THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng không gian W l,p (Ω) 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young 1.4.2 Bất đẳng thức Holder 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Fredholm phương trình tuyến tính 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp 1.5.3 Định lý Fredholm không gian Banach 1.5.4 Định lý Fredholm không gian Hilbert Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic tốn Dirichlet 2.1.2 Nghiệm suy rộng 2.2 Bất đẳng thức thứ Sự tồn nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức thứ 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 2.3 Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 5 8 9 9 10 11 11 11 12 12 12 12 12 13 14 14 14 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 15 15 25 28 MỤC LỤC 2.3.1 2.4 2.5 Đánh giá max |u| 28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω 35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω0 ||u||W 2,2 (Ω) 40 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) 45 Tính giải tốn Dirichlet khơng gian C l,α (Ω) 47 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet Đối với phương trình elliptic dạng bảo tồn, người ta đưa nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω) chứng minh tồn nghiệm tốn Đối với phương trình elliptic dạng khơng bảo tồn, người ta đưa vào lớp nghiệm cổ điển không gian Holder C 2,β (Ω) chứng minh tồn tính trơn nghiệm Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, Holder, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính không gian Banach, Hilbert Chương - nội dung Luận văn, trình bày tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với hệ phương trình dạng bảo tồn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu chứng minh tính giải Fredholm tốn Dirichlet khơng gian Đối với lớp hệ phương trình dạng khơng bảo tồn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm tốn, phát biểu tính giải Fredholm tốn Dirichlet khơng gian Holder C 2,β (Ω) Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin, thầy tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương (LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1 Lp (Ω) không gian Banach gồm hàm đo u xác định Ω p - khả tích cho Z |u(x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa p1 Z ||u||Lp (Ω) = |u(x)|p dx , Ω |u(x)| trị tuyệt đối mô đun u(x) Khi p = +∞, L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω Z (u, u) = ||u|| = |u(x)|2 dx Ω Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω) 21 12 Z Z Z Z (LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai(LUAN.van.THAC.si).he.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh.cap.hai Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young Ta có bất đẳng thức Young |a|p |b|q |ab| ≤ + , p q p, q ∈ R; p > 0; q > thỏa mãn Nhận xét 1.5 Cauchy p + q (1.3) = i) Khi p = q = 2, bất đẳng thức (1.3) bất đẳng thức 1 ii) Thay a ε p a, b ε− p b, với ε > Khi (1.3) trở thành q q ε|a|p ε− p |b|q |ab| ≤ + ≤ ε|a|p + ε− p |b|q p q 1.4.2 Bất đẳng thức Holder Với u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lq (Ω) p + q = 1, ta có bất đẳng thức Holder 1q p1 Z Z Z uvdx ≤ |u|p dx |u|q dx = ||u|| ||u|| p q Ω Ω Ω Nhận xét 1.6 i) Khi p = q = bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz 12 21
Ngày đăng: 18/12/2023, 07:28
Xem thêm: