Chuyen de gioi han va lien tuc

KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: 2. Một vài giới hạn đặc biệt. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q 5. Dãy số dần tới vô cực: CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số __________________________________________________________________________ Thầy : Hoàng Thái Việt – TRƯỜNG ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 2

Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim  un   hay u n  n  + n b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  a   Kí hiệu: lim  un   a hay u n  a n  + n n  Chú ý: lim  un   lim  un  n Một vài giới hạn đặc biệt 1  , lim k  , n ¢ * n n n b) lim q  với q  a) lim   c) Lim(un)=c (c số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) (wn) có :  un  wn n  ¥ * lim    lim  wn   a  lim  un   a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un    lim  un   lim    a  b lim  un   lim un lim  a.b lim un lim  un  a   ,  n  ¥ *; b  lim   b   lim un  lim  un   a ,  un  ,a   Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q  lim Sn  lim u1 1 q Dãy số dần tới vơ cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un    n dần tới vơ cực  n    un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n   Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn  n   lim  un    Ký hiệu: lim(un)=  hay un   n   c) Định lý:   o Nếu : lim  un   un  ,n ¥ * lim o Nếu : lim  un    lim 0 un B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Giới hạn dãy số (un) với un   un P  n với P,Q đa thức: Q  n o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P a0, hệ số cao Q b0 chia tử số mẫu số cho nk để đến kết : lim  un   a0 b0 o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  Giới hạn dãy số dạng: un  f n , f g biển thức chứa gn o Chia tử mẫu cho nk với k chọn thích hợp o Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp C CÁC VÍ DỤ 3n2  2n  5 3  2 3n  2n  n n n 3 lim  lim lim 2 7n  n  7n  n    n n2 n2 n2   4n 1  n   4n 1 n n  lim  lim   lim 3n  2 3n  3 3 n n lim   n  2n   n   lim n2  2n   n  n  2n   n n2  2n   n   lim n  2n   n 2 n  2n   n 2n  2n  n  lim  lim  lim  1 11   3 n2  2n   n 1  1 n     1 n n n n   2 n2  2n   n biểu thức liên hợp n2  2n   n Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số  1  1  1                2  8  2  n1    Tổng cấp số nhân lùi vô  1 1     2 số hạng đầu u1=1 n3  2n  1  3 n  2n  n n   lim  lim n  lim 1 2n  n  2n  n    n n n3 n3 n   n   n    n  n  n    lim n   n  lim hạn có cơng bội q        lim 3 n2  n  2    n 3  n  2  n  2  n  n  n2  n  n  n 3  n  n  n2  lim n2n  lim  n  2  n  n  n 0 D BÀI TẬP Tìm giới hạn: 7n  n 5n2  2n  lim n2 3n2  lim n 4 6n3  3n  lim 7n  n n  2n  lim 7n  n  n2  a) lim f) lim b) 8n3  g) lim 2n  c) d) e) h) lim      n n2  3n2   n2  n n  2n   n   b) lim 5sin  n   7cos  n  2n  b) lim  Tìm giới hạn sau: a) lim  i) lim Tìm giới hạn sau: a) lim 4n2  n 1  n  n3  2n  n  Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 c) lim  Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số n2   n2   h) lim  a  a  a  a   a d) lim  b  b2  b3  b   b n n2   n6 n n3 e) lim n  3n2  n n   1 f) lim  n1 2n2   1 n   n2  2n a  1, b  i) lim               22  32  42   n2    n 1 Tìm tổng cấp số nhân lùi vơ hạn sau: b) lim 2n3  11n  n2     k) lim   n 3  n  1 n   j) lim   g) lim  n2  n  3n  a) lim  n 1 c) lim  n    n2      n2  n   n3  n  n   n2   n2  CHỦ ĐỀ :GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn  K xn  a , n  ¥ * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f  x   L x a Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn b) Định lý 2:Nếu giới hạn: lim  f  x   L , lim  g  x   M thì: x a x a lim  f  x   g  x   lim  f  x   lim  g  x   L  M x a x a x a lim  f  x  g  x   lim  f  x  lim  g  x   L.M x a lim x a x a x a  f  x   L f  x  lim  x a  ,M0 g  x  lim  g  x   M x a Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số lim f  x   lim  f  x    L ; f  x   0, L  x a x a c) Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a lim  g  x   lim h  x   L  lim  f  x   L x a x a x a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]=  ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim  f  x    x a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) =  có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim  f  x   L x  c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n  ¥ * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim  f  x   Nếu đòi hỏi với dãy số x a (xn), xn < a n  ¥ ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim  f  x   x a B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: * f x     g x    Giới hạn hàm số dạng: lim x a o Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2 o Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp f  x      x  g  x   Giới hạn hàm số dạng: lim o Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x   coi x>0, x   coi x1   x x 1 tìm giới hạn Giải Ta có : lim  f  x    lim x  x   x 1 x 1   xa  a 1 x 1 x 1 x Vậy lim  f  x    a    a  lim  f  x    lim x 1 Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số    x  2 x2  2x  x3  0 11 lim  lim  lim x  x   12 Dạng   x 2 x  x 2 x 2 x 2 0 x3  2x  1   x  2x  x3 x x  Dạng    12 lim  lim  lim   x  x  x  2x3  2x3   2 3 x x  x  x  1  x  x  1   2 x2 13 lim  x  x   lim  lim    3 x  x  x  x x  x x   x x   x2 1   2    x x   lim   6 x  1 1 x3 14 lim x   x2   x   x   lim x  x3  lim x  x 3  x x  Dạng      D BÀI TẬP Tìm giới hạn sau: a) lim x  x  10  lim  5x x 0 b) x 3  7x  x2  c) lim x 1 x  x  x  15 d) lim x 3 x 3 2 x  3x  e) lim x 1 x2    lim x   x2  x   x   x2  x   x x2  x   x   lim x x   x   x2 x2  x   x x 3 1 x x  lim  x  x   x x     x x2 x x3  x2  x  f) lim x 1 x 1 x  a4 g) lim x a x  a x  3x  h) lim x 7 x2 Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số Tìm giới hạn : a) b) c) d) e) x  3x  f) lim x 1 x  x  x  x2  4x  g) lim x 3 x 3 x  5x  x h) lim x 1 1  x  x   x2  x  lim x 0 x x x2 lim x 2 4x   1 x 1 lim x 0 3x x 1 lim x 1 x2   x  3x  lim x 2  x  2 i) lim x 2 Tìm giới hạn sau: 3x  5x  a) lim x  x2  2 x  1  x    b) lim x   x  1 d) lim x   x  11  x  x  3x  x2  4x  x  sin  x   cos  x  x  x2  x  e) lim  x  1  5x  3 lim  x  1  x  1 c) x  Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 xét xem lim  f  x   có tồn x  x0 khơng trƣờng hợp sau:  2x   a) f  x    x 5 x    x2  x   b) f  x    x  x2  x     x2  c) f  x    x  1  x   x>1  x  1 x0 =  x>1  x  1  x  Câu 2: Cho f(x) =  x  3m  2m x   Tìm m để hàm số liên tục xo =1 Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc (2;1) : x5  2(m  1) x  mx   Đề 1: Bài 1:Tìm giới hạn hàm soá: 3x  x  2 x  2 x  x  3 x 5 ; x  x  x  a) lim b) lim c) lim  x  x  x   ; d) lim x  x   x2  2x  x  Bài 2: Tìm giá trị tham số m để hàm số liên tục tập xác định   x  x2  f ( x)   x   2 x  m  với x  với x  Bài 3: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x5+6x4 -1=0 ĐỀ KIỂM TRA Câu (3điểm):Tính giới hạn dãy số sau: n  2n  n (2n  3)(5n3  2) a) lim b)lim  3n  5n5 n  n  2n c) lim( n   n) Câu 2(3điểm) :Tính giới hạn hàm số sau: -6x +7x  4x +3 a) lim x  8x  5x  2x  b) lim ( x  x   x ) x  c) lim x 0  2x   3x x2 Câu 3(4điểm ): a) Xét tính liên tục hàm số điểm x =  2x+5  nêu x >2   x f ( x)   - x nêu x   Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 19 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số b) Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m 2m( x  1)2 ( x  2)  2x-3=0 ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN ĐỀ 01 Câu (2 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim 3n  4n  b) lim 2n  3n  n  9n  Câu (4 điểm) Tính giới hạn sau: x3  x  x  x 2 x  3x  a) lim( x3  x  10 x  8) b) lim x 5 x2  5x  x  x 1 c) lim d) lim x 1 x2  x    x x4  x Câu (2 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau R :  x2  x  x  1  f (x)   x  4 x  1  Câu (2 điểm) Phương trình sau: x3  3x  x   có nghiệm hay khơng khoảng ( -4;0) ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN ĐỀ 02 Câu (2 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim 2n  6n  b) lim 2n  n  n  3n  Câu (4 điểm) Tính giới hạn sau: x3  x  x  x 2 x  3x  a) lim(5 x3  10 x  10 x  8) b) lim x 2 x2  5x  x  x 1 c) lim d) lim x 1 x2  x    x x4  x Câu (2 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau R :  x2  x  x   f (x)   x  3 x   Câu (2 điểm) Phương trình sau: x3  3x  x   có nghiệm hay không khoảng ( -4;0) Câu (2 điểm) Tính giới hạn sau: 3n  a) lim 4n  2n  3n  b) lim n  9n  Câu (4 điểm) Tính giới hạn sau: Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 20 Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn dãy số hàm số a) lim( x3  x  10 x  8) x 5 x2  5x  c) lim x  x 1 x3  x  x  x 2 x  3x  b) lim d) lim x 1 x2  x    x x4  x Câu (2 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau R :  x2  x  x  1  f (x)   x  4 x  1  Câu (2 điểm) Phương trình sau: x3  3x  x   có nghiệm hay không khoảng ( -4;0) Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 21