Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R Số M được gọi là GTLN của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≤M,∀x ∈ D
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R Số M được gọi là GTNN của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≥m,∀x ∈ D
Ký hiệu: m = min x∈D f (x). Chú ý: Ta có thể thay D ⊂R là tập xác định của hàm f (x) bằng tập [a, b] và dẫn đến khái niệm max
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp
• Cho U là một tập con của tập số thực R Số α được gọi là cận trên đúng của U, ký hiệu α = supU, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: α ≤ x,∀x ∈ U
Nếu α ∈ U thì α là số lớn nhất của U, ký hiệu α = maxU Vậy: α = maxU ⇔ α ≥ x,∀x ∈ U α ∈ U
• Cho U là một tập con của tập số thực R Số β được gọi là cận dưới đúng của U, ký hiệu β = infU, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: β ≤x,∀x ∈ U
∀ε > 0,∃x ε ∈ U sao cho: β +ε > x ε ≥β Nếu β ∈ U thì β là số nhỏ nhất của U, ký hiệu β = minU Vậy: β = minU ⇔ β ≤ x,∀x ∈ U β ∈ U
Sup và inf của một tập bao giờ cũng tồn tại nhưng có thể là ±∞.
Chú ý: Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] (hay tổng quát hơn là f xác định trên tập D) Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D), f (x) = y} Khi đó: maxU = max
Các điều kiện đủ
• Hàm số f liên tục trên [a, b] ⊂R thì đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.
• Hàm số f liên tục và đơn điệu trên [a, b] ⊂R thì: max
Điểm dừng, hay còn gọi là điểm tới hạn, là những điểm trong tập xác định của hàm f(x) mà tại đó đạo hàm của hàm này bằng 0 hoặc không tồn tại.
Giả sử f (x) là hàm số liên tục trên[a, b] ⊂ Rvà chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn x 1 , x 2 , , x n thì: max
Định lý cơ bản
Định lí 1.1 Giả sử y = f (x) là hàm liên tục trên [a, b] ⊂ R Khi đó:
1 Phương trình f (x) = c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi: min
2 Bất phương trình f (x) ≥c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi: max
3 Bất phương trình f (x) < c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi: min
4 Bất phương trình f (x) > c nghiệm đúng ∀x∈ [a, b] khi và chỉ khi: min
5 Bất phương trình f (x) ≤c nghiệm đúng ∀x ∈ [a, b] khi và chỉ khi: min
1.Điều kiện cần: Đặt h(x) = f (x) − c Theo định nghĩa, ∃x 1 ∈ [a, b], f (x 1 ) = min
Vì h là hàm liên tục nên tồn tại nghiệm h(x) = 0 trên [a, b]. Điều kiện đủ: Ngược lại, nếu∃x 0 ∈ [a, b]màc = f (x 0 )thìminf ≤ f (x 0 ) ≤ maxf Do đó minf ≤ c ≤ maxf.
2.Điều kiện cần: Vì f (x) ≥ c có nghiệm ∈ [a;b] nên ∃x 0 ∈ [a;b] sao cho f (x 0 ) ≥ c Ta luôn có max
[a,b] f (x) ≥ f (x 0 ) ≥ c. Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa ∃x 1 ∈ [a;b] sao cho f (x 1 ) max
[a,b] f (x) ≥ c nên f (x 1 ) ≥ c Vậy phương trình f (x) ≥ c có nghiệm thuộc [a;b].
3.Điều kiện cần: Vì f (x) < c có nghiệm ∈ [a;b] nên ∃x 0 ∈ [a;b] sao cho f (x 0 ) < c Ta có min
[a,b] f (x) ≤ f (x 0 ) < c. Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa ∃x 1 ∈ [a;b] sao cho f (x 1 ) min
[a,b] f (x) < c nên f (x1) < c Vậy bất phương trình f (x) < c có nghiệm thuộc [a;b].
4.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x 1 ∈ [a;b] sao cho f (x1) = min
Vì giả thiết f (x) > c,∀x ∈ [a;b] nên f (x1) > c Suy ra min
[a,b] f (x) > c. Điều kiện đủ: Ngược lại, min
5.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x 1 ∈ [a;b] sao cho f (x1) = max
Vì giả thiết f (x) ≤ c,∀x ∈ [a;b] nên f (x 1 ) ≤ c Suy ra max
[a,b] f (x) ≤ c. Điều kiện đủ: Ngược lại, max
Các định lý trên đây đã cho ta thấy tầm quan trọng của cực trị, tiếp ta sẽ tập trung vào các nội dung chi tiết sau:
Có nhiều phương pháp để tìm cực trị của hàm số, bao gồm phương pháp đạo hàm để khảo sát hàm số, phương pháp miền giá trị để xác định khoảng giá trị, phương pháp bất đẳng thức để so sánh các giá trị, phương pháp lượng giác hóa để xử lý các hàm lượng giác, phương pháp hình học để trực quan hóa bài toán, và phương pháp vectơ để áp dụng các khái niệm hình học trong không gian.
Các phương pháp tìm cực trị có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm việc giải các phương trình và bất phương trình Chúng cũng được sử dụng để phân tích và biện luận các phương trình và bất phương trình có chứa tham số Ngoài ra, các phương pháp này còn hỗ trợ trong việc chứng minh các bất đẳng thức.
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
Bài toán tìm cực trị rất phong phú và phức tạp, đòi hỏi sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết Một số bài toán cần kết hợp nhiều kỹ thuật để đạt được kết quả tối ưu Chương này sẽ giới thiệu một số phương pháp cực trị nhằm hỗ trợ giải các bài toán tìm cực trị hiệu quả.
Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
Phương pháp
Để xác định tập xác định của hàm số, trước tiên cần sử dụng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm Dựa vào bảng biến thiên và các giá trị đặc biệt trong tập xác định, ta có thể suy ra giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số.
Bài toán 2.1 Cho hàm số y = f (x) có tâp xác định D Tìm GTLN và GTNN của hàm số.
Tính y 0 Tìm các nghiệm x 1 , x 2 , , x n ∈ D tại đó y 0 = 0 hoặc y 0 không xác định.
Cách 1: Lập bảng, xác định chiều biến thiên Dựa vào bảng biến thiên tìm GTLN, GTNN.
Cách 2: Nếu D = [a;b] Tính f (a), f(x 1 ), f (x 2 ), , f (x n ), f (b) được: x∈[a,b]maxf (x) = max{f (a), f (x 1 ), f (x 2 ), , f(x n ), f (b)}, min x∈[a,b]f (x) = min{f (a), f (x 1 ), f (x 2 ), , f(x n ), f (b)}.
Ví dụ
Ví dụ 2.1.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos 2n x+ sin 2n x, n ∈ N ∗
Hàm y là hàm tuần hoàn với chu kì π nên ta chỉ cần xét trên [0;π] Đặt t= cos 2 x, 0 ≤t ≤ 1, ta có: y(t) = t n + (1−t) n , t ∈ [0; 1].
Ví dụ 2.1.2 (HV Quan hệ Quốc tế 1999) Cho các số x ≥ 0, y ≥ 0 và x+y = 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = x y + 1 + y x+ 1. Cách giải Đặt y = 1−x Khi đó P có dạng:
Ví dụ 2.1.3 Tìm GTLN, GTNN của S, biết:
Bài toán này liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một tập hợp Bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta có thể chuyển đổi bài toán này thành việc tìm GTLN và GTNN của một hàm số.
Ví dụ 2.1.4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = |x 3 + 3x 2 −72x+ 90| trên [−5; 5].
Ta có f 0 (x) = 3 (x 2 + 2x−24) Cho f 0 (x) = 0 ⇔ x1 = 4, x2 = 6(loại). Tính f (−5) = 400, f(4) = −86, f (5) = −70.
Phương trình f (x) = 0 có nghiệm x 0 nào đó Ta lập bảng biến thiên:
Vậy maxy = max|f (x)| = 400; miny = min|f (x)| = 0.
Ví dụ 2.1.5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin 5 x
Hàm y là hàm tuần hoàn chu kì 2π nên ta chỉ cần xét trên [0; 2π].
Trước hết ta xét hàm phụ u = sin 2 x
5−t > 0,∀t ∈ [−1; 1] Hàm đồng biến trên [−1; 1] nên: maxu = u(1) = √
Tương tự với hàm v = −sin 2 x
5 cosx ta sẽ có maxv = v(1) = √
Vì −1 ≤ sinx ≤ 1 nên −1 ≤ sin 3 x ≤ 1 Suy ra −sin 2 x ≤ sin 5 x ≤ sin 2 x.
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp đạo hàm là một công cụ quan trọng trong việc khảo sát hàm số, đã được giảng dạy trong chương trình Toán Giải tích 12 Phương pháp này rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trong toán học sơ cấp Để áp dụng phương pháp này, người học thường cần thực hiện các bước biến đổi như đặt ẩn phụ và biến đổi tương đương.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 cos 2x −4 cos x Đáp số : miny = −2, maxy = 7
4. Bài 2: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x 2 −xy + 3 = 0 2x+ 3y ≤ 14
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3x 2 y −xy 2 −2x(x 2 −1). Đáp số : minP = −4,maxP = 4.
Bài 3:Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 −xy+y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
6. Bài 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 +y 2 = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
4 Bài 5: (Học sinh giỏi Quốc gia, 1998) Cho x, y thỏa mãn 2x−y = 2 Tìm GTNN của biểu thức:
3. Bài 6: (Đề thi Đại học 1012 - D) Cho các số thực x, y thỏa mãn:
(x−4) 2 + (y −4) 2 + 2xy ≤ 32. Tìm GTNN của biểu thức A = x 3 +y 3 + 3 (xy −1) (x+y −2). Đáp số: minA = 17−5√
Phương pháp miền giá trị
Phương pháp
Giả sử f (x) là hàm liên tục trên [a, b] Khi đó phương trình f (x) = y 0 có nghiệm trên [a, b] khi và chỉ khi min
[a,b] f. Nói một cách khác: Cho y = f (x) liên tục và xác định trên [a, b] và có tập giá trị là [c, d] Khi đó min
[a,b] f = d. Phương trình f (x) = y0 xác định trên R sẽ có các trường hợp sau:
R f = +∞. Hai dạng phương trình thường được biến đổi áp dụng ở phương pháp này:
1 Phương trình ax 2 + bx+ c = 0 (a 6= 0) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0.
2 Phương trình asinx+bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a 2 +b 2 ≥ c 2
Ví dụ
Ví dụ 2.2.1 Tìm a để GTLN của hàm y = x 2 −2ax−1 x 2 + 1 đạt GTNN.
Tập xác định D = R Xác định y 0 để phương trình y 0 = x 2 −2ax−1 x 2 + 1 có nghiệm, ta biến phương trình về dạng:
(1−y 0 )x 2 −2ax−(1 +y 0 ) = 0. Để phương trình trên có nghiệm thì ∆ 0 ≥ 0, suy ra: a 2 + (1−y 2 0 ) ≥ 0 ⇔ −√ a 2 + 1 ≤ y 0 ≤√ a 2 + 1.
GTLN của y là √ a 2 + 1 ≥ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0. Kết luận:
Vậy a = 0 thì GTLN của hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2.2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3x 2 +x−1 x 2 −x+ 1 Cách giải
Tập xác định D = R Xác định y 0 để phương trình sau có nghiệm: y 0 = 3x 2 +x−1 x 2 −x+ 1
Ta biến đổi về phương trình bậc hai của x:
(y 0 −3)x 2 −(y 0 + 1)x+ (y 0 + 1) = 0. Nếu y 0 = 3 thì x = 1 Nếu y 0 6= 3, phương trình có nghiệm khi ∆ ≥0 nên:
• Khi y 0 = −1, phương trình có dạng −4x 2 = 0 ⇔ x = 0.
3 , phương trình có dạng (x−2 ) 2 = 0 ⇔ x = 2. Kết luận:
Ví dụ 2.2.3 Tìm a, b để hàm số y = ax+ b x 2 + 1 có max
Xét phương trình ax+b x 2 + 1 = y 0 có tập xác định R, biến đổi phương trình về dạng y0x 2 −ax+y0−b = 0 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: y 0 6= 0
Ví dụ 2.2.4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos 2x+ 2 sin 2x+ 3
Biến đổi phương trình y 0 = cos 2x+ 2 sin 2x+ 3
(1−2y 0 ) cos 2x+ (2 +y 0 ) sin 2x = 4y 0 −3. Để phương trình trên có nghiệm thì:
Ví dụ 2.2.5 Trong các cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình:
Ta có y = P −3x thế vào bất phương trình đã cho ta được:
Vì hệ số a = 50 > 0 để bất phương trình có nghiệm thì ∆ 0 ≥0 nên:
Ví dụ 2.2.6 Cho (xy +yz +zx) = 1 Tìm GTNN của M = x 2 + 2y 2 + 5z 2
• Khi z = 0, khi đó xy = 1 và M = x 2 + 2y 2 > 2√
M = (α 2 + 2β 2 + 5)z 2 Thực hiện giảm biến, ta được:
M = α 2 + 2β 2 + 5 αβ +β +α Suy ra có phương trình: α 2 −M(β + 1)α+ 2β 2 −M β+ 5 = 0.
Phương trình trên có nghiệm khi:
2 nên M 2 −8< 0 Ta chỉ cần xét ∆ 0 > 0 Ta có:
Từ hai trường hợp, ta có GTNN của M = 2 Dấu bằng xảy ra khi:
Thế lại vị trí đặt, ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 2 tại (x;y;z) ± 3
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp này tận dụng ràng buộc của tập xác định để giới hạn tập giá trị Đối với một số bài toán, cần biến đổi về phương trình với điều kiện đặc biệt nhằm tìm kiếm cực trị.
Bài tập áp dụng
Bài 1:(ĐH Sư phạm TP HCM 2000) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3x 2 + 10x+ 20 x 2 + 2x+ 3 Đáp số: maxy = 7 và miny = 5
2. Bài 2:(ĐH Sư phạm Quy Nhơn 1999) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sinx
2 + cosx với x ∈ [0;π]. Đáp số: maxy √3
3 và miny = 0. Bài 3: Biết x 2 +y 2 +xy = 1, tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
Phương pháp bất đẳng thức
Phương pháp
a Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình cộng và nhân - AG
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n
Bất đẳng thức AG cho hai, ba số không âm:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Một số dạng khác của bất đẳng thức trên:
1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 a+b+c,∀a, b, c > 0 Tổng quát hơn: 1 a 1 + 1 a 2 +ã ã ã+ 1 a n ≥ n 2 a 1 +a 2 +ã ã ã+a n ,∀a 1 , a 2 , , a n > 0. b Bất đẳng thức Cauchy
Cho hai bộ số (a 1 ;a 2 ; .;a n ) và (b 1 ;b 2 ; .;b n ), ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 b 1 = a2 b 2 = ã ã ã = an b n (b i 6= 0,∀i).
Bất đẳng thức Cauchy cho 2 cặp số, 3 cặp số:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay và cx = az. c Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cho các số a, b, c tùy ý, ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a−c) (c−b). d Bất đẳng thức tích phân
• Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0;b] và a ∈ [0;b] Ta có: b a
• Cho hàm số f (x) liên tục và đồng biến trên [0;b] và a ∈ [0;b] Ta có: b a
Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0;b] và a ∈ [0;b] Ta có: b a
Do f (x) nghịch biến trên [0;a] và [a;b] nên:
R a f(x)dx.Chứng minh tương tự với trường hợp đồng biến.
Ví dụ
Ví dụ áp dụng bất đẳng thức AG.
Ví dụ 2.3.1 Tìm GTNN của hàm số y = 5 5x−1 + 5 3−5x
Cách giải Áp dụng bất đẳng thức AG cho hai số không âm 5 5x−1 và 5 3−5x được:
Ví dụ 2.3.2 Cho ba số a, b, c thỏa mãn a ≥ 9, b ≥ 4, c ≥ 1 Tìm GTLN của biểu thức:
Ta biến đổi biểu thức P :
P r1 c ã c−1 c + r1 a ã a−9 a + r1 b ã b−4 b Áp dụng bất đẳng thức AG dạng √ xy ≤ x+ y
12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 2.3.3 Cho a, b, c ∈ N ∗ và a+b+c = 100 Tìm GTLN của M = abc.
Không mất tổng quát giả sử a > b > c thì a = a, a > b, a > c, suy ra:
Do đó a >34 Ta được bộ số gần đều (a, b, c) = (34,33,33). Áp dụng bất đẳng thức AG cho ba số, ta được:
Ví dụ 2.3.4 Cho x > 5 Tìm GTNN của hàm số y = 9x+ 16 x−5. Cách giải
Ta biến đổi: y = 9 (x−5) + 16 x−5 + 45. Áp dụng bất đẳng thức AG cho hai số, ta có: y ≥ 2 r
9 (x−5) 16 x−5 + 45 = 69. Suy ra y ≥69 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 2.3.5 (Đề thi Đại học 2007 - A) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
Cách giải Áp dụng bất đẳng thức AG ta có: x 2 (y +z) ≥ x 2 2√ yz = x 2 2
Tương tự ta có y 2 (x+z) ≥ 2y√ y và z 2 (x+y) ≥ 2z√ z Suy ra:
P ≥ 2x√ x y√ y + 2z√ z + 2y√ y z√ z + 2x√ x + 2z√ z x√ x+ 2y√ y. Đặta = x√ x+ 2y√ y, b = y√ y+ 2z√ z, c = z√ z+ 2x√ x, thực hiện biến đổi ta được: x√ x = 4c+a−2b
Áp dụng bất đẳng thức AG ta có P ≥ 2
9(4.3 + 3−6) = 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: c b = a c = b a,a b = b c = c a. Suy ra a = b = c Khi đó ta có: x√ x = y√ y = z√ z = a
Tiếp theo là một số ví dụ sử dụng phương pháp Cauchy.
Ví dụ 2.3.6 Cho ba số dươnga, b, c thỏa mãn3x+4y+25z = 39 Tìm GTNN của biểu thức M = 3 x + 9 y + 36 z Cách giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 cặp số ta có:
= 39 2 Suy ra M ≥ 39 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 2.3.7 Cho x, y thỏa mãn 9x 2 + 16y 2 = 25 Tìm GTLN của biểu thức
Cách giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số 1,1,3x,4y ta có:
12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Một số ví dụ áp dụng phương pháp giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 2.3.8 : (Đại học D - 2008) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
Vì x, y không âm nên ta có:
[(x+ y) + (1 +xy)] 2 Áp dụng bất đẳng thức AG ta có:
4 suy ra x+y = 1 +xy (x−y) (1−xy) = (x+y) (1 +xy) ⇔ x = 1 y = 0
4 suy ra x+ y = 1 +xy (x−y) (1−xy) = −(x+y) (1 +xy) ⇔ x = 0 y = 1 Kết luận:
Ví dụ 2.3.9 Tìm GTLN của hàm số: f (x) = px+ 5−4√ x+ 1−px+ 17−8√ x+ 1.
Tập xác định D = [−1; +∞) Ta biến đổi: f (x) q √ x+ 1−2 2 − q √ x+ 1−4 2 = |√ x+ 1−2| − |√ x+ 1−4|. Áp dụng bất đẳng thức |a−b| ≥ |a| − |b| ta được: f (x) ≤ |√ x+ 1−2−√ x+ 1 + 4| = 2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 2.3.10 Tìm GTNN của biểu thức:
Cách giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
√10 + 10x 2 = p(3 2 + 1 2 ) (1 2 +x 2 ) ≥ |3 +x|. Áp dụng tiếp bất đẳng thức |a|+|b| ≥ |a+b|:
Suy ra A≥ 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Một số ví dụ áp dụng phương pháp tích phân.
Ví dụ 2.3.11 Tìm GTLN củaf (x) = 2 cos 3 x+3 cos 2 x+18 cosx−23√ cosx.
Cách giải Đặt t = √ cosx, t ∈ [0; 1] Bài toán đưa về tìm GTLN của hàm: g(t) = 2t 6 + 3t 4 + 18t 2 −23t, t ∈ [0; 1].
Ta có hàm h(u) = u 5 + u 3 + 3u là hàm liên tục và đồng biến trên [0; 1] Do đó theo công thức ta có: t
Suy ra 2t 6 + 3t 4 + 18t 2 −23t≤ 0 Thế lại vị trí đặt ta được: f (x) = 2 cos 3 x+ 3 cos 2 x+ 18 cosx−23√ cosx ≤ 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 2.3.12 Tìm GTNN của hàm số: f (x) = 2 (x+ 1) ln (x+ 1)−x 2 + x(2−3 ln 3), x ∈ [0; 2].
Hàm g(t) = ln (1 +t) + 1−t nghịch biến trên [0; 2] Áp dụng công thức:
2 +C. Suy ra bất đẳng thức:
Nhận xét về phương pháp
Các bất đẳng thức đã được giảng dạy trong sách giáo khoa phổ thông, chủ yếu yêu cầu học sinh chứng minh chúng Tuy nhiên, chúng ta còn có thể sử dụng hai bất đẳng thức này để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, điều này đòi hỏi kỹ năng tách, ghép biểu thức để áp dụng thành thạo Đặc biệt, trong các bài toán liên quan đến tổng và tích của các số không âm, chúng ta nên nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cauchy Cần lưu ý rằng khi giải bài toán, việc xác định dấu bằng có xảy ra hay không là rất quan trọng.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số dương a, b: a 2 + b 2 = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
2 Bài 2: Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
P = (1−a) (1−b) (1−c) abc Đáp số : minP = 8, tại a = b = c = 1
Bài 4: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của biểu thức P = a+ 1 b(a−b). Đáp số : minP = 3 tại a = 2, b = 1.
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a 2 + 3b 2 + 9c 2 = 1 Tìm GTLN của biểu thức P = √
33 Bài 6:Tìm GTNN củaf (x) = px+ 3−4√ x−1+px+ 15−8√ x−1. Đáp số: minf (x) = 2, tại x ∈ [5 : 17].
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:
Bài 8: Tìm GTLN của hàm số: f (x) = sin 3 x+ 3 sinx−4√ sinx,2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π, k ∈ Z. Hướng dẫn: Đặt t = √ sinx Sau đó đặt h(u) = u 5 + u. Đáp số: maxf (x) = 0 tại x = kπ hoặc x= π
2 + 2kπ. Bài 9: Tìm GTNN của hàm số: f (x) = (3 + 2 ln 2)x−2 x+1 −x 2 ln 2, x ∈ [0; 2]. Hướng dẫn: Đặt g(t) = 2 t +t. Đáp số: minf (x) =−2, tại x = 0 và x = 2.
Phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp
Trong nhiều bài toán, việc chuyển đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác giúp quá trình giải quyết trở nên dễ dàng hơn Dưới đây là một số phương pháp thường được áp dụng.
• √ x 2 + 1 hoặc không ràng buộc Đặt x = tanα , với α ∈
• √ x 2 +m 2 hoặc không ràng buộc Đặt x = mtanα, với α ∈
Ví dụ
1−c 2 , tìm GTLN của (|a|+|b|). Cách giải
Vì |c| ≤ 1, |d| ≤ 1, đặt |c|= cosα, |d| = cosβ, với 0 ≤ α, β ≤ π
|b| = cosβsinα Suy ra |a|+ |b| = sin (α+β) ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: α+β = π
Ví dụ 2.4.2 Cho số thực x, y thỏa mãn x 2 +y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của
Cách giải Đặt x = sinα, y = cosα với α ∈ [0; 2π] Khi đó P = sin 6 x+ cos 6 x Biến đổi hằng đẳng thức ta được:
4 ≤P ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi:
Ví dụ 2.4.3 Cho cặp số thực x, y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
[(1 +x 2 ) (1 +y 2 )] 2 Cách giải Đặt x = tana, y = tanb với −π
(1 + tan 2 a) 2 (1 + tan 2 b) 2 Biến đổi tan theo sin và cos ta được:
P = sin 2 acos 2 b−sin 2 bcos 2 a cos 2 acos 2 b−sin 2 bsin 2 a
4 Dấu bằng xảy ra khi:
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp này thường được sử dụng cho các bài toán có chứa căn với điều kiện trong biểu thức Nếu không áp dụng lượng giác, việc giải sẽ trở nên phức tạp hơn Do đó, khi thực hiện phép đặt, cần lưu ý đến điều kiện của biến mới.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √
1 +x. Đáp số : maxy = 2, tại x = 0 miny = √
2, tại x = ±1. Bài 2: Cho x, y > 0 và x+ y = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
2 Bài 3: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng 0 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
2−2. Bài 4: Cho các số x, y, z, t liên hệ theo biểu thức:
x 2 +y 2 = 9 z 2 +t 2 = 16 xt+yz = 12 Tìm GTLN của (x+z). Đáp số : Giá trị lớn nhất là 7.
Bài 5: Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
0 < x, y, z < 1 xy +yz +zx = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
Phương pháp hình học
Phương pháp
Phương pháp giải quyết bài toán cực trị đại số dựa vào các tính chất hình học, tuy nhiên do sự phong phú của các tính chất này, không có phương pháp cụ thể hay dạng bài tập tổng quát Những tính chất thường được áp dụng bao gồm tính chất về tam giác, đường thẳng, đường tròn và khoảng cách giữa hai điểm Ví dụ, khi gặp hàm bậc nhất, ta sẽ liên tưởng đến tính chất của đường thẳng; trong khi với điều kiện (x−a)² + (y−b)², ta sẽ nghĩ đến tính chất của đường tròn hoặc khoảng cách giữa hai điểm.
Ví dụ
Ví dụ 2.5.1 (Đại học B - 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm GTNN của biểu thức:
Trong hệ trọa độ Oxy, lấy điểm M (x−1;−y), N (x+ 1;y) Với ba điểm bất kì, ta có OM +ON ≥ M N nên: q
3, dấu bằng đạt được khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng và O nằm giữa M và N Ta có y = 1
Ví dụ 2.5.2 Cho 0 ≤a, b, c ≤ 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
• Nếu a = b = c = 0 thì P = 0, suy ra GTNN của P bằng 0.
• Nếu a, b, c không đồng thời bằng 0 Ta dựng 4ABC đều cạnh 2 Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = a, BN = b,
CP = c Ta có hình sau:
Ta có S ∆AM P +S ∆BM N + S ∆CN P ≤ S ∆ABC
Thay các giá trị đã biết ta được:
Dấu bằng xảy ra khi hai trong ba điểm M, N, P trùng nhau, điểm còn lại tùy ý Không mất tổng quát ta cho a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2].
Kết luận: maxP = 4, tại a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2]; minP = 0 tại a = b = c = 0.
Ví dụ 2.5.3 Cho hệ bất phương trình: x+y ≥ 1 x 2 +y 2 ≤ 1 Tìm GTLN, GTNN của P = x 2 +y 2 −2 (x+y) + 2√
Để vẽ đường thẳng x + y = 1 và đường tròn x² + y² = 1 trên hệ trục tọa độ, ta xác định giao điểm của hai đồ thị tại các tọa độ (1; 0) và (0; 1) Miền nghiệm của bất phương trình điều kiện sẽ được biểu diễn bằng miền gạch chéo.
Ta biến đổi biểu thức:
Xét trên miền xác định được gách chéo:
• Dễ thấy tại (1; 0)và (0; 1), AB đạt giá trị lớn nhất và AB = 1 Khi đó giá trị lớn nhất của P là 2√
• AB đạt giá trị nhỏ nhất tại giao điểm thỏa mãn hệ: y = x x 2 + y 2 = 1 ⇔ x = y √2
2 suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 0. Kết luận: maxP = 2√
2−2 tại (1; 0) và (0; 1); minP là 0 tại
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp này yêu cầu cá nhân phải thành thạo về tính chất hình học, từ đó có khả năng liên tưởng và áp dụng vào bài toán cực trị đại số một cách hiệu quả.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Giả sử 0 ≤a, b, c ≤ 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
P = a+b+c−ab−bc−ca. Đáp số: maxP = 1 tại a = 1, b ∈ [0; 1], c = 0; minP = 0 tại a = b = c = 0. Bài 2: Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn a 2 + b 2 = 4 và c+ d = 5 Tìm GTLN của biểu thức T:
T = ac+bd+cd. Đáp số: maxT = 25 + 20√
2. Bài 3: Giả sử (x 1 ;y 1 ) và (x 2 ;y 2 ) là hai nghiệm của hệ: x+my = m x 2 +y 2 = x
Tìm m để biểu thức S = (x 1 −x 2 ) 2 + (y 1 −y 2 ) 2 đạt GTLN. Đáp số: m = 1
Phương pháp vectơ
Phương pháp
a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho −→u = (x 1 ;y 1 ),−→v = (x 2 ;y 2 ), ta có:
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi cos (−→u ,−→v ) = 1 ⇔ −→u ,−→v cùng hướng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ −→u ,−→v cùng hướng: x1 x 2 = y1 y 2 = k ≥0. b Trong mặt phẳng chứa 4 ABC có các cạnh BC = a, AC = b, BA = c, điểm M tùy ý, ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ≡ G (trọng tâm tam giác).
Khai triển bất đẳng thức trên ta được:
Tiếp tục khai triển theo hai hướng tích vô hướng sau:
= M C 2 +M A 2 −AC 2 Khi đó bất đẳng thức khai triển trở thành:
M A Khi đó bất đẳng thức khai triển trở thành:
Ví dụ
Ví dụ 2.6.1 Cho x, y > 0, thỏa mãn điều kiện 7 x + 9 y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x+y.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u ,−→v cùng hướng Kết hợp đề bài ta có:
Ví dụ 2.6.2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: ab+ bc+ ca = 3abc. Tìm GTNN của biểu thức:
Vì a, b, c ∈ R + nên từ đề bài ta có:
= 6. Áp dụng bất đẳng thức vectơ ta có:
Suy ra M ≥ 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |−→u|,|−→v |,|−→ t | cùng hướng Khi đó a = b = c = 1.
Ví dụ 2.6.3 Cho tam giác nhọn ABC Xác định hình dạng của tam giác để biểu thức M = sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C đạt GTLN.
GọiO là tâm đường tròn ngoại tiếp4ABC VìABC nhọn nên O nằm trong ABC Ta có:
Ta được bất đẳng thức mới:
3 (OA 2 +OB 2 +OC 2 )−BA 2 −BC 2 −AC 2 ≥ 0. Tương đương: a 2 +b 2 +c 2 ≤ 9R 2
Vì a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC nên:
Suy ra sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C ≤ 9
4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→
OC = 0 Khi đó O là trọng tâm 4ABC nên 4ABC là tam giác đều. Kết luận:
Ví dụ 2.6.4 Cho tam giác nhọn ABC Tìm GTNN của biểu thức:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC Vì 4ABC là tam giác nhọn nên O nằm trong 4ABC Với mọi 4ABC ta có
OA 2 +OB 2 + OC 2 + 2OA.OB.cos −→
Vì OA = OB = OC = R, nên ta có:
2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→
0 Khi đó O là trọng tâm 4ABC nên 4ABC là tam giác đều.
2 khi 4ABC là tam giác đều.
Nhận xét về phương pháp
Để áp dụng phương pháp này, bạn cần nắm vững công thức về vectơ và độ dài vectơ, từ đó có thể chuyển đổi các phép tính đại số thành phép tính vectơ một cách hiệu quả.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: √ ab+√ bc+√ ca = 2√ abc. Tìm GTNN của biểu thức:
P rb+ 9a ab + rc+ 9b bc + ra+ 9c ca Đáp số : M inP = 2√
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2 x + 3 y = 1 Tìm GTNN của (x+y). Đáp số : M in(x+y) = 5 + 2√
6. Bài 3: Xác định tam giác ABC để biểu thức sau đạt GTLN:
Q= sinA+ sinB + sinC. Đáp số : Tam giác ABC đều và M ax P = 3√
2 Bài 4: Với mọi tam giác ABC Tìm GTLN của biểu thức:
T = cosA+ cosB + cosC. Đáp số : Tam giác ABC đều và M ax P = 3
Ví dụ tổng quát
Ví dụ
Ví dụ 2.7.1 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 1 x + 1 y = 2 Tìm GTNN của biểu thức P = x+y.
Cách giải 1 Phương pháp đạo hàm - Khảo sát hàm số
Từ điều kiện suy ra x = y
2y −1 , thế vào biểu thức ban đầu, ta được:
(2y −1) 2 Xét trên D, cho P 0 = 0 ⇔y = 1 Hàm nghịch biến trên
, đồng biến trên (1; +∞) Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất tại y = 1, khi đó P = 2, x = 1.
Cách giải 2 Phương pháp miền giá trị
Ta có P = x+y, đặt T = xy, từ điều kiện suy ra T = P
2 Vì x, y là nghiệm dương của phương trình t 2 −P t+T = 0 nên:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = P
Cách giải 3 Phương pháp bất đẳng thức AG
Ta biến đổi biểu thức:
Áp dụng bất đẳng thức AG cho hai số số không âm: x y + y x ≥ 2 rx y.y x. Suy ra P ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Cách giải 4 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy
Ta biến đổi biểu thức:
! Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có;
Suy ra P ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1.
Cách giải 5 Phương pháp lượng giác hóa
Biến đổi phương trình điều kiện: 1
Suy ra P ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: sin 2 2α = 1 ⇔α ∈ π
Thay vào vị trí đặt ta được x = y = 1.
Cách giải 6 Phương pháp hình học
Ta biến đổi phương trình điều kiện: 1
Dựng đường tròn tâm O, đường kính AB = 1 Lấy C thuộc đường tròn, ta được tam giác CAB vuông tại C, CB = a, CA = b.
2. Khi đó P = 2 và tam giác CAB vuông cân tại C nên a = b ⇔ x= y = 1. Kết luận:
Cách giải 7 Phương pháp vectơ Đặt −→u = √ x;√ y , −→v = 1
Suy ra P ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u, −→v cùng phương, khi đó:
Ví dụ 2.7.2 (Đại học Khối B - 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 +y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
1 + 2xy+ 2y 2 Cách giải 1 Phương pháp đạo hàm - Khảo sát hàm số Đặt x = ty, ta có biểu thức:
= −6; P (3) = 3.Suy ra −6 ≤ P ≤ 3 Dấu bằng xảy ra khi:
• P đạt giá trị nhỏ nhất bằng -6, tại t= −3
• P đạt giá trị lớn nhất bằng 3, tại t= 3 Suy ra: x = 3y x 2 +y 2 = 1 ⇔
Cách giải 2 Phương pháp miền giá trị Đặt x = ty, ta có biểu thức:
Khi P = 2: Phương trình vô nghiệm.
Xét P 6= 2 : Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 ≥ 0, tương đương:
2 Nếu P = 3 ⇔ t= 3 Giải nghiệm như cách 1. Kết luận:
Cách giải 3 Phương pháp lượng giác hóa Đặt x = sinα y = cosα với α ∈ [0; 2π] Ta có:
1 + 2 sinαcosα + 2 cos 2 α = 1−cos 2α+ 6 sin 2α
2 + sin 2α+ cos 2α Biến đổi tương đương:
(P −6) sin 2α + (P + 1) cos 2α = 1−2P. Để phương trình có nghiệm thì:
Suy ra −6 ≤ P ≤ 3 Dấu bằng xảy ra khi:
• P = −6 Giải tương tự bước trên.
Ví dụ 2.7.3 (Đại học Xây dựng - 1999) Tìm GTLN, GTNN củaA = 2x−y−2 với (x;y) là tọa độ điểm M chạy trên Ellip: x 2
9 = 1. Cách giải 1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
Từ phương trình ellip suy ra y = ±3 r
Cách giải 2 Phương pháp miền giá trị
Từ biểu thức đề bài ta có y = 2x−2−A, x ∈ [−2; 2], y ∈ [−3; 3], thế vào phương trình ellip: x 2
Biến đổi tương đương ta được:
9 = 0. Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 ≥ 0:
Cách giải 3 Phương pháp lượng giác hóa
Khi đó biểu thức A trở thành:
A = 4 sinα −3 cosα −2 ⇔ 4 sinα−3 cosα = A+ 2. Để phương trình có nghiệm thì:
• Khi A= 3, ta có phương trình 4
• Khi A= −7, thực hiện tương tự được x = −8
Cách giải 4 Phương pháp hình học
Ta có y = 2x−2−A(∆) Gọi d là tiếp tuyến của ellip tại (x 0 ;y 0 ) và song song với đường thẳng y = 2x−2, phương trình đường thẳng d: x 0 x
4y 0 = 2 Thế vào phương trình ellip, ta được: x 2 0
Vì xét biểu thức A trên ellip do đó ∆ nằm giữa d 1 và d 2 Suy ra:
Cách giải 5 Phương pháp vectơ Đặt −→u = x
• Áp dụng bất đẳng thức |−→u +−→v | ≤ |−→u|+|−→v |, ta có: rx
Do đó A≤ 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u ,−→v cùng hướng:
• Áp dụng bất đẳng thức |−→u − −→v | ≤ |−→u|+|−→v |, ta có: rx
Do đó A≥ −7 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u ,−→v ngược hướng:
Ví dụ 2.7.4 Cho ba số dương x, y, z Tìm GTLN của biểu thức:
(x+ 1) (y + 1) (x+ 1). Cách giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy u 2 +v 2 ≥ u 2
4 Áp dụng bất đẳng thức AG dạng uvt ≤ u 3 +v 3 +t 3
4. Giá trị lớn nhất đạt được khi t= 4 nên: x+y +z+ 1 = 4 x+ 1 = y+ 1 = z + 1 ⇔ x = y = z = 1. Kết luận:
Bài tập áp dụng
Giải bài tập sau bằng các cách có thể:
Bài 1: Cho a, b > 0 cố định và x, y là những số dương thay đổi thỏa mãn: a x + b y = 1.
Tìm GTNN của biểu thức P = x+y. Đáp số: minP = √ a+√ b
, tại x = a+√ ab, y = b+√ ab. Bài 2: Cho các số thực x 6 +y 6 ≤ 2 Tìm GTLN của biểu thức:
Bài 3: (Đề thi Đại học B - 2007) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2. Bài 4: (Đề thi Đại học B - 2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x+y) 3 + 4xy ≥ 2 Tìm GTNN của biểu thức:
2. Bài 5: (Đề thi Đại học B - 2010) Cho các số thực không âm a, b, cthỏa mãn a+ b+c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
M = 3 (a 2 b 2 +b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3 (ab+ bc+ca) + 2√ a 2 +b 2 +c 2 Đáp số: minM = 2.
Bài 6: (Đề thi Đại học A - 2011) Cho x, y, z là ba số thuộc đoạn [1; 4] và x ≥y, x ≥z Tìm GTNN của biểu thức:
33 tại x = 4, y = 1, z = 2. Bài 7: (Đề thi Đại học B - 2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn:
2 (a 2 +b 2 ) +ab = (a+b) (ab+ 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 Bài 8: (Đề thi Đại học A, A1 - 2013) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y +z = 0 Tìm GTNN của biểu thức:
6x 2 + 6y 2 + 6z 2 Đáp số: Vậy minP = 3 tại x = y = z = 0.
Bài 9: (Đề thi Đại học A, A1 - 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a+c) (b+ c) = 4c 2 Tìm GTNN của biểu thức:
2. Bài 10: (Đề thi Đại học B - 2013) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm GTLN của biểu thức:
8 tại a = b = c = 2. Bài 11: (Đề thi THPT Quốc gia 2015) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] và thỏa mãn điều kiện a+b+c = 6 Tìm GTLN của biểu thức:
Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG
Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình
Phương pháp ứng dụng
Dựa vào phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số ta có kết quả:
• Nếu y = f (t) là hàm đơn điệu thật sự thì f (x) = f (t) ⇔x = t
• Nếu f (x) là một hàm đồng biến: f (x) ≥ f (y) ⇔x ≥ y.
• Nếu f (x)là một hàm liên tục và nghịch biến: f (x) > f(y) ⇔x < y.
•Nếuf (x) là hàm đồng biến, liên tục vàg(x) cũng là hàm nghịch biến, liên tục và f (x 0 ) = g(x 0 ) thì bất phương trình f (x) ≥ g(x) có nghiệm x ≥ x 0 ; bất phương trình f (x) < g(x) có nghiệm x < x 0
Ví dụ 3.1.1 Giải phương trình:
Ta biến đổi phương trình đã cho thành:
Do đó f (t) là hàm đồng biến trên R Suy ra: f (2x+ 1) = f (−3x) ⇔x = −1
5 Thử lại thấy thỏa mãn phương trình.
Vậy nghiệm phương trình là x = −1
Ví dụ 3.1.2 Giải bất phương trình √
Cách giải Điều kiện của bất phương trình:
Khi đó bất phương trình tương đương:
Do đó f (x) đồng biến trên [−2; 4] Mà f (1) = 2√
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là −2 ≤x < 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ [−2; 1). Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng
Nếu B ≤ f(x) và tồn tại x₀ thỏa mãn điều kiện này, thì x₀ chính là nghiệm của phương trình A = B Việc dự đoán trước nghiệm sẽ giúp việc áp dụng bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp không thể đoán được nghiệm, bất đẳng thức vẫn có thể được sử dụng để thực hiện các đánh giá cần thiết.
Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình s
Cách giải Điều kiện: x > −1 Phương trình có dạng: s
Theo bất đẳng thức AG cho ba số ta có: s
2 + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy nghiệm của phương trình là x = −3 +√
Ví dụ 3.1.4 Giải phương trình:
Ta biến đổi vế trái:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
2 Mặt khác, ta biến đổi vế phải được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Ví dụ sau sẽ sử dụng phương pháp lượng giác hóa để thực hiện.
Ví dụ 3.1.5 Giải phương trình: p1 +√
Biến đổi tương đương ta được:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 1
2. Ứng dụng phương pháp vectơ giải phương trình sau đây.
Ví dụ 3.1.6 Giải phương trình |√ x 2 −4x+ 5−√ x 2 −10x+ 50| = 5.
Tập xác định D = R Ta biến đổi phương trình thành:
| q (x−2) 2 + 1 2 − q (x−5) 2 + 5 2 | = 5. Đặt −→u = (x−2; 1),−→v = (x−5; 5) Áp dụng bất đẳng thức:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→u ,−→v cùng chiều Khi đó: x−2 x−5 = 1
4. Thử lại kết quả thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5
Bài tập áp dụng
2 Bài 2: Giải bất phương trình:
Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương trình có chứa tham số
Phương pháp ứng dụng
Ví dụ 3.2.1 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x+m
Phương trình đã cho tương đương: x = m √ x 2 −1−1 ⇔ x √ x 2 + 1 + 1 = x 2 m.
√x 2 + 1 + 1 x 2 < 0,∀x 6= 0 Suy ra f (x) nghịch biến trên tập xác định Tính lim x→+∞f (x) = 1, lim x→−∞f (x) = −1, lim x→0 + f (x) = +∞ và lim x→0 − f (x) = −∞.
Kết luận: m ∈ (−∞;−1] ∪[1; +∞) phương trình chỉ có một nghiệm x = 0, m ∈ (−1; 0) phương trình có nghiệm x = 0 và một nghiệm x < 0, m ∈ (0; 1) phương trình có nghiệm x = 0 và một nghiệm x > 0.
Bất phương trình mx + √(x−1) + 4m−2 > 0 cần được phân tích để tìm giá trị của m theo các điều kiện khác nhau Để bất phương trình có nghiệm, cần xác định m sao cho tồn tại x thỏa mãn điều kiện Đối với trường hợp bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ 1, m phải được chọn sao cho bất phương trình luôn dương trong khoảng này Khi yêu cầu bất phương trình có nghiệm trong khoảng [2; 37], m cần được xác định để đảm bảo tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng đã cho Cuối cùng, để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc [2; 37], cần tìm m sao cho bất phương trình luôn dương trong toàn bộ khoảng này.
Bất phương trình đã cho tương đương: m(x−1) +√ x−1 + 5m−2> 0. Đặt t= x−1, t ≥0, đưa bất phương trình về dạng: mt 2 +t+ 5m−2> 0 ⇔ f (t) = 2−t t 2 + 5 < m.
(t 2 + 5) 2 , cho f 0 (t) = 0 ⇔ t = 5, t= −1 (loại), suy ra: mint≥0 f (t) = f (5) = − 1
5. a Bất phương trình có nghiệm khi m > min t≥0 f (t) =− 1
10. b Bất phương trình nghiệm đúng ∀x ≥1 khi m > max t≥0 f (t) = 2
Xét x ∈ [2; 37] thì t ∈ [3; 38] Tính giá trị f (3) = − 1
161. c Bất phương trình có nghiệm thuộc [2; 37] khi m > min t∈[3;38]f (t) =− 1
10. d Bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [2; 37] khi m > max t∈[3;38]f (t) =− 4
161. Kết luận: a Bất phương trình có nghiệm khi m > − 1
10. b Bất phương trình nghiệm đúng ∀x ≥ 1 khi m > − 4
161. c Bất phương trình có nghiệm thuộc [2; 37] khi m >− 1
10. d Bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [2; 37] khi m > − 4
Ví dụ 3.2.3 Tìm m để phương trình √ x 2 +x+ 1 −√ x 2 −x+ 1 = m có nghiệm.
= 1 Đặt f (x) = √ x 2 +x+ 1−√ x 2 −x+ 1 = AB −AC, D = R Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi min x∈D f (x) ≤ m ≤ max x∈D f (x) Ta có bất đẳng thức sau:
||AB| − |AC|| ≤ |AB −AC| ≤BC. Suy ra:
Cách giải 2 Đặt f (x) = √ x 2 +x+ 1 −√ x 2 −x+ 1, D = R Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi min x∈D f (x) ≤m ≤ max x∈D f (x) Ta có: f 0 (x) x+ 1 2 s x+ 1 2
!3 > 0,∀t ∈ R, suy ra g(t) luôn đồng biến trên R Vì x+ 1
Hàm f 0 (x)luôn đồng biến trên R.
Tính lim x→+∞f (x) = 1 và lim x→−∞f (x) = −1. Suy ra −1 ≤ f (x) ≤ 1.
Ví dụ 3.2.4 Tìm m để phương trình x 4 +x 3 +mx 2 −3x+ 9 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế cho x 2 ta được: x 2 + 9 x 2 + x− 3 x
+m = 0. Đặt t= x− 3 x, t∈ R\ {0} , phương trình trên trở thành: t 2 + t+m+ 6 = 0 (∗)
Vì t 0 = 1 + 3 x 2 > 0,∀x ∈ D nên t đồng biến trên tập xác định.
Khi xem xét giới hạn của hàm số, ta có: lim x→−∞ t = −∞, lim x→0− t = +∞, lim x→0+ t = −∞, và lim x→+∞ t = +∞ Điều này dẫn đến việc phương trình t = a luôn có hai nghiệm phân biệt với dấu trái ngược Hơn nữa, phương trình đã cho sẽ có bốn nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt.
4 phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3.2.5 (Đại học A - 2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
Ta thấyu(2) = v(2) = 0 Hơn nữa,u(x), v(x) cùng dương trên khoảng(0; 2) và cùng âm trên khoảng (2; 6) Ta có bảng biến thiên: Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì:
Ví dụ 3.2.6 Tìm m để bất phương trình mx−√ x−3≤ m+ 1 có nghiệm.
Tập xác định D = [3; +∞) Bất phương trình đã cho tương đương: m(x−3)−√ x−3 ≤1−2m. Đặt t= √ x−3, t ≥0 Đưa bất phương trình về dạng: m ≤ t+ 1 t 2 + 2 = f (t), ∀t ≥0. Để bất phương trình có nghiệm thì m ≤ max
Ví dụ 3.2.7 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x ∈ [−3; 6]:
2 Bất phương trình có dạng: f (t) = −1
2i. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [−3; 6] thì: m 2 −m+ 1 ≥ max t∈[ 3;3 √ 2 )f (t) =f (3) = 3. Suy ra m 2 −m+ 1 ≥ 3 ⇔ m ≤ 1−√
Ví dụ 3.2.8 Tìm m để bất phương trình 5 x 2 −mx −5 (2−m)x+m ≤ −x 2 + 2x+m có nghiệm.
Bất phương trình đã cho tương đương:
Xét hàm f (t) = 5 t +t Ta có f 0 (t) = 5 t ln5 + 1 > 0,∀t ∈ R.
Do đó, f (t) là hàm đồng biến trên R Để bất phương trình có nghiệm thì ∃x sao cho: f (x 2 −mx) ≤ f (2x−mx+m). Khi đó ∃x sao cho: x 2 −mx ≤ 2x−mx+m ⇔m ≥x 2 −2x.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
4 Bài 2:(Đề thi Toán 2004 - B) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m √
2−1 ≤ m ≤ 1. Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
2. Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x 4 −mx 3 + (m+ 2)x 2 −mx + 1< 0. Đáp số: m 4. Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm x ∈ [−1; 1]:
Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp ứng dụng
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng bài toán cực trị, trong đó giá trị cực trị đã biết và cần tìm phương pháp để đạt được giá trị đó Người ta có thể áp dụng trực tiếp các phương pháp đã biết hoặc kết hợp nhiều phương pháp khác nhau Nhiều bài toán được giải bằng cách biến đổi biểu thức đã cho và xác định điều kiện của hàm số trên một tập D nhất định, sau đó tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D để rút ra kết luận cần chứng minh.
Ví dụ 3.3.1 Cho a, b, c dương thỏa mãn a 2 +b 2 + c 2 = 1 Chứng minh rằng: a b 2 +c 2 + b c 2 +a 2 + c a 2 +b 2 ≥ 3√
Biến đổi vế trái thành a
2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c √3
Ví dụ 3.3.2 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: a+b a+ b+ c
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba cặp số ta có:
2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a+b a+b+c
Ví dụ 3.3.3 (MO Romanian 2004) Chứng minh rằng với ba số dương a, b, c, ta đều có: a bc(c+a) + b ca(a+b) + c ab(b+c) ≥ 27
2 (a+b+c) 2 Cách giải Đặt M = a bc(c+a) + b ca(a+ b) + c ab(b+c) Ta thấy: ra bc + r b ca + r c ab r a bc(c+a)
√b+c. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba cặp số ta có: ra bc + r b ca + r c ab
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AG ta có: ra bc + r b ca + r c ab
2 (a+b+c) 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 3.3.4 Cho ba số dương a, b, c: a 2 +b 2 +c 2 = 3 Chứng minh rằng: ab+bc+ ca+ 5 a+ b+c ≤ 14
3 Cách giải Đặtt = a+b+c⇒ab+bc+ca = t 2 −3
2 Vì0≤ ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 ≤3 nên 3≤ t 2 ≤ 9 ⇔√
3 ≤t ≤ 3 Ta xét: ab+bc+ca+ 5 a+b+c = f (t) = t 2
3; 3i. Suy ra: ab+bc+ca+ 5 a+b+c ≤ max
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a+b+c = 3 a = b = c ⇔ a = b = c = 1.
Ví dụ 3.3.5 Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn a+ b+ c+ d = 1 Chứng minh rằng:
Ta khai triển vế trái:
1 ab + 1 ac + 1 ad + 1 bc + 1 bd + 1 cd
+ 1 abcd. Áp dụng bất đẳng thức AG cho từng cụm trên ta được:
V T ≥ 1 + 4 t + 6 t 2 + 4 t 3 + 1 t 4 ≥ 1 + 4.4 + 6.4 2 + 4.4 3 + 4 4 = 5 4 Vậy ta có điều cần chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a+b+c+d = 1 a = b = c = d ⇔ a = b = c = d = 1
Sử dụng phương pháp vectơ chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 3.3.6 (Đề thi Đại học 2003 - A) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x+y +z ≤ 1 Chứng minh rằng:
82, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
−80 (x+y +z) 2 Áp dụng bất đẳng thức AG ta có:
82, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thuộc (0; 1) Chứng minh rằng: a b+c+ 1 + b c+ a+ 1 + c a+b+ 1 + (1−1) (1−b) (1−c) < 1. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1, ta đều có:
2(ab+bc+ca). Bài 3: Cho a, b > 1, chứng minh rằng: a 3 +b 3 −(a 2 +b 2 ) (a−1) (b−1) ≥8. Bài 4: (IMO 1995) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng: a 2 b+c + b 2 c+a + c 2 a+b ≥ 3
Bài 5: (Đề thi Đại học 2005 - A) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn:
2x+y +z + 1 x+ 2y+ z + 1 x+y + 2z ≤ 1. Bài 6: (Đề thi Đại học 2005 - B) Chứng minh rằng ∀x∈ R, ta có:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 7: (Đề thi Đại học 2005 - D)Cho các số dươngx, y, zthỏa mãn xyz = 1.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 8: (Đề thi Đại học 2009 - A) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y +z) = 3yz, ta có:
Sau thời gian học tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS TS Nguyễn Đình Sang, em đã hoàn thành luận văn "PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG" Luận văn đạt được nhiều kết quả đáng ghi nhận.
1 Trình bày, phân tích, áp dụng 6 phương pháp cực trị gồm:
• Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
• Phương pháp miền giá trị
• Phương pháp bất đẳng thức
• Phương pháp lượng giác hóa
2 Trình bày 3 ứng dụng cực trị thường gặp trong các bài toán học phổ thông:
• Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình
• Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương trình có chứa tham số
• Ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức
Các phương pháp tối ưu cho bài toán khác nhau đều rất quan trọng Việc thực hành thường xuyên và thành thạo các phương pháp sẽ giúp chúng ta nhanh chóng lựa chọn được phương pháp phù hợp nhất cho các bài toán tìm cực trị, đồng thời biết cách áp dụng linh hoạt các phương pháp này vào các bài toán thực tiễn.