��I HÅC QUÈC GIA H� NËI TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N TR�N TR×ÍNG SINH B�T PH×ÌNG TR�NH DIOPHANTE TUY�N T�NH Chuy¶n ng nh PH×ÌNG PH�P TO�N SÌ C�P M¢ sè 60 46 01 13 LU�N V�N TH�C Sß KHOA HÅC NG×ÍI H[.]
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN TRN TR×ÍNG SINH BT PH×ÌNG TRNH DIOPHANTE TUYN TNH Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC GS.TSKH NGUYN VN MU H NËI - 2015 z Mưc lưc Mð ¦u Mët sè kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid 1.2 Liản phƠn số 1.3 Phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 15 1.3.1 Tẳm nghiằm riảng düa v o gi£n ph¥n 18 1.3.2 Tẳm nghiằm riảng dỹa vo thuêt toĂn Euclid 19 Nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 24 1.4 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh "b chn" 30 2.3 Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dử liản quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số 41 Mët sè b i to¡n li¶n quan 3.1 43 Nghi»m nguy¶n cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc 3.2 3.3 43 Phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ iÃu kiằn 47 XĂc nh phƠn thực chẵnh quy thọa mÂn iÃu kiằn cho trữợc 56 Kát luên 64 Ti liằu tham khÊo 65 z M Ưu Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l mởt nhỳng dÔng toĂn lƠu ới nhĐt cừa ToĂn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc  tẳm ữủc nhỳng tẵnh chĐt sƠu sưc cừa số nguyản, số hỳu t, số Ôi số GiÊi phữỡng trẳnh Diophante  ữa án sỹ ới cừa liản phƠn số, lỵ thuyát ữớng cong elliptic, lỵ thuyát xĐp x Diophant, thng bẳnh phữỡng, số hồc modular, BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cõ chựa tham số Cõ th nõi Ơy l mởt dÔng toĂn khĂ mợi m v chữa phờ bián cĂc ký thi hồc sinh giọi bêc phờ thổng Trong luên vôn ny, tĂc giÊ khổng cõ tham vồng bao quĂt hát cĂc vĐn à và bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh m chừ yáu i sƠu nghiản cựu bĐt phữỡng trẳnh dÔng ny vợi hai bián, ba bián hoc bốn bián Hi vồng Ơy s l mởt ti liằu bờ ẵch cho cĂc thƯy cỉ gi¡o v c¡c em håc sinh qu¡ tr¼nh ổn luyằn thi hồc sinh giọi Luên vôn ữủc chia lm chữỡng: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh Chữỡng Mởt số bi toĂn liản quan NhƠn Ơy, tĂc giÊ xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu ThƯy  dnh nhiÃu thới gian hữợng dăn cụng nhữ giÊi Ăp c¡c thc mc cõa håc trá suèt qu¡ tr¼nh hồc têp, nghiản cựu v giúp ù tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, cĂc thƯy cổ giĂo  tÔo iÃu kiằn thuªn lđi º t¡c gi£ câ thº ho n th nh nhi»m vư cõa m¼nh z T¡c gi£ xin c£m ìn gia ẳnh, bÔn b  luổn quan tƠm, ởng viản, cờ vụ v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tĂc gi£ st thíi gian m t¡c gi£ håc tªp tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi håc Qc gia H Nëi M°c dị ¢ câ nhi·u cố gưng thới gian v trẳnh ở cỏn nhiÃu hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo cụng nhữ cĂc bÔn ỗng nghiằp bÊn luên vôn ữủc ho n thi»n hìn T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nởi, thĂng 09 nôm 2015 Hồc viản thỹc hiằn TrƯn Trữớng Sinh z Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid nh nghắa 1.1 (xem [1]) Số nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa hai số nguyản a v b (khổng ỗng thới bơng khổng) náu c chia h¸t a v c chia h¸t b ành nghắa 1.2 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa hai số nguyản a v b (khổng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b náu mồi ữợc số chung c cừa a v b Ãu l ữợc cừa d Chú ỵ 1.1 Náu d l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b thẳ d cụng l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b Vêy ta quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa hai số a v b ữủc kỵ hiằu l (a,b) hay gcd(a,b) (greatest common divisor) Nhữ vêy d = (a,b) hay d = gcd(a,b) V½ dư 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = ành ngh¾a 1.3 (xem [1]) Mët sè nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa n sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , , an (khổng ỗng thới bơng khổng) náu c l ữợc cừa mội số õ nh nghắa 1.4 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa n số nguy¶n a1, a2, a3, , an (khỉng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an náu mồi ữợc số chung c cõa a1 , a2 , a3 , , an Ãu l ữợc cừa d Tữỡng tỹ, ta cụng quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa n sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , , an l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an kỵ hiằu l (a1 , a2 , a3 , , an ) hay gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) Nhữ vêy d = (a1 , a2 , a3 , , an ) hay d = gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) z ành l½ 1.1 (v· sỹ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa nhiÃu sè, xem [1]) Cho c¡c sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , , an khổng ỗng thới bơng khổng Khi õ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an Tẵnh chĐt 1.1 (xem [1]) Cho a, b, q, r l c¡c sè nguy¶n (a2 + b2 6= 0) N¸u a = bq + r v ≤ r < |b| th¼ (a,b) = (b,r) Thuêt toĂn Euclid (thuêt toĂn tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa hai số nguyản dữỡng ) GiÊ sỷ r0 = a, r1 = b l cĂc số nguyản dữỡng Ta Ăp dửng liản tiáp thuêt toĂn chia ri = ri+1 qi+1 + ri+2 , â ≤ ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, 2, v nhên ữủc cĂc phƯn r1 , r2 , vỵi r1 > r2 > án lƯn Ưu tiản nhên ữủc phƯn d÷ rn = (n ≥ 2, < ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, , n − 3) Khi â (a, b) = (r0 , r1 ) = (r1 , r2 ) = = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 qn−1 , rn−1 ) = rn−1 Vªy (a, b) = rn1 Vẵ dử 1.2 Dũng thuêt toĂn Euclid tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa 3484 v 3276 Lới gi£i Ta câ 3484 = 3276.1 + 208 3276 = 208.15 + 156 208 = 156.1 + 52 156 = 52.3 + Vêy gcd(3484, 3276) = 52 Vẵ dử 1.3 Tẳm mởt cp số nguyản x, y 3484x + 3276y = 52 Lới giÊi Theo vẵ vử trản ta câ z 52 = 208 − 156.1 ⇒ 52 = 208 − (3276 − 208.15) = 16.208 − 3276 156 = 3276 − 208.15 52 = −3276 + 16.208 ⇒ 52 = −3276 + 16 (3484 − 3276.1) = 16.3484 − 17.3276 208 = 3484 − 3276.1 Do â 3484.16 + 3276.(−17) = 52 Vªy (x; y) = (16; 17) 1.2 Liản phƠn số nh nghắa 1.5 (Liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Liản phƠn số hỳu hÔn cõ ở di n (n N) l biu thực cõ dÔng a0 + a1 + a2 + + an−1 + an â a0 l sè nguy¶n, l cĂc số nguyản dữỡng (i = 1, 2, , n), an > vỵi n > Liản phƠn số trản ữủc kỵ hiằu l [a0 ; a1 , a2 , , an ] nh nghắa 1.6 (Liản phƠn số vổ hÔn, xem [3]) Cho a0, a1, a2, l d¢y vổ hÔn cĂc số nguyản, > vợi i ≥ Vỵi méi k, °t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] Khi õ tỗn tÔi giợi hÔn lim Ck = k+ 1.9) dữợi Ơy) (Sỹ tỗn tÔi ny s ữủc nõi ró tẵnh chĐt ( Lúc ny ta gồi l giĂ tr cừa liản phƠn số vổ hÔn [a0 ; a1 , a2 , ] v kỵ hiằu l = [a0 ; a1 , a2 , ] Tẵnh chĐt 1.2 (xem [3]) Mội số hỳu t l mởt liản phƠn số hỳu hÔn Chựng minh a , b > 0, a, b ∈ Z °t r0 = a, r1 = b ta câ b r0 = r1 q1 + r2 (0 < r2 < r1 ) r1 = r2 q2 + r3 (0 < r3 < r2 ) rn−2 = rn−1 qn−1 + rn (0 < rn < rn−1 ) rn−1 = rn qn +0 Gi£ sû x = z Suy x= a r0 r2 1 = = q1 + = q + r1 = q + = = q1 + r b r1 r1 q2 + q2 + + r2 r2 qn−1 + qn ⇒ x = [q1 ; q2 , , qn ] 243 62 Vẵ dử 1.4 HÂy biu diạn cĂc số hỳu t 327 , 243 , , thnh liản phƠn sè 37 37 23 Líi gi£i Ta câ 32 = 4.7 + = 1.4 + = 1.3 + = 3.1 ⇒ 32 = [4; 1, 1, 3] = + l li¶n phƠn số cõ ở di Tữỡng tỹ ta cụng câ 1+ 243 243 62 = [6; 1, 1, 3, 5], − = [−7; 2, 3, 5], = [2; 1, 2, 3, 2] 37 37 23 1+ Tẵnh chĐt 1.3 (Và tẵnh nhĐt cừa liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Sỹ biu diạn mởt số hỳu t q dữợi dÔng liản phƠn số [a0 ; a1 , a2 , , an ] l nhĐt Tẵnh chĐt 1.4 (Cổng thực tẵnh giÊn phƠn, xem [3]) Cho liản phƠn số hỳu hÔn [a0 ; a1 , a2 , , an ] Xt hai dÂy (pk )nk=0 v (qk )nk=0 ữủc x¡c ành nh÷ sau ( p = a0 p = a1 a0 + pk = ak pk−1 + pk−2 ( , q0 = q = a1 qk = ak qk−1 + qk−2 , ∀k = 2, 3, pk Khi â gi£n ph¥n thự k cừa liản phƠn số [a0 ; a1 , a2 , , an ] l Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = qk pk Chùng minh Ta s³ chùng minh Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = bơng quy nÔp theo k, qk vợi lữu ỵ l Ck (k > 0) ữủc suy tø Ck−1 b¬ng c¡ch thay ak−1 bði ak−1 + ak Thªt vªy a0 p0 C0 = [a0 ] = a0 = = , q0 a1 a0 + p1 C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + = = , a1 a1 q1 z C2 = [a0 ; a1 , a2 ] = a1 + a2 a1 + = a0 + 1 a2 a2 (a1 a0 + 1) + a0 a2 p + p p2 = = a2 a1 + a2 q + q q2 Gi£ sû Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = Khi â ak pk−1 + pk−2 pk = , k ≥ ak qk−1 + qk−2 qk ak + Ck+1 = ak + = pk−1 + pk−2 ak+1 ak+1 qk−1 + qk−2 ak+1 pk + pk−1 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 = ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 qk + qk−1 Do â Ck+1 = pk+1 qk+1 Vªy ta  chựng minh ữủc Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = pk qk Vẵ dử 1.5 Tẳm cĂc giÊn phƠn cừa liản phƠn sè [6; 1, 1, 3, 5] Líi gi£i Ta câ b£ng sau k ak pk qk 6 1 13 3 46 243 37 Vªy C0 = 6, C1 = 7, C2 = Tẵnh chĐt 1.5 13 46 243 , C3 = , C4 = 37 (xem [3]) Cho Ck l gi£n ph¥n thù k cõa [a0 ; a1 , a2 , , an ], vỵi 1.4) Khi â ≤ k ≤ n v pk , qk ÷đc x¡c ành nhữ tẵnh chĐt ( pk qk1 pk1 qk = (1)k1 Tẵnh chĐt 1.6 (xem [3]) GiÊ sỷ {Ck } l dÂy giÊn phƠn cừa liản phƠn số hỳu hÔn [a0 ; a1 , a2 , , an ] Khi â ta câ c¡c mèi li¶n h» sau z i) Ck − Ck−1 (−1)k−1 = , vỵi ≤ k ≤ n qk qk−1 ii) Ck − Ck−2 = ak (−1)k , vỵi k n qk qk2 Tẵnh chĐt 1.7 (xem [3]) Vợi cĂc giÊn phƠn Ck cừa liản phƠn số hỳu hÔn [a0; a1, a2, , an] ta cõ cĂc dÂy bĐt ng thực sau i) C1 > C3 > C5 > ii) C0 < C2 < C4 < iii) méi giÊn phƠn l C2j1 Ãu lợn hỡn mội giÊn phƠn chđn C2i Tẵnh chĐt 1.8 (xem [3]) Vợi mồi k = 0, 1, , n th¼ (pk , qk ) = (tùc l pk , qk nguyản tố nhau) Tẵnh chĐt 1.9 (xem [3]) Cho a0, a1, a2, l d¢y vỉ hÔn cĂc số nguyản, > vợi i Vỵi méi k, °t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] Khi õ tỗn tÔi giợi hÔn lim Ck k+ Theo tẵnh chĐt ( Chựng minh 1.7) ta cõ C1 > C3 > C5 > > C2n−1 > C2n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2n−2 < C2n < C2j−1 > C2i , vỵi måi i, j Tø â suy d¢y {C2k+1 }, k = 0, 1, l d¢y gi£m v bà ch°n dữợi bi C0 , cỏn dÂy {C2k }, k = 0, 1, l dÂy tông v b chn trản bi C1 Theo lỵ thuyát và giợi hÔn cừa dÂy số thẳ tỗn tÔi cĂc giợi hÔn lim C2k+1 = α , k→+∞ lim C2k = β k+ 1.6) ta cõ Theo tẵnh chĐt ( C2k+1 C2k (−1)2k = > = q2k+1 q2k q2k+1 q2k z (a) ... cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 24 1.4 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh... 2.3 Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dư li¶n quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số 41 Mët... Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l mởt nhỳng dÔng toĂn lƠu ới nhĐt cừa ToĂn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc  tẳm ữủc nhỳng tẵnh