Ôn tập toán 5

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi 006 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm) y log 2022  x  x Câu 1: Tập xác định hàm số D   1;1 D   1;3 D   3;1 A B C   D D  0;1 Câu 2: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M N mặt phẳng phức hình bên Tính 2z1  z2 y A B M O -4 N C x 89 D 89 Câu 3: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kỳ hạn tháng, với lãi suất 0, 65 tháng theo phương thức lãi kép Hỏi sau vị khách có số tiền lãi nhiều số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người khơng rút lãi tất định kỳ A năm 11 tháng B 19 tháng C 18 tháng D năm log x  log  x   log m Câu 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm? A m  B m 1 C m  D m 1   sin  x    3 có nghiệm thuộc khoảng  Câu 5: Phương trình A B C    0;   ? D Câu 6: Hình vẽ sau đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C , D Hỏi hàm số nào? A y  x  x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x  x   f  x   x  dx 4 f  t  dt 0 Câu 7: Biết  Khi  bằng: A B C D y  f  x  \  1 Câu 8: Cho hàm số liên tục có bảng biến thiên sau: Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A C y  f  x là: B D Câu 9: Gọi A, B, C điểm cực trị đồ thị hàm số y x  x  Diện tích tam giác ABC A B C D Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc  SBC  với đáy, SB hợp với mặt đáy góc 60 Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng a 3 d d 2 A B C d a D d a  Câu 11: Cho hình nón bán kính đáy a đường sinh tạo với mặt đáy góc 60 Tính diện tích xung quanh hình nón S 2a S  a S 2 a S  3 a A xq B xq C xq D xq A  5;0;0  , B  0;5;0  , C  0;0;5  Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm Diện tích tam giác ABC 25 A B C D  S  có phương trình: Câu 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  y  z  0 Thể tích khối cầu xác định  S  bằng: A 12 B 24 C 36 D 48 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng    : x  y  z  0    : x  y  z  0 Vectơ sau vectơ phương đường thẳng      u1   5;3;7  u2  5;3;   u3   5;3;   u4  5;3;7  A B C D Câu 15: Cho tập hợp A có 12 phần tử Số tập hợp A gồm có phần tử 12! 3 A A 12 B C C12 D 12! Câu 16: Một hộp chứa 10 thẻ đánh số từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Gọi p xác suất để tích số ghi hai thẻ lấy số chẵn Giá trị p 2 A B C D Câu 17: Biết phương trình log x  log 2 x  0 có hai nghiệm thực x1 x2 Giá trị tổng x1  x2 A B C D z  2 z i  z   i Câu 18: Có số phức z thỏa mãn ? A B C Câu 19: Cho hàm số y '  1 0 A C y '  1 1 y x D Mệnh đề sau ? y '  1  B D Hàm số khơng có đạo hàm x 1 y  f  x y  f ' x   3; 2 cho hình vẽ bên Giá trị Câu 20: Cho hàm số có đồ thị hàm số đoạn H  f    f   3 biểu thức 23 A 21 B D 10 C 11 Câu 21: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C y x2  3x  x D Câu 22: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 4a Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  A 2a B 2a C 2a D 2a N  0;0;13 M  0;5;  12  Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Điểm K    P  : ax  by  z  d 0 cho KOM KON thuộc mặt phẳng Tính a  b  d A B C D   n 2, n   Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh Câu 24: Cho đa giác gồm 2n đỉnh đa giác, xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông Tìm n A n 5 B n 8 C n 4 D n 10 Câu 25: Trên đoạn A  25 y  x4  2x2   m đạt giá trị lớn x a Tính m  a B 31 C 25 D  33  0; 4 , hàm số A  0; 0;3 B  2;  3;  5 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho điểm 2  P  mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu  S1  :  x  1   y  1   z  3 25 Gọi  S  : x  y  z  x  y  14 0 ; M , N hai điểm thuộc  P  cho MN 1 Giá trị nhỏ với AM  BN là: A B 78  13 C 34 D 78  13 3n  Câu 27: Với n số nguyên dương, gọi a3n  hệ số x khai triển thành đa thức x  1 A B C D n n n n n  x  2 n a3n  26n Tìm khẳng định đúng? chia hết cho số nguyên tố số chia hết cho số nguyên âm chia hết cho y  f  x Câu 28: Cho hàm số có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt f  x f e  f  x  1 phương trình  A PHẦN II: TỰ LUẬN  B C D Câu 29: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Tính giá trị biểu thức A  z12 z2  z1 z22 Câu 30: Cho tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Tính thể tích tứ diện ABCD Câu 31: Cho đường thẳng y 2 x Parabol y x  m ( m tham số dương) Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Tìm m để S1 S2 HƯỚNG DẪN GIẢI y log 2022  x  x Câu 1: Tập xác định hàm số D   1;3 D   1;1 D   3;1 A B C Lời giải Chọn C   D D  0;1 Điều kiện xác định:  x  x     x   D   3;1 Câu 2: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M N mặt phẳng phức hình bên Tính 2z1  z2 y M O -4 N x A C 89 Lời giải B D 89 Chọn C Từ hình bên ta có điểm M  3;2  biểu diễn số phức z1 3  2i Điểm N  1;   Ta có z1  z2 2   2i     4i  5  8i  z1  z2  52  82  89 biểu diễn z2 1  4i Câu 3: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kỳ hạn tháng, với lãi suất 0, 65 tháng theo phương thức lãi kép Hỏi sau vị khách có số tiền lãi nhiều số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người không rút lãi tất định kỳ A năm 11 tháng B 19 tháng C 18 tháng D năm Lời giải Chọn D Lãi suất theo kỳ hạn tháng 3.0, 65 1, 95 Gọi n số kỳ hạn cần tìm Theo giả thiết ta có n số tự nhiên nhỏ thỏa 20(1  0, 0195) n  20  20 Ta n 36 chu kỳ, chu kỳ tháng, nên thời gian cần tìm 108 tháng, tức năm log x  log  x   log Câu 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình nghiệm? A m  B m 1 C m  D m 1 Lời giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  2; m  log x  log  x   log m  x  x   m   m2  1 x 2m TH1 m 1 ta có : 0.x 2 (Vơ lí) 2m m2  TH2 m 1 Phương trình có nghiệm x  m  , chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] log m Thay m 0 (thuộc C, D) vào biểu thức không xác định, loại C, D, m  Thay (thuộc B) ta phương trình tương đương x  x  vô nghiệm Vậy chọn đáp án A   m  1 x 2m  x    sin  x    3 có nghiệm thuộc khoảng  Câu 5: Phương trình A B C Lời giải Chọn D    0;   ? D m có    x    k 2        3 sin  x     sin  x   sin       k   3 3    3  x       k 2  3 Ta có 2 2   x   k   k    x   k 2  3 x  +) TH1: 2 2    2 2  13 k   0;     k   k   2 3 12 Do k    k 1 Suy 4 thỏa mãn trường hợp có nghiệm  2     2  1 x  k   0;     k    k  3  2 3 2 Do k    k 0 Suy trường +) TH2: x hợp có nghiệm x  thỏa mãn    0;  Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng   Câu 6: Hình vẽ sau đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C , D Hỏi hàm số nào? A y  x  x  B y  x  x  C y  x  x  Lời giải D y  x  x  Chọn C lim y  , loại phương án D Xét phương án A có y 3 x   0, x   , hàm số khơng có cực tri, loại phương án A Xét phương án B có y 3 x  x y đổi dấu qua điểm x 0, x 2 nên hàm số đạt cực tri x 0 x 2 , loại phương án B Vậy phương án C Dựa vào đồ thị, ta có x   Câu 7: A 1 0  f  x   x  dx 4 f  t  dt Biết  Khi  Chọn A B C Lời giải D 1 1 0  f  x   x  dx 4   f  x  dx  2 xdx 4   f  x  dx 4  3   f  t  dt 3 Câu 8: Cho hàm số y  f  x liên tục  \  1 Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A C có bảng biến thiên sau: y  f  x là: B D Lời giải Chọn D lim f  x  2  y 2 x   TCN lim f  x  0  y 0 x   TCN Đồ thị hàm số có đường TC Câu 9: Gọi A, B, C điểm cực trị đồ thị hàm số y x  x  Diện tích tam giác ABC A B C D Lời giải Chọn A  x 0 y 4 x3  x    x 1 A  0;1 , B  1;0  , C   1;  Đồ thị hàm có điểm cực trị 1 S ABC  d  A; BC  BC  1.2 1 2 S ABCD Câu 10: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc  SBC  với đáy, SB hợp với mặt đáy góc 60 Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng a 3 d d 2 A B C d a D d a Lời giải Chọn A   Góc SB mặt đáy góc SBA 60 SA   AB a tan SBA   SA tan SBA AB Xét tam giác vuông SBA: d  D,  SBC   d  A,  SBC   AD  BC , BC   SBC   AD  SBC  Ta có: AH  SB  H  SB  BC   SAB   BC  AH Kẻ Ta có BC  AB, BC  SA nên  AH   SBC   d  A,  SBC    AH 1 1 a  2    AH  2 SA AB 3a a Xét tam giác vuông SAB: AH a d  D,  SBC    Vây  Câu 11: Cho hình nón bán kính đáy a đường sinh tạo với mặt đáy góc 60 Tính diện tích xung quanh hình nón S 2a S  a S 2 a S  3 a A xq B xq C xq D xq Lời giải Chọn C Xét tam giác vuông SOA : S xq  rl 2 a  cos SAO  AO AO  SA  2a  SA cos SAO A  5;0;0  , B  0;5;0  , C  0;0;5  Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm Diện tích ABC tam giác 25 A B C D Lời giải Chọn C 1   25 S ABC   AB, AC   2 Chọn C  S  có phương trình: Câu 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  y  z  0 Thể tích khối cầu xác định  S  A 12 B 24 C 36 Lời giải D 48 Chọn C I  1;  2;1 Tâm , bán kính R 3 Thể tích khối cầu xác định (S): V   R 36 Chọn C Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng    : x  y  z  0    : x  y  z  0 Vectơ sau vectơ phương đường thẳng      u1   5;3;7  u2  5;3;   u3   5;3;   u4  5;3;7  A B C D Lời giải Chọn B     u  n   ; n      5;  3;7  Chọn B Câu 15: Cho tập hợp A có 12 phần tử Số tập hợp A gồm có phần tử 12! 3 A A12 B C C12 D 12! Lời giải Chọn C Số tập hợp A gồm có phần tử C12 Câu 16: Một hộp chứa 10 thẻ đánh số từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Gọi p xác suất để tích số ghi hai thẻ lấy số chẵn Giá trị p 2 A B C D Lời giải Chọn A Xét biến cố đối: Tích số ghi hai thẻ số lẻ C52 p 1   C10 Khi Câu 17: Biết phương trình log x  log 2 x  0 có hai nghiệm thực x1 x2 Giá trị tổng x1  x2 A B C D Lời giải Chọn B  log x  log x  log x  0    log x   2 Biến đởi phương trình dạng  x     x 4 x1  x2    2 Khi z  2 z i  z   i Câu 18: Có số phức z thỏa mãn ? A B C Lời giải Chọn C Gọi z a  bi với a, b   D 2   a  1  b 4  2 2 a   b  1  a     b  1   Khi 2  a 1, b 2  a  1  b 4    a  1, b 0 b a  Câu 19: Cho hàm số y '  1 0 A C y '  1 1 y x Mệnh đề sau ? y '  1  B D Hàm số khơng có đạo hàm x 1 Lời giải Chọn D  x  1, x 1 y   x  1, x  f  x   f  1 x  1 lim lim 1 x x x x f  x   f  1  x 1  lim lim  x x x x Vậy hàm số khơng có đạo hàm x 1 y  f  x y  f ' x   3; 2 cho hình vẽ bên Giá trị Câu 20: Cho hàm số có đồ thị hàm số đoạn H  f    f   3 biểu thức 23 A Chọn A 21 B C 11 Lời giải D 10 Lấy điểm A   3;3 , B   1;  , C  1;  , D  2;3  , E   3;0  , F  2;0  Tính diện tích đa giác ABCDFE có: S ABCDFE S ADFE  S ABCD  AD AE  Vậy H  f    f   3   AD  BC  5.3      23 2 23 Câu 21: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C Lời giải Chọn D  \  2 TXĐ: lim y 1; lim y  x   y x2  3x  x D x   lim y  x  2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x 2 , tiệm cận ngang đường thẳng y 1 Câu 22: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 4a Khoảng cách từ điểm B đến mặt SAC  phẳng  A 2a B 2a C 2a D 2a Lời giải Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD ta có: SO  ( ABCD)  BO  SO ; ABCD hình vng nên BO  AC  BO  ( SAC )  d  B,( SAC )  BO  BD 2 2a N  0;0;13 M  0;5;  12  Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Điểm K    P  : ax  by  z  d 0 cho KOM KON thuộc mặt phẳng Tính a  b  d A B C D  Lời giải Chọn C OM ON 13  OMN cân O   K  P   P KOM KON mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MN   P  chứa điểm O  0;0;0  có VTPT MN  0;  5; 25    0;1;  5   P  : y  z 0  n 2, n   Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh Câu 24: Cho đa giác gồm 2n đỉnh đa giác, xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông Tìm n A n 5 B n 8 C n 4 D n 10 Lời giải Chọn B Ta có đa giác 2n đỉnh tạo n đường chéo qua tâm Với hai đường chéo qua tâm tạo hình chữ nhật Với hình chữ nhật tạo bốn tam giác vng từ đỉnh hình chữ nhật 4.n ! 4.Cn2  2n  n  1 2! n   ! 2n Vậy số tam giác vuông tạo thành từ đa giác đỉnh  2n  !  2n. 2n  1  2n   C23n  3! 2n  3 ! Không gian mẫu là: , 12n  n  1 P  2n  2n  1  2n    2n  1 Xác suất là: , P    15 2n   n 8 2n  Theo đề bài: Câu 25: Trên đoạn A  25  0; 4 , hàm số y  x4  2x2   m đạt giá trị lớn x a Tính m  a B 31 C 25 Lời giải D  33 Chọn D y  x4  x2   m Xét hàm số 0;  Hàm số liên tục đoạn   x 0   0; 4  x 0  y  x3  x 0   x    x    0; 4   x 2  x 2   0;  Ta có y   2  m; y     m; y   34  m y  x4  2x   m Vậy hàm số đạt giá trị lớn 34  m điểm x 4 Mà 34  m 5  m  29 , nên m  a  29   33 A  0; 0;3 B  2;  3;  5 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho điểm 2  P  mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu  S1  :  x  1   y  1   z  3 25 Gọi  S  : x  y  z  x  y  14 0 ; M , N hai điểm thuộc  P  cho MN 1 Giá trị nhỏ với AM  BN là: A B 78  13 C 34 Lời giải D 78  13 Chọn B Các điểm đường trịn giao tuyến có tọa độ nghiệm hệ  S1  :  x  1   y  1   z  3 25  1  2  S  : x  y  z  x  y  14 0   Lấy   trừ  P   Oxy    , ta z 0 hay đường tròn giao tuyến nằm mặt phẳng  P  : z 0 tức P P Dễ thấy A , B nằm khác phía   , hình chiếu A   O , hình chiếu B  P  H  2;  3;   AA MN 1   AM  AN    AA (Oxy ) Lấy A ' cho AA MN Ta có:   : z  0 Oxy  C Gọi   mp qua A song song với mp  Suy A thuộc đường tròn   nằm  A 0;0;3 mp   có tâm  bán kính R 1 Khi AM  BN  AN  BN  AB H  hình chiếu vng Gọi BH  BH  d   oxy  ,     5  8 AB  BH 2  AH 2  82   AH   R  Có góc B điểm mp   Ta AH   AB  BH 2  77  64  13 Vậy AB  78  13 Hay AM  BN  78  13 78  13 Vậy giá trị nhỏ AM  BN 3n  Câu 27: Với n số nguyên dương, gọi a3n  hệ số x khai triển thành đa thức x n   x  2 1 n a3n  26n Tìm khẳng định đúng? A n chia hết cho B n số nguyên tố C n số chia hết cho D n số nguyên âm chia hết cho Lời giải Chọn B  Ta có: n x2 1  n  x  2 i n   2   x3n       x   x  n k n  n   2 C   x 3n   Cni x  2i  Cnk 2k x  k    x k 0 k 0  i 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n    x  C   x  i 0 3n i n n n k n  2i  k   2i  k 3 Ta có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i 0, k 3 i 1, k 1 (vì i, k nguyên) 3n  x  1  x Hệ số khai triển thành đa thức 3 1 Là: a3n  Cn Cn  Cn Cn a3n  26n  2n 2n  3n   Do n nguyên dương  n 5  26n  n  n  x  2 n n 5 có y  f  x Câu 28: Cho hàm số có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt f  x f e  f  x  1 phương trình   A B C Lời giải D Chọn B e f  x   f  x  1  f e f  x   f  x  1    Ta có   e f  x  f  x    1  2 g  t  et  t , t   Xét hàm số g  t  et   0, t    hàm số g  t  đồng biến   hai phương trình (1) (2), phương trình có tối đa nghiệm g   1  1  f  x  0 , dựa vào đồ thị ta có phương trình có nghiệm phân Mặt khác ta có nên biệt y g  t    g   1 1  g     1   c    2;  1 : g  c   Ta có hàm số liên tục     f  x  c, c    2;  1 , dựa vào đồ thị ta có phương trình có nghiệm phân biệt khác Suy nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 29: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Tính giá trị biểu thức A  z12 z2  z1 z22 Lời giải z 2 2i z1  z2  Xét phương trình: z  z  0 có 1,2 , 2 A  z12 z2  z1 z22  z1 z2  z2 z1 16 Câu 30: Cho tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải Gọi I trung điểm BC , AI vng góc với BC Ta có AI đường cao hình chóp AI đường cao tam giác cạnh a ta có AI  a 1 a a a3 V  AI S BCD   3 Câu 31: Cho đường thẳng y 2 x Parabol y x  m ( m tham số dương) Gọi S1 , S diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Tìm m để S1 S2 Lời giải x  m 2 x  x  x  m 0  *  ' 1  m Xét phương trình Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  m  2 x1 x2 S1 S2   ( x  x  m)dx  (2 x  x  m)dx x1 Ta có x13 x3 x3  x12  mx1   x22  mx2   x12  mx1 3 x23   x22  mx2 0  x22  x2  3m 0 ( x2  0) Ta có hệ phương trình:   x 2m  x2  x2  m 0   2   m  m  m  x  x  m      Kết hợp điều kiện suy ra: m  m 0  x2 0   m   x2  