thức, điều tốt đẹp mà nhận suốt q trình học tập Khoa Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện cho hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối cùng, muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, ngày 28 tháng 05 năm 2017 Phạm Thị Hương TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Mục lục Nguyên lý Hasse - Minkowski cho dạng toàn 1.1 Trường p-adic 1.2 Kí hiệu Hilbert 1.3 Dạng toàn phương Qp Q 1.3.1 Dạng toàn phương 1.3.2 Dạng toàn phương Qp 1.3.3 Dạng toàn phương Q phương Các phản ví dụ nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ dạng toàn phương 2.1 Phản ví dụ Lind Reichardt 2.2 Phản ví dụ Birch Swinnerton-Dyer 2.3 Họ phản ví dụ W Aitken F Lemmermeyer 2.3.1 Cách tham số hóa đường conic 2.3.2 Nghiệm modulo số nguyên tố lẻ 2.3.3 Nghiệm modulo lũy thừa số nguyên tố 2.4 Mật độ phản ví dụ nguyên lý Hasse 2.5 Lời giải số tập liên quan (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 5 11 14 14 16 17 20 20 22 23 24 26 27 32 35 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Danh mục kí hiệu P: tập hợp số nguyên tố Fq : trường hữu hạn có q phần tử Q: trường số hữu tỉ Z: vành số nguyên Z/m: vành số nguyên modulo m Zp : vành p-adic Qp : trường p-adic x p : kí hiệu Legendre x, p số nguyên tố L/K p : kí hiệu Artin 10 OK : vành nguyên trường số K 11 Gal(L/K): nhóm Galois mở rộng K ⊂ L (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Lời mở đầu Cho hệ phương trình đa thức với hệ số Q Câu hỏi tự nhiên đặt liệu hệ phương trình có nghiệm hữu tỷ (các tọa độ thuộc Q) nghiệm nguyên (các tọa độ nguyên) hay không? Tiếp đến có nghiệm liệu tập nghiệm “nhiều” đến mức độ nào? Một kết theo hướng nghiên cứu nguyên lý địa phương-toàn cục, hay nguyên lý HasseMinkowski (đôi gọi đơn giản nguyên lý Hasse) Nguyên lý khẳng định dạng tồn phương với hệ số hữu tỷ có nghiệm khơng tầm thường Q có nghiệm không tầm thường trường p-adic Qp R Câu hỏi đặt liệu ngun lý Hasse cịn khơng ta thay dạng toàn phương hệ dạng tồn phương, thay xét dạng tồn phương, ta xét dạng có bậc cao Ta biết câu hỏi có câu trả lời phủ định theo phản ví dụ E Selmer (xem [10], dạng bậc ba 3x3 + 4y + 5z = 0), hệ hai dạng toàn phương (Lind-Reichardt, tìm độc lập gần đồng thời, xem [6], [9]) Sau cịn có nhiều phản ví dụ khác hệ dạng tồn phương tìm thấy [5], [13], [8], v.v Mục đích luận văn tìm hiểu chứng minh nguyên lý Hasse phản ví dụ liên quan, đặc biệt lớp phản ví dụ W Aitken, F Lemmermeyer (xem [2]) Chương tác giả trình bày trình bày sơ lược số p-adic, sơ lược chứng minh ngun lý Hasse cho dạng tồn phương Vì phức tạp chứng minh, tác giả cần thừa nhận khẳng định quan trọng ký hiệu Hilbert (xem Định lý 1.2.5), sau trình bày cơng việc phần chứng minh Định lý 1.3.11 Chương tác giả điểm qua số phản ví dụ nguyên lý Hasse-Minkowski ta xét hệ dạng toàn phương thay xét dạng tồn phương Mở đầu chương tác giả trình bày phản ví dụ cổ điển Lind Reichardt, sau phản ví dụ Swinnerton-Dyer (xem mục 2.2) Phần chương dành cho việc trình bày họ phản ví dụ cho W Aitken, F Lemmermeyer (xem [2]) mở rộng trực tiếp phản ví dụ Lind-Reichardt Cụ thể phản ví dụ cho sau Định lý Ta xét hệ phương trình diophantine có dạng u2 − qw2 = dz = v2, uw (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1) (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 (1) q ∈ P cho q ≡ 1(8), (2) d 6= 0, khơng có ước phương q - d, ∗4 (3) d ∈ F∗2 q \ Fq , (4) q ∈ F4p với p ước nguyên tố lẻ d Khi hệ phương trình nói vi phạm ngun lý Hasse, nghĩa hệ có nghiệm Qp với p ∈ P, hệ có nghiệm thực hệ khơng có nghiệm hữu tỉ (Lưu ý nói đến nghiệm ta xét nghiệm không tầm thường) Bổ đề 2.3.11 cho thấy điều kiện d ∈ / F∗4 q đưa để đảm bảo hệ phương trình khơng có nghiệm Q Ngồi để hệ có nghiệm trường p-adic Qp , ta cần khẳng định hệ có nghiệm theo modulo p, hay nói cách khác hệ có nghiệm trường hữu hạn Fp Điều trình bày Mục 2.3.2 cho số nguyên tố lẻ Tiếp đến ta cần chứng minh tồn nghiệm mạnh cho modulo lũy thừa p (xem Mục 2.3.3) Các điều kiện lại Định lý đưa để đảm bảo tồn nghiệm mạnh Nhận xét họ phản ví dụ Aitken-Lemmermeyer nhiều vơ hạn theo nhận xét sau Với d = 2, số nguyên tố q ≡ (mod 8) thỏa mãn: bình phương không lũy thừa bậc modulo q (ví dụ q = 17) Bằng việc sử dụng Định lý mật độ Chebotarev số tính tốn cho kí hiệu Artin, ta biết tập số ngun tố vơ hạn có mật độ 18 tập số nguyên tố Nói riêng [2] Aitken F Lemmermeyer cung cấp họ vô hạn phản ví dụ kiểu Lind-Reichardt Chi tiết cho nhận xét tác giả trình bày mục 2.4 Phần cuối chương tác giả trình bày lời giải số tập đưa [2] làm rõ số lưu ý báo [2] Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Hương (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Chương Nguyên lý Hasse Minkowski cho dạng toàn phương 1.1 Trường p-adic Trong mục tác giả điểm qua số chi tiết việc xây dựng số p-adic Với n ≥ 1, đặt An = Z/pn Z vành lớp số nguyên modulo pn , p số nguyên tố cho trước Xét đồng cấu φn : An → An−1 , x + pn Z 7→ x + pn−1 Z Nhận thấy tồn ánh hạt nhân pn−1 An Khi dãy đồng cấu → An → An−1 → → A2 → A1 lập thành hệ xạ ảnh với tập số Z≥1 Định nghĩa 1.1.1 Vành số nguyên p-adic Zp giới hạn xạ ảnh hệ {(An , φn )} cho Zp = lim Z/pn ←− (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Nhận xét 1.1.2 Một phần tử thuộc Zp = lim(Z/pn , φn ) dãy hình thức ←− x = ( , xn , , x1 ) xn ∈ Z/pn φn (xn ) = xn−1 với n ≥ Các phép toán cộng nhân Zp thực tọa độ x + y = ( , xn + yn , , x1 + y1 ), xy = ( , xn yn , , x1 y1 ) Mệnh đề 1.1.3 (a) Một phần tử Zp (tương ứng Z/pn ) khả nghịch khơng chia hết cho p (b) Nếu kí hiệu Z∗p nhóm phần tử khả nghịch Zp phần tử khác Zp viết dạng pn u với u ∈ Z∗p n ≥ Chứng minh (a) Theo giả thiết Zp = lim(Z/pn , φn ), phần tử x ∈ Zp ←− có dạng x = ( , xn , , x2 , x1 ), xn ∈ Z/pn xn ≡ xm (mod pm ) m ≤ n Giả sử x ∈ Zp không chia hết cho p Thế x1 , x2 , , khơng chia hết cho p Nếu x1 6≡ (mod p), tồn y1 6= (mod p) cho: x1 y1 ≡ Z/p Ta tồn y2 ∈ Z/p2 cho: x y1 ≡ (mod p2 ) y2 ≡ y1 (mod p) Thật vậy, x2 p ≡ x1 (mod p), - x1 , kéo theo p - x2 , suy (x2 , p) = Vậy tồn y2 ∈ Z/p2 cho x2 y2 ≡ (mod p2 ) Mặt khác, x2 ≡ x1 (mod p) ⇒ x2 = x1 + pa ⇒ (x1 + pa)y2 ≡ (mod p2 ) ⇒ x1 y1 ≡ (mod p) ⇒ y2 ≡ y1 (mod p) (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Lặp lại thủ tục ta có xn yn = 1( Z/pn ) yn ≡ ym (mod pm ) (b) Với x ∈ Zp , x 6= 0, tồn n lớn cho xn ≡ Z/pn Ta có x = pn u với u = p−n ( , xn+2 , xn+1 , 0, 0, , 0), suy u - p hay u ∈ (Zp )∗ Với x phần tử khác không Zp , x = ( , xn , , x2 , x1 ) ta xét n số lớn cho xn = Thế x = pn u với u ∈ Z∗p Khi số nguyên n gọi định giá p-adic x kí hiệu vp (x) Đặt vp (0) = ∞ ta có vp (xy) = vp (x) + vp (y), vp (x + y) ≥ inf(vp (x), vp (y)) Trên Zp ta trang bị tôpô tự nhiên sau: Từng không gian (Z/pn ) gồm pn điểm Q ta xét tơpơ rời rạc Khi Zp tập đóng khơng gian tích n≥1 (Z/pn ) trang bị tơpơ cảm sinh từ tơpơ tích Mệnh đề 1.1.4 (xem [11, Prop 3, trang 12]) Tôpô Zp định nghĩa khoảng cách sau d(x, y) = e−vp (x−y) Không gian Zp không gian mêtric đầy đủ Z trù mật Ở phép nhúng từ Z vào Zp cho bởi: a ∈ Z 7→ ([a]pn := a + pn Z)n≥1 ∈ Zp Định nghĩa 1.1.5 Trường số p-adic, kí hiệu Qp , trường thương vành Zp Cho phương trình F (x1 , , xm ) = 0, (1.1) F ∈ Z[x1 , , xm ] đa thức với hệ số Z có bậc d dương Một gồm m tọa độ (a1 , , am ) gọi nghiệm không tầm thường phương trình (1.1) thỏa mãn phương trình có khác khơng Một phần tử (bộ) gồm m tọa độ (a1 , , am ) ∈ Zm gọi nguyên thủy ước chung lớn a1 , , am Tương tự, (a1 , , am ) ∈ Zm gọi nghiệm nguyên thủy modulo N F ngun thủy thỏa mãn phương trình F (a1 , , am ) ≡ (mod N ) Nếu F = (mod N ) có nghiệm (a1 , , am ) với khả nghịch (modulo N ) −1 Gọi a−1 i phần tử nghịch đảo Z/N hay ai = (mod N ), (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Chú ý đường cong phẳng (tức đường cong P2 ), nhận cách lấy giao hai mặt cong bậc hai P3 u2 − 17w2 = 2z , = v2 uw (2.2) Điều nhận thấy qua phép đổi biến u = x2 , w = y , v = xy Chứng minh Ta kí hiệu X(k) điểm k-hữu tỉ đường cong (2.1) √ Ta có ( : : 0) ∈ X(R), kéo theo X(R) 6= Phương trình (2.1) có nghiệm Qp hay X(Qp ) 6= với p 6= 2, p 6= 17 Thật trường hợp đường cong cho phương trình (2.1) trơn lấy thu gọn modulo p Mặt khác Định lý chặn Hasse (xem [12, Thm 1, trang 138]) phát biểu rằng: đường cong có giống Fp có √ p + − p > điểm hữu tỷ Theo Bổ đề Hensel (do tính trơn đường cong modulo p, với p 6= 2, 17) nghiệm nâng lên thành nghiệm thực Qp Với p = 2: phương trình (2.2) có nghiệm mạnh (là nghiệm nguyên thủy thỏa mãn số au = u, cw = 17w, dz = 2z khác không, xem thêm mục 2.3.3)(u : v : w : z) = (1 : : : 0) modulo 16 = 24 Từ nghiệm nâng lên thành điểm hữu tỷ Q2 (theo Định lý 2.3.10) Với p = 17: phương trình (2.2) có nghiệm mạnh (u : v : w : z) = (6 : : : 1) Từ nghiệm nâng lên thành nghiệm Q17 (theo Định lý 2.3.7) Bây ta chứng minh phương trình (2.1) có nghiệm hữu tỉ tầm thường Giả sử phương trình có nghiệm (x, y, z) khơng tầm thường Q, (nx, ny, n2 z) nghiệm với số tự nhiên n Do phương trình có nghiệm khơng tầm thường Z ta giả sử UCLN(x, y) = 1, z > Giả sử q | z, q số nguyên tố lẻ Khi phương trình (2.1) kéo theo x4 = 17y Fq Do 17 lũy thừa bậc modulo q (vì q | y q | x, 17 = Theo luật tương hỗ mâu thuẫn với điều kiện UCLN(x, y) = 1)) nên q (thuận nghịch) Gauss (xem [11, Thm 6, trang 7]) ta có: q q 17 = q ≡ 1(8), = hay q ∈ (F∗17 )2 17 q 17 Mặt khác 2, −1 bình phương F17 Cụ thể (2 ≡ 62 (mod 17), −1 ≡ 42 (mod 17) Do với ước nguyên tố z bình phương modulo 21 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 17 Do tính chất nhân tính kí hiệu Legendre nên z = z02 F17 thay vào phương trình (2.1) ta có: 2z04 = x4 F17 Do lũy thừa bậc F17 Điều vơ lý khơng có số F17 có lũy thừa bậc bốn Vậy phương trình (2.1) khơng có nghiệm Q 2.2 Phản ví dụ Birch SwinnertonDyer Mặt del Pezzo trơn bậc P4 định nghĩa phương trình uv = x2 − 5y (u + v)(u + 2v) = x2 − 5z (2.3) phản ví dụ Nguyên lý Hasse-Minskowski Chứng minh Kí hiệu X mặt cong định nghĩa phương trình (2.3) Trước tiên X(Qp ) 6= ∅ với p số nguyên tố p 6= 2: Ta số −1, 5, −5 bình phương p−adic 5 Giả sử −1, khơng phải bình phương Fp −1 = −1 = −1 p p −1 −5 Suy = = hay −5 bình phương Fp Tương tự p p p với trường hợp cịn lại, ta có −1, 5, −5 bình phương Fp Áp dụng Bổ đề Hensel cho phương trình X − a với a ∈ {−1, 5, −5}, rút số −1, 5, −5 bình phương p−adic Do √ √ điểm (u : v : x : y : z) = (1 : : : : −1), (10 : −10 : : : 5), (5 : : : : √ −5) thuộc X(Qp ) p = 2, ta có −15 ∈ (Q∗2 )2 (xem [11]Thm 4, trang 8) Do (−25 : : : √ −15) ∈ X(Q2 ) Ta chứng minh hệ phương trình (2.3) có nghiệm tầm thường Q, X(Q = ∅ Giả sử (u : v : x : y : z) ∈ X(Q) Ta giả sử mv ∈ Z (u, v) = Nếu | uv | x uv = x2 −5y | u | v (vì (u, v) = 1) Vì | x, nên | (u + v)(u + 2v) Kết hợp với | uv suy |UCLN(u, v), mâu thuẫn với UCLN(u, v) = Do - uv Tương tự - (u + v)(u + 2v) Dùng luật tương hỗ bậc hai, số nguyên n viết n = x2 − 5y với 22 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 x, y ∈ Q số nguyên tố p ≡ ±2 (mod 5) chia hết n với lũy thừa chẵn Suy u v chia hết cho lũy thừa bậc chẵn số nguyên tố p ≡ ±2 (mod 5) Do u ≡ ±1 (mod 5) v ≡ ±1 (mod 5) Tương tự, (u + v) ≡ ±1 (mod 5) (u + 2v) ≡ ±1 (mod 5) Nhưng hai khẳng định khơng đồng thời Do nghiệm không tầm thường (u : v : x : y : z) không tồn 2.3 Họ phản ví dụ W Aitken F Lemmermeyer Trong mục lớp hệ phương trình đa thức bậc hai mà Nguyên lý Hasse-Minskowki khơng cịn có dạng sau: au2 + bv + cw2 = dz , uw = v2 (2.4) chủ yếu tập trung vào trường hợp b = Phản ví dụ Lind Reichardt ví dụ quan trọng lớp hệ phương trình dạng này, tương ứng với a = 1, b = 0, c = −17 d = Khi hệ (2.4) biến đổi phương trình X − 17Y = 2Z , xét mục Mục viết dựa theo [2] Khi hệ phương trình Diophantine nghiệm nguyên thủy với modulo pk , p số nguyên tố cho trước, nói giải p-địa phương Theo Mệnh đề 1.1.6, hệ phương trình giải p-địa phương tương đương với hệ phương trình có nghiệm Qp Nếu giải p-địa phương với số ngun tố p có nghiệm thực nói giải địa phương Nếu có nghiệm Z nói giải tồn cục Dễ thấy điều kiện giải toàn cục kéo theo giải địa phương Về để đường cong mà ta xét có điểm Qp -hữu tỷ ta có điểm Fp -hữu tỷ sau hệ giải p-địa phương Ta tồn Fp -điểm thơng qua việc tham số hóa đường conic 23 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 2.3.1 Cách tham số hóa đường conic Trước hết ta nhắc lại cách tham số hóa đường trịn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y = 1} Xét đường thẳng qua điểm P (−1, 0) ∈ C có hệ số góc t có phương trình y = t(x + 1) Đường thẳng giao với đường trịn x2 + y = điểm có tọa độ đầu thỏa mãn phương trình = x2 + t2 (x + 1)2 − = (x + 1)(x − + t2 x + t2 ) Giải phương trình suy điểm giao P (−1, 0) Pt = − t2 2t , Do + t2 + t2 phương trình tham số hóa đường trịn đơn vị (1 − T )2 + (2T )2 = (1 + T )2 (2.5) Tổng quát ta xét phương trình đường tròn ax2 + by = trường F, a, b ∈ F, a, b 6= Tương ứng với phương trình (2.5) có phương trình tham số hóa cho trường hợp trình bày bổ Bổ đề 2.3.1 Trước hết đề cập khái niệm sau: Cho F[t] vành đa thức với hệ số F Hai đa thức F[t] gọi liên kết đa thức đa thức lại nhân với số Tổng quát hơn, miền nhân tử hóa nhất, hai phần tử gọi liên kết phần tử phần tử nhân với phần tử khả nghịch Bổ đề 2.3.1 (xem [2, Lemma 1, trang 615]) Cho F trường, a, b ∈ F phần tử khác không Cho x0 , y0 ∈ F cho ax20 + by02 = Khi F[T ] ta có aq12 + bq22 = q32 , (2.6) q1 = bx0 T − 2by0 T − ax0 , q2 = −by0 T − 2ax0 T + ay0 q3 = bT + a Hơn nữa, hai đa thức q1 , q2 , q3 có bậc Nếu Char F 6= q1 , q2 , q3 khác đa thức khơng khơng có hai đa thức liên kết với Chứng minh Cho P (x0 , y0 ) thuộc đường cong ax20 + by02 = Đường thẳng qua P có hệ số góc T có phương trình y = T (x − x0 ) + y0 cắt ax2 + by = điểm nghiệm phương trình: ax2 + b(T (x − x0 ) + y0 )2 = 24 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 bx0 T − 2by0 T − ax0 −by0 T − 2ax0 T + ay0 , y = bT + a bT + a Vậy ta có phương trình (2.6) Do b 6= nên deg q3 = Mặt khác b 6= 0, a 6= nên deg q1 = q2 = Giả sử Char F 6= Do a, b 6= 0, x0 y0 không đồng thời nên q1 , q2 , q3 khác đa thức không Bây chứng minh hai đa thức q1 , q2 , q3 liên kết với Giả sử phản chứng hai đa thức q1 , q2 , q3 liên kết với Khi hai đa thức phải có bậc Từ phương trình aq12 + bq22 = q32 suy q1 , q2 , q3 liên kết với Nhưng q1 q2 có số hạng tuyến tính, điều mâu thuẫn với q3 khơng có số hạng tuyến tính Suy x = Bổ đề 2.3.2 Cho a, b phần tử khác không miền nhân tử hóa R Nếu an bn liên kết với n ngun dương a, b liên kết Chứng minh Chúng ta phân tích a, b thành nhân tử bất khả quy Theo giả thiết an bn tương đương suy an bn có phân tích giống sai khác phần tử khả nghịch Do a b phải phân tích sai khác phần tử khả nghịch Sự tồn q1 , a2 q3 Bổ đề (2.3.1) phụ thuộc vào tồn có nghiệm ax20 + by02 = Với F = Fp , để chứng minh tồn nghiệm sử dụng tiêu chuẩn Euler (p số nguyên tố lẻ, a bình phương p−1 Fp a = 1.) Bổ đề 2.3.3 Cho p số nguyên tố lẻ, a, b ∈ Fp phần tử khác không Khi tồn x0 , y0 ∈ Fp cho ax20 + by02 = Chứng minh Nếu p = lấy x0 = 1, y0 = Nếu p 6= 2, cần giải phương trình y = f (x), (2.7) với f (x) = b−1 (1 − ax) Nếu phương trình (2.7) khơng có nghiệm f (x) khơng phải bình phương với t ∈ Fp Từ tiêu chuẩn Euler ta có f (t)(p−1)/2 = −1 với t ∈ Fp hay phương trình (2.7) có p nghiệm Mặt khác degf (t)(p−1)/2 ≤ p − nên f (t)(p−1)/2 có nhiều p − nghiệm, nên điều mâu thuẫn 25 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 2.3.2 Nghiệm modulo số nguyên tố lẻ Cho p số nguyên tố lẻ Bây tìm nghiệm khơng tầm thường hệ au2 + cw = dz , (2.8) uw = v2, với giá trị ẩn Fp , a, c, d ∈ Fp phần tử khác không Ta thay a c ad−1 cd−1 nên ta giả sử d = Phương trình aU + cW = Z tham số hóa theo phương pháp trình bày Mục 2.3.1, cần xác định nghiệm thỏa mãn phương trình U W = V Để làm điều cần số bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 Cho f, g ∈ Fp [X] đa thức khác khơng có bậc lớn g(t) f (t) g(t) Nếu f (t) = với t ∈ F , = − với t ∈ Fp , p p p p p f, g liên kết Nhắc lại: a p a p kí hiệu Legendre định nghĩa sau: a bình phương khác khơng Fp , 0 a = Fp = −1 a không bình phương Fp , Do p lẻ nên −1, 1, phần tử khác Fp p−1 p−1 Chứng minh Từ tiêu chuẩn Euler ta có: f (t) = g(t) với t ∈ Fp , hay p−1 p−1 p−1 p−1 phương trình có p nghiệm, mà degf (t) − g(t) < p, nên f (t) − g(t) đa thức không Do Fp [x] miền nhân tử hóa nên f, g sai khác số p−1 p−1 Tương tự, với trường hợp f (t) = −g(t) Khẳng định sau cho thấy hệ (2.8) có nghiệm khơng tầm thường modulo p Định lý 2.3.5 Cho p số nguyên tố lẻ, a, c, d ∈ Fp phần tử khác khơng Khi hệ phương trình au2 + cw2 = dz , uw = v , có nghiệm khơng tầm thường Fp 26 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Chứng minh Như nhận xét giả sử d = Sử dụng cách tham số hóa đường conic au2 + cw2 = dz Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 2.3.3 khẳng định tồn tham số hóa đó) suy tồn đa thức q1 , q2 , q3 ∈ Fp [T ], aq12 + bq22 = q32 Do Char Fp 6= nên q1 , q2 không liên kết Cho q1 , q2 , q3 ∈ Fp [T ] Bổ đề 2.3.1 Thế aq12 + bq22 = q32 (Các đa thức q1 , q2 , q3 tồn tồn x0 , y0 ∈ Fp cho Bổ đề 2.3.2.) Do Char Fp 6= nên q1 , q2 không liên kết, áp dụng Mệnh đề 2.3.6 suy tồn t ∈ Fp cho q (t) q (t) 6= − (2.9) p p (t)q2 (t) q 6= −1; mặt khác q1 (t)q2 (t) = c2 với c ∈ Fp Hơn nữa, p q1 (t), q2 (t) không đồng thời (vì ngược lại mâu thuẫn với (2.9) Do U = q1 (t), W = q2 (t), Z = q3 (t), V = c nghiệm không tầm thường) Suy 2.3.3 Nghiệm modulo lũy thừa số nguyên tố Sau khẳng định hệ (2.8) có nghiệm không tầm thường modulo p, tập trung tìm nghiệm p-địa phương hệ au2 + cw2 = dz , = v2, uw (2.10) a, c, d số nguyên khác không Từ hệ Định lý 2.3.5 p số nguyên tố lẻ p - acd hệ phương trình (2.10) có nghiệm nguyên thủy modulo p Trong mục mở rộng kết cho lũy thừa p Ngoài xét với trường hợp p = Để thuận tiện cho người đọc, phát biểu chứng minh số kết sơ cấp số học Mệnh đề 2.3.6 (xem [2, Prop 1, trang 618]) Cho p số nguyên tố lẻ, N r > số nguyên cho p - rN Nếu N lũy thừa bậc r modulo p, N lũy thừa bậc r modulo pk với k ≥ Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo k Giả sử N ≡ ar (mod pk ), hay N − ar = cpk Ta chứng minh khẳng định với k + Ta có (a + xpk ) ≡ ar + rar−1 xpk (mod pk+1 ) 27 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Do N − (a + xpk )r ≡ (c − rar−1 x)pk (mod pk+1 ) Ta có (p, N ) = nên (p, a) = Do tồn x cho p | (c − rar−1 x), N ≡ (a + xpk )r (mod pk+1 ) Sau đề cập đến khái niệm nghiệm mạnh từ nghiệm mạnh modulo p, ta tồn nghiệm mạnh nguyên thủy modulo pk Khái niệm cần đưa nghiên cứu trường hợp p | acd Bây xét kết mục Một nghiệm gọi mạnh modulo pk hệ phương trình (2.10) nghiệm nguyên thủy (u, v, w, z) modulo pk phần tử au, cw, dz khác không modulo p Định lý 2.3.7 (xem [2, Thm 2, trang 618]) Cho p số nguyên tố lẻ, a, c, d số nguyên khác không Nếu au2 + cw2 = dz , uw = v có nghiệm mạnh modulo p, có nghiệm mạnh modulo pk với k Nói riêng, có nghiệm p-địa phương Nhận xét: Định lý không thiết p - acd Điều cho phép xử lý số nguyên tố ước acd Chứng minh Đặt (u0 , v0 , w0 , z0 ) nghiệm mạnh modulo p Do au20 +cw02 = dz02 có hai phần tử au0 , cw0 , dz0 khác khơng modulo p (vì ngược lại (u0 , v0 , w0 , z0 ) nghiệm tầm thường) Do tính đối xứng giả sử au0 khác khơng modulo p Ta cố định lũy thừa pk p Do k p - a, p - u0 , chọn nghịch đảo a−1 , u−1 ∈ Z modulo p Đặt v = v0 u0−1 , w = w0 u0−1 , z = z0 u−1 Khi (1, v, w, z) nghiệm modulo p hệ phương trình Do w ≡ v modulo p, suy a + cv ≡ dz modulo p Do a−1 (dz − cv ) ≡ modulo p, = 14 lũy thừa bậc bốn modulo p, theo Mệnh đề 2.3.9 suy tồn m ∈ Z cho a−1 (dz − cv ) ≡ m4 modulo pk Mặt khác, am4 + cv ≡ dz modulo pk , suy (m2 , mv, v , z) nghiệm modulo pk Do m khác không modulo p nên (m2 , mv, v , z) nghiệm mạnh modulo pk Từ Định lý 2.3.5 Định lý 2.3.7 ta có hệ sau 28 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Hệ 2.3.8 Nếu p số nguyên tố lẻ cho p - acd hệ au2 + cw2 = dz , uw = v (2.11) có nghiệm p-địa phương: tức có nghiệm nguyên thủy modulo pk với k Chứng minh Do p - acd nên a, c, d khác modulo p Suy theo Định lý 2.3.5, hệ phương trình 2.11 có nghiệm khơng tầm thường modulo p Lại p - acd, nghiệm (u, v, w, z) nghiệm mạnh modulo p Do theo Định lý 2.3.7, hệ phương trình (2.11) giải p-địa phương Với trường hợp p = cần xử lý kỹ thuật Ví dụ, với hệ phương trình u2 + 3w2 = 7z , uw = v có nghiệm (1, 1, 1, 2) modulo (thậm chí modulo 23 ) Nhưng khơng có nghiệm ngun thủy modulo 24 Chứng minh: xem [2, Bài tập 5, trang 619] Ngoài trường hợp p = Mệnh đề 2.3.6 khơng cịn Ví dụ số ngun tố lũy thừa bậc bốn modulo không lũy thừa bậc bốn modulo pk với k > Để làm việc với trường hợp p = 2, ta cần dạng khác Mệnh đề 2.3.6 trường hợp p = Mệnh đề 2.3.9 Nếu N ≡ (mod 24 ) N lũy thừa bậc bốn modulo 2k với k ≥ Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo k Giả sử mệnh đề với k hay N ≡ a4 (mod 2k ) k ≥ Suy N − a4 = c2k Ta có (a + x2k−2 )4 ≡ a4 + a3 x2k (mod 2k+1 ) Do N −(a+x2k−2 )4 ≡ (c−a3 x)2k (mod 2k ) Do (2, N ) = nên (2, a) = Do chọn x cho | (c − a3 x) N ≡ (a + x2k−2 )4 (mod 2k ) Sử dụng Mệnh đề 2.3.9 chứng minh tương tự Định lý 2.3.7 ta có định lý sau Định lý 2.3.10 Cho a, c, d số nguyên khác không Nếu hệ au2 + cw2 = dz , uw = v có nghiệm mạnh modulo 24 , có nghiệm mạnh modulo 2k với k 29 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Bổ đề 2.3.11 Cho d số nguyên tố khác khơng, khơng có ước phương q ≡ 1(8), q - d Nếu hệ u2 − qw2 = dz , = v2 uw có nghiệm khơng tầm thường Z, d ∈ F4q , hay d lũy thừa bậc modulo q Chứng minh Do hệ phương trình nên có nghiệm nguyên thủy (u, v, w, z) Do d khơng có ước phương nên (u, w) = 1: giả sử ngược lại p | u, p | v p | v, p2 | dz (u, v, w, z) nguyên thủy nên p2 | d, điều mâu thuẫn với d khơng có ước phương Tương tự, ta suy (u, z) = 1, (w, z) = Do u2 w2 = v (u, w) = nên u2 , w2 lũy thừa bậc bốn Cho p số nguyên tố chia hết cho z Lấy modulo p ta có u2 ≡ qw2 Do (w, z) = nên (w, p) = 1, w khả nghịch modulo p, gọi w−1 phần tử nghịch đảo w modulo p Do q ≡ (uw−1 )2 modulo p hay ( pq ) = Do q ≡ (mod 4) theo luật thuận nghịch Gauss ta có ( pq ) = Do ( pq ) = với số nguyên tố p | z Do q ≡ (mod 8) nên ( 2q ) = q−1 (−1)w(q) với w(q) = q 8−1 (mod 2) = nên ( 2q ) = Mặt khác −1 =1 q ) = (−1) z (vì q ≡ (mod 8)) Vậy từ tính chất tích kí hiệu Legendre suy ( q ) = Do z lũy thừa bậc bốn modulo q Ta có u2 ≡ dz (mod q), mặt khác theo ta có u2 , z lũy thừa bậc bốn modulo q Do d lũy thừa bậc bốn modulo q Sau kết hợp khẳng định để rút Định lý Bài báo Aitken Lemmermeyer Định lý 2.3.12 (xem [2, Thm 4, trang 621]) Ta xét hệ phương trình diophantine có dạng u2 − qw = dz , (2.12) uw = v2, (1) q ∈ P cho q ≡ 1(8), (2) d 6= 0, khơng có ước phương q - d, 30 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 ∗4 (3) d ∈ F∗2 q \ Fq , (4) q ∈ F4p với p ước nguyên tố lẻ d Khi hệ phương trình nói vi phạm ngun lý Hasse, nghĩa hệ có nghiệm Qp với p ∈ P, hệ có nghiệm thực, hệ khơng có nghiệm hữu tỉ Chứng minh Đặt C đường cong xạ ảnh P3 cho hệ phương trình nói Vì q nguyên tố, q ≡ 1(8), mặt khác d 6∈ F∗4 q nên C(Z) = ∅ (theo Bổ đề 2.3.11) 1 C(R) 6= ∅ vì: (u, v, w, z) = (q , q , 1, 0) ∈ C(R) Bây ta với số nguyên số p, C có chứa điểm hữu tỷ Qp , cách xét trường hợp sau Trường hợp 1: p lẻ, p - acd ⇔ p - qd: Theo Hệ 2.3.8, hệ có nghiệm nguyên thủy modulo pk với k, hay C(Qp ) 6= ∅ (theo Mệnh đề 1.1.6) Trường hợp 2: p lẻ, p | qd: Trường hợp 2a: p | q: Vì q số nguyên tố lẻ, nên p = q Theo giả thiết d ∈ F∗2 q , chọn m ∈ Z cho d ≡ m2 (mod q), suy (u, v, w, z) = (m, 0, 0, 1) nghiệm modulo p Theo Định lý 2.3.7, nghiệm nâng lên thành nghiệm p−địa phương, hay C(Qp ) 6= ∅ Trường hợp 2b: p lẻ, p - q, suy p | d Theo giả thiết q ∈ F4p , nghĩa tồn m cho m4 ≡ q (mod p), suy (m2 , m, 1, 0) nghiệm mạnh modulo p (z = −q p ) Lại theo Định lý 2.3.7, C(Qp ) 6= ∅ Trường hợp 3: p = 2: Trường hợp 3a: q ≡ (mod 16): Suy (u, v, w, z) = (1, 1, 1, 0) nghiệm mạnh modulo 16 (do au = 6≡ (mod 2)) Mặt khác theo Định lý 2.3.10, C(Qp ) 6= ∅ Trường hợp 3b: q ≡ (mod 16): Thế (u, v, w, z) = (1, 1, 1, 2) nghiệm mạnh modulo 16 Suy theo Định lý 2.3.10, C(Q2 ) 6= ∅ ∗4 Nhận xét 2.3.13 Với d = 2, q ∈ P, q ≡ 1(8), ∈ F∗2 q \ Fq , đường cong cho (2.12) thỏa mãn điều kiện cho định lý Ngoài {q ∈ P | q ≡ 1(8), ∈ ∗4 F∗2 tập số nguyên tố Điều q \ Fq } vô hạn với mật độ cho mục 2.4 31 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 2.4 Mật độ phản ví dụ nguyên lý Hasse Định lý 2.4.1 Ta xét hệ phương trình Diophantine bậc hai u2 − qw2 = 2z , = v2 uw (2.13) 1) q số nguyên tố cho q ≡ (mod 8), ∗4 2) ∈ F∗2 q \Fq ,nghĩa là lũy thừa bậc khơng lũy thừa bậc modulo q Thế đường cong xác định hệ phương trình nói vi phạm ngun lý Hasse, nghĩa hệ ln có nghiệm (không tầm thường) Qp (p số ngun tố), R, khơng có nghiệm Z (cũng Q) Nhận xét 2.4.2 Với q = 17, Định lý quy phản ví dụ LindtReichardt Khẳng định sau họ phản ví dụ nêu Định lý vơ hạn mật độ số nguyên tố q thỏa mãn điều kiện 81 Chứng minh khẳng định tác giả tham khảo [1], có sử dụng kiến thức lý thuyết số đại số trình bày [4] [7] Định lý 2.4.3 Mật độ số nguyên tố p ∈ P cho p ≡1 2 ∗4 ∈ F∗2 p \ Fp , hay (mod 8), p = −1 Trước hết tác giả nhắc lại số kết cần đến chứng minh Định lý, đặc biệt Định lý mật độ Chebotarev Định nghĩa 2.4.4 Cho S tập iđêan nguyên tố trường số K, ký hiệu P = VK,f = {p ∈ Spec(OK )} Ta nói S có mật độ δ nếu: |{p ∈ S | Np ≤ N }| = δ N −→∞ |{p ∈ P | Np ≤ N }| lim Np dùng để chuẩn iđêan 32 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Định lý 2.4.5 (Định lý mật độ Chebotarev) Cho L/K mở rộng Galois hữu hạn, K trường số, G = Gal(L/K), C lớp liên hợp G Thế tập iđêan nguyên tố p K cho: L/K =C p có mật độ δ = |C| |G| Các kí hiệu khái niệm phần tử Frobenius L/K p người đọc xem [7, trang 140] Ở tác giả liệt kê vắn tắt số điểm: ∗ Cho L/K mở rộng Galois hữu hạn G = Gal(L/K), β ∈ Spec(OL ) iđêan nguyên tố OL nằm p ∈ Spec(OK ) Giả sử thêm p không rẽ nhánh L, nghĩa pOL = β1 βr tích iđêan nguyên tố phân biệt p Thế σ = L/K phần tử β Gβ = {σ ∈ G | σβ = β} ⊆ G tác động tự đẳng cấu Frobenius trường thặng dư, nghĩa là: a) σ ∈ Gβ , hay σβ = βr b) Với α ∈ OL , σα = αq (mod β) q = |OK /p| với p = β ∩ OK Lưu ý với β, β iđêan nguyên tố OL nằm p, tồn τ ∈ G = Gal(L/K) cho: β = τ β Hơn L/K β0 =τ L/K β τ −1 Do kí hiệu Artin L/K p ={ L/K β | β nằm p} hiểu lớp liên hợp Gal(L/K) √ Chứng minh Cho K = Q( 2, i) mở rộng Galois Q cách ghép √ thêm i Khi Gal(K/Q) = D4 ∼ = ha, b | a4 = b2 , baba = ei 33 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 ta có dãy khớp −→ Gal(K/Q(i)) −→ Gal(K/Q) −→ Gal(Q(i)/Q) −→ với Gal(K/Q(i)) = | a4 = ei, Gal(Q(i)/Q) = hb | b2 = ei, a : K −→ K b : K −→ K i√ 7−→ i√ i√ 7−→ −i √ 4 7−→ 2i, 7−→ (2.14) Ta chứng minh khẳng định sau: {p ∈ P | p ≡ (mod 8), p2 = −1} = {p ∈ VQ,f | p không rẽ nhánh K, K/Q = {a2 }}, p (2.15) với {a2 } lớp liên hợp gồm phần tử a2 D4 Thật vậy, đặt σ := K/Q Giả sử p khơng rẽ nhánh K Bằng tính tốn biệt thức p disc(OZ(i) /Z) = disc(X + 1) = −4, disc(OL /OK )|disc(L/K) = disc(X − 2) = −211 , suy (2) iđêan nguyên tố rẽ nhánh Q(i) (1 + i) √ iđêan nguyên tố Q(i) rẽ nhánh Q(i, 2) Do (2) iđêan √ nguyên tố Z rẽ nhánh Q(i, 2) Vậy p 6= Giả sử thêm σ = a2 Theo (2.14) σ = a2 : K −→ K√ √ 7−→ − i 7−→ i Mặt khác, ta nhắc lại σα ≡ αp (mod β) với β | p Do với α = √ √ √ 2, σ(α) = σ( 2) ≡ ( 2)p (mod β) √ p √ Thế ≡ (mod β) β | p, suy p−1 ≡1 (mod p) ⇒ 2 p = ⇒ p ≡ ±1 (mod 8) (2.16) Lại thay α = i, suy ip ≡ i (mod β) ⇒ (ip−1 − 1)i ∈ β ⇒ p − (2.17) Từ (2.16) (2.17), suy p ≡ (mod 8) √ Lại thay α = 2, suy √ √ 4 ( 2)p ≡ − (mod β) ⇒ √ 2(2 p−1 + 1) ∈ β 34 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 Do lũy thừa bậc modulo p Vậy với p ∈ VQ,f thỏa mãn p không rẽ nhánh K/Q = a2 , K p p ≡ (mod 8) p2 = −1 Đảo lại, giả sử p ≡ (mod 8) rẽ nhánh K Ta kiểm tra σ= K/Q p p : = −1 Thế p 6= 2, suy p không √ 7−→ − i 7−→ i √ √ √ √ √ p−1 Thật vậy, σ( 2) ≡ ( 2)p (mod β), p ≡ (mod 8) nên ( 2)p = 2.2 Vì khơng lũy thừa bậc modulo p, nên p−1 2√4 ⇒ ( 4√ 2)p 2) ⇒ σ(√ ⇒ σ( 2) ≡ −1√ (mod p) ≡ −√ (mod p) ≡ −√2 (mod√β) √ √ = − 2( σ( 2) ∈ {± 2, i 2}) Mặt khác, σ(i) ≡ ip (mod β), p ≡ (mod 8) ⇒ ip = i ⇒ σ(i) = i(6= −i) (mod β) ⇒ σ(i) ≡ i (mod β) Suy K/Q = a2 Vậy khẳng định (2.15) chứng minh Từ dùng Định p lý mật độ Chebotarev, ta suy điều phải chứng minh 2.5 Lời giải số tập liên quan Trong mục giả sử a, b, c ∈ Z, abc khác không abc ước phương Bài tập 1: ( xem [2, Ex 1, trang 164]) Cho p số nguyên tố Gọi (x0 , y0 , z0 ) ba p−tập trung nhiều thành phần x0 , y0 , z0 chia hết cho p Chỉ nghiệm nguyên thủy phương trình aX + bY + cZ ≡ (mod p2 ) (2.18) p−tập trung 35 (LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601(LUAN.van.THAC.si).ve.nguyen.ly.dia.phuong.toan.cuc.cho.dang.toan.phuong.luan.van.ths.toan.hoc.604601 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 20/12/2023, 20:13
Xem thêm: