(Luận văn thạc sĩ) một số vấn đề về môđun vi phân kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH NGC VN MT S VN ă VỀ MÔĐUN VI PHÂN KAHLER h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGC VN MT S VN ă V MễUN VI PHÂN KAHLER h Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Tích tenxơ 1.4 Đại số 1.5 Địa phương hóa h 1.1 ă MễUN VI PHN KAHLER 10 2.1 Đạo hàm 10 2.2 Mụun vi phõn Kăahler 15 2.3 Hai dãy khớp 22 2.4 Địa phương hóa mơđun vi phân Kăahler 34 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 M u Lý thuyt vi phõn Kăahler l mt lnh vực đại số hình học nhận quan tâm nghiên cứu nhà tốn học Nó có nhiều áp dụng đại số giao hốn, hình học đại số số lĩnh vực khác toỏn hc Mụun vi phõn Kăahler tỏc ng quan trng đến tính chất vành, chẳng hạn qua kết nối với tính quy Do đó, việc tìm hiu mt s v mụun vi phõn Kăahler cần thiết tiền đề cho việc nghiên cứu tốn liên quan h Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đại số giao hoán dùng luận văn Các kết chương trích dẫn từ [1], [3] Chương tìm hiểu trình bày số vấn đề mụun vi phõn Kăahler, bao gm khỏi nim o hm, s xõy dng mụun vi phõn Kăahler, hai dóy khp c bn ca cỏc mụun vi phõn Kăahler, a phng húa ca mụun vi phõn Kăahler, v mt minh cho s kt ni ca mụun vi phõn Kăahler vi tính quy vành Các kết chương tham khảo từ tài liệu [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9] Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Phạm Thùy Hương Qua xin gởi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng đến Cơ, người tận tình giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô dày công giảng dạy suốt hai năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Chúng xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ln động viên giúp đỡ trình làm luận văn Mặc dù cố gắng trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện h Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn, vành giả thiết vành giao hốn có đơn vị Chương trình bày số kiến thức đại số giao hoán sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3] h 1.1 Môđun Cho R vành Định nghĩa 1.1.1 Một R-mơđun nhóm cộng abel M với ánh xạ R × M → M , (a, x) 7→ ax với a ∈ R x ∈ M , thỏa mãn điều kiện sau với a, b ∈ R x, y ∈ M : a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx), 1x = x Định nghĩa 1.1.2 Cho M N R-môđun Một ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu R-môđun hay R-đồng cấu với x, y ∈ M a ∈ R, ta có f (x + y) = f (x) + f (y), f (ax) = af (x) Cho M N R-môđun Tập hợp tất đồng cấu R-môđun từ M đến N ký hiệu HomR (M, N ) Tập hợp HomR (M, N ) R-môđun với phép cộng phép nhân cho bởi: với f, g ∈ HomR (M, N ) a ∈ R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (af )(x) = af (x) với x ∈ M h Một đồng cấu R-môđun f gọi đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh) Cho f : M → N đồng cấu R-môđun Các tập hợp Imf := f (M ) Kerf := {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0) tương ứng môđun N M 1.2 Dãy khớp Định nghĩa 1.2.1 Cho n ∈ N, n ≥ Một dãy ϕ1 ϕ2 ϕn−1 M1 → M2 → · · · → Mn R-môđun M1 , , Mn đồng cấu R-môđun ϕi : Mi → Mi+1 với i = 1, , n − gọi khớp Imϕi−1 = Kerϕi với i ∈ {1, 2, , n − 1} Mệnh đề 1.2.2 Một dãy R-môđun ϕ1 ϕ2 M1 → M2 → M3 → khớp với R-môđun M , dãy R-môđun ϕ∗ ϕ∗ → HomR (M3 , M ) →2 HomR (M2 , M ) →1 HomR (M1 , M ) khớp, ϕ∗i (ϕ) = ϕ ◦ ϕi với i ∈ {1, 2} 1.3 Tích tenxơ Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N P R-mơđun Một ánh xạ ϕ : M × N → P gọi R-song tuyến tính ánh xạ h ϕ(x, ) : N → P, y 7→ ϕ(x, y), ϕ(., y) : M → P, x 7→ ϕ(x, y) R-đồng cấu với x ∈ M y ∈ N Định lý 1.3.2 Cho M N R-mơđun Khi tồn Rmôđun T ánh xạ R-song tuyến tính τ : M × N → T cho tính chất phổ dụng sau thỏa mãn Với R-mơđun P ánh xạ R-song tuyến tính ϕ : M ×N → P , tồn R-đồng cấu h : T → P cho h ◦ τ = ϕ, tức cho biểu đồ sau giao hốn M ×N τ ϕ /T $  ∃! h P Hơn nữa, (T1 , τ1 ) (T2 , τ2 ) thỏa mãn tính chất phổ dụng, T1 T2 R-mơđun, τ1 : M × N → T1 τ2 : M × N → T2 ánh xạ R-song tuyến tính, tồn đẳng cấu f : T1 → T2 cho f ◦ τ1 = τ2 Định nghĩa 1.3.3 R-môđun T xác định Định lý 1.3.2 gọi tích tenxơ M N R, ký hiệu M ⊗ N = M ⊗ N = T R Với x ∈ M y ∈ N , ta viết x ⊗ y = τ (x, y) Mệnh đề 1.3.4 Cho R vành I iđêan R Khi với R-mơđun M , ta có (R/I) ⊗ M ∼ = M/IM R 1.4 h R/I-môđun Đại số Cho R0 R vành, ϕ : R0 → R đồng cấu vành Với r0 ∈ R0 a ∈ R, ta định nghĩa r0 a = ϕ(r0 )a Khi vành R trở thành R0 -mơđun Cấu trúc R0 -mơđun tương thích với cấu trúc vành R, tức (r0 a)b = r0 (ab) với r0 ∈ R0 a, b ∈ R Định nghĩa 1.4.1 Vành R với cấu trúc R0 -môđun gọi R0 -đại số Định nghĩa 1.4.2 Cho ϕ : R0 → R ψ : R0 → S hai đồng cấu vành Một đồng cấu R0 -đại số f : R → S đồng cấu vành mà đồng cấu R0 -môđun Chú ý 1.4.3 Với ký hiệu trên, f : R → S đồng cấu R0 -đại số biểu đồ sau giao hoán R0 ϕ / ψ R !  f , S tức ψ = f ◦ ϕ Cho R R0 R0 -đại số tương ứng định nghĩa đồng cấu vành ϕ : R0 → R ψ : R0 → R0 Khi R0 -mơđun R ⊗ R0 R0 h vành với phép nhân định nghĩa X  X  X 0 (ai ⊗ ) (bj ⊗ bj ) = (ai bj ⊗ a0i b0j ) i j i,j với , bj ∈ R a0i , b0j ∈ R0 Hơn nữa, R ⊗ R0 R0 -đại số, R0 định nghĩa đồng cấu vành R0 → R ⊗ R0 , r0 7→ ϕ(r0 ) ⊗ ψ(r0 ) R0 Mệnh đề 1.4.4 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho M R0 -mơđun N R-mơđun Khi ánh xạ ψ : HomR (R ⊗ M, N ) → HomR0 (M, N ) R0 f 7→ f ◦ γ, đẳng cấu R-mơđun, γ : M → R ⊗ M cho quy R0 tắc γ(x) = ⊗ x với x ∈ M