Luận văn thạc sĩ bất phương trình diophante tuyến tính lvts vnu

„I H̟ÅC QC GIA H̟€ N̟ËI TR×ÍN̟G „I H̟ÅC K̟H̟0A H̟ÅC TÜ N̟H̟I–N̟ TR†N̟ TR×ÍN̟G SIN̟H̟ B‡T PH̟×ÌN̟G TRœN̟H̟ DI0PH̟AN̟TE TUYN TNH Chuyản ngnh: PHìèNG PHPP T0PN Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KH0A HC NGìI HìẻNG DˆN̟ K̟H̟0A H̟ÅC GS.TSK̟H̟ N̟GUY™N̟ V‹N̟ M̟ŠU H̟€ N̟ËI - 2015 M̟ưc lưc M ̟ ð ¦u M ởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt t0Ăn Euclid 1.2 Liản phƠn số 1.3 Phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh 15 1.3.1 Tẳm nghiằm riảng düa v gi£n̟ ph̟¥n̟ 18 1.3.2 Tẳm nghiằm riảng dỹa v thuêt t0Ăn Euclid 19 1.4 Nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh 24 BĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh "b chn" 30 2.3 N̟gh̟i»m̟ nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dử liản quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Di0phante dÔng liản phƠn sè 41 M̟ët sè b i t0¡n̟ li¶n̟ quan̟ 43 3.1 Nghiằm nguyản cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc .43 3.2 Phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ i·u k̟i»n̟ 47 3.3 XĂc nh phƠn thực chẵnh quy thọa mÂn iÃu kiằn ch0 trữợc 56 Kát luên 64 T i liằu tham khÊ0 65 M Ưu Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Di0phante l mởt tr0ng nhỳng dÔng t0Ăn lƠu ới nhĐt cừa T0Ăn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Di0phante, cĂc nh t0Ăn hồc  tẳm ữủc nhỳng tẵnh chĐt sƠu sc cừa số nguyản, số hỳu t, số Ôi số GiÊi phữỡng trẳnh Di0phante  ữa án sỹ ới cừa liản phƠn số, lỵ thuyát ữớng c0ng elliptic, lỵ thuyát xĐp x Di0phant, thng bẳnh phữỡng, số hồc m0dular, BĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Di0- phante tuyán tẵnh cõ chựa tham số Cõ th nõi Ơy l mởt dÔng t0Ăn khĂ mợi m v chữa phờ bián tr0ng cĂc k̟ý th̟i h̟åc sin̟h̟ giäi bªc ph̟ê th̟ỉn̟g Tr0n̟g luªn̟ v«n̟ n̟ y, t¡c gi£ k̟h̟ỉn̟g câ th̟am̟ vån̟g ba0 quĂt hát cĂc vĐn à và bĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh m chừ yáu i sƠu nghiản cựu bĐt phữỡng trẳnh dÔng n y vợi hai bián, ba bián h0c bốn bián Hi vồng Ơy s l mởt t i liằu bờ ẵch ch0 cĂc thƯy cổ giĂ0 v c¡c em̟ h̟åc sin̟h̟ tr0n̟g qu¡ tr¼n̟h̟ ỉn̟ luy»n̟ th̟i hồc sinh giọi Luên vôn ữủc chia l m chữỡng: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh Di0phante tuyán tẵnh Chữỡng Mởt số b i t0Ăn liản quan NhƠn Ơy, tĂc giÊ xin b y tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu ThƯy  d nh nhiÃu thới gian hữợng dăn cụng nhữ giÊi ¡p c¡c th̟c m̟c cõa h̟åc trá tr0n̟g suèt qu¡ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v giúp ù tĂc giÊ h0 n th nh luên vôn n y TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng tÔ0 Sau Ôi hồc, K̟h̟0a T0¡n̟ - Cì - Tin̟ h̟åc, c¡c th̟¦y cỉ giĂ0  tÔ0 iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ câ th̟º h̟0 n̟ th̟ n̟h̟ n̟h̟i»m̟ vư cõa m̟¼n̟h̟ TĂc giÊ xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b  luổn quan tƠm, ởng viản, cờ vụ v tÔ0 i·u k̟i»n̟ tèt n̟h̟§t ch̟0 t¡c gi£ tr0n̟g st th̟íi gian m tĂc giÊ hồc têp tÔi trữớng Ôi hồc Kh0a hồc Tỹ nhiản Ôi hồc Quốc gia H Nởi Mc dũ  cõ nhiÃu cố gng d0 thới gian v trẳnh cỏn nhiÃu hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt m0ng nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂ0, cổ giĂ0 cụng nhữ cĂc bÔn ỗng nghiằp bÊn luên vôn ữủc h0 n thiằn hỡn TĂc gi£ xin̟ ch̟¥n̟ th̟ n̟h̟ c£m̟ ìn̟! H̟ N̟ëi, th̟¡n̟g 09 nôm 2015 Hồc viản thỹc hiằn TrƯn Trữớng Sinh Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt t0Ăn Euclid nh nghắa 1.1 (xem [1]) Số nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc sè ch̟un̟g cõa h̟ai sè n̟guy¶n̟ a v b (k̟h̟ỉn̟g ỗng thới bơng khổng) náu c chia hát a v c chia hát b nh n gh ắa 1.2 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa hai số nguyản a v b (khổng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b náu mồi ữợc số chung c cừa a v b Ãu l ữợc cừa d Chú ỵ 1.1 Náu d l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b thẳ d cụng l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b Vêy ta quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa hai số a v b ữủc kỵ hiằu l (a,b) hay gcd(a,b) (greatest c0mm0n divis0r) Nhữ vêy d = (a,b) hay d = gcd(a,b) V½ dư 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = nh nghắa 1.3 (xem [1]) Mởt số nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa n số nguyản a1 , a2 , a3 , , an (khổng ỗng thới bơng khổng) náu c l ữợc cõa m̟éi sè â àn̟h̟ n̟gh̟¾a 1.4 (xem̟ [1]) M̟ët ữợc số chung d cừa n số nguyản a1, a2, (khổng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, , an náu mồi ữợc số chung c cừa a1, a2, a3, , an Ãu l ữợc cõa d a3, , an̟ T÷ìn̟g tü, ta cụng quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cõa n̟ sè n̟guy¶n̟ a1, a2, a3, , an l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn n̟h̟§t cõa a1, a2, a3, , an̟ kỵ hiằu l (a1, a2, a3, , an̟) h̟ay gcd(a1, a2, a3, , an̟) Nhữ vêy d = (a1, a2, a3, , an̟) h̟ay d = gcd(a1, a2, a3, , an) nh lẵ 1.1 (và sỹ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa nhiÃu số, xem [1]) Ch̟0 c¡c sè n̟guy¶n̟ a1, a2, a3, , an khổng ỗng thới bơng khổng Khi õ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, , an Tẵnh chĐt 1.1 (xem [1]) Ch̟0 a, b, q, r l c¡c sè n̟guy¶n̟ (a2 + b2 ƒ= 0) N̟¸u a = bq + r v ≤ r < |b| th̟¼ (a,b) = (b,r) Thuêt t0Ăn Euclid (thuêt t0Ăn tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa hai số nguyản dữỡng) GiÊ sỷ r0 = a, r1 = b l cĂc số nguyản dữỡng Ta Ăp dửng liản tiáp thuêt t0Ăn chia ri = ri+1qi+1 + ri+2, tr0n̟g â ≤ ri+2 < ri+1, ∀i = 0, 1, 2, v n̟h̟ªn̟ ữủc cĂc phƯn r1, r2, vợi r1 > r2 > án lƯn Ưu tiản nhên ữủc phƯn rn = (n ≥ 2, < ri+2 < ri+1, ∀i = 0, 1, , n̟ − 3) K̟h̟i â (a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = = (rn̟−2, rn̟−1) = (rn̟−1.qn̟−1, rn̟−1) = rn̟−1 Vêy (a, b) = rn1 Vẵ dử 1.2 Dũng thuêt t0Ăn Euclid tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa 3484 v 3276 Líi gi£i Ta câ 3484 = 3276.1 + 208 3276 = 208.15 + 156 208 = 156.1 + 52 156 = 52.3 + Vªy gcd(3484, 3276) = 52 Vẵ dử 1.3 Tẳm mởt cp số nguyản x, y º 3484x + 3276y = 52 Líi gi£i The0 vẵ vử trản ta cõ