(Luận văn thạc sĩ) một trường hơp tổng quát của các uj vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HOÀNG THỨ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA CÁC U J-VÀNH h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HOÀNG THỨ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA CÁC U J-VÀNH h Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn : PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Mục lục Một số ký hiệu i Mở đầu Chương Một số kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết liên quan Chương Một đặc biệt hóa Jacobson vành 10 Biểu diễn ∆(R) tính chất 10 2.2 Mở rộng toán tử ∆ cho vành khơng có đơn vị 16 h 2.1 Chương Các đặc trưng ∆U -vành 20 3.1 Các tính chất tổng quát ∆U -vành 20 3.2 Một vài tính chất đại số ∆U -vành 25 3.3 Tính chất ∆U lớp vành 27 3.4 Mở rộng Dorroh mở rộng ∆U -vành 30 3.5 Các vành nhóm 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ i i Một số ký hiệu Tập phần tử khả nghịch vành R J(R) Căn Jacobson vành R N (R) Tập lũy linh vành R R/I Vành thương R theo I Z(R) Tâm vành R R[x] Vành đa thức S◦ Tập phần tử tựa khả nghịch vành S Sˆ Vành sinh S ∪ {1} Mn (R) Vành ma trận cấp n Tn (R) Vành ma trận tam giác T (R, M ) Mở rộng tầm thường R M R[D, C] Vành mở rộng đuôi Z⊕R Vành mở rộng Dorroh ∇ Iđêan mở rộng h U (R) Mở đầu Lý thuyết vành môđun lý thuyết bản, đóng vai trị chủ chốt lĩnh vực đại số Do việc nghiên cứu lớp vành tính chất đặc trưng lớp vành cần thiết, góp phần hiểu rõ thêm cấu trúc vành ứng dụng vào lĩnh vực khác Tác giả Cˇalugˇareanu người giới thiệu U U -vành định nghĩa vành với U (R) = + N (R), U (R) tập phần tử khả nghịch R N (R) tập phần tử lũy linh R Tiếp tục nghiên cứu cấu trúc h vành thông qua Jacobson, năm 2007 tác giả Leroy-Matczuk Ko¸san nghiên cứu lớp vành thỏa mãn điều kiện U (R) = + J(R) Họ thu nhiều kết cấu trúc lớp vành Từ đến nay, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng chúng Với mong muốn góp phần làm phong phú thêm cấu trúc đại số, cung cấp kiến thức có liên quan cho hướng nghiên cứu Lý thuyết vành môđun, chọn đề tài "Một trường hợp tổng quát U J -vành" Luận văn tập trung nghiên cứu tổng quan đặc biệt hóa Jacobson vành Từ đó, chúng tơi tìm hiểu tính chất lớp vành thơng qua đặc biệt hóa Mục đích đề tài tìm hiểu đặc trưng ∆U -vành, tính chất tổng quát vài tính chất đại số ∆U -vành Tìm hiểu tính chất ∆U lớp vành cụ thể Luận văn hệ thống, làm rõ số vấn đề sau: - Định nghĩa tính chất ∆(R) Nghiên cứu toán tử ∆ cấu trúc vành chuẩn Mở rộng định nghĩa tính chất ∆ với vành khơng có đơn vị - Định nghĩa U J -vành, ∆U -vành, đặc trưng phương trình + ∆(R) = U (R) với U (R) tập phần tử khả nghịch R ∆(R) = {x ∈ R | x + U (R) ⊆ U (R)} Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Luận văn chia làm ba chương với nội dung sau Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày lại số khái niệm sở số kết liên quan Chương Một đặc biệt hóa Jacobson vành Trong chương chúng tơi trình bày tập ∆(R), tập có liên hệ chặt chẽ với tập Jacobson R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Trình bày tính chất ∆(R), nêu họ vành mà ∆(R) = J(R) Phần cuối chương nêu số ví dụ mà ∆(R) 6= J(R) h Chương Các đặc trưng ∆U -vành Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất tổng quát, đại số ∆U -vành Trình bày số tính chất ∆U lớp vành, mở rộng ∆U -vành phần cuối chương vành nhóm Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Trương Công Quỳnh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, Thầy tận tình giúp đỡ truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm trình nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Tốn Thống kê, Phịng Sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập nghiên cứu Cuối tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm hiểu cấu trúc vành để tiếp tục khai thác sâu ứng dụng vào lĩnh vực khác Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức vành mơđun Trình bày số kết liên quan điều kiện tương đương, tính chất U J -vành Các khái niệm chương tham khảo tài liệu [2], [8], [10] [11], [19] h 1.1 Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm aben với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép toán nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz, với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị 6= Định nghĩa Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép toán A) Định nghĩa Iđêan trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa iđêan trái, vừa iđêan phải gọi iđêan vành R Cho I iđêan vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R Định nghĩa Tập thương R/I với hai phép toán xác định h lập thành vành gọi vành thương R theo I Định nghĩa Cho R vành có đơn vị 1R Một R-mơđun phải M bao gồm (M, +) nhóm aben tốn tử · : M × R → M thỏa mãn (1) (x + y) · r = x · r + y · r, (2) x · (r + s) = x · r + x · s, (3) (xr) · s = x · (rs), (4) x · 1R = x, r, s ∈ R x, y phần tử tùy ý M Lúc R gọi vành sở, M R-môđun phải ta thường ký hiệu MR Tương tự ta đinh nghĩa R-mơđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S -bên trái (ký hiệu S MR ) a) M R-môđun phải M S -môđun trái b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Định nghĩa Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Định nghĩa (1) Môđun MR gọi đơn M 6= với A ≤ M A = A = M , nghĩa M 6= M có hai môđun M (2) Vành R gọi đơn R 6= với A ≤R RR A = A = 0, nghĩa R 6= R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A 6= với B ≤ M thỏa mãn B < A B = h (4) Tương tự, mơđun A ≤ M gọi môđun cực đại A 6= M với B ≤ M thỏa mãn B > A B = M Bổ đề 1.1 MR đơn M 6= ∀m ∈ M, m 6= M = mR Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cộng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử M/N lớp ghép x + N N M phép toán cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành môđun phải Định lý 1.2 Cho MR N ≤ M (i) Quy tắc M/N × R → M/N cho (m + N, r) → (m + N )r = mr + N phép nhân mơđun (ii) Nhóm aben M/N với phép tốn nhân mơđun trở thành Rmơđun phải Định nghĩa M/N xác định Định lý 1.2 gọi môđun thương môđun M môđun N 1.2 Một số kết liên quan Trong toàn luận văn, ký hiệu J(R) Jacobson vành R U (R) tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R có đơn vị Trong [8], tác giả định nghĩa vành R gọi U J -vành + J(R) = U (R) Cho S vành, khơng thiết phải có đơn vị, vị nhóm S◦ = (S, ◦) S tập hợp S với phép tốn ◦:S×S →S h (x, y) 7→ x ◦ y = x + y − xy Mặt khác, S vành có đơn vị, S◦ đẳng cấu với vị nhóm (S, ) R với đẳng cấu ◦ : (S, ◦) → (S, ) x 7→ − x Cụ thể, y ∈ S khả nghịch vị nhóm S◦ (được gọi phần tử tựa khả nghịch hay phần tử tựa quy) − y phần tử khả nghịch vành S nhóm phần tử khả nghịch U (S) S đẳng cấu với nhóm U◦ (S) phần tử tựa khả nghịch S Phần tử nghịch đảo y S◦ gọi tựa nghịch đảo y Ta biết I = J(S) iđêan lớn S thỏa mãn U◦ (I) = I Bổ đề 1.3 ([8], Bổ đề 1.1) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) U (R) = + J(R), hay R U J -vành; 25    A M N B  Morita context tầm thường theo [7] Định lý 3.5 Cho M (R, R) song môđun Vành R ∆U -vành T (R, M ) ∆U -vành  Chứng minh (:⇒) Lấy u¯ =   u m u  ∈ U (T (R, M )) = T (U (R), M ), u ∈ U (R) m ∈ M Ta u¯ − ∈ ∆(T (R, M )) Rõ ràng, u ∈ U (R) u = + a ∈ + ∆(R) với a thuộc ∆(R) Suy     a m +  ∈ T (∆(R), M ) = ∆(T (R, M )) a ¯= a Vì T (R, M ) ∆U -vành (⇐:) Điều ngược lại dễ thấy R M giác dạng  S h Hệ 3.6  Giảsử M (R, S) song mơđun Khi vành ma trận tam  ∆U -vành R S ∆U -vành Hệ 3.7 R ∆U -vành vành ma trận tam giác Tn (R) ∆U -vành, n ≥ 3.2 Một vài tính chất đại số ∆U vành Mệnh đề 3.8 Cho R vành 2-nguyên thủy Nếu vành đa thức R[x] ∆U -vành, R ∆U -vành Chứng minh R vành 2-nguyên thủy, theo Mệnh đề 2.18, ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Mặt khác ta có J(R[x]) = I[x] với I iđêan lũy linh R Bây giờ, ta giả sử R[x] ∆U -vành Khi U (R) ⊆ U (R[x]) = + ∆(R[x]) = + ∆(R) + I[x], 26 điều có nghĩa U (R) ⊆ + ∆(R) + I = + ∆(R) ⊆ U (R), I iđêan lũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do U (R) = + ∆(R), hay R ∆U -vành Mệnh đề 3.9 Cho R vành m ∈ N (1) R ∆U -vành R[x]/xm R[x] ∆U -vành (2) R ∆U -vành vành chuỗi lũy thừa R[[x]] ∆U -vành Chứng minh (1) Điều suy từ Mệnh đề 3.2 (5), từ xR[x]/xm R[x] ⊆ J(R[x]/xm R[x]) (R[x]/xm R[x])/(xR[x]/xm R[x]) ∼ = R (2) Ta xét (x) = xR[[x]] iđêan R[[x]] Khi (x) ⊆ J(R[[x]]) Vì R∼ = R[[x]]/(x) nên (2) suy từ Mệnh đề 3.2 (5) Bổ đề 3.10 Cho R, S vành i : R → S,  : S → R đồng cấu vành thỏa mãn i = idR Khi đó, khẳng định sau (1) (∆(S)) ⊆ ∆(R) h (2) Nếu S ∆U -vành, R ∆U -vành (3) Nếu R ∆U -vành ker  ⊆ ∆(S), S ∆U -vành Chứng minh (1) Dễ thấy, (U (S)) ⊆ U (R) U (R) = i(U (R)) ⊆ (U (S)) nên (U (S)) = U (R) Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), (a) + (U (S)) ⊆ (U (S)) (a) + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa (a) ∈ ∆(R) Do đó, (∆(S)) ⊆ ∆(R) (2) Cho S ∆U -vành Khi U (S) = + ∆(S), theo (1) U (R) = (U (S)) = + ∆(S) ⊆ + ∆(R) Do U (R) = + ∆(R) (3) Giả sử R ∆U -vành Ta phải −1 (U (R)) ⊆ + ∆(S), điều có nghĩa U (S) = 1+∆(S) Thật vậy, với y ∈ −1 (U (R)), ta lấy (y) ∈ U (R) = + ∆(R), R ∆U -vành Suy y − = i(x) + v , v tùy ý thuộc ker() x ∈ ∆(R) Lấy tùy ý u khả nghịch thuộc S Lưu ý x+U (R) ⊆ U (R) Ta có 27 (i(x) + u) = x + (u) ∈ x + (U (S)) = x + U (R) ⊆ U (R) = (U (S)) i(x)+ u = u0 + a u0 ∈ U (S) a ∈ ker() Suy y − + u = u0 + a + v ∈ U (S) + ker() ⊆ U (S) + ∆(S) theo giả thuyết Từ U (S) + ∆(S) ⊆ U (S) với vành có đơn vị S , ta có y − + u ∈ U (S) với u ∈ U (S) Điều có nghĩa y − ∈ ∆(S) hay y ∈ + ∆(S) Ta có điều phải chứng minh Cho vành R nhóm G, ta ký hiệu vành nhóm R G RG Một P phần tử tùy ý α ∈ RG có dạng α = g∈G rg g rg ∈ R Giả sử R vành M vị nhóm, RM gọi vành vị nhóm định nghĩa giống vành nhóm Mệnh đề 3.11 Cho R vành, M vị nhóm RM vành vị nhóm Nếu RM ∆U -vành R ∆U -vành Chứng minh Ta xét quan hệ bao hàm ι : R → RM (ι(r) = re với e phần tử đơn vị vị nhóm M )  : RM → R đồng cấu mở rộng xác định
P P r m = m∈M rm ([9] Mệnh đề II.3.1) Khi ta đủ điều kiện để áp  m m∈M h dụng Bổ đề 3.10 (2) Ta có kết quả, vành đa thức R[X] ∆U -vành R ∆U -vành Với vành đa thức vành giao hoán, ta kết tốt Ta biết R vành giao hoán có đơn vị f = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x] f khả nghịch R[x] a0 khả nghịch R a1 , a2 , , an phần tử lũy linh trong R Từ nhận xét ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.12 Cho R vành giao hốn có đơn vị Vành đa thức R[x] R ∆U R ∆U 3.3 Tính chất ∆U lớp vành Một phần tử r ∈ R gọi ∆-clean r biểu diễn thành r = e + t e phần lũy đẳng R t ∈ ∆(R) Vành R gọi ∆-clean phần tử R ∆-clean Chú ý, phẩn tử ∆-clean clean 28 Mệnh đề 3.13 Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R ∆U -vành; (2) Tất phần tử clean R ∆-clean Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R ∆U -vành Lấy r ∈ R clean, r = e + u Vì R ∆U -vành, ta có u = + a với a ∈ ∆(R) Lưu ý − 2e ∈ U (R) = + ∆(R), 2e ∈ ∆(R) Khi 2e + a ∈ ∆(R) r = e + + a = (1 − e) + (2e + a) biểu diễn ∆-clean r (2) ⇒ (1) Lấy u ∈ U (R) Khi u clean nên theo giả thiết u ∆-clean Giả sử u = e + a biểu diễn ∆-clean u với a ∈ ∆(R) e lũy đẳng Ta có = eu−1 + au−1 suy eu−1 = − au−1 khả nghịch R Vì e = Điều nghĩa u = + a ∈ + ∆(R) U (R) = + ∆(R) Định lý 3.14 Cho R vành, điều kiện sau tương đương (1) R clean ∆U -vành; h (2) Nếu a ∈ R thỏa mãn a − a2 ∈ ∆(R), tồn tử phẩn tử lũy đẳng e ∈ R cho a − e ∈ ∆(R); (3) R ∆-clean ∆U -vành; (4) R vành ∆-clean Chứng minh (1) ⇔ (3) ⇔ (4) suy từ Mệnh đề 3.13 (1) ⇒ (2) Giả sử R clean ∆U -vành Khi đó, a ∈ R a − e ∈ ∆(R), với e lũy linh Tiếp theo ta chứng minh a − a2 ∈ ∆(R) Theo Mệnh đề 3.13, giả sử a = e + j biểu diễn ∆-clean a Khi a − a2 = (j − j ) − (ej + je) Chú ý j − j ∈ ∆(R) 2e ∈ ∆(R) Bây ta chứng minh ej + je ∈ ∆(R) Thậy vậy, ta có [ej(1 − e)]2 = = [(1 − e)je]2 theo Mệnh đề 3.2 ta ej − eje = ej(1 − e) ∈ ∆(R) 29 je − eje = (1 − e)je ∈ ∆(R) Suy je − ej ∈ ∆(R) Vì ej + je = 2ej + (je − ej) ∈ ∆(R) (2) ⇒ (3) suy từ định nghĩa Rõ ràng Hệ 2.16 suy từ Định lý 3.14 Nghĩa vành đơn vị thỏa mãn tính chất ∆(R) = Cho vành R, phần tử a ∈ R gọi phần tử quy mạnh tồn x ∈ R thỏa mãn a = a2 x Một vành mà phần tử phần tử quy mạnh gọi vành quy mạnh Định lý 3.15 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành quy; (2) R ∆U -vành quy mạnh; h (3) R ∆U -vành quy đơn vị; (4) R thỏa mãn tính chất x2 = x với x ∈ R (R vành Boolean) Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ R quy, iđêan phải khác khơng chứa phần tử lũy đẳng khác không Ta R vành rút gọn R aben (nghĩa là, phần tử lũy đẳng R tâm) Giả sử R vành rút gọn, tồn phần tử khác khơng a ∈ R thỏa mãn a2 = Theo Định lý 1.9, có phần tử lũy đẳng e ∈ RaR thỏa mãn eRe ∼ = M2 (T ), T vành khơng tầm thường Theo Mệnh đề 3.4 M2 (T ) ∆U -vành, điều mâu thuẫn Định lý 3.3 (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (4) Cho x ∈ R Khi x = ue u ∈ U (R) e2 = e ∈ R Do R ∆U -vành, nên có u = hay y x = e, x lũy đẳng Chúng ta kết luận R vành Boolean (4) ⇒ (1) Hiển nhiên 30 Một vành R gọi nửa quy R/J(R) quy phần tử lũy đẳng nâng lên modulo J(R) Vành R gọi vành biến đổi phần tử a ∈ R, tồn e2 = e ∈ aR thỏa mãn − e ∈ (1 − a)R Hoàn tồn tương tự, có kết sau: Định lý 3.16 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành nửa quy; (2) R ∆U -vành biến đổi; (3) R/J(R) vành Boolean Hệ 3.17 Cho R ∆U -vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) R vành nửa quy; (2) R vành biến đổi; h (3) R vành clean 3.4 Mở rộng Dorroh mở rộng ∆U -vành Mệnh đề 3.18 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành (2) ∆(R) = U◦ (R) (3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm 31 Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R ∆U -vành Mỗi x ∈ ∆(R), ta có − x ∈ U (R), x = − (1 − x) ∈ U◦ (R) Suy ∆(R) ⊆ U◦ (R) Ngược lại, y ∈ U◦ (R) − y ∈ U (R) = + ∆(R) Suy y ∈ ∆(R) hay ∆(R) = U◦ (R) (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm Khi u ∈ U (R), tồn x ∈ ∆(R) thỏa mãn u = ε(x) = − x Điều nghĩa U (R) ⊆ + ∆(R) hay U (R) = + ∆(R) Nếu R vành, mở rộng Dorroh vành có đơn vị Z ⊕ R, với phép toán cộng cộng theo thành phần phép nhân cho (n1 , r1 )(n2 , r2 ) = (n1 n2 , r1 r2 + n1 r2 + n2 r1 ) Chú ý Cho R vành có đơn vị Khi (1) u ∈ U (R) − u ∈ U◦ (R) (2) (1, u − 1) ∈ U (Z ⊕ R) với u ∈ U (R) (3) (1, −x)(1, −y) = (1, −x ◦ y) (−1, x)(−1, y) = (1, −x ◦ y) với x, y ∈ R h Định lý 3.19 Cho R vành có đơn vị Khi điều kiện sau tương đương (1) Mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành; (2) R ∆U -vành Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy u ∈ U (R) Khi − u ∈ U◦ (R) Tồn v ∈ R thỏa mãn (1 − u) ◦ v = = v ◦ (1 − u) Khi ta có (1, u − 1)(1, −v) = (1, −(1 − u))(1, −v) = (1, −(1 − u) ◦ v) = (1, 0) = (1, −v)(1, u − 1) Điều nghĩa (1, u − 1) ∈ U (Z ⊕ R) Vì Z ⊕ R ∆U -vành, (1, u − 1) ∈ + ∆(Z ⊕ R) (0, u − 1) ∈ ∆(Z ⊕ R) Tiếp theo, ta U (R) = + ∆(R) Thật vậy, t ∈ U (R), ta có + t ∈ U◦ (R), (1 + t) ◦ s = = s ◦ (1 + t) với s ∈ R Khi (−1, + t)(−1, s) = (1, −(1 + t) ◦ s) = (1, 0) = (−1, s)(−1, + t) 32 Do (−1, + t) ∈ U (Z ⊕ R) Theo định nghĩa ∆, ta có (0, u − 1) + (−1, + t) ∈ U (Z ⊕ R) (−1, u + t) ∈ U (Z ⊕ R) Đặt x = u + t Khi đó, (−1, x) ∈ U (Z ⊕ R) (1, −x) ∈ U (Z ⊕ R) Suy tồn (1, −y) ∈ Z ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Ta có x ◦ y = = y ◦ x nên x ∈ U◦ (R) Vì − x ∈ U (R) nên x − = u + t − ∈ U (R) Suy u + t − = (u − 1) + t ∈ U (R) với t ∈ U (R) Điều nghĩa u − ∈ ∆(R), u ∈ + ∆(R) (2) ⇒ (1) Giả sử R ∆U -vành Ta mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành, nghĩa U (Z ⊕ R) = + ∆(Z ⊕ R) Lấy ω ∈ U (Z ⊕ R) Khi đó, ω có dạng ω = (1, a) ω = (−1, b) với a, b ∈ R Trường hợp ω = (1, a) ∈ U (Z ⊕ R): Lấy x = −a, tồn (1, −y) Z ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Điều có nghĩa x ◦ y = = y ◦ x x ∈ U◦ (R), + a = − x ∈ U (R) Từ R ∆U -vành, + a ∈ + ∆(R) Vì a ∈ ∆(R) a + U (R) ⊆ U (R) h Tiếp theo ta chứng minh (1, a) ∈ + ∆(Z ⊕ R), nghĩa ta chứng minh (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Với α ∈ U (Z ⊕ R), α có dạng (1, u) (−1, v) với u, v ∈ R Nếu α = (1, u), từ chứng minh ω ta có + u ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U (R), ta lấy a + + u ∈ U (R), −(a + u) ∈ U◦ (R) Lấy b ∈ R với (−(a + u)) ◦ b = = b ◦ (−(a + u)) Đặt c = −(a + u) Khi c ◦ b = b ◦ c (1, a + u)(1, −b) = (1, −c)(1, −b) = (1, −b ◦ c) = (1, 0) = (1, −b)(1, a + u) Ta suy (1, a + u) ∈ U (Z ⊕ R) Hơn nữa, ta có (0, a) + α = (1, a + u) ∈ U (Z ⊕ R), nghĩa (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Nếu α = (−1, v) ∈ U (Z ⊕ R), (−1, v)(−1, d) = (1, 0) = (−1, d)(−1, v) với d ∈ R Ta suy v ◦ d = = d ◦ v = v ∈ U◦ (R), − v ∈ U (R) Khi đó, 33 v − ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U (R), ta có a + v − ∈ U (R) − (a + v) ∈ U (R) Do đó, a + v ∈ U◦ (R) Nghĩa tồn e ∈ R thỏa mãn (a + v) ◦ e = = e ◦ (a + v), (−1, a + v)(−1, e) = (1, −(a + v) ◦ e) = = (−1, e)(−1, a + v) Điều có nghĩa (−1, a + v) ∈ U (Z ⊕ R) Hơn nữa, ta có (0, a) + α = (−1, a + v) ∈ U (Z ⊕ R) Do đó, (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Trường hợp ω = (−1, a) ∈ U (Z ⊕ R): Tương tự Trường hợp Cho C vành vành D, tập hợp R[D, C] := {(d1 , , dn , c, c ) : di ∈ D, c ∈ C, n ≥ 1}, với phép cộng phép nhân định nghĩa theo thành phần gọi vành mở rộng đuôi ký hiệu R[D, C] Mệnh đề 3.20 R[D, C] ∆U -vành D C ∆U -vành Chứng minh (:⇒) Đầu tiên ta chứng minh D ∆U -vành Lấy u tùy ý thuộc h U (D) Khi u¯ = (u, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]) Theo giả thuyết, u¯ ∈ 1+∆(R[D, C]), (u − 1, 0, 0, 0, ) + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C]) Do đó, với v ∈ U (D), (u − + v, 1, 1, 1, ) = (u − 1, 0, 0, 0, ) + (v, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]) Vì u − + v ∈ U (D), nghĩa u − ∈ ∆(D) u ∈ + ∆(D) Để C ∆U -vành, ta lấy v ∈ U (C) thỏa mãn v¯ = (1, , 1, v, v, ) ∈ U (R[D, C]) chứng minh (⇐:) Giả sử D C ∆U -vành Lấy u¯ = (u1 , u2 , , un , v, v, ) ∈ U (R[D, C]), ui ∈ U (D) với ≤ i ≤ n v ∈ U (C) ⊆ U (D) Ta u¯ ∈ ∆(R[D, C]) u¯ − + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C]) Thật vậy, tất a ¯ ∈ (a1 , a2 , , am , b, b, ) ∈ U (R[D, C]) ∈ U (D), ≤ i ≤ m b ∈ U (C) ⊆ U (D) Lấy k = max{m, n} Khi đó, ta có u1 , u2 , , un ∈ U (D), v ∈ U (C) ⊆ U (D) ta suy u1 − + U (D), u2 − + U (D), , un − + U (D) ⊆ U (D), 34 v − + U (D) ⊆ U (D) v − + U (C) ⊆ U (C) Ta có u¯ − = (u1 − 1, u2 − 1, , un − 1, un+1 − 1, , uk − 1, v − 1, v − 1, ), với uj = v j ≥ k , a ¯ = (a1 , a2 , , am , am+1 , , ak , b, b, ), với al = b với l ≥ m Khi ta có u¯ − + a ¯ = (u1 − + a1 , u2 − + a2 , , uk − + ak , v − + b, v − + b, ) Lưu ý ui − + ∈ U (D) với ≤ i ≤ k v − + b ∈ U (C) Ta suy u¯ − + a¯ ∈ R[U (D), U (C)] = U (R[C, D]) Vì u¯ − ∈ ∆(R[D, C]) u¯ ∈ + ∆(R[D, C]), hay R[D, C] ∆U -vành Các vành nhóm h 3.5 P P Ánh xạ ε : RG → R cho ε( g rg g) = g rg ánh xạ mở rộng Iđêan ∇(RG) = ker(ε) gọi iđêan mở rộng Định lý 3.21 Cho G nhóm hữu hạn với cấp + 2n R ∆U -vành Khi RG ∆U -vành iđêan mở rộng ∇(RG) ∆U -vành Chứng minh Đặt ∇ = ∇(RG) Giả sử G nhóm hữu hạn có cấp + 2n R ∆U -vành Theo Mệnh đề 3.2, ta có ∈ ∆(R), + 2n ∈ U (R) Khi RG có biểu diễn RG = ∇ ⊕ H với H ∼ = R theo [4] Đặt ∇ = eRG H = (1 − e)RG Rõ ràng e phần tử tâm RG Nếu RG ∆U -vành, ∇ = eRG ∆U -vành theo Mệnh đề 3.4 Ngược lại, giả sử ∇ = eRG ∆U -vành Vì H ∼ = R nên H ∆U -vành Theo Bổ đề 2.1, RG ∆U -vành Một nhóm gọi hữu hạn địa phương nhóm sinh hữu hạn phần tử hữu hạn 35 Bổ đề 3.22 Nếu G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành với ∆(R) lũy linh, ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Chứng minh Giả sử G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành Khi ¯ := R/J(R) ∆U -vành Từ ∆(R) lũy linh, ∈ N (R) ¯ Suy ∇(RG) ¯ ⊆ N (RG) ¯ R ¯ theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇(RG) iđêan lũy linh chứa ¯ Ta kiểm tra J(R)G ⊆ J(RG), J(RG) J((R/J(R))G) ∼ = J(RG/J(R)G) = J(RG)/J(R)G Do ∇(RG) ⊆ J(RG) ⊆ ∆(RG) Định lý 3.23 Cho R ∆U -vành G 2-nhóm hữu hạn địa phương Nếu ∆(R) lũy linh, RG ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (RG) Khi ε(u) = + ε(u − 1) ∈ U (R) theo Bổ đề 3.10 (1) áp dụng cho ánh xạ mở rộng ε i Vì R ∆U -vành nên tồn h j ∈ ∆(R) thỏa mãn ε(u) = + j Theo Bổ đề 3.10 (1) ta có ε(u − + j) = hay u − + j ∈ ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Do u ∈ − j + ∆(RG) suy u ∈ + ∆(RG) Hệ 3.24 Cho R vành hoàn chỉnh phải trái G 2-nhóm hữu hạn địa phương Khi đó, R ∆U -vành RG ∆U -vành 36 Kết luận Trong luận văn tổng hợp kết hai báo [10] [20] đạt nội dung sau 1) Trong Chương tổng hợp lại tính chất tập ∆(R), mối liên hệ tập ∆(R) J(R), nêu điều kiện, lớp vành mà ∆(R) = J(R) phần cuối chương ví dụ lớp vành mà ∆(R) 6= J(R) h 2) Trong Chương trình bày lại chi tiết tính chất tổng quát, tính chất đại số ∆U -vành Chỉ tính chất ∆U lớp vành cụ thể vành ∆-clean, vành quy, vành Boolean cuối chương mở rộng ∆U -vành 37 Tài liệu tham khảo [1] F W Anderson and K R Fuller, "Rings and Categories of Modules", New York: SpringerVerlag (1974) [2] D D Anderson, D Bennis, B Fahid, A Shaiea, "On n-trivial Extensions of Rings", Rocky Mountain J Math 47(2017), 2439-2511 [3] H Chen, "Strongly J -clean rings", Commun Algebra 38, 3790-3804, (2010) h [4] I G Connell, "On the group ring", Canad J Math 15 (1963), 650-685 [5] J Han, W K Nicholson, "Extension of clean rings", Commun Algebra, 29(6) (2001),2589-2595 [6] P Kanwar, A Leroy, J Matczuk, "Clean elements in polynomial rings", Contemporary Math 634 (2015), 197-204 [7] M T Ko¸san, "The p.p property of trivial extensions", J Algebra Appl., 14(8)(2015), 1550124, pp [8] M T Ko¸san, A Leroy, J Matczuk, "On UJ-rings", Comm Algebra 46(5)(2018), 2297-2303 [9] S Lang, "Algebra", Graduate Texts in Mathematics 211 (Rev 3rd ed.), Springer-Verlag, 2002 38 [10] A Leroy, J Matczuk, "Remarks on the Jacobson radical" Rings, modules and codes, 269-276, Contemp Math., 727, Amer Math Soc., Providence, RI, 2019 [11] J Levitzki, "On the structure of algebraic algebras and related rings", Trans Amer Math Soc 74(1953), 384-409 [12] T Y Lam, "Exercises in classical ring theory", Springer-Verlag, New York (2003), second edition [13] M Marianne, "Rings of quotients of generalized matrix rings", Commun Alg., 15(10)(1987), 1991- 2015 [14] W K Nicholson, "Semiregular modules and rings", Canad J Math., 28(5) (1976), 1105-1120 [15] W K Nicholson, "Lifting idempotents and exchange rings", Trans Amer h Math Soc.,(229)(1977), 269-278 [16] M Chebotar, P H Lee, and E R Puczylowski, "On prime rings with commuting nilpotent elements", Proc AMS 137(9) (2009), 2899-2903 [17] P V Danchev, T Y Lam, "Rings with unipotent units", Publ Math Debrecen 88 (2016) [18] K R Goodearl, "Von Neumann Regular Rings (Monographs and studies in mathematics)", Pitman Publishing, London (1979) [19] M Henriksen, "Two classes of rings generated by their units", J Algebra 31 (1974), 182-193 [20] F Karabacak, M Tamer Ko¸san, Truong Cong Quynh, D D Tai, "A generalization of UJ-rings", Journal of Algebra and its Applications, 2020 (accepted), doi: 10.1142/S0219498821502170 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ h