Mot so tinh chat hinh hoc cua do thi ham so huu ti pham tung quan

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỮU TỈ Học sinh: Phạm Tùng Quân Lớp: 11 Tin Trường: Trung học Phổ thông Chuyên Thăng Long, Đà Lạt Giáo viên hướng dẫn: Đặng Nhi Thảo Cố vấn khoa học: PGS TS Phạm Tiến Sơn Đà Lạt, Ngày tháng 10 năm 2016 Mục lục Giới thiệu Kiến thức chuẩn bị 3 Tính lồi, lồi chặt hàm số y = f (x) Hướng tiệm cận đồ thị hàm số y = f (x) 10 4.1 Hướng tiệm cận đồ thị hàm số x tiến vô 11 4.2 Hướng tiệm cận đồ thị hàm số x tiến đến α 14 Hình học đồ thị hàm số y = f (x) đường tiệm cận 16 Hình học đồ thị hàm số y = f (x) hai đường tiệm cận 16 6.0.1 Trường hợp 1a: 17 6.0.2 Trường hợp 1b: 18 6.0.3 Trường hợp 2a: 18 6.0.4 Trường hợp 2b: 20 6.0.5 Trường hợp 3a: 21 6.0.6 Trường hợp 3b: 23 Tài liệu tham khảo 25 Giới thiệu Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, sách giáo khoa sách tham khảo thường trình bày tính chất đa thức bậc ≤ hàm số hữu tỉ đơn giản Em nhận thấy tài liệu đề cập đến đa thức bậc cao Một câu hỏi nảy sinh đa thức (bậc tùy ý) hay tổng quát hơn, hàm số hữu tỉ, có tính chất đặc trưng gì? Các đồ thị hàm số bậc f (x) = ax + b (a 6= 0) có tính chất đoạn thẳng nối hai điểm đồ thị chứa đồ thị Với đồ thị hàm số bậc hai f (x) = ax2 +bx+c (a > 0) có tính chất đoạn thẳng nối hai điểm đồ thị nằm (thực sự) cung đồ thị nối hai điểm Những quan sát dẫn đến câu hỏi sau: Câu hỏi Những hàm số f có tính chất đoạn thẳng nối hai điểm đồ thị hàm số y = f (x) nằm (thực sự) cung đồ thị nối hai điểm Khi vẽ đồ thị hàm số đa thức y = f (x) có bậc hai, ba, thấy đồ thị không “dao động” có hai nhánh hướng vơ hạn (khi x tiến vô hạn) nhánh hướng đến đường thẳng song song trục tung Các hàm số hữu tỉ có tử số đa thức bậc ≤ mẫu số đa thức bậc khơng dao động ln có số chẵn nhánh hướng vô hạn Câu hỏi là: Câu hỏi Phải phần đồ thị vô hạn hàm số hữu tỉ không dao động ln có số chẵn nhánh hướng vơ hạn? Chúng ta thường giải biện luận nghiệm số nghiệm phương trình f (x) = t với t tham số thực Nếu f đa thức bậc hai, phương trình f (x) = t có nhiều nghiệm; dễ dàng xác định nghiệm phương trình (nếu có) Mặt khác, biết nói chung khơng thể tìm nghiệm phương trình đa thức bậc lớn năm Vấn đề đặt là: Câu hỏi Cho hàm số hữu tỉ f Với giá trị tham số t phương trình f (x) = t có nghiệm, khơng có nghiệm? Số nghiệm phương trình phụ thuộc theo t? Liệu chúng có “ổn định” đa thức bậc hai? Bài tốn tìm nghiệm (hoặc/và nghiệm ngun) bất phương trình đa thức thường gặp Nói chung khó để giải tốn bậc đa thức lớn (chẳng hạn đa thức có bậc ≥ 5) Một câu hỏi nảy sinh: Câu hỏi Cho hàm số hữu tỉ f Với giá trị tham số t bất phương trình f (x) ≤ t (hoặc |f (x)| ≤ t) có nghiệm, khơng có nghiệm? Số nghiệm phương trình t tiến vơ hạn? Chúng có “ổn định” đa thức bậc hai? Mục đích: Trong đề tài em tìm hiểu số tính chất hàm số hữu tỉ biến Cụ thể em muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu Kết đạt được: Thiết lập tính chất sau hàm số hữu tỉ biến: • Tính lồi, lồi chặt • Mơ tả hình học (tại vô hạn) đồ thị hàm số y = f (x) • Tiệm cận độ dài số điểm nguyên tập mức hàm số hữu tỉ Nội dung báo cáo: Phần trình bày kiến thức chuẩn bị sử dụng chứng minh Các kết nghiên cứu đạt trình bày phần ??, ?? ?? Phần ?? kết luận Cuối tài liệu tham khảo Lời cám ơn Em tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy Đặng Văn Đoạt Cô Đặng Nhi Thảo nhiệt tình, tận tụy hướng dẫn đóng góp ý kiến vơ q báu cho em suốt thời gian thực đề tài Kiến thức chuẩn bị Trong báo cáo, giả sử f := P (x) Q(x) hàm hữu tỉ, P (x) Q(x) đa thức khơng có nghiệm chung, Q(x) 6≡ Trong báo cáo, em sử dụng kết biết sau (xem [2, 3]): Đa thức bậc n ≥ có khơng q n nghiệm (kể bội) Từ suy f số đoạn [a, b] f hàm Đạo hàm f xác định bởi: f (x) := P (x)Q(x) − P (x)Q0 (x) , [Q(x)]2 hàm số hữu tỉ Tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = f (x) điểm M (x0 , f (x0 )) đường thẳng có phương trình: y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) Suy ~v (1, f (x0 )) vector phương đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M (x0 , f (x0 )) Trong phần lại phần này, giả sử hàm số f xác định đoạn [a, b], tức Q(x) 6= với x ∈ [a, b] Định lý (Định lý Weierstrass) f đạt giá trị lớn nhỏ đoạn [a, b] Ví dụ Xét đa thức f (x) := x3 − x2 + x đoạn [0, 5] Khi f đạt giá trị nhỏ x = x = f đạt giá trị lớn 20 x = Đồ thị hàm số cho Hình Hình 1: Hàm số f (x) := x3 − x2 + x đoạn [0, 5] có giá trị nhỏ f (0) = f (3) = giá trị lớn f (5) = 20 Định lý (Định lý giá trị trung gian) Nếu f (a)f (b) < có điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = Về mặt hình học, f (a) f (b) trái dấu đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c thuộc đoạn [a, b] Ví dụ Xét đa thức f (x) := x4 − x3 + 14 x2 − x + đoạn [−1, 3] Ta có f (−1)f (3) = 31 × (−5) = −155 < Suy phương trình f (x) = có nghiệm thuộc đoạn [−1, 3] Đồ thị hàm số cho Hình Hình 2: Đồ thị hàm số f (x) := x4 − x3 + 14 x2 − x + cắt trục hồnh điểm có điểm có hồnh độ thuộc đoạn [−1, 3] Định lý (Định lý Fermat) Nếu c ∈ (a, b) điểm cực tiểu (hoặc cực đại) f đoạn [a, b] f (c) = Về mặt hình học, tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (c, f (c)) song song với trục hồnh Ví dụ Xét đa thức f (x) := x3 − x2 + x đoạn [−1, 5] Ta có x = ∈ (−1, 5) điểm cực đại x = ∈ (−1, 5) điểm cực tiểu Tính tốn có f (x) = 3x2 − 12x + = 3(x − 1)(x − 3) Suy f (1) = f (3) = Đồ thị hàm số cho Hình Hình 3: Hàm số f (x) := x3 − x2 + x có cực đại x = cực tiểu x = Định lý (Định lý Lagrange) Với số thực phân biệt a b với a < b, tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a Về mặt hình học, tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (c, f (c)) song song với dây cung nối hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) Ví dụ Xét đa thức f (x) := x3 − x đoạn [−2, 2] Ta có f (x) = 3x2 − f (−2) = −6, f (2) = Suy x1 = √ 3 √ x2 = − 3 hai giá trị thỏa mãn phương trình f (x) = f (2) − f (−2) = − (−2) Đồ thị hàm số cho Hình √ √ Hình 4: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f (x) := x3 − x hai điểm ( 3 , ) √ √ (− 3 , − ) song song với dây cung nối hai điểm (−2, −6) (2, 6) Tính lồi, lồi chặt hàm số y = f (x) Phần nghiên cứu tính lồi lồi chặt hàm f Định nghĩa (ii) Hàm f gọi lồi khoảng (α, β) f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) với x, y ∈ (α, β) t ∈ [0, 1] (ii) Hàm f gọi lồi chặt khoảng (α, β) f ((1 − t)x + ty) < (1 − t)f (x) + tf (y) với x, y ∈ (α, β), x 6= y, t ∈ (0, 1) (iii) Hàm f gọi lõm (tương ứng, lõm chặt) khoảng (α, β) hàm −f lồi (tương ứng, lồi chặt) khoảng (α, β) Về mặt hình học, khoảng (α, β), hàm lồi đoạn thẳng nối hai điểm đồ thị nằm cung đồ thị nối hai điểm hàm lồi chặt đoạn thẳng nối hai điểm đồ thị nằm thực cung đồ thị nối hai điểm Ví dụ (i) Mọi đa thức bậc lồi không lồi chặt (ii) Hàm số 2x2 lồi (iii) Hàm số x3 không lồi Đồ thị hàm số cho Hình Hình 5: Đồ thị hàm lồi không lồi chặt y = x, lồi chặt y = 2x2 , không lồi y = x3 Tính chất Cho f hàm số hữu tỉ xác định khoảng (α, β) Các điều sau tương đương: (i) f lồi khoảng (α, β) (ii) f (x2 ) − f (x1 ) ≥ f (x1 )(x2 − x1 ) với x1 , x2 ∈ (α, β) (iii) f 00 (x) ≥ với x ∈ (α, β) Chứng minh Các tính chất chứng minh sách [1] Ví dụ (i) Giả sử f (x) := x2 + 1+x2 Ta có x , (1 + x2 )2
x2 −2 − + x f 00 (x) = + (1 + x2 )3 f (x) = x − Ta có f 00 (x) ≥ với x ∈ R Nên f hàm số lồi R (ii) Giả sử f := x + 1/x Ta có f (x) = − x−2 , f 00 (x) = x−3 Ta có f 00 (x) > x > f 00 (x) < x < Suy f lồi khoảng (0, +∞) f lõm khoảng (−∞, 0) Tính chất Giả sử f hàm số hữu tỉ (khác hằng) xác định khoảng (α, β) Khi có nhiều điểm thuộc khoảng (α, β) mà đạo hàm f khơng Chứng minh Giả sử tồn hai điểm a, b ∈ (α, β) với b 6= a cho f (a) = f (b) = Tính chất suy với x ∈ (α, β) có f (x) − f (a) ≥ f (a)(x − a) = 0, f (x) − f (b) ≥ f (b)(x − b) = Do a, b điểm cực tiểu f khoảng (α, β) Tính chất lồi suy f số đoạn [a, b] số R Mâu thuẫn Ví dụ Kết phần là: Định lý Giả sử f hàm số hữu tỉ xác định khoảng (α, β) khơng hàm tuyến tính Khi khoảng (α, β) hàm f lồi f lồi chặt Chứng minh Chỉ cần chứng minh f lồi f lồi chặt Bằng phản chứng, giả sử tồn x1 , x2 ∈ (α, β), x1 6= x2 , t0 ∈ (0, 1) cho f ((1 − t0 )x1 + t0 x2 ) = (1 − t0 )f (x1 ) + t0 f (x2 ) Đặt g(t) := f ((1 − t)x1 + tx2 ) − (1 − t)f (x1 ) − tf (x2 ) Ta có g hàm số hữu tỉ xác định đoạn [0, 1] khác hàm (do f khơng hàm tuyến tính) Ta có g(0) = g(1) = g(t0 ) = Theo Định lý Lagrange, tồn số thực t1 t2 với < t1 < t0 < t2 < cho g (t1 ) = g (t2 ) = Mặt khác có g (t) = f ((1 − t)x1 + tx2 )(x2 − x1 ) + f (x1 ) − f (x2 ), g 00 (t) = f 00 ((1 − t)x1 + tx2 )(x2 − x1 )2 Do f (x) lồi khoảng (α, β), nên theo Tính chất 1, hàm số f 00 không âm khoảng (α, β) Suy g 00 khơng âm khoảng (0, 1) Áp dụng Tính chất 1, có g hàm lồi khoảng (0, 1) Theo Tính chất 2, g có điểm đạo hàm khơng Mâu thuẫn Vậy f lồi chặt khoảng (α, β) −−→ độ dài vector AM = (x0 − a, f (x0 ) − b) cho công thức p −−→ |AM | = (x0 − a)2 + (f (x0 ) − b)2 Để xác định hướng tiệm cận đồ thị (C), ta cần trả lời hai câu hỏi sau: (i) Tính giới hạn ~v lim x0 →±∞ |~ v| −−→ AM lim −−→ , x0 →±∞ |AM | −−→ AM lim± −−→ x0 →α |AM | (ii) Tính giới hạn ~v lim± x0 →α |~ v| 4.1 Hướng tiệm cận đồ thị hàm số x tiến vơ Ta viết f (x) = g(x) + R(x) , Q(x) g, R đa thức, deg R < deg Q Suy R(x) = 0, lim |f (x) − g(x)| = lim x0 →±∞ x0 →±∞ Q(x) R (x)Q(x) − R(x)Q0 (x) 0 = lim |f (x) − g (x)| = lim