Ôn tập toán 5

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 11 Dạng 11 mx  n a  x  b  x  c  x Phương pháp giải: Biểu diễn: mx  n  (1  x)   (1  x)  (  ).x  (  ) đồng    m   ,  Sau đặt u   x 0, v   x 0, hệ số hệ:     n để đưa phương trình hai ẩn u, v giải cách đưa tích số ẩn phụ khơng hồn tồn (xem u biến số v số ngược lại) Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 160 () Giải phương trình:  x 4  x   x   x  Lời giải Điều kiện:  x 1 Ta có:  x  (1  x)   (1  x) (  ) x     đồng hệ số hệ      2    Khi viết:  x 2(1  x)  (1  x) phương trình     3  1 ()  (1  x)(1  x) 4  x   x  2(1  x)  (1  x) (i ) 2 Đặt u   x 0, v   x 0, (i )  3uv 4v  4u  2u  v (i )  3uv 4v  4u  2u2  v  v  (4  3u)v  2u2  4u 0 Xem phương trình bậc hai với ẩn u v số có:  (4  3u)2  4(2u2  4u) u2  8u  16 (u  4)  3u   u  2u    x 2  x  v   x 0 , suy ra:  Do đó:    x   x  v  3u   u  u  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 0 () Giải phương trình: 3x  4 x    x   x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Long An – Tỉnh Long An Ví dụ 161  Lời giải Điều kiện:  x 1 Ta có: 3x   (1  x)   (1  x) (  ) x     đồng hệ số    3      Khi viết: 3x   (1  x)  2(1  x) hệ phương trình:     1  2 ()   (1  x)  2(1  x) 4 x    x  (1  x)(1  x) (i) 2 Đặt u   x 0, v   x , (i )   u  2v 4v  2u  uv  u2  (2  v) u  v  2v 0 Xem phương trình bậc hai với ẩn u v số 129 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn u (2  v)2  4(4 v  v ) 9 v  12 v  (3 v  2)2   v  3v  2 v u  , suy ra: Do đó:   u   v  3v  2  v     x 2  x x     5    x 2   x x   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  Ví dụ 162 , x 0 Giải phương trình: 3x  4  x   x  ()  x4  Lời giải Điều kiện:  x 1 Bản chất tốn giống hai thí dụ trước thay x x 2 2 Ta có: 3x   (1  x )   (1  x ) (  ) x     đồng hệ số    3      Khi viết: 3x  (1  x )  2(1  x ) và: hệ:     1  2 ()   (1  x )  2(1  x ) 4  x   x  (1  x2 )(1  x ) (i ) Đặt u   x2 0, v   x 0, (i )   u2  2v 4v  2u  uv  u2  (2  v) u  4v  2v 0 có biệt số u (3v  2)2   v  3v  2 v   x 2  x u   x 0 , suy ra:  Do đó:    x 2   x  u   v  3v  2  v   Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 11 BT 306 Giải phương trình: x    x   x   x ( x  ) BT 307 Giải phương trình: x  4  x   x   x ( x  ) BT 308 Giải phương trình: (4  ( x  )  x )  x 1  3x   x 12 Dạng 12 Đặt ba ẩn phụ dựa vào đẳng thức Ý tưởng toán phương pháp giải: 3 3 Xuất phát từ đẳng thức: ( a  b  c ) a  b  c  3( a  b)(b  c )(c  a) 3 3 Khi phương trình có dạng: ( a  b  c ) a  b  c ta khẳng định lượng 3( a  b)(b  c )(c  a) đẳng thức Khi ta cần giải phương trình tích số ( a  b)(b  c )(c  a) 0 Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta xét ví dụ sau: 130 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Ví dụ 163 Giải phương trình: 7x   () x2  x   x  x  2 Đề nghị Olympic 30/04/1999  Lời giải Tập xác định: D  Đặt a  x  1; b  x  x  8; c  x  x  a  b  c 2  3 2 Từ hệ: a  b  c (7 x  1)  ( x  x  8)  ( x  x  1) 8 ( a  b  c )3 a  b  c  3( a  b)(b  c )(c  a)    3( a  b)(b  c)(c  a)  ( a  b)(b  c)(c  a) 0 Suy ra:  x   x2  x   x   x 9  3 2  x  x   x  x    x 1     x 1  x 0  x  x   x   Kết luận: Thế vào (), nghiệm cần tìm x 0, x 1, x 9  a  b 0    b  c 0   c  a 0 Ví dụ 164 Giải:  a  b   b  c   c  a () 1945 x  1975  60 x  15  15  x  2004 x  2005 Học sinh giỏi tỉnh Gia Lai  Lời giải Tập xác định: D  Đặt a  x  1; b  x  x  8; c  x  x  a  b  c  2004 x  2005  3  (a  b)(b  c )(c  a) 0 Suy hệ: a  b  c 2004 x  2005 ( a  b  c )3 a  b  c  3(a  b)(b  c )(c  a)   1945x  1975  60 x  15  a  b  1990 30 1990    b  c   60 x  15  15  x  x  , x  , x   2005 59 1944 3  c  a  15  x  1945 x  1975 1990 30 1990 , x  , x   Kết luận: Thế vào (), nghiệm cần tìm x  2005 59 1944 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 12 ( x  ) BT 309 Giải: x2  x   x2  x   BT 310 Giải: x   x  x  15  x  17 x  3 BT 311 Giải: 3 x  x  2013  BT 312 Giải: x2  x   x2  x   3 x2  x   x  3x  3 x2  13 x  12 3 x2  x  2014  ( x  ) x  2015  2014 BT 313 Giải: x  x  29  3x  10 x  (10  x)( x   3x  1) 131 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn x2 x x 1 x2 ( x  )  x 1     x x2 x2 x x Đề nghị Olympic 30/04/2014 –Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Vĩnh Long BT 314 Giải: 13 Dạng 13 x  m  x n  x  n  x p  x  p  x m  x Trong m, n, p số tự nhiên liên thứ tự Phương pháp giải:  a  m  x 0  Đặt b  n  x 0 , bình phương kết hợp với đề ta hệ là:  c  p  x 0  x m  a ab  bc  ca a  ab  bc  ca m ( a  b)( a  c ) m (1)    (2)  x n  b ab  bc  ca  b  ab  bc  ca n  (a  b)(b  c ) n  x p  c ab  bc  ca c  ab  bc  ca p (b  c )( a  c ) p (3)    (1),(2),(3)   ( a  b)(b  c)( c  a)  mnp  ( a  b)( b  c)(c  a)  mnp (4)  b  c   (4) (4) (4)  , ,  c  a  Lấy (1) (2) (3)   a  b   mnp  mnp b  a    m   n  a  b  mnp  mnp p  p m mnp mnp n  a , b , c  x Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 165 () Giải: x   x   x   x   x   x   x Học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm 2014  Lời giải Điều kiện: x 3 Đặt a   x 0, b   x 0, c   x 0  x 3  a2 ab  bc  ca  Suy ra:  x 4  b ab  bc  ca   x 5  c ab  bc  ca  a  ab  bc  ca 3  b  ab  bc  ca 4  c  ab  bc  ca 5  ( a  b)( a  c ) 3 (1)  (a  b)(b  c ) 4 (2) (b  c )( a  c) 5 (3)  Lấy: (1).(2).(3)   ( a  b)( b  c)( c  a)  60  ( a  b)( b  c)( c  a) 2 15 132 (4) khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  b  c    (4) (4) (4) , ,  c  a  Lập: (1) (2) (3)   a  b   15  15 b  a  15   b 17 15  x  671    60 240 15  ab   15  Kết luận: So điều kiện, phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 166 671  240 Giải: x   x  x   x  x   x  x  () Nhận xét Bài tốn có dạng tương tự thay x x  a   x 0 a2 2  x    Lời giải Điều kiện: x 2 Đặt: b   x 0  b 3  x   c   x 0 c 4  x   x  1  a ab  bc  ca a  ab  bc  ca 1 ( a  b)( a  c) 1 (1)      x  2  b ab  bc  ca  b  ab  bc  ca 2  (a  b)(b  c ) 2 (2)  x  3  c ab  bc  ca c  ab  bc  ca 3 (b  c)( a  c) 3 (3)    Lấy: (1).(2).(3)   ( a  b)( b  c)( c  a)  6  ( a  b)( b  c)( c  a)   b  c   (4) (4) (4)  , ,  c  a  Lập: (1) (2) (3)   a  b    b  a     a  b   (4)  b   x  47  12 24 Kết luận: So với điều kiện, thử lại phương trình thấy x  47 khơng thỏa 24 mãn nên phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét Do việc biến đổi giải biến đổi hệ Do giải xong ta cần thử lại nghiệm BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 13 ( x  ) BT 315 Giải: x   x  x   x  x   x  x BT 316 Giải: x   x 10  x   x  x   x  x  133 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đoàn 14 Dạng 14 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích hệ Phương pháp giải: Ở trên, nêu dạng toán đặt ẩn phụ với dạng tốn có dấu hiệu nhận dạng tương đối Ở dạng này, tơi xin trình bày số cách đặt ẩn phụ dạng khác mà không theo nguyên tắc định cả, chủ yếu dựa vào tính chủ quan người đề Hiển nhiên cách giải cần phải địi hỏi chút kinh nghiệm phán đốn xác người giải Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta xét ví dụ sau: () Giải phương trình: ( x  3)  x  x  48 x  24 Ví dụ 167 Olympic 30/04/2013 Điều kiện:  x  x  48 0   12 x 4 2  Lời giải Đặt ẩn u, v đưa đẳng thức: (u v) k , ( k const ) u2  x  x  48 (1)  2 (2)  v x  x  2uv 2 x  48 (3)  (phương trình (3) có nhân số hai vế () )  u  v 3 (1)  (2)  (3), (u  v)2 9 32    Lấy suy ra:  u  v  u   x  x  48 0   Đặt: v x   Với  Với u  v 3, suy ra:  x 0  x  x  48  x    x    x  x  24 0  x  x  48   x  x   31 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x   , x    Lời giải Đưa dạng A B2  A B 31 ()  2( x  3)  x  x  48 2 x  48  (  x  x  48)  2( x  3)  x  x  48  x  x  9   x2  x  48  x  (  x  x  48  x  3) 3      x2  x  48  x   2  x      x   31 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x   , x    Lời giải Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ()  2( x  3)  x  x  48 2 x  48  (  x  x  48)  2( x  3)  x  x  48  x  x 0 2 Đặt t   x2  x  48 0, suy ra: t  x  x  48 Khi đó: 2 (i )  t  2( x  3) t  x  x 0 có t ( x  3)  ( x  x) 9 134 (i ) 31 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  t  x , suy ra: Do đó:   t  x    x2  x  48  x  x         x2  x  48  x   x   31   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x   , x   31  Lời giải Liên hợp sau sử dụng casio tìm nhân tử x  x  24 ()  ( x  x  24)  ( x  3)   x2  x  48  x  0 (i )    x  x  48  x 0  x 2  không nghiệm (i ) 2( x  3)( x2  x  24) 0 Nếu x 2  (i)  ( x  x  24)   x2  x  48  x Nếu  x2  x  24 0   x  x  48 x   x    x   31 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x   , x   Ví dụ 168 Giải phương trình: ( x  2)  x2  x  x  31 () Điều kiện:  x  x  0   x 1  Lời giải Đặt ẩn u, v đưa đẳng thức: (u v)2 k , ( k const) u   x2  x  0  Đặt  v x  u2  x  x   2  v x  x  2uv 2 x   (1) (2) (3)  u  v 1  Lấy (1)  (2)  (3), suy ra: (u  v) 1    u  v   x   Với u  v 1, suy ra:  x  x  x     x   x  x  0  x   Với u  v  1, suy ra:  x  x  x     x    x  x  0 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  1, x    Lời giải Đưa dạng A B2  A B ()   2( x  2)  x2  x   x  0  (  x  x  3)  2( x  2)  x  x   x  x  1   x2  x   ( x  2) 1    x2  x   ( x  2) 12       x2  x   ( x  2)     x  x  x   x         x  x  x  x       Lời giải Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 135 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn ()   2( x  2)  x2  x   x  0  (  x  x  3)  2( x  2)  x  x   x  x  0 (i ) Đặt t   x  2x  0, (i )  t  2( x  2) t  x  x  0 có:   x  x  x   x        x  x  x   x     Lời giải Liên hợp sau nhẩm nghiệm x   t x  t 1     t x  ()  ( x  2)(  x  x   2)  ( x  1) 0 ( x  2)(  x  x  1)  x2  2x    ( x  1) 0   ( x  2)( x  1)2  ( x  1) 0  x2  2x    x    x  3x   ( x  1)   0    2   (i)   x  x  x  x  x2  x     Do sử dụng table tìm nhân tử x  x  phương trình (i ) nên: (i )  ( x  x  1)    x  x   ( x  1)  0 (ii )     x   Xét:  x  x   ( x  1)    x   2 x  x  0 không thỏa phương trình (ii )  Với  x  x   ( x  1) 0  x   (ii )  ( x2  x  1)  2( x  x  1)  x2  x   x  nghiệm , thì: 0  x  2x  0    x  1   x  x   x  : VN o Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  1, x   Nhận xét Dạng tổng quát ( mx  n) ax  bx  c px  q , ( a  0), ta 2 thường đặt ẩn phụ u, v để đưa dạng (u v) k , ( k const ), tương ứng với lời giải Nếu giải phương pháp ta hồn tồn giải cách 2 (đưa dạng A B  A B) cách (đặt ẩn phụ không hồn tồn) Cịn cách giải phương pháp liên hợp tỏ mạnh mẽ, đòi hỏi hỗ trợ máy tính bỏ túi kinh nghiệm tách ghép giải toán Nhưng vấn đề 2 đặt ẩn phụ mà không đưa dạng (u v) k , ( k const ) xử lý ?! Để trả lời câu hỏi này, ta tìm hiểu ví dụ sau: Ví dụ 169 136 Giải phương trình: ( x  1) x2  x  9 x  39 () khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Điều kiện: x  x  0  x  x 1 2  Lời giải Đặt hai ẩn phụ đưa dạng: ( a  m.b)2  f ( x)  a x  x  (1) a x   2   4b 8 x  28 x  36 (2) Đặt  b  x  x  0 4 ab 36 x  156 (3)   a  2b 3x  11 2  Lấy (1)  (2)  (3)  ( a  2b) 9 x  66 x  121 (3 x  11)    a  2b  3x  11  Với a  2b 3 x  11  x   2 x  x  3 x  11  x  x  x   x   x   145      x   2 2 x  x  x  10 x  25  x  3x  34 0  Với a  2b  x  11   x  x  x   x    : VN o 2 x  17 x  45 0 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm phương trình x   145  2 Bình luận Để đưa dạng ( a  m.b)2  f ( x) , ta cần nhân thêm hệ số phương trình (2) để cộng (1) với (2) hệ số trước x số phương (1, 4,9,16, ) khả thấp xuất hiện dạng: ( a  m.b)2  f ( x) Cách đề dạng chủ yếu dựa vào tính chủ quan người đề  Lời giải Đặt hai ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II với ba biến ()  ( x  5)2  ( x  x  14) ( x  1) ( x  1)( x  5)  ( x  x  14) u x   Đặt  v  ( x  1)( x  5)  ( x  x  14) 0 (i) 2 u  ( x  x  14) ( x  1) v  2 v  ( x  x  14) ( x  1) u   u v  u2  v ( x  1)( v  u)  (u  v)(u  v  x  1) 0     u  v  x  0  x   145  Với u v , suy ra: x  x  x     x   x  x  34    Với u  v  x  0, x2  x   x  : vô nghiệm Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm phương trình x   145  n Bình luận Bài tốn có dạng  f ( x)  b( x) a( x) n a( x) f ( x)  b( x) ta tìm hiểu dạng 7: đưa hệ đối xứng ba ẩn Nó khác với hai ví dụ trước hệ số trước x thức số dương ( a  0) mà ta cần phải phân biệt 137 Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn Ví dụ 170 Giải phương trình: 3x  x   2( x  1) x  3x  0 () x 1  Lời giải Đặt ẩn u, v đưa đẳng thức: (u v)2 k , ( k const) Điều kiện: x  3x  0  x  u x   Đặt  v  x  3x  0 u2 x  x    2 v 2 x  x  u2  v 3x  5x   2uv  x  x    u  v 2  (u  v)2 4     u  v    41  x 3 x  3x  3  x    x    x  x  0  x   Với u  v  2, suy ra: x  3x    x   : vô nghiệm  x  x 0  Với u  v 2, suy ra: Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x    41   Lời giải Đưa dạng A B2  A B ()  (2 x2  x  1)  2( x  1) x2  x   x  x  4  x  3x  3  x   41  ( x  3x   x  1)2 2    x   2  x  3x   x   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x    41   Lời giải Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ()  (2 x2  3x  1)  2( x  1) x2  3x   x2  x  0 (i) Đặt t  x2  3x  0, (i )  t  2( x  1) t  x  x  0 có  t 4  t  x  3x  3  x   41  x   Suy ra:  2  t  x  3x   x     41   Lời giải Liên hợp sau sử dụng casio tìm nhân tử x  3x  (i) ()  ( x  3x  8)  2( x  1)  x  3x   ( x  3)  0   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x   Xét 138 x  3x   ( x  3) 0   x 3 x  x  x    : VN o  x  3x  0