(Luận văn thạc sĩ) một số vấn đề về cực trị của hàm số và ứng dụng trong bài toán thực tế ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN h MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THƠNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu thân Các kết nghiên cứu luận văn trung thực xác Các thơng tin tham khảo luận văn trích dẫn cách đầy đủ cẩn thận Bình Định, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả h Nguyễn Hữu Nguyên Lời cảm ơn h Lời xin gửi đến TS Nguyễn Hữu Trọn lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin cảm ơn tất thầy cô Khoa Toán Thống kê, Trường Đại Học Quy Nhơn nhiệt tình giảng dạy tơi suốt khóa học Xin bày tỏ cảm ơn đến vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Tơi xin cảm ơn giáo viên trường THPT Võ Lai, bạn học viên Cao học khóa 21 hỗ trợ, động viên suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Quy Nhơn, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả Nguyễn Hữu Nguyên Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm hàm số 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.3 Các cơng thức thể tích, diện tích khối đa diện 3 trị trị h Cực trị hàm số 2.1 Điều kiện cần cực trị 2.2 Điều kiện đủ cực trị 2.2.1 Điều kiện đủ cực 2.2.2 Điều kiện đủ cực 2.2.3 Một số ví dụ 2.3 Cực trị hàm lồi cấp cấp cao Mơ hình hóa tốn học tốn tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.1 Mơ hình hóa tốn học 3.2 Một số tốn tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.2.1 Các toán liên quan đến việc cắt - ghép hình, khối hình 3.2.2 Các toán lãi suất ngân hàng, giá cả, lợi nhuận 3.2.3 Các toán tối ưu chi phí sản xuất 3.2.4 Các toán di chuyển - quãng đường 7 10 11 12 13 16 18 19 26 26 46 50 59 3.2.5 Các toán tăng trưởng 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 74 h Một số kí hiệu viết tắt N, Z, Q, R, C Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức (tương ứng) BĐT Bất đẳng thức V Thể tích S Diện tích BBT Bảng biến thiên h Lời nói đầu h Trong thực tế ln đặt cho giải vấn đề nhằm đáp ứng nhu cầu sống người Mỗi vấn đề ln liên quan gắn chặt với nhiều toán ngành khoa học, đặc biệt toán tối ưu Các toán tối ưu có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử toán học bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người, ngày toán tối ưu phát triển, nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Trong chương trình tốn bậc phổ thơng nay, tốn tối ưu (thực tế) xuất với tần suất ngày cao đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa hệ thống đầy đủ Sách giáo khoa Vì vậy, để giải dạng tốn này, cần tìm hiểu chất khai thác phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại toán Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy học sinh, giáo viên bậc phổ thông, chọn đề tài để tìm hiểu nghiên cứu luận văn thạc sĩ nhằm phân loại, tổng họp phân tích đưa lời giải hợp lý, phù hợp với trình độ học sinh góp phần vào việc giảng dạy giáo viên học sinh bậc phổ thông Như quan sát kinh nghiệm giảng dạy trường phổ thông, toán tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng chủ yếu xoay quanh số vấn đề việc cắt ghép khối hình, tốn liên quan đến chuyển động, tăng trưởng loài, vấn đề kinh tế lãi suất, tốn tối ưu chi phí sản xuất, chi phí vận chuyển, Nội dung luận văn bao gồm 03 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày kiến thức cần thiết phục vụ cho phần sau Chương 2: Cực trị hàm số: Chương trình bày nguyên lý cực trị: điều kiện cần đủ cấp cấp cao cho hàm số biến số làm sở lý thuyết cho chương sau Chương 3: Mô hình hóa tốn học tốn tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng: Trình bày khái niệm q trình mơ hình hóa tốn học từ tốn thực tế, làm cầu nối để giải toán thực tế từ cơng cụ tốn học Đồng thời, tổng hợp phân loại toán thực tế thường gặp chương trình tốn bậc phổ thơng với mục đích giúp ích cho học sinh giáo viên bậc phổ thơng q trình học tập giảng dạy h Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm hàm số, bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski, công thức liên quan đến thể tích, diện tích khối đa diện hay công thức lãi đơn, lãi kép sử dụng chương sau Nội dung chủ yếu biên soạn từ sách giáo khoa Giải tích 12, [6], [8] [7] h 1.1 Một số khái niệm hàm số Định nghĩa 1.1 (a) Hàm số f : D → R gọi đồng biến (tăng) D, với x, y ∈ D cho x < y ta có f (x) < f (y) (b) Tương tự, hàm số gọi nghịch biến (giảm) D, với x < y f (x) < f (y) (c) Hàm số f gọi đơn điệu D tăng giảm D Định nghĩa 1.2 (a) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D (b) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D