(Luận văn thạc sĩ) một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG Mục lục Mở đầu 1 Đại cương chuỗi số chuỗi hàm 1.1 1.2 1.1.1 Một số khái niệm dãy số 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm Một số khái niệm tính chất chuỗi số 1.2.1 Một số khái niệm chuỗi số 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số Một số khái niệm tính chất chuỗi hàm 1.3.1 Một số khái niệm chuỗi hàm 1.3.2 Tính chất chuỗi hàm 10 h 1.3 Một số khái niệm dãy số dãy hàm Các định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm 11 2.1 Các định lý hội tụ chuỗi số 11 2.2 Các định lý hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.2 Chuỗi lũy thừa 29 2.2.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 32 Một số phương pháp tìm tổng chuỗi vơ hạn 36 2.3.1 Sử dụng phương pháp tổng riêng 36 2.3.2 Sử dụng chuỗi lũy thừa hàm số sơ cấp 38 2.3.3 Phương pháp lấy đạo hàm tích phân chuỗi 40 2.3.4 Phương pháp Abel 42 2.3 i ii Một số ứng dụng chuỗi Taylor 46 3.1 Tính giới hạn hàm số 46 3.2 Xấp xỉ tích phân 47 3.3 Ứng dụng phương trình vi phân 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 h Mở đầu Chuỗi số chuỗi hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm người ta quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Trong trường hợp chuỗi hội tụ ta quan tâm đến việc tìm tổng chuỗi hội tụ Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm ứng dụng quan trọng chúng Một số phương pháp đặc biệt để khảo sát hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng trường hợp chúng hội tụ quan tâm nghiên cứu h Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương nhắc lại số kiến thức dãy số, dãy hàm chuỗi hàm Chương trình bày định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm, bao gồm điều kiện cần, điều kiện đủ để chuỗi số, chuỗi hàm hội tụ Một số phương pháp tìm tổng chuỗi hội tụ chúng tơi trình bày chi tiết chương Chương cuối dành cho việc giới thiệu số ứng dụng chuỗi Taylor việc tính giới hạn hàm số, tính gần tích phân tìm nghiệm gần phương trình vi phân Luân văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề chuỗi số chuỗi hàm Luận văn hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Cao Yến nhi h Chương Đại cương chuỗi số chuỗi hàm Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] 1.1 Một số khái niệm dãy số h 1.1.1 Một số khái niệm dãy số dãy hàm Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Đ R cho n ÞĐ apnq :“ an Dãy số thường ký hiệu tan u, pan q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu pan q Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số pan q có giới hạn L P R với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N ta có |an ´ L| ă ε Ta ký hiệu lim an “ L, an Ñ L n Ñ nÑ8 Nếu dãy số pan q có giới hạn L P R ta nói dãy pan q hội tụ, ngược lại ta nói dãy pan q phân kỳ Định lý 1.3 (Định lý hội tụ đơn điệu, [1]) Cho dãy số pan q Nếu pan q tăng bị chặn pan q hội tụ, ta có lim an “ suptan : n P Nu nÑ8 Nếu pan q giảm bị chặn pan q hội tụ, ta có lim an “ inftan : n P Nu nÑ8 Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số pan q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N ta có |am ´ an | ă ε Định lý 1.5 ([1]) Dãy pan q hội tụ pan q dãy Cauchy 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với n ě N ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε Ký hiệu: fn pxq Ñ f pxq, x P A h Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε Ký hiệu: fn pxq Ñ f pxq, x P A Nhận xét 1.8 Từ hai định nghĩa trên, ta dễ dàng suy nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A tfn pxqu hội tụ điểm đến hàm số f pxq A Định lý 1.9 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A ˇ ˇ sup ˇfn pxq ´ f pxqˇ Ñ 0, n Ñ xPA Định lý 1.10 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε Định lý 1.11 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với m ě n ě N ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε Định lý 1.12 ([1]) Cho dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R giả sử với n P N, hàm số fn pxq liên tục điểm x0 P A Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A hàm số f pxq liên tục điểm x0 Nhận xét 1.13 Từ định lý ta suy tfn pxqu liên tục A tfn pxqu hội tụ đến f pxq A f pxq liên tục A 1.2 1.2.1 Một số khái niệm tính chất chuỗi số Một số khái niệm chuỗi số Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thực tan u Một tổng có dng a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ă ă h c gi l mt chui số Chuỗi số ký hiệu a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ă ă “ ÿ an (1.1) n“1 tan u “ a1 , a2 , , an , gọi chuỗi số an số hạng thứ n chuỗi Một chuỗi coi xác định xem số hạng chuỗi biết hàm số n, an “ f pnq Ví dụ 1.1 Xét dãy số tan u với an “ Khi ta nhận chuỗi số npn ` 1q ÿ n“1 an “ 1 ` ` ¨¨¨ ` ` ¨¨¨ 1.2 2.3 npn ` 1q Định nghĩa 1.15 Xét chuỗi số (1.1) Ta đặt S1 “ a1 , S2 a1 ` a2 , ăăă Sn a1 ` a2 ` ă ă ă ` an Khi ta nhận dãy số tSn u dãy gọi dãy tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) Định nghĩa 1.16 ([2]) Xét chuỗi số (1.1) gọi tSn u dãy tổng riêng thứ n chuỗi số • Nếu dãy số tSn u hội tụ số thực S ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S, ta viết ÿ an “ S n“1 • Nếu dãy số tSn u phân kỳ ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ (hay khơng hội tụ) ÿ 1 Ta tính Sn “ ´ , npn ` 1q n`1 n“1 lim Sn “ Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng Ví dụ 1.2 ([2]) Xét chuỗi số nĐ8 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số ÿ Tính chất 1.1 Nếu chuỗi số un hội tụ có tổng S, chuỗi số S chuỗi hội tụ có tổng n“1 n“1 ÿ ÿ pun ` q hội tụ có tổng S ` S h n“1 Chứng minh Gọi Sn Sn1 tổng riêng thứ n chuỗi số ÿ un n“1 ÿ Khi lim Sn “ S lim Sn1 “ S Suy lim pSn ` Sn1 q “ S ` S nÑ8 n“1 nĐ8 nĐ8 Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.2 Nếu chuỗi số ÿ un hội tụ có tổng S chuỗi số n“1 ÿ kun hội n“1 tụ có tổng kS Chứng minh Gọi Sn tổng riêng thứ n chuỗi số ÿ un n“1 Ta có lim kSn “ k lim Sn “ kS nĐ8 nĐ8 Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.3 Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng