NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm
a Giả sử hàm y f x liên tục trên khoảng a;b Khi đó hàm số y F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số y f x khi và chỉ khi
Nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( y = f(x) \) trên khoảng \( [a, b] \), thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của \( y = f(x) \) được ký hiệu là \( I = \{ F(x) + c \mid c \in \mathbb{R} \} \) Tập hợp này cũng có thể được biểu diễn dưới dạng \( I = \int f(x) \, dx = F(x) + c \).
Các tính chất của nguyên hàm
a Nếu y f x là hàm số có nguyên hàm thì
Trong toán học, định lý cơ bản của phép tính tích phân chỉ ra rằng nếu \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), thì \( \int dF(x) = F(x) + C \) Đối với phép cộng, nếu \( f(x) \) và \( g(x) \) có nguyên hàm, thì \( \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx = \int (f(x) + g(x)) \, dx \) Tương tự, trong phép trừ, nếu \( f(x) \) và \( g(x) \) có nguyên hàm, thì \( \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx = \int (f(x) - g(x)) \, dx \) Cuối cùng, nếu nhân với một hằng số khác 0, thì phép tích phân vẫn giữ nguyên tính chất.
f Công thức đổi biến số Cho y f u và u g x Nếu f x dx F x c thì
Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
cos ax b dx 1 a sin ax b c ax b 1 ax b e dx e c a
sin ax b dx a 1 cos ax b c
tan ax b dx a 1 ln cos ax b c
ln b ln ax b dx x ax b x c a
cot ax b dx 1 a ln sin ax b c
sin 2 ax b 1 dx a 1 cot ax b c
cos 2 1 ax b dx 1 a tan ax b c
Một số phương pháp tính nguyên hàm
Sử dụng biến đổi f x dx d f x '
Ví dụ: adx d ax b ; ax b dx 1 2 d ax 2 2 bx c sin x dx d cos x ; cos x dx d sin x b Một số ví dụ
3 3 cos sin cos cos cos
4 4 sin cos sin sin sin
cos x sin sin cos x sin sin 2
I e x x dx e x dx x dx cos cos 1 cos 2 cos 1 1 sin 2
2 tan 2 ln tan sin 2sin cos 2 tan cos tan 2
Ví dụ 1.1.7 cos sin 2sin cos
1 1 tan tan tan tan cos cos cos 3 dx dx x
1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ a Các định nghĩa
Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng
Q x với P x Q x , là các đa thức với các hệ số thực
Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ P x với deg P x deg Q x
Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:
Định lý tổng quát về phân tích đa thức khẳng định rằng mọi đa thức Q(x) khác không với hệ số thực đều có một cách phân tích duy nhất thành các nhân tử Phân tích này bao gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai với biệt thức Δ < 0.
Q x A x a x a x p x q x p x q trong đó: A 0; , , a 1 a k là các nghiệm thực phân biệt của Q x ; p i ,q i là các số thực thỏa mãn i p i 2 4 q i 0; deg Q n 1 n k 2 m 1 m s b Phương pháp tính
Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản:
I Bx C dx dx p q x px q x px q
theo 2 cách sau đây: Cách 1 ( Phương pháp lượng giác) Đặt
2 2 2 2 1 cos 1 tan cos cos 1 tan m m m m ad t a dt ad J d a a
Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác
Cách 2 ( Phương pháp tích phân từng phần)
Vậy thay vào ta có
Nguyên hàm hàm phân thức
Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định)
Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt) Thay x 0 vào * suy ra: 2 A 3 A 3/ 2
Thay x 1 vào * suy ra: 6 C 1 C 1/ 6 Thay x 2 vào * suy ra: 12 D 6 D 1/ 2
Thay x 1 vào * suy ra: 3 A 9 A 3 Thay x 2 vào * suy ra: 9 C 9 C 1
2 tan ; 4 4 tan 1 cos cos t dt d t
2 4 2 cos 2 2 16 4 16 1 1 cos 2 16 1 1 2 sin 2 3 cos dt d
I dx dx dx x x x x x dx x dx dx x dx dx x x x x x
Xét M x 2 dx 1 2 Đặt x tan dx d tan cos d 2
3 1 ln 2 4arctan 2sin 2arctan ln 1
1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần a Công thức tính nguyên hàm từng phần
Giả sử u u x v v x ; có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu udv uv vdu
Nhận dạng hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích của hai loại hàm số khác nhau Ý nghĩa của việc này là giúp đưa một nguyên hàm phức tạp về dạng nguyên hàm đơn giản hơn Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng nguyên hàm từng phần có thể giúp khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm, cuối cùng chỉ còn lại một loại hàm số.
Khi thực hiện tích phân từng phần, cần chú ý chọn u và dv sao cho việc tính v trở nên đơn giản và dễ dàng hơn Đồng thời, nguyên hàm ∫vdu nên đơn giản hơn so với nguyên hàm ∫udv Việc lựa chọn u và dv đúng cách là rất quan trọng để đạt được kết quả tích phân hiệu quả.
Một số ví dụ minh họa
A x x xdx Đặt u x dv sinx 2 dx du v 2 cos xdx x Khi đó ta có
A x x x x xdx Đặt u x dv cos x dx v du dx sin x
A 1 x 3 sinx+3x cos 2 x 6 sin x x sin x dx x 3 sinx+3x cos 2 x 6 sin x x cos x c
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng P x L x dx udv
3 2 3 sinx sinx sin x sinx 3 sin x sinx 3 cos sinx 3 cos cos sinx 3 cos 6 cos sinx 3 cos 6 sinx
= sinx 3 cos 6 sin sin x sin
A x cosxdx x d x d x x x dx x x d x x x x xd x x x x x xdx x x x xd x x x x x dx x
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần
Tính A 3 x sin xdx Đặt t x t 2 x 2 tdt dx
3 sin 2 t cos 2 cos 2 cos 2 cos 6 sin
6 t d sin t 6 sin t t 6 sin td t 6 sin t t 12 sin t tdt 6 sin t t 12 td cos t
6 sin t 2 t 12 cos t t 12 cos tdt 6 sin t 2 t 12 cos t t 12sin t c
1 cos 1 sinx cos cos cos
x cos 3 3 x 1 3 1 sin 2 x d sin x x cos 3 3 x 1 3 sinx sin 3 3 x c
1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức a Nguyên hàm dạng I x a bx m n p dx với m, n, p hữu tỉ
Nếu p Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m, n Khi đó đặt x t k
thì gọi s là mẫu số của p và đặt a bx n t s
thì gọi s là mẫu số của p và đặt a bx n n t s x
với r q 1 , , , , 1 r q j j là nguyên dương Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số q 1 , , q j Khi đó ta có:
2 , m n / , , r s / 2 ax b td b ad bc td b ad bc t x dx dt I R t t dt cx d a ct a ct a ct a ct
Bội chung nhỏ nhất k của các số {n, , s} được xác định, với t u = k Nguyên hàm của hàm vô tỉ có thể được tính bằng phương pháp lượng giác hóa Các dạng nguyên hàm và phép đổi biến số thông thường là những công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan.
Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số
d Một số ví dụ minh họa
2 2 t t t dt dt t dt dt t dt t t t t t t t t t
Gọi k BSCNN 2,3 6 Đặt t 6 x x t 6 dx 6 t dt 5
1 sin cos cos sin sin t t
cos cos sin 1 cos 1 1 1 t t u du u d t d t du du t t u u u
3 3sin 2 3 3sin 2 3 cos 3cos 2 3cos 2 3 cos
3arcsin 2sin 2arcsin sin 4arcsin
1 1 1 = cos tan cos cos tdt t tdt
= cos tan sin t tdt t = dt t c arccos 1 x c
1 sin cos 1 cos tan sin
.tan 1 tan 1 tan tan tan arccos arccos a t dt a t dt a d t dt a a a t t c a c x x
8 2 8 2 tan 1 = cos 1 tan cos tan cos t dt t dt
= sin sin 7sin 7sin arctan d t tdt c c t t t x
I x x x dx x x dx u u du Đặt u tan t ; 0, t 2
t = 1 tan t cos dt 3 t sin t cos cos 4 t t dt
4 2 4 sin cos 1 sin 1 sin sin 1 cos 1 sin cos 4 1 sin 1 sin sin d t d t t t tdt d t t t t t t
4 2 cos 1 1 1 2 cos 4 1 sin 1 sin 1 sin sin d t d t t t t t
3cos 1 3 t 4 1 sin 1 t 4 1 sin 1 t 1 4 ln 1 sin 1 sin t t c
1.4.5 Nguyên hàm hàm lƣợng giác a Các công thức nguyên hàm hàm lƣợng giác
1 cos ax b dx sin ax b c
1 tan cos dx ax b c ax b a
1 tan 2 2 tan tan cos x dx dx d x x c
1 cot 2 2 cot cot sin x dx dx d x x c
cos tan sin ln cos cos cos d x xdx x dx x c x x
sin cot cos ln sin sin sin d x xdx x dx x c x x
b Một số công thức lượng giác thường dùng
3 sin 3 3sin sin 4 x x x ; cos 3 cos3 3cos
cos cos 1 cos cos mx nx 2 m n x m n x
sin sin 1 cos cos mx nx 2 m n x m n x
sin cos 1 sin sin mx nx 2 m n x m n x
cos mx sin nx 1 sin m n x sin m n x
23 c Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lƣợng giác Dạng 1 A 1 sinx n dx ; A 2 cosx n dx
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo ý dưới đây Nếu 3 n , n lẻ (n = 2p+1) thì thực hiện biến đổi:
1 sin n sin p sinx p sin x 1 cos p cos
2 cos n cos p cosx p cosx 1 sin p sin
Trường hợp 1 : m, n là các số nguyên
+ Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng
+ Nếu m chẵn, n lẻ n 2 p 1 thì biến đổi:
2 sinx cos sin cos cos sin 1 sin x sinx m p m p m p
+ Nếu m lẻ m 2 p 1 , n chẵn thì biến đổi:
sinx 2 p 1 cos n 1 cos x 2 p cos n sin
1 cos x p cosx n d cosx + Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn
Trường hợp 2 : m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u sinx ta có
Dạng 3 C 1 tan ; n x dx C 2 cot n x dx n N
Sử dụng công thức nguyên hàm:
1 tan 2 2 tan tan cos x dx dx d x x c
1 cot 2 2 cot cot sin x dx dx d x x c
cos tan sin ln cos cos cos d x xdx x dx x c x x
cos sin cot ln sin sin sin d x xdx x dx x c x x
+ Nếu n chẵn n 2 k thì biến đổi
1 2 2 2 tan tan 1 tan 1 tan tanx cos cos cos m m k m k k x dx
+ Nếu n lẻ n 2 h 1 , m chẵn m 2 k thì biến đổi
1 2 1 2 1 2 1 tan sin cosx sin sin cos cos 1 sin k k k h k h k h x x x
1 2 1 2 tan 1 tan 1 sin tan tan cos cos cos cos cos h h k k k h x x x
Dạng 5 Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.5.2 ([3]) sin 2 4 1 cos 4 2 1 1 2cos 4 x cos 4x 2
1 1 cos 4 1 cos 2 1 1 cos 2 cos 4 cos 2 cos 4 x
I sin3x 10 cos3 x dx 5 sin 3 x 10 cos3 x 4 cos3 x dx
I sin2x 7 cos 2 x 100 dx cos 2 x 100 sin 2 x 6 sin 2 x dx
1 cos 2 1 3cos 2 3cos 2 cos 2 cos 2 2 x x d x x x x x d x
I sin5x 9 cos5 x 111 dx cos5 x 111 sin 5 x 8 sin 5 x dx
1 cos5 1 4cos 5 6cos 5 4cos 5 cos 5 cos5 5 x x d x x x x x x d x
cos5 112 4 cos5 114 6 cos5 116 4 cos5 118 cos5 120
tan 6 x 1 tan 2 x tan 4 x 1 tan 2 x tan 2 x 1 tan 2 x 1 tan 2 x 1 dx
tan 6 x tan 4 x tan 2 x tan 0 x 1 d tan x dx
I cot 2 1 cot 2 3 x 2 x cot 2 1 cot 2 x 2 x cot 2 x dx
1 1 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 3x cos 3 cos 3 3 x dx x x d x x
x tan 4 6 x cos 4 1 x 14 cos 4 tan 4 x x dx
Tính I cos 2 cos5x.cos9 x.dx x cos 2 cos5x.cos9 x.dx 1 cos 2 cos14 cos 4
Tính I sin sin 3 cos10 2 x x x dx
2 1 sin sin 3 cos10 1 cos 2 sin13 sin 7
1 sin13 sin 7 cos 2 sin13 cos 2 sin 7 8
1 1 1 1 1 sin13 sin 7 sin15 sin11 sin 9 sin 5
1 cos13 cos 7 cos15 cos11 cos9 cos5
d Các dạng nguyên hàm lƣợng giác sử dụng các phép đổi biến số cơ bản Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng I R sin ,cos x x dx Đổi biến số tổng quát Đặt tan 2arctant; 2 2 ; sin 2 2 ; cos 1 2 2
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét ba trường hợp đặc biệt thường gặp, nơi có thể thay đổi biến số để làm cho hàm số dưới dấu tích phân trở nên đơn giản hơn.
Nếu hàm R(sin, cos(x)) là hàm lẻ theo sin, tức là R(-sin, cos(x)) = -R(sin, cos(x)), thì cần thực hiện biến đổi hàm số và vi phân với phép đổi biến t = cos(x) Ngược lại, nếu R(sin, cos(x)) là hàm lẻ theo cos, nghĩa là R(sin(x), -cos(x)) = -R(sin, cos(x)), thì cũng cần biến đổi hàm số và vi phân với phép đổi biến t = sin(x).
+ Nếu R sin ,cos x x thỏa mãn điều kiện: R sin , cos x x R sin ,cos x x thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t tan x
Một số ví dụ minh họa
Đặt tanx arctant; 2 2 ; sin 2 2 2 ; cos 2 1 2 2
3 2 3 2 sin 2 2sin cos cos sin 1 cos cos 2 x x x dx
Đặt t cos x B 1 t 3 2 t tdt 2 2 t 1 t 2 2 tdt 2 t 2 2 t A 1 t 2 Bt C 2 t 2 dt
1 sin cos cos sin cos sin 1 cos cos d x
3 5 cos 1 1 1 1 ln cos 1 cos 3cos 5cos x c x x x x
1 sin 1 cos cos cos sin sin sin sin x t x x
19sin 17sin 15sin 13sin 11sin c x x x x x
2 tan cos sin cos cos tan 1 tan 1 d x dx dx
4 sin 3 cos 5 4 tan 3 cos 8 cos 2 4 tan 3 dx dx dx
tan 3/4 tan 3/4 tan 4 tan 1/4 tan d x x d x x c x
e Các dạng nguyên hàm lƣợng giác sử dụng các phép biến đổi nâng cao
Xét nguyên hàm liên kết với A 1 là 1 * sin sin cos
1 1 2 cos sin sin cos d cos sin cos sin ln sin cos sin cos sin cos x x
Giải hệ phương trình suy ra: 1
Xét nguyên hàm liên kết với A 2 là 2 * cos
Giải hệ phương trình ta có: 2
Dạng 2 Nguyên hàm dạng a sin cos msin cos x b x
Giả sử a sin x b cos x msin x n cos x mcos x n sin x , ta sẽ tìm được ,
Khi đó ta có, msin cos mcos sin msin cos msin cos x n x x n x
d msin cos ln msin cos msin cos x n x dx x x n x c x n x
4sin 2 7cos 2 1 4sin 2 7cos 2 1 4sin 7cos 5sin 2 3cos 2 2 5sin 2 3cos 2 2 2 5sin 3cos x x x x u u
68 5sin 3cos 68 5sin 3cos 68 68 5sin 3cos d u u u u u u du du du u u u u u u
47ln 5sin 3cos 2 47ln 5sin 2 x 3cos 2 x
Dạng 3 Nguyên hàm dạng a sin cos msin cos x b x c
Giả sử a sin x b cos x c msin x n cos x p mcos x n sin x
Khi đó ta có msin cos mcos sin 1 msin cos msin cos msin cos x n x p x n x
d msin cos 1 msin cos msin cos x n x p dx dx x n x p x n x p
Tính sin 2cos 3 sin 2cos 3 x x
5 sin 2cos 3 5 sin 2cos 3 5 sin 2cos 3 x x x x dx
2 2 2 2 sin 2cos 3 2sin cos 2 cos sin 3 sin cos
5 tan tan cos 2 tan 1 5 tan
Do đó 3 4 ln sin 2cos 3 6 arctan 5 tan 2 1 x
Giả sử a sin x b cos x msin x n cos x mcos x n sin x
2 2 msin cos mcos sin msin cos msin cos x n x x n x
2 d msin cos msin cos msin cos x n x dx dx dx x n x x n x
7sin 5cos 1 3sin 4cos 43 3cos sin
3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos x x x x x x
4 tan 6 tan 4 cos 6 tan 4 4 tan
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG
Định nghĩa tích phân xác định
Giả sử hàm số y = f(x) được xác định và bị chặn trên đoạn [a, b] Xem xét một phân hoạch bất kỳ của đoạn [a, b], tức là chia đoạn này thành n phần bằng cách sử dụng các điểm chia tùy ý.
0 1 n a x x x b Trên mỗi đoạn x k 1 ; x k lấy bất kì điểm k x k 1 ; x k và gọi
là độ dài của đoạn x k 1 ; x k Khi đó
gọi là tổng tích phân của hàm f x trên đoạn a b ; Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch , số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm k
(là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số f x trên đoạn a b ; và kí hiệu là: b a f x dx
y f x được gọi là khả tích trên đoạn a b ;
Điều kiện khả tích
Cho hàm số y f x xác định trên a b ; Chia đoạn trên a b ; thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : a x 0 x 1 x n b
Ký hiệu: m i inf f x x : x i 1 ; x i ; M i sup f x x : x i 1 ; x i Đặt:
Khi đó y f x khả tích trên đoạn a b ; lim 0 0 i S n s n
Tính chất của tích phân xác định
Định lý 1 Nếu f x liên tục trên a b ; thì nó khả tích trên đoạn a b ;
Định lý 2 Nếu f x , g x liên tục trên a b ; và f x g x , x a b ; thì
Phép cộng b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx
Phép trừ b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx
Phép nhân với một hằng số thực k b b a a k f x dx kf x dx
Công thức đảo cận tích phân b a ; a 0 a b a f x dx f x dx f x dx
Công thức tách cận tích phân b c b , ; a a c f x dx f x dx f x dx c a b
Công thức đổi biến số
Cho y f x liên tục trên đoạn a b ; và hàm x t khả vi, liên tục trên đoạn
m M ; và t m M min ; t a ; max t m M ; t b ; m a ; M b Khi đó ta có
Công thức tích phân từng phần
Giả sử hàm số u x v x , khả vi, liên tục trên a b ; , khi đó
Công thức Newton – Leipnitz
Ứng dụng
2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz
Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau
Xét hàm số f x x 2 xác định trên đoạn 0;1 Ta chia đoạn 0;1 thành n đoạn 0; 1 n
n , khi đó theo định nghĩa tích phân xác định thì
Không phải tất cả các bài toán đều có thể dễ dàng phân hoạch và chọn được giá trị x k Do đó, một phương pháp hiệu quả là tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và sau đó áp dụng công thức Newton – Leibnitz để giải quyết vấn đề.
Ví dụ như cần tính
Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xác định
Trong chương I, chúng ta đã học cách tính nguyên hàm, và tương tự, có những phương pháp tính tích phân như tích phân từng phần và đổi biến số Những phương pháp này thường được sử dụng để giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả.
Ngoài các tính chất đặc biệt của hàm số trong tích phân, còn có nhiều phương pháp khác để tính tích phân, trong đó phương pháp tích phân liên kết là một phương pháp quan trọng.
Xét tích phân liên kết với I là
0 0 cos 3 sin 3 cos 6 cos 6 x.cos 6
Để tính tích phân xác định, chúng ta thường tìm nguyên hàm của hàm số liên quan (Chương 1) và sau đó áp dụng công thức Newton – Leibniz để xác định kết quả của tích phân cần tính.
2.5.2 Tính diện tích hình phẳng a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong
- Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
- Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín
- Bài toán 1 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
+ Bước 2 Sử dụng công thức: b a
- Bài toán 2 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
+ Bước 1 Giải phương trình tương giao để tìm hoành độ giao điểm
+ Bước 2 Sử dụng công thức c b a c
Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng
Một số ví dụ minh họa
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
Lập bảng xét dấu của 2 x 2 4 x 6 : x -2 -1 3 4
Nhìn vào bảng xét dấu ta có f(x)=2*x^2-4x-6 Bóng 1 x(t )=-2, y(t )=t x(t )=4, y(t )=t
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 0; ln ; 1;
1 ln 1 2 u x du dx dv dx x v x x
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
Tìm hoành độ các giao điểm
Ví dụ 2.2.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2002, Khối A)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 4 x 3 , y x 3
Ví dụ 2.2.5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Giải + Giải phương trình hoành độ giao điểm
S e x e x dx ex xe dx e xdx xe dx Đặt u x x du dx x dv e v e
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Giải + Giải phương trình hoành độ giao điểm
f(x)=x^2+(3*2^-1)*x-3*2^-1 f(x)=x f(x)=-x Tập hợp 1 Tập hợp 2 f(x)=x^2+(3/2*x)-3/2 Bóng 1 f(x)=x^2+(3/2*x)-3/2 Bóng 2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 2 y x 0, x y 0 + Tung độ giao điểm là nghiện của phương trình
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 , 2 , 8
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Gọi S 2 là phần diện tích giới hạn bởi
2 y 2 4, 0, 2, 0 x x x y Gọi S 1 là phần diện tích giới hạn bởi
S x dx Đặt x 2sin t dx 2cos tdt
Đặt x 1 sin t dx cos tdt
S 2 (đvdt) b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số
Giả sử đường cong C y : f x có phương trình tham số
Trong công thức tính diện tích b a
S f x dx ta thay thế y f x bởi y t , dx được thay thế bởi ' t dt , còn 2 cận a, b được thay thế bởi , lần lượt là nghiệm của a t ;b t Khi đó: S t ' t dt
Nếu đường cong C có phương trình tham số
l là đường kín trơn từng phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ và giới hạn diện tích S ở phía trái thì
Một số ví dụ minh họa
Tính diện tích hình elip giới hạn bởi E : x 2 2 y 2 2 1 a b
Phương trình tham số của
Xét phần diện tích của E nằm trong góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng Oxy Đổi cận ta có: 0 cos / 2 cos 0 a t t a a t t
S S b t a t dt ab tdt ab t dt ab
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Cycloide
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Astroide
(đvdt) c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ cực
Lý thuyết Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị OP
Hệ tọa độ cực được xác định bởi véc tơ OP gọi là trục cực và bao gồm vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi véc tơ OM Vị trí này được mô tả bằng hai tham số: góc cực và bán kính cực r Góc là góc định hướng, có giá trị dương nếu chiều quay từ OP đến OM là ngược chiều kim đồng hồ và giá trị âm nếu cùng chiều kim đồng hồ Điều kiện cho góc là 0 ≤ < 2π và bán kính r phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng được biểu diễn bởi cặp số thứ tự (r, φ), trong đó r là khoảng cách từ điểm O đến M và φ là góc giữa trục hoành và đường thẳng nối O với M Cách xây dựng này tạo ra một song ánh giữa tập tích Đề các [0, 2π] × [0, +∞) và các điểm trong mặt phẳng tọa độ cực Cụ thể, mỗi điểm M trong mặt phẳng tương ứng với một cặp số (r, φ), với điểm O có r = 0 và φ tùy ý.
Quan hệ giữa tọa độ Đềcác và tọa độ Cực của cùng một điểm M
Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia
Gọi x y , và r, lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ Đềcác và hệ tọa độ Cực Khi đó ta có: cos 0 2 ;r 0 sin x r y r
Ngược lại ta có: 2 2 2 ; tan y r x y
(trong công thức này có 2 góc tương ứng thỏa mãn tan y ;0 2
x nên ta sẽ lấy góc cùng dấu với y vì y r sin )
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực
Cho hàm số r f ,0 2 , r 0 , đồ thị hàm số này trong hệ tọa độ
Cực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và phương trình
r f được gọi là phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực
Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực
Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: , và đường r f là 1 2
Một số ví dụ minh họa
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Cardioide
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong cos 2 r a (Hoa hồng 4 cánh)
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong sin 3 r a (Hoa hồng 3 cánh)
(đvdt) r(t)=3*(sin(3t)) Bóng 1 Tập hợp 1 x y
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Parabole
Tính diện tích S của hình giới hạn bởi các đường cong
2 cos3 ; r a r a (Phần ngoài đường tròn) + Giải phương trình :
Hai đường cắt nhau tại ,
2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay a Lý thuyết
V x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox
V x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox
V x sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox
V x sinh bởi diện tích: Đường cong bậc hai f x y , 0 quay xung quanh
+ Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y , 0 thành:
và giả sử 0 f x 2 f x 1 + Bước 2 Xác định cận x a x b ; Khi đó 1 2 2 2 b x a
V y sinh bởi diện tích S quay xung quanh Oy
V y sinh bởi diện tích S của 2 đồ thị quay xung quanh Oy
V y sinh bởi diện tích đường cong bậc 2 f x y , 0 quay xung quanh Oy
+ Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y , 0 thành:
, và giả sử 0 f y 2 f y 1 + Bước 2 Xác định các cận x a x b ;
Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính thể tích khối tròn xoay b Một số ví dụ minh họa
2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x e xe dx e xd e e xe e dx
Tính V x khi S quay quanh Ox
2 ln 2 2 ln xdx 2 ln 2 2 x x ln 2 xd ln x
2 ln 2 4 ln 2 2 dx 2 ln 2 4 ln 2 2 2 ln 2 1
S x : 2 y b 2 a 2 ;0 a b a.Tính V x khi S quay quanh Ox b.Tính V y khi S quay quanh Oy
Giải f(x)=2+sqrt(2-x^2) f(x)=2-sqrt(2-x^2) Bóng 1 f(x)=-2+sqrt(2-x^2) f(x)=-2-sqrt(2-x^2)
2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng
Độ dài của đường cong có phương trình y f x trong hệ tọa độ Đềcác Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y f x a x b , là b 1 ' 2 a
Độ dài của đường cong có phương trình tham số trong hệ tọa độ Đềcacs được tính bằng công thức L = ∫[α, β] √(x'(t))² + (y'(t))² dt, với x(t) và y(t) là các hàm tham số trong khoảng [α, β].
Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ Cực
Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực r r , y y t , thì độ dài đường cong L là L r 2 r ' 2 d
b Một số ví dụ minh họa Dạng 1 Độ dài của đường cong có phương trình y f x
Tính độ dài đường cong y x x 0 x 4
Tính độ dài đường cong y a ln 2 a 2 2 0 x b a a x
Dạng 2 Độ dài của đường cong có phương trình tham số
Tính độ dài đường Cycloide
Tính độ dài đường Astroide cos 3 3 0 2 , sin x a t t a b y b t
12 sin t a 1 sin t b sin td sin t 12 u u b a a du
Dạng 3 Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ Cực
Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình đường tròn trong hệ tọa độ cực là x R ,0 2
Tính độ dài đường Cardioide r a 1 cos ,0 2
Tính độ dài đường cong sin 3 ,0 3 r a 3
Tính độ dài đường xoắn Acsimet: r a ;0 2
CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Tìm giới hạn bằng tích phân
Xét bài toán: Cho S n u 1 u 2 u 3 u n Tìm lim n n S
Nhiều bài toán giới hạn dãy số không cho phép tính tổng trực tiếp S_n Thay vào đó, chúng ta có thể chuyển đổi tổng này thành dạng tổng tích phân Riemann Từ đó, chúng ta xác định hàm số dưới dấu tích phân Kết quả của giới hạn dãy số chính là giá trị của tích phân xác định Phương pháp này được mô tả cụ thể như sau:
Giả sử f x liên tục trên a b ; , khi đó với mọi phép phân hoạch của đoạn a b ; và mọi cách chọn các điểm i x i 1 ; x i , i 1, n ; Đặt d max 1 i n x i x i 1 ta luôn có
Từ đó ta có thể tính giới hạn của một tổng nhờ tích phân xác định theo các bước sau đây:
Bước 1 Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức
Bước 2 Xây dựng hàm f x khả tích trong đoạn a b ;
Bước 3 Tính tích phân b a f x dx
Đặc biệt Nếu a 0; b 1 thì các bước trên trở thành các bước sau:
Bước 2 Chỉ ra hàm f liên tục trên đoạn 0;1 nên khả tích trong đoạn 0;1
3.1.2 Một số ví dụ minh họa
Xét hàm số f x x liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn
liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn
1 1 1 lim lim lim ln 1 ln 2
liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn 0;1 bởi các điểm chia i i ; 0, x i n
Xét hàm số f x x 2014 liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn
liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn 0;1 bởi các điểm chia i i ; 0, x i n
1 2 1 1 sin sin sin sin n sin n i n n i
Xét hàm số f x sin x liên tục trên 0;1 nên khả tích trên 0;1 Chia đoạn
1 1 cos 2 lim n lim n sin lim n sin n x x i i i i x
3.2 Bất đẳng thức tích phân
3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân a Các định lý và tính chất cơ bản của bất đẳng thức tích phân:
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định: “Nếu hàm số y f x liên tục và không âm trên a b ; thì b a f x dx
là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ; trục hoành Ox y : 0 và 2 đường thẳng x a x b ,
Từ ý nghĩa hình học chúng ta có thể hiểu được các mệnh đề sau đây:
Nếu f x là hàm số liên tục trên a b ; và f x 0, x a b ; thì
Nếu f x g x , là hai hàm số liên tục trên a b ; và f x g x , x a b ; thì b b a a f x dx g x dx
Nếu f x là hàm số liên tục trên a b ; và f x 0, x a b ; và f x không đồng nhất bằng 0 trên a b ; thì b 0 a f x dx
Nếu f x g x , là hai hàm số liên tục trên a b ; và
, ; f x g x x a b và f x g x , không đồng nhất với nhau trên a b ; thì b b a a f x dx g x dx
Nếu f x là hàm số liên tục trên a b ; , m f x M , x a b ; và f x không đồng nhất với m hoặc M trên a b ; thì
Nếu f x là hai hàm số liên tục trên a b ; thì b b a a f x dx f x dx
Nếu f x g x , là hai hàm số liên tục trên a b ; thì
65 b Một số ví dụ minh họa
3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng a Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân
Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz
Cho hai hàm số f g , liên tục trên a b ; Chứng minh rằng:
Cho p q , 1 thỏa mãn 1 1 1 p q Chứng minh rằng:
Vì 1 1 1 p 1 q 1 1 p q Xét hàm số y x p 1 liên tục và đồng biến trên 0; nên nó có hàm số ngược là
1 q 1 x y p y trên khoảng 0; Đường thẳng x a và y b cắt đồ thị hàm số y x p 1 tại các điểm M, N
Gọi S 1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y 0; x a y x ; p 1
Gọi S 2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường x 0; y b y x ; p 1
Gọi S là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường x 0; x a ; y 0; y b x(t )=t , y(t )=3 x(t )=1.5, y(t )=t f(x)=x^(3/2) x y
Nhìn vào hình vẽ suy ra: 1 2 p q a b
Bất đẳng thức tích phân Holder
Cho p q , 1 với 1 1 1 p q và f g , là 2 hàm liên tục trên a b ;
Giải Xét 2 khả năng sau đây:
thì do f x p 0, x a b ; nên suy ra
Sử dụng bất đẳng thức Young p q a b ab p q với
Lấy tích phân trên đoạn a b ; bất đẳng thức trên ta thu được
1 1 1 1 1 b b b p q a a a p b b b p b q p q a a a a f x g x dx f x dx g x dx p q p q f x dx g x dx f x dx g x dx
Bất đẳng thức tích phân Minkôwski
Cho p 1 và f g , là 2 hàm liên tục trên a b ; Chứng minh rằng:
Gọi q 1 sao cho 1 1 1 p q , sử dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm số liên tục f x và f x g x p 1 ta có
Tương tự như trên ta sử dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm số liên tục
thì hiển nhiên bất đẳng thức đã cho đúng
thì chia hai vế của 4 cho
Bất đẳng thức tích phân Chebyshev
Cho hai hàm số f x g x , liên tục và đơn điệu trên a b ;
1 Chứng minh rằng: Nếu f x g x , là hai hàm cùng đồng biến hoặc là hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:
2 Chứng minh rằng: Nếu f x g x , có tính đơn điệu ngược chiều nhau tức là một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:
Ta sẽ chứng minh đại diện: f x g x , là hai hàm liên tục và đồng biến trên
Ta có: f a f x f b , x a b ; b f a dx b f x dx b f b dx
Theo định lý về giá trị trung gian của một hàm số liên tục thì tồn tại điểm
Mặt khác do f x g x , đồng biến trên a b ; nên f x f x 0 g x g x 0 0, x a b ;
0 0 0 0 0 b b b a a a b b a a f x g x dx f x g x dx g x f x dx f x g x b a f x g x dx f x g x dx g x f x b a f x g x b a
(đpcm) b Một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức cổ điển tích phân
Cho f x là hàm số xác định và liên tục trên 0;1 và f x 1, x 0;1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số
1 f x dx 1 f x dx dx 1 f x dx 1 f x dx 1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số f x g x , ta có
1 1 2 f x dx f x dx dx f x dx f x dx
Cho f x là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên 0;1 và f 1 f 0 1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số f x ' và g x 1 ta có
' ' ' ' f x dx f x dx dx f x dx f x dx
Theo công thức Newton – Leibnitz thì
Cho f x là một hàm liên tục trên 0;1 và thỏa mãn các điều kiện:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
1 = dx f x dx f x dx dx 2 dx f x f x f x
Cho a 0 và hàm f liên tục trên a ; thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng b < b a a f x dx xdx b a
Giải Theo Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
0 < t t t t t t a a a a a a f x dx x dx xf x dx x dx xf x dx x dx
3.2.3 Định lý về giá trị trung bình a Tóm tắt lý thuyết
gọi là giá trị trung bình của hàm f trên đoạn a b ;
Nếu hàm f khả tích trên đoạn a b ; và m f x M , x a b ; thì tồn tại ít nhất 1 điểm m M ; sao cho b a f x dx b a
Hệ quả Nếu f là một hàm số liên tục trên đoạn a b ; thì tồn tại ít nhất một điểm c a b ; sao cho b a f x dx f c b a
Giả sử f x g x , là hai hàm khả tích trên đoạn a b ; thỏa mãn 2 điều kiện:
, ; m f x M x a b và g x không đổi dấu trên a b ;
Khi đó luôn tồn tại m M ; sao cho b b a a f x g x dx g x dx
hơn nữa nếu f x liên tục trên a b ; thì c a b ; sao cho
+ Nếu hai hàm số f x g x , khả tích trên a b ; và g x đơn điệu trong
+ Nếu có thêm điều kiện g x đơn điệu giảm và không âm trong a b ; thì
+ Nếu có thêm điều kiện g x đơn điệu tăng và không âm trong a b ; thì
b Một số ví dụ minh họa
0 0 0 0 sin x sin x sin x sin x sin u
I dx dx dx dx du x x x x u
0 0 0 0 sin sin 1 1 sin x x sin x dx dx xdx dx x x x x x x
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số
1 sin ln ln 2 ln 2 0 dx c f x dx f c f c x f c x x c
I x dx x dx x dx u du x dx
2 u 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x u du x dx x dx x dx x dx
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số
0 0 0 cos u cos u cos x cos e x x dx e u du e u du e x dx
0 0 0 cos cos cos x cos x x x e x dx e x dx e x dx e x dx
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số
2 0 cos cos cos cos x x x x c c e x dx e x dx e e x dx e e x dx
3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức
Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số C : y 1
là hàm lõm x 0 nên tiếp tuyến
d tại M luôn nằm dưới đồ thị C Giả sử tiếp tuyến d cắt đường thẳng
1 , 1 x a x tại 2 điểm E, F và cắt đồ thị C tại 2 điểm P, Q Khi đó
Gọi S * là diện tích đa giác AA B A B A B B 1 1 2 2 n n thì dễ thấy S S *
Chứng minh rằng: ab e a 1 b b ln , a b , 1
Giải Xét hàm số y ln x x 1 x e y y 0 f(x)=ln(x)
Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x 0, x e y y , 0, y a 1
S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x 1, x b y , 0, y ln x
S là diện tích hình chữ nhật x 0, x b y , 0, y a 1 S b a 1
Trong cả 2 hình vẽ ta đều có
Cho k lấy từ 1, 2, , n ta có:
Cho k lấy các giá trị từ 1, 2, , n ta có:
Cho k lấy các giá trị từ 2,3, , n ta có
Cộng 1 vào các vế ta có
3.2.5 Tìm cực trị bằng phương pháp tích phân a Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số y f x liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên 0;c với
0 c Gọi f 1 x là hàm ngược của f x Khi đó a 0; c và
Hệ qủa Nếu f 0 0 thì ta có 1
Mệnh đề 2 Cho hàm số y f x liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên
+ Cho hàm số y f x liên tục và tăng trên 0; , b a 0; b ta có
+ Cho hàm số y f x liên tục và giảm trên 0; , b a 0; b ta có a b
+ Nếu b 1 và hàm số y f x liên tục và tăng trên 0;1 , a 0;1 ta có
+ Nếu b 1 và hàm số y f x liên tục và giảm trên 0;1 , a 0;1 ta có
Mệnh đề 4 Cho hai hàm số u v , liên tục và tăng trên 0;b
0 0 a b u b v a u v udv vdu b Một số bài tập minh họa
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xét hàm số g t arc cot 0 t t y Ta có ' cot 1 2 0 g t arc t 1 t
g t giảm trên 0; y Sử dụng mệnh đề 3, ta có
0 0 ar cot ar cot x y y c t dt x c t dt
cot cot 1 2 ln 2 1 1 2 ln 2 1 0 xy arc x arc y y x x y
Cho a 0, b 1 thỏa mãn a b 1 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải Xét hàm số f x x 2 1 , x 0; Dễ thấy f x liên tục và
nên f x đơn điệu tăng trên 0;
Mặt khác f 0 1 và f x có hàm ngược là y x 2 1
Sử dụng mệnh đề 1, ta có: 2 2
Suy ra: 2 a a 2 1 1 2 ln a a 2 1 b 2 b 2 1 1 2 ln b b 2 1 ab
Vậy MinT 2 ab Dấu bằng xẩy ra 2 1 1
Tìm giá trị lớn nhất của
Xét hàm số tan , 0; g t t t t 2 Ta có ' 2 2 0, 0;
Suy ra g t liên tục và tăng trên 0;
, sử dụng Mệnh đề 3, ta có
0 0 0 0 tan tan y y x x y g t dt x g t dt y t t dt x t t dt
0 0 ln cos ln cos ln cos ln cos
Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải Xét hàm số g t t 2 và h t ln 1 t liên tục và tăng t 0
Sử dụng Mệnh đề 4, ta có 2 1 2
1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
Ta nhận được 2 ln 2 ln 2 1 2 ln 1 2 ln 1
2 2 x x x x x x hay x 2 1 ln 1 x x 2 1 2 ln 2 x 1 2 ln 2 f x 1 2 ln 2
Tính tổng
3.3.1 Lý thuyết a Công thức tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân
+ Cho cấp số cộng u n có số hạng đầu u 1 và công sai d Đặt S n u 1 u 2 u n
+ Cho cấp số nhân u n có số hạng đầu u 1 và công bội q 1 Đặt S n u 1 u 2 u n
b Công thức nhị thức Newton
a ta được các kết quả sau
a hai vế của 1 ta được
3.3.2 Một số ví dụ minh họa
Tính các tổng sau: a P n 1 2 x 3 x 2 nx n 1 b Q n 1 2 2 2 x 3 2 x 2 n x 2 n 1
Giải a Ta có với x 1 thì
Lấy đạo hàm 2 vế ta được
b Q dx n 1 2 2 2 x 3 2 x 2 n x 2 n 1 dx x 2 x 2 3 x 3 nx n C xP C n Trong đó
Lấy đạo hàm 2 vế ta có
I n x dx Đặt u 1 x 2 n du 2 nx 1 x 2 n 1 dx dv dx v x
I n x x dx n x dx n x dx nI nI
Bài tập tự luyện
Bài 4 Không dùng bảng số chứng minh rằng ln 2 2
Bài 5 Chứng minh rằng: x sin , x x 0 ; cos 1 x 2 , 0 x x
Bài 6 Cho x y 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x y , y e x e x x e y e y
Bài 7 Cho 3 x y 0 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x arctan x 1 2 ln 1 x 2 x arctan 2 , x 0
(Đại học Đà Nẵng năm 2001)
(Đại học Sư Phạm TP HCM năm 2000)
(Đại học và Cao đẳng, khối A, năm 2007)