Nétđẹptrong các phươngphápchứngminhCác nhà toán học miêu tả các phươngphápchứngminh của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán, họ có thể: Chứngminh bằng việc sử dụng một cách ít nhất các giả thiết hay kết quả ban đầu. Chứngminh bằng cách biến đổi một cách ngạc nhiên một kết quả từ những định lý tưởng chừng như không có mối liên hệ gì với bài toán. Chứngminh bằng một phươngpháp hay hướng đi hoàn toàn mới mẻ. Chứngminh theo một phươngpháp tổng quát, từ đó có thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự khác. Trong công việc nghiên cứu một cách chứngminh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứngminh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứngminh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứngminh hoàn hảo nhất. Định lý Pytago, a 2 = b 2 + c 2 , là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứngminh được đưa ra. Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (quadratic reciprocity), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên 10 cách chứngminh khác nhau cho định lý này. Định lý tương hỗ phát biểu: Nếu tồn tại một số nguyên hữu tỉ x và các số nguyên dương n, p, q sao cho , q được gọi là phần dư bậc ''n'' của p khi và chỉ khi có khả năng tìm được nghiệm x. Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ giữa "q là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc n của q". Viết theo ký hiệu của Lâm Đức Chung là: và . Với trường hợp n = 2, gọi là Định lý tương hỗ bậc II, được Gauss đưa ra chứngminh hoàn thiện lần đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường hợp n = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng nguyên a + bβ, trong đó β là nghiệm của phương trình x 2 + x + 1 = 0 và a', b là các số nguyên hữu tỉ. Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ bậc IV), sử dụng số nguyên Gaussian (một số nguyên Gaussian là một số phức có dạng a + bi, trong đó a và b là các số nguyên). Phần chứngminh tổng quát, với bậc n là số nguyên tố, được đưa ra bởi Ferdinand Eisenstein trong những năm 1844–1850, và Ernst Eduard Kummer trong những năm 1850–1861. Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với mọi n được chứngminh bởi Emil Artin vào những năm 1920, do đó, định lý này còn gọi là Định lý tương hỗ Artin. Nhà toán học người Hung Paul Erdos thì tưởng tượng rằng Thượng Đế có một cuốn sách chứa tất cả những cácchứngminhđẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một cách chứngminhđộc đáo, ông đều nói "Cách chứngminh ấy nằm trong cuốn sách này đó". Ngược lại, các kết quả từ suy luận lôgic, chứa các bước tính tỉ mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứngminh thanh nhã, mà gọi là cácchứngminh khó coi hay thô kệch. Ví dụ những cách chứngminh phụ thuộc vào việc giới hạn các trường hợp riêng biệt, như phươngpháp vét cạn được sử dụng trongchứngminh Định lý bốn màu. . Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán, họ có thể: Chứng minh. những các chứng minh đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một cách chứng minh độc đáo, ông đều nói "Cách chứng minh ấy nằm trong cuốn sách này đó". Ngược lại, các. nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn hảo