CHUYEN DE GIOI HAN VA LIEN TUC HAM SO

Định nghĩa: a Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.. Một vài giới hạn đặc biệt..[r]

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là n dần tới vô cực, nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: un có thể lim u 0 hay u n  n  + n   n  b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( lim  u  a  0 lim  un  a hay u n  a n  + n   ), n  n Kí hiệu: n  lim  un  lim  un   Chú ý: n  Một vài giới hạn đặc biệt 1 lim 0 , lim k 0 , n  * n n a) lim  q n  0 q 1 b) với c) Lim(un)=c (c là số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số * a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : un wn n   và lim   lim  wn  a  lim  u n  a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un vn  lim  un  lim   a b lim  un  lim un lim a.b lim un lim  un  a   ,  v n 0 n  *; b 0  lim   b lim un  lim  un   a ,  un 0 ,a 0  Tổng cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với lim Sn lim q  u1 1 q Dãy số dần tới vô cực: u     n    a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực n n dần tới vơ cực un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n     un   Ký hiệu: lim(un)= b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là   n   lim   hay un    n   c) Định lý: o Nếu : lim  un  0 u n 0 ,n   *  lim  u   lim 0 un  thì lim  un n o Nếu : thì B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN P  n un  Q  n Giới hạn dãy số (un) với với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P là a0, hệ số cao Q là b0 thì chia tử số và lim  un   a0 b0 mẫu số cho nk để đến kết : o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  un  o o C f  n g n Giới hạn dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa k Chia tử và mẫu cho n với k chọn thích hợp Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp CÁC VÍ DỤ 3n2  2n  5 3  2 3n  2n  n n n 3 lim lim lim 2 7n  n  7n  n    2 n n n 1 n2   4n 1  n   4n 1 n n lim lim lim   3n  2 3n  3 3 n n lim   n  2n   n  lim n2  2n   n  n  2n   n n2  2n   n  lim n  2n   n n  2n   n 2n  2n  n lim lim lim  1    3 n  2n   n   1 n     1 n n n n   2 n2  2n   n là biểu thức liên hợp n  2n   n  1  1  1                2  8  2  n 1     1 1     2 Tổng cấp số nhân lùi vô và số hạng đầu u1=1 hạn có công bội n3  2n  1   3 n  2n  n n n  lim lim lim 1 2n  n  2n  n   2 3 n n n n n   n   n    n  n  n    lim n   n lim q      lim lim  3 n 2  n  2 n  n  2  n  n  n 3n2  lim n 4 c) 6n3  3n  lim 7n  n d) n  2n  lim 7n  2n  e) n2  4n  3  n  n  n 7n  n lim 5n  a) 2n  lim n2 b) f)      n  n  n2 D BÀI TẬP Tìm các giới hạn: lim  n  2 lim 0 n2 n  n  2  n  n  n 8n3  lim 2n  g) h)  lim  n2  2n   n lim  n 1  lim      n n2   n i) Tìm các giới hạn sau: a) Tìm các giới hạn sau: 3n2   lim n a) b) c) d)  lim  lim n2  n  2n  n n2   b) g) lim  lim  n2  lim  n2  h)   a  a2  a3  a4   an  b  b2  b3  b4   bn n3 lim n  3n2  e) n n    1 lim  n 1 2n2    1 lim lim a  1, b  5sin  n   7cos  n  2n  n  3n   n2   n6 n4   n2  2n  n 1 n 3   n  1  n   i) j)   1  1  lim                 n   k) f) Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 2n3  11n  lim n2  a)  1  lim      n2  n2  n   n 1 lim b) n2   lim  n  c)  n2   n3  n  n   _ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là * L x dần tới a với dãy số (xn), xn  K và xn a , n   mà lim(xn)=a có lim  f  x   L lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: x  a  Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L thì giới hạn đó là lim  f  x   L , lim  g  x   M x a thì: lim  f  x  g  x   lim  f  x   lim  g  x   L M x a x a x a b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: x  a  lim  f  x  g  x   lim  f  x   lim  g  x   L M x a x a x a  f  x   L f  x  lim x a  lim   , M 0 x a g  x  lim  g  x   M x a lim f  x   lim  f  x    L ; f  x  0, L 0 x a x a c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), lim  g  x   lim  h  x   L  lim  f  x   L  x a    x a  g(x) f(x) h(x) x  K , x a và x  a  Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= lim  f  x     thì ta nói f(x) dần tới vô cực x dần tới a, kí hiệu: x  a   b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L lim  f  x   L x dần tới vô cực, kí hiệu: x   * c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n   , thì ta lim  f  x   nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : x  a * Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a n   thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: lim x a lim  f  x   x  a f  x   g  x    Giới hạn hàm số dạng: o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a) o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp f  x      x  g  x    Giới hạn hàm số dạng: lim o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x   thì coi x>0, x    thì coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn Giới hạn hàm số dạng: lim  f  x  g  x   x   0.     Ta biến đổi dạng:    lim  f  x   Giới hạn hàm số dạng: x    f  x   g x  lim x  f  x  g x o Đưa dạng: C CÁC VÍ DỤ g x     - x  3x      3    12 lim    x  x   2   x    x  1 lim x  2  1 x  3x  lim lim   x x x x  x  2 .Chia tử và mẫu cho (x-2) x 1  x 1  3x   x    3x  x 1  lim lim lim x x x 3x  3x  x   3x  3x  32 x 1              x  3  x  3  3x  3   3.3  3  1 lim lim  x  3  x     x        12 x   x  x  3x    xlim  3 x  x  3x  x  3x   lim   lim    x x x  (vì tử dần còn mẫu dần 0).Cụ thể:  x  2x  x   x  1 x  x  2x3  x  lim lim lim  x x  x  5x  x x   x  1  x   x  x          2x2  x  3   2 2x  x  x x x  2 lim  lim  lim x  x  x  x2 1 x2 1 1 2 x x lim x  0 x lim x 1  lim x   x lim x 1  lim x   x x   x   2 x  lim  1 x   x x2 x 1 1  x  x  lim x  lim         x   x    x x x   x 1 x2  x   f  x   x+a   x 10 Cho hàm số :  x 1  x>1 Tìm a để hàm số có giới hạn x dần tới và tìm giới hạn đó Giải lim  f  x   lim  x  x  3 3 Ta có : x x x a a  x x x lim  f  x   3  a  3  a 2 Vậy x    x  2 x2  2x   0 x3  lim lim lim x  x  12   x x 11 x  x  x  Dạng   x3  x  1  3 x  2x  x x x 1 lim lim lim 3 x  x  x    2x 1 2x 1 2    x3 x3 12 Dạng    lim  f  x   lim      x  x  1   2 lim  lim   3x  x  1 lim 3 3 x  x  x  x x  x x    13 x2 x x  x2 1   2    x x  lim   6 x  1 1 x3 lim 14  x  x  1 x     lim x   x   x   x   lim x   x 3 x2  x   x     D BÀI TẬP Tìm các giới hạn sau:  lim x   x2  x   x  x2  x   x x2  x   x   lim x x    x   x2 x2  x   x x 3 1 x x  lim  x  x   x x      x x2 x Dạng a) b) lim x  x  10  lim  x x x  7x x  3x  lim x2  e) x   x3  x2  x  lim x f) x    x2  lim c) x   x  x  x  15 lim x d) x  g) h) lim x a x  a4 x a x  3x  x 2 lim x Tìm các giới hạn : a) lim x 1  x2  x 1 lim x x e) x  x 2 lim x 4x 1  b) 1 x  lim 3x c) x  lim d) x  x  3x   x  2 x 2 x  3x  lim f) x  x  x  x  x2  4x  lim x g) x  x 1 lim x 3  2 h) i) x  5x  x 1  x x lim x 2 x  11  x  x  3x  Tìm các giới hạn sau: 3x  5x  lim a) x   x  2 x  1  x    lim x   x  1  x  1  5x  3 lim  x  1  x  1 c) d) b) x  lim x   x2  4x  x  sin  x   cos  x  x2  x 1 e) x   lim  f  x   lim Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 và xét xem không các trường hợp sau: a)  2x   f  x   x 5 x    x>1  x 1 x0 = x  x0 có tồn b)  x2  x   f  x   x  x2  x 1  c) 4  x  f  x   x  1  x   x>1  x 1 f  x  x0 =  x<2   x 2  x0 = x  3x  x  x  x0 = d) Tìm các giới hạn: lim  x x    a) lim    x2   x   x2  x   x   lim  f  x    f  a   x a   f  x    f  b   xlim  b  b) x   Một số định lý hàm số liên tục: _ o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục x0 thì: HÀM SỐ LIÊN TỤC f  x A KIẾN THỨC CẦN NHỚ f  x  g  x  , f  x  g  x  , g  x  0 g x   Hàm số liên tục điểm trên khoảng: liên tục x0 o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu (a;b) Hàm số gọi là liên tục tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác điểm x0  (a;b) nếu: định chúng  lim  f  x    f  x0  x  x0 .Điểm x0 đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn hàm số o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục điểm x0  (a;b)  lim  f  x    lim  f  x   lim  f  x    f  x  x  x0 x  x0 x  x0 o f(x) xác định trên khoảng (a;b) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nó liên tục điểm thuộc khoảng o f(x) xác định trên khoảng [a;b] gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nó liên tục trên khoảng (a;b) và  C CÁC VÍ DỤ Cho hàm số:  x2   f  x   x  a  tính liên tục hàm số trên toàn trục số Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên  x 1  x=1 a là số Xét tính liên tục hàm số x0 = Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(1) = a  x  1  x  1 lim x  2 x2  lim lim   x x  x x x Nếu a=2 thì hàm số liên tục x0 = Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn x0 =  x  f  x   x Khi x = 1: Ta có f(1) = a+2 lim  f  x   lim  ax   a  x x lim  f  x   lim x  x  1 x  x  0  x 0  Xét tính liên tục hàm số x0 = Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(0) = Hàm số gián đoạn x0 = a  -1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số a = -1.Hàm số liên tục trên a  -1 D BÀI TẬP Xét xem các hàm số sau có liên tục x không, chúng không liên tục thì các điểm gián đoạn a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + f  x  2x 1 x  3x  x  5x  f  x  x  2x lim  f  x    lim x  1  0= lim  f  x    limc)x x x x x  x  16  Vậy hàm số không liên tục x0 = f  x   x  Cho hàm số: 8  d) ax   x 1 f  x    x  1 Xét x +x-1 x  = -1 b) lim  f  x    lim x 0  Hàm số liên tục x0 = a x   ;1   1;  Cho hàm số: tục x   ax f  x   3 Cho hàm số:  x 2   x>2  đó hãy vẽ đồ thị hàm số Chứng minh phương trình: a) 3x2+2x-2=0 có ít nghiệm  x 4   x=4  a là số Tìm a để f(x) liên tục x, b) c) d) e) 4x4+2x2-x-3=0 có ít hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt x4-x-3=0 có nghiệm thuộc (1;2) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2] Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:  3x   f  x   x  ax   a) 1 f  x    x  a b)  x>2   x 2   x<0   x 0  Xét tính liên tục x0 các hàm số f(x) các trường hợp sau: a) 1  x   f  x    x 1  b)  x -x +2x-2  f  x   x 4   x 2   x -x-6 x x      f  x  a  b  c)  x 2  x0 =  x 1  x 1 x x0 =  x 0   x 0   x=3 ại x0 = và x0 =