Thông tin tài liệu
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN TRN TR×ÍNG SINH BT PH×ÌNG TRNH DIOPHANTE TUYN TNH Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC GS.TSKH NGUYN VN MU H NËI - 2015 z Mưc lưc Mð ¦u Mët sè kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid 1.2 Liản phƠn số 1.3 Phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 15 1.3.1 Tẳm nghiằm riảng düa v o gi£n ph¥n 18 1.3.2 Tẳm nghiằm riảng dỹa vo thuêt toĂn Euclid 19 Nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 24 1.4 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.1 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 26 2.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh "b chn" 30 2.3 Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh 34 2.3.1 Mởt số vẵ dử liản quan 35 2.3.2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số 41 Mët sè b i to¡n li¶n quan 3.1 43 Nghi»m nguy¶n cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc 3.2 3.3 43 Phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ iÃu kiằn 47 XĂc nh phƠn thực chẵnh quy thọa mÂn iÃu kiằn cho trữợc 56 Kát luên 64 Ti liằu tham khÊo 65 z M Ưu Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l mởt nhỳng dÔng toĂn lƠu ới nhĐt cừa ToĂn hồc Thổng qua viằc giÊi phữỡng trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc  tẳm ữủc nhỳng tẵnh chĐt sƠu sưc cừa số nguyản, số hỳu t, số Ôi số GiÊi phữỡng trẳnh Diophante  ữa án sỹ ới cừa liản phƠn số, lỵ thuyát ữớng cong elliptic, lỵ thuyát xĐp x Diophant, thng bẳnh phữỡng, số hồc modular, BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cõ chựa tham số Cõ th nõi Ơy l mởt dÔng toĂn khĂ mợi m v chữa phờ bián cĂc ký thi hồc sinh giọi bêc phờ thổng Trong luên vôn ny, tĂc giÊ khổng cõ tham vồng bao quĂt hát cĂc vĐn à và bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh m chừ yáu i sƠu nghiản cựu bĐt phữỡng trẳnh dÔng ny vợi hai bián, ba bián hoc bốn bián Hi vồng Ơy s l mởt ti liằu bờ ẵch cho cĂc thƯy cỉ gi¡o v c¡c em håc sinh qu¡ tr¼nh ổn luyằn thi hồc sinh giọi Luên vôn ữủc chia lm chữỡng: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh Chữỡng Mởt số bi toĂn liản quan NhƠn Ơy, tĂc giÊ xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu ThƯy  dnh nhiÃu thới gian hữợng dăn cụng nhữ giÊi Ăp c¡c thc mc cõa håc trá suèt qu¡ tr¼nh hồc têp, nghiản cựu v giúp ù tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, cĂc thƯy cổ giĂo  tÔo iÃu kiằn thuªn lđi º t¡c gi£ câ thº ho n th nh nhi»m vư cõa m¼nh z T¡c gi£ xin c£m ìn gia ẳnh, bÔn b  luổn quan tƠm, ởng viản, cờ vụ v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tĂc gi£ st thíi gian m t¡c gi£ håc tªp tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi håc Qc gia H Nëi M°c dị ¢ câ nhi·u cố gưng thới gian v trẳnh ở cỏn nhiÃu hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo cụng nhữ cĂc bÔn ỗng nghiằp bÊn luên vôn ữủc ho n thi»n hìn T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nởi, thĂng 09 nôm 2015 Hồc viản thỹc hiằn TrƯn Trữớng Sinh z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 ìợc số chung lợn nhĐt Thuêt toĂn Euclid nh nghắa 1.1 (xem [1]) Số nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa hai số nguyản a v b (khổng ỗng thới bơng khổng) n¸u c chia h¸t a v c chia h¸t b nh nghắa 1.2 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa hai số nguyản a v b (khổng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b náu mồi ữợc số chung c cừa a v b Ãu l ữợc cừa d Chú ỵ 1.1 Náu d l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b thẳ d cụng l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b Vêy ta quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa hai số a v b ữủc kỵ hiằu l (a,b) hay gcd(a,b) (greatest common divisor) Nhữ vêy d = (a,b) hay d = gcd(a,b) V½ dư 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = ành ngh¾a 1.3 (xem [1]) Mët số nguyản c ữủc gồi l mởt ữợc số chung cõa n sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , , an (khổng ỗng thới bơng khổng) náu c l ữợc cừa mội số õ nh nghắa 1.4 (xem [1]) Mởt ữợc số chung d cừa n sè nguy¶n a1, a2, a3, , an (khổng ỗng thới bơng khổng) ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an náu mồi ữợc số chung c cõa a1 , a2 , a3 , , an Ãu l ữợc cừa d Tữỡng tỹ, ta cụng quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cõa n sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , , an l số nguyản dữỡng ìợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an kỵ hiằu l (a1 , a2 , a3 , , an ) hay gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) Nhữ vêy d = (a1 , a2 , a3 , , an ) hay d = gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ành lẵ 1.1 (và sỹ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa nhiÃu số, xem [1]) Cho cĂc số nguyản a1 , a2 , a3 , , an khổng ỗng thới bơng khổng Khi õ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1 , a2 , a3 , , an Tẵnh chĐt 1.1 (xem [1]) Cho a, b, q, r l c¡c số nguyản (a2 + b2 6= 0) Náu a = bq + r v ≤ r < |b| th¼ (a,b) = (b,r) Thuêt toĂn Euclid (thuêt toĂn tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa hai số nguyản dữỡng ) Gi£ sû r0 = a, r1 = b l c¡c số nguyản dữỡng Ta Ăp dửng liản tiáp thuêt toĂn chia ri = ri+1 qi+1 + ri+2 , â ≤ ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, 2, v nhên ữủc cĂc phƯn r1 , r2 , vỵi r1 > r2 > án lƯn Ưu tiản nhên ữủc phƯn rn = (n 2, < ri+2 < ri+1 , ∀i = 0, 1, , n − 3) Khi â (a, b) = (r0 , r1 ) = (r1 , r2 ) = = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 qn−1 , rn−1 ) = rn−1 Vªy (a, b) = rn1 Vẵ dử 1.2 Dũng thuêt toĂn Euclid tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa 3484 v 3276 Líi gi£i Ta câ 3484 = 3276.1 + 208 3276 = 208.15 + 156 208 = 156.1 + 52 156 = 52.3 + Vªy gcd(3484, 3276) = 52 Vẵ dử 1.3 Tẳm mởt cp số nguyản x, y º 3484x + 3276y = 52 Líi gi£i Theo vẵ vử trản ta cõ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 52 = 208 − 156.1 ⇒ 52 = 208 − (3276 − 208.15) = 16.208 − 3276 156 = 3276 − 208.15 52 = −3276 + 16.208 ⇒ 52 = −3276 + 16 (3484 − 3276.1) = 16.3484 − 17.3276 208 = 3484 − 3276.1 Do â 3484.16 + 3276.(−17) = 52 Vªy (x; y) = (16; −17) 1.2 Liản phƠn số nh nghắa 1.5 (Liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Liản phƠn số hỳu hÔn cõ ë d i n (n ∈ N) l biºu thùc câ dÔng a0 + a1 + a2 + + an−1 + an â a0 l số nguyản, l cĂc số nguyản dữỡng (∀i = 1, 2, , n), an > vợi n > Liản phƠn số trản ữủc kỵ hiằu l [a0 ; a1 , a2 , , an ] nh nghắa 1.6 (Liản phƠn số vổ hÔn, xem [3]) Cho a0, a1, a2, l dÂy vổ hÔn cĂc số nguyản, > vỵi ∀i ≥ Vỵi méi k, °t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] Khi õ tỗn tÔi giợi hÔn lim Ck = k+ 1.9) dữợi Ơy) (Sỹ tỗn tÔi ny s ữủc nõi ró tẵnh chĐt ( Lóc n y ta gåi α l gi¡ trà cõa liản phƠn số vổ hÔn [a0 ; a1 , a2 , ] v kỵ hiằu l = [a0 ; a1 , a2 , ] Tẵnh chĐt 1.2 (xem [3]) Mội số hỳu t l mởt liản phƠn số hỳu hÔn Chựng minh a , b > 0, a, b ∈ Z °t r0 = a, r1 = b ta câ b r0 = r1 q1 + r2 (0 < r2 < r1 ) r1 = r2 q2 + r3 (0 < r3 < r2 ) rn−2 = rn−1 qn−1 + rn (0 < rn < rn−1 ) rn−1 = rn qn +0 Gi£ sû x = 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Suy x= a r0 r2 1 = = q1 + = q + r1 = q + = = q1 + r b r1 r1 q2 + q2 + + r2 r2 qn−1 + qn ⇒ x = [q1 ; q2 , , qn ] 243 62 V½ dử 1.4 HÂy biu diạn cĂc số hỳu t 327 , 243 , , thnh liản phƠn số 37 37 23 Líi gi£i Ta câ 32 = 4.7 + = 1.4 + = 1.3 + = 3.1 ⇒ 32 = [4; 1, 1, 3] = + l liản phƠn số cõ ë d i T÷ìng tü ta cơng câ 1+ 243 243 62 = [6; 1, 1, 3, 5], − = [−7; 2, 3, 5], = [2; 1, 2, 3, 2] 37 37 23 1+ Tẵnh chĐt 1.3 (Và tẵnh nhĐt cừa liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Sü biºu di¹n mët sè húu t¿ q dữợi dÔng liản phƠn số [a0 ; a1 , a2 , , an ] l nh§t Tẵnh chĐt 1.4 (Cổng thực tẵnh giÊn phƠn, xem [3]) Cho liản phƠn số hỳu hÔn [a0 ; a1 , a2 , , an ] X²t hai dÂy (pk )nk=0 v (qk )nk=0 ữủc xĂc nh nhữ sau ( p = a0 p = a1 a0 + pk = ak pk−1 + pk−2 ( , q0 = q = a1 qk = ak qk−1 + qk−2 , ∀k = 2, 3, pk Khi â gi£n ph¥n thù k cõa liản phƠn số [a0 ; a1 , a2 , , an ] l Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = qk pk Chùng minh Ta s³ chùng minh Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = bơng quy nÔp theo k, qk vợi lữu þ l Ck (k > 0) ÷đc suy tø Ck−1 b¬ng c¡ch thay ak−1 bði ak−1 + ak Thªt vªy a0 p0 C0 = [a0 ] = a0 = = , q0 a1 a0 + p1 C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + = = , a1 a1 q1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 C2 = [a0 ; a1 , a2 ] = a1 + a2 a1 + = a0 + 1 a2 a2 (a1 a0 + 1) + a0 a2 p + p p2 = = a2 a1 + a2 q + q q2 Gi£ sû Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = Khi â ak pk−1 + pk−2 pk = , k ≥ ak qk−1 + qk−2 qk ak + Ck+1 = ak + = pk−1 + pk−2 ak+1 ak+1 qk−1 + qk−2 ak+1 pk + pk−1 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 = ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 qk + qk−1 Do õ Ck+1 = pk+1 qk+1 Vêy ta  chùng minh ÷đc Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = pk qk V½ dử 1.5 Tẳm cĂc giÊn phƠn cừa liản phƠn số [6; 1, 1, 3, 5] Líi gi£i Ta câ b£ng sau k ak pk qk 6 1 13 3 46 243 37 Vªy C0 = 6, C1 = 7, C2 = Tẵnh chĐt 1.5 13 46 243 , C3 = , C4 = 37 (xem [3]) Cho Ck l gi£n ph¥n thù k cõa [a0 ; a1 , a2 , , an ], vỵi 1.4) Khi â ≤ k ≤ n v pk , qk ÷đc x¡c ành nh÷ tẵnh chĐt ( pk qk1 pk1 qk = (1)k1 Tẵnh chĐt 1.6 (xem [3]) GiÊ sỷ {Ck } l dÂy giÊn phƠn cừa liản phƠn số hỳu hÔn [a0 ; a1 , a2 , , an ] Khi â ta câ c¡c mèi li¶n h» sau 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 i) Ck − Ck−1 (−1)k−1 = , vỵi ≤ k ≤ n qk qk−1 ii) Ck − Ck−2 ak (−1)k = , vỵi k n qk qk2 Tẵnh chĐt 1.7 (xem [3]) Vợi cĂc giÊn phƠn Ck cừa liản phƠn số hỳu hÔn [a0; a1, a2, , an] ta cõ cĂc dÂy bĐt ng thực sau i) C1 > C3 > C5 > ii) C0 < C2 < C4 < iii) mội giÊn phƠn l C2j1 Ãu lợn hỡn mội giÊn phƠn chđn C2i Tẵnh chĐt 1.8 (xem [3]) Vợi måi k = 0, 1, , n th¼ (pk , qk ) = (tùc l pk , qk nguyản tố nhau) Tẵnh chĐt 1.9 (xem [3]) Cho a0, a1, a2, l d¢y vổ hÔn cĂc số nguyản, > vợi i ≥ Vỵi méi k, °t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] Khi õ tỗn tÔi giợi hÔn lim Ck k+ Theo tẵnh chĐt ( Chựng minh 1.7) ta cõ C1 > C3 > C5 > > C2n−1 > C2n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2n−2 < C2n < C2j−1 > C2i , vỵi måi i, j Tø â suy d¢y {C2k+1 }, k = 0, 1, l d¢y gi£m v bà chn dữợi bi C0 , cỏn dÂy {C2k }, k = 0, 1, l dÂy tông v b chn trản bi C1 Theo lỵ thuyát và giợi hÔn cừa dÂy số thẳ tỗn tÔi cĂc giợi hÔn lim C2k+1 = , k+ lim C2k = k+ 1.6) ta cõ Theo tẵnh chĐt ( C2k+1 − C2k = (−1)2k = > q2k+1 q2k q2k+1 q2k 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (a) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 cõa l - Trữớng hủp 2: xt hằ phữỡng trẳnh Hằ ny tữỡng ữỡng vợi 2x + y = 12k + x + y = 6h − x = 12k − 6h + y = 12h − 12k − K¸t hđp i·u ki»n x, y ∈ (−6; 10) ta thu ữủc hằ bĐt phữỡng trẳnh < 12k − 6h < −3 < 12h − 12k < 13 Tø â −19 < 12k < 29 suy −1 ≤ k ≤ + vỵi k = - 1, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ÷đc h = - Do â (x,y) = (-4,-3) + vợi k = 0, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc h = 0, h = Do â (x,y) = (2,-3), (x,y) = (-4,9) + vợi k = 1, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc h = 1, h = Do â (x,y) = (8,-3), (x,y) = (2,9) + vỵi k = 2, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ÷đc h = Do â (x,y) = (8,9) - Trữớng hủp 3: xt hằ phữỡng trẳnh Hằ ny tữỡng ữỡng vợi 2x + y = 12m + x + y = 6l + x = 12m − 6l + y = 12l − 12m − K¸t hđp i·u ki»n x, y ∈ (−6; 10) ta thu ữủc hằ bĐt phữỡng trẳnh 10 < 12m − 6l < −3 < 12l − 12m < 13 45 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Tø â −23 < 12m < 25 suy −1 ≤ m ≤ + vỵi m = - 1, thay v o h» bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc l = - Do â (x,y) = (-2,-3) + vỵi m = 0, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc l = 0, l = Do â (x,y) = (4,-3), (x,y) = (-2,9) + vỵi m = 1, thay v o hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc l = Do â (x,y) = (4,9) + vỵi m = 2, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta khổng thu ữủc giĂ tr nguyản no cừa l - Trữớng hủp 4: xt hằ phữỡng trẳnh Hằ ny tữỡng ữỡng vỵi 2x + y = 12m + x + y = 6l − x = 12m − 6h + y = 12h − 12m − K¸t hđp i·u ki»n x, y ∈ (−6; 10) ta thu ữủc hằ bĐt phữỡng trẳnh 12 < 12m − 6h < < 12h − 12m < 17 Tø â −23 < 12m < 25 suy −1 ≤ m ≤ + vỵi m = - 1, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta khổng thu ữủc giĂ tr nguyản no cừa h + vợi m = 0, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ÷đc h = Do â (x,y) = (0,5) + vợi m = 1, thay vo hằ bĐt phữỡng trẳnh trản ta ữủc h = Do õ (x,y) = (6,5) + vỵi m = 2, thay v o h» bĐt phữỡng trẳnh trản ta khổng thu ữủc giĂ tr nguyản no 46 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 cừa h Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho ban Ưu cõ 14 nghiằm nguyản (x, y) bao gỗm (0, 5) , (6, 5) , (−2, −3) , (4, −3) , (−2, 9) , (4, 9) , (−4, −3) , (2, −3) , (−4, 9) , (8, −3) , (2, 9) , (8, 9) , (0, 1) , (6, 1) vỵi x, y thc kho£ng (6; 10) 3.2 Phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ iÃu kiằn CĂch giÊi Bữợc 1: Tẳm nghiằm tờng quĂt (x1, x2, , xn) cừa phữỡng trẳnh (hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh) lữủng giĂc Bữợc 2: Tứ iÃu kiằn cừa phữỡng trẳnh (hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh) lữủng giĂc ta hÔn chá iÃu kiằn cừa cĂc tham số nghi»m têng qu¡t (x1 , x2 , , xn ) Vẵ dử 3.3 GiÊi hằ bĐt phữỡng tr¼nh sin 2015x > cos 445x ≤ Líi giÊi Hằ bĐt phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi π 5π + k2π < 2015x < + k2π (k, m ∈ Z) π + m2π ≤ 445x ≤ 4π + m2π hay 1 5 π π x = + 2k < x < + 2k = x2 2015 2015 x3 = π + 2m ≤ x ≤ π + 2m = x4 445 445 - Tr÷íng hđp 1: x ∈ [x3 ; x2 ) n¸u x1 < x3 < x2 ≤ x4 x1 < x3 t÷ìng ữỡng vợi a = 403m 89k > 59 47 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 â a ≥ −59 x3 < x2 tữỡng ữỡng vợi a = 403m 89k < −30 12 â a ≤ −31 x2 x4 tữỡng ữỡng vợi a = 403m 89k ≥ −231 12 â a ≥ −231 Vêy x [x3 ; x2 ) náu 403m 89k = a â a ∈ Z, −59 ≤ a ≤ −31 Ta câ 403 = [4; 1, 1, 8, 2, 2] 89 p4 163 C4 = = [4; 1, 1, 8, 2] = q4 36 n¶n p4 = 163, q4 = 36 Khi õ phữỡng trẳnh 403m 89k = câ mët nghi»m ri¶ng l (m1 ; k1 ) = (36; 163) Suy phữỡng trẳnh 403m − 89k = a â a ∈ Z, −59 ≤ a ≤ −31 câ nghi»m têng qu¡t l m = 36a + 89t k = 163a + 403t 48 (t ∈ Z) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vªy trữớng hủp ny ta cõ têp nghiằm cừa hằ bĐt phữỡng trẳnh  cho l S1 = h 1 445 π + 72a + 178t ; 2015 5 + 326a + 806t â a, t ∈ Z, −59 ≤ a ≤ −31 - Trữớng hủp 2: x (x3 ; x4 ] náu x1 ≤ x3 v x4 < x2 x1 ≤ x3 tữỡng ữỡng vợi a = 403m 89k −59 â a ≥ −59 x4 < x2 tữỡng ữỡng vợi a = 403m 89k < 231 12 õ a 232 Nhữ vêy tr÷íng hđp khỉng x£y - Tr÷íng hđp 3: x ∈ (x1 ; x2 ) n¸u x3 ≤ x1 v x2 ≤ x4 x3 ≤ x1 t÷ìng ÷ìng vỵi a = 403m − 89k ≤ −59 õ a 60 LÔi theo trữớng hủp ta cõ x2 x4 tữỡng ữỡng vợi a 231 Vêy trữớng hủp ny ta cõ têp nghiằm cừa hằ bĐt phữỡng trẳnh  cho l S2 = π 1 2015 + 326b + 806l ; π 2015 5 + 326b + 806l â b, l ∈ Z, −231 ≤ b ≤ −60 Kát luên: Têp nghiằm cừa hằ bĐt phữỡng trẳnh ban ¦u l S = S1 ∪ S2 49 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vẵ dử 3.4 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sin(2x + y) = cos(x + y) = vỵi i·u ki»n x − y ≥ 10π Líi gi£i Hằ phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi 2x + y = + k2π 5π 2x + y = + m2π (k, m, l, h ∈ Z) π + l2π x+y = x+y =− π + h2π - Trữớng hủp 1: Xt hằ phữỡng trẳnh 2x + y = + k2π x+y = câ nghi»m l π + l2π π x = − + (k − l)2π π + (2l − k)2π y= K¸t hđp i·u ki»n x − y ≥ 10π ta thu ữủc bĐt phữỡng trẳnh 2k 3l 16 BĐt phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi 2k − 3l = a â a ∈ Z, a ≥ Tø â ta câ k = 2a + 3t l = a + 2t 50 (t ∈ Z) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vªy π x = − + (a + t)2π π + y= t2π â a, t ∈ Z, a ≥ - Tr÷íng hđp 2: X²t h» phữỡng trẳnh 2x + y = + k2π x + y = − π + h2π câ nghi»m l π + (k − h)2π x= y = − 5π + (2h − k)2π K¸t hđp i·u ki»n x − y ≥ 10π ta thu ÷đc bĐt phữỡng trẳnh 2k 3h 13 BĐt phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi 2k 3h = b â b ∈ Z, b ≥ Tø â ta câ k = 2b + 3t h = b + 2t Vªy (t ∈ Z) π + (b + t)2π x= y = − 5π + t2π â b, t ∈ Z, b ≥ - Tr÷íng hđp 3: Xt hằ phữỡng trẳnh 2x + y = + m2π x + y = π + l2π 51 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 câ nghi»m l π + (m − l)2π x= y = − π + (2l − m)2π K¸t hđp i·u ki»n x − y 10 ta thu ữủc bĐt phữỡng trẳnh 2m 3l 14 BĐt phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi 2m 3l = c õ c ∈ Z, c ≥ Tø â ta câ Vªy m = 2c + 3t l = c + 2t (t ∈ Z) π + (c + t)2π x= y=−π + t2π â c, t ∈ Z, c ≥ - Trữớng hủp 4: Xt hằ phữỡng trẳnh 2x + y = + m2π x + y = − π + h2π câ nghi»m l x= 7π + (m − h)2π y = − 3π + (2h − m)2π K¸t hđp i·u ki»n x y 10 ta thu ữủc bĐt phữỡng trẳnh 2m 3h 11 BĐt phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi 2m 3h = d 52 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 â d ∈ Z, d ≥ Tø â ta câ Vªy m = 2d + 3t h = d + 2t x= (t ∈ Z) 7π + (d + t)2π y = − 3π + t2π â d, t ∈ Z, d ≥ Tõm lÔi cõ hồ nghiằm (x; y) thọa mÂn à bi, bao gỗm x= + (b + t)2π x = − + (a + t)2π y= x= , π + t2π π + (c + t)2π y=−π + , t2π y = − 5π + t2π 7π + (d + t)2π x= , y = − 3π + t2π â a, b, c, d, t ∈ Z, a ≥ 6, b ≥ 5, c ≥ 5, d Vẵ dử 3.5 GiÊi hằ phữỡng tr¼nh sin(2x + y) = cos(x + y) = trản oÔn [6; 6] v thọa mÂn x y ≥ 10π H» ¢ cho câ hå nghi»m (x; y) thäa m¢n x − y ≥ 10π , bao gỗm Lới giÊi + (b + t)2 π x = − + (a + t)2π x= y= x= y = − 5π + t2π 7π + (d + t)2π x= , π + t2π π + (c + t)2π y=−π + t2π , , y = − 3π + t2π â a, b, c, d, t ∈ Z, a ≥ 6, b ≥ 5, c ≥ 5, d ≥ 53 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 - Tr÷íng hđp 1: π x = − + (a + t)2π y= π + (a, t ∈ Z, a ≥ 6) t2π Vỵi i·u ki»n x, y ∈ [−6π; 6π] ta câ π −6π ≤ − + (a + t)2π ≤ 6π π −6π ≤ + a, t ∈ Z, a ≥ t2 Hằ ny tữỡng ữỡng vợi 1 −3≤a+t≤ +3 12 12 1 − −3≤t≤− +3 4 a, t ∈ Z, a ≥ suy 6≤a≤6+ ⇒ a = a∈Z Vỵi a = 6, t = −3 ta ÷đc (x; y) = - Tr÷íng hđp 2: x= 35π π + (b + t)2π y = − 5π + ;− 11π (b, t ∈ Z, b ≥ 5) t2π Vỵi i·u ki»n x, y ∈ [−6π; 6π] ta câ π −6π ≤ + (b + t)2π ≤ 6π 5π −6π ≤ − + t2π ≤ 6π b, t ∈ Z, b ≥ 54 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 H» n y tữỡng ữỡng vợi 1 3b+t +3 4 5 −3≤t≤ +3 12 12 b, t ∈ Z, b ≥ suy ( 5≤b≤5+ ⇒ b = b∈Z Vỵi b = ta ÷đc −3≤ t≤− −2 12 t tZ Vêy trữớng hđp n y ta khỉng thu ÷đc nghi»m (x; y) thäa mÂn yảu cƯu bi toĂn - Trữớng hủp 3: x= π + (c + t)2π y=−π + (c, t ∈ Z, c ≥ 5) t2π Vỵi i·u ki»n x, y ∈ [−6π; 6π] ta câ −6π ≤ π + (c + t)2π ≤ 6π π −6π ≤ − + c, t ∈ Z, c ≥ t2π ≤ 6π H» ny tữỡng ữỡng vợi 1 3c+t +3 4 1 −3≤t≤ +3 12 12 c, t ∈ Z, c ≥ suy ( 5≤c≤5+ ⇒ c = c∈Z 55 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vợi c = ta ữủc 1 −3≤ t≤− −2 12 ⇒ t ∈ tZ Vêy trữớng hủp ny ta khổng thu ữủc nghiằm (x; y) thọa mÂn yảu cƯu bi toĂn - Tr÷íng hđp 4: x= 7π + (d + t)2π y = − 3π + (d, t ∈ Z, d ≥ 4) t2π Vỵi i·u ki»n x, y ∈ [−6π; 6π] ta câ 7π + (d + t)2π ≤ 6π −6π ≤ 3π −6π ≤ − + d, t ∈ Z, d ≥ t2π ≤ Hằ ny tữỡng ữỡng vợi 7 − −3≤d+t≤− +3 12 12 3 −3≤t≤ +3 4 d, t ∈ Z, d ≥ suy 4≤d≤4+ ⇒ d = d∈Z 11π Vỵi d = 4, t = −2 ta ÷đc (x; y) = ;− Tâm lÔi bi toĂn  cho cõ hai nghiằm (x; y) bao gỗm 35 ; 31 11 , ;− 31π 11π 3.3 XĂc nh phƠn thực chẵnh quy thọa mÂn iÃu kiằn cho trữợc nh nghắa 3.1 (PhƠn thực chẵnh quy mët bi¸n, xem[5]) Cho > 0, αi ∈ R vỵi n ∀i = 1, 2, , n Khi â f (x) = (mët bi¸n x) náu n P P xi vợi x > ữủc gồi l phƠn thực chẵnh quy i=1 i = i=1 56 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chú ỵ 3.1 PhƠn thực chẵnh quy f (x) Ôt giĂ tr nhọ nhĐt tÔi x = nh nghắa 3.2 (PhƠn thực chẵnhnquy hai bián, xem [5]) Cho > 0, i, βi ∈ R vỵi ∀i = 1, 2, , n Khi â f (x, y) = n P chẵnh quy (hai bián x, y) náu P xαi y βi vỵi x > 0, y > ữủc gồi l phƠn thực i=1 i = i=1 n P i = i=1 Chú ỵ 3.2 PhƠn thực chẵnh quy f (x, y) Ôt giĂ tr nhọ nhĐt tÔi x = y = Trong cĂc v½ dư sau ta x²t αi , βi ∈ Z Vẵ dử 3.6 Xt phƠn thực chẵnh quy f (x) = xα1 + 2xα2 + 3xα3 + 5xα4 + 7xα5 T¼m (α1 ; α2 ; α3 ; α4 ; α5 ) cho α1 + α2 + 2α3 + α4 − α5 > Líi gi£i (29) Do f (x) l hm phƠn thực chẵnh quy nản + 2α2 + 3α3 + 5α4 + 7α5 = (29a) Tø (29a) v (29) ta thu ÷đc α2 + α3 + 44 + 85 < BĐt phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi + + 44 + 85 = m â m ∈ Z, m < −4 °t α3 = a, α4 = b, α5 = c, kát hủp (29a) v (29b) ta thu ữủc = −2m − a + 3b + 9c α2 = m − a − 4b − 8c α3 = a α4 = b α5 = c â m, a, b, c ∈ Z, m < Chng hÔn vợi m = 5, a = 1, b = 2, c = −4 ta câ (α1 ; α2 ; α3 ; α4 ; α5 ) = (−21; 18; 1; 2; −4) 57 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (29b) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Khi â f (x) = 2x18 + 5x2 + 3x + + 21 x x Vêy ta xƠy dỹng ữủc bi toĂn sau Bi toĂn 3.1 Cho x l số thỹc dữỡng tũy ỵ Chùng minh r¬ng 2x18 + 5x2 + 3x + + 21 ≥ 18 x x V½ dư 3.7 Xt phƠn thực chẵnh quy f (x, y) = xα1 y β1 + 2xα2 y β2 + 3xα3 y β3 T¼m (α1 ; α2 ; α3 ) v (β1 ; β2 ; β3 ) cho thäa m¢n ỗng thới cĂc hằ thực sau Lới giÊi + 4α2 − 3α3 > 0, (30) β1 − 3β2 + β3 ≤ (31) Do f (x, y) l h m phƠn thực chẵnh quy nản ta cõ + 2α2 + 3α3 = β1 + 2β2 + 3β3 = hay ta cõ ỗng thới = (2α2 + 3α3 ) , (30a) β1 = − (2β2 + 3β3 ) (31a) α2 − 3α3 > (30b) Thá (30a) vo (30) ta ữủc (30b) tữỡng ữỡng vỵi α2 − 3α3 = m â m ∈ Z+ Tø â ta thu ÷đc α2 = 3m + 2a α3 = m + a 58 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 â m, a ∈ Z, m ≥ Thá (31a) vo (31) ta ữủc (31b) 52 + 23 (31b) tữỡng ữỡng vợi 52 + 23 = n â n ∈ Z, n ≥ −3 Tø â ta thu ÷đc β2 = n + 2b β3 = −2n − 5b â n, b Z, n Vêy ta cõ ỗng thới (α1 ; α2 ; α3 ) = (−9m − 7a; 3m + 2a; m + a) , (β1 ; β2 ; β3 ) = (4n + 11b; n + 2b; −2n − 5b) â m, n, a, b ∈ Z, m 1, n Chng hÔn vợi m = 1, n = −3, a = 1, b = ta cõ phƠn thực chẵnh quy f (x, y) = y 10 3x2 + 2x y + x16 y4 câ gi¡ trà nhä nh§t f (x, y) = f (1, 1) = N¸u thay x = a b , y = thẳ ta thu ữủc bi toĂn cõ kát quÊ tữỡng tỹ sau 2 B i to¡n 3.2 Cho a, b l c¡c sè thüc dữỡng tũy ỵ Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa biu thùc M= 64b10 a5 b 12a2 + + a16 32 b Vẵ dử 3.8 Cho hm phƠn thực ch½nh quy f (x) = ax2 + bx4 + c x2 vợi a, b, c l cĂc số nguyản dữỡng T¼m bë sè (a, b, c) cho gi¡ trà nhọ nhĐt cừa f (x) khổng vữủt quĂ 11 Lới giÊi Do f (x) l hm phƠn thực chẵnh quy n¶n ta câ 2a + 4b − 2c = 59 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z
Ngày đăng: 05/09/2023, 01:02
Xem thêm:
