(Luận văn thạc sĩ) một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH h Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Thành Tấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Thống kê Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng thể h tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy cô Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Lời nói đầu 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.2 Định lý giá trị trung bình tỉ sai phân 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy 13 1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 16 h 1.1 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1 Vi phân đối xứng hàm thực 19 2.2 Định lý giá trị tựa - trung bình 23 2.3 Một số dạng suy rộng định lý giá trị trung bình 28 2.4 Đạo hàm Dini hàm thực 31 2.5 Định lý giá trị trung bình hàm không khả vi 36 2.6 Định lý giá trị trung bình tích phân mở rộng 2.7 Ứng dụng: Biểu diễn tích phân trung bình 49 2.8 Sự trùng giá trị trung bình 54 i 41 ii MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 59 3.1 Bài toán 59 3.2 Bài toán nâng cao 66 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 h Lời nói đầu Lý chọn đề tài Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng đạo hàm suy rộng tích phân đặc biệt dành cho khối chun tốn, chúng tơi định chọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng áp dụng định lý h giá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng đạo hàm, tích phân giới thiệu số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tốn phổ thơng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Lịch sử vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre leségalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle công nhận Joseph Lagrange (1736 - 1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm cơng nhận Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng định lý giá trị trung bình Trình bày định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini Ở đây, giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình h hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini giới thiệu với số ví dụ, định lý giá trị trung bình hàm khơng khả vi định lý giá trị trung bình tích phân Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo hàm tích phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng - Tham gia buổi hướng dẫn thầy để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp luận văn - Tổng quan kết nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh họa hay hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: h Chương 1, Các định lý giá trị trung bình Chương 2, Một số mở rộng định lý giá trị trung bình Chương 3, Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng Tất nội dung luận văn trình bày lại tham khảo từ tài liệu P K Sahoo T Riedel [4] Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong chương chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình tỉ sai phân Cuối chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy h chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Bonnet Ossian (1819-1892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng André - Marie Ampére (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực hệ định lý giá trị trung bình Cơ sở định lý Rolle dựa vào hai kết sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R → R đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm c khoảng mở (a, b) f (c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm f : R → R liên tục đoạn [a, b] phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [a, b] Định lý 1.1.3 (Định lý Rolle) Giả sử f hàm liên tục khoảng đóng [x1 , x2 ] có đạo hàm x ∈ (x1 , x2 ) Nếu f (x1 ) = f (x2 ) tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (η) = Như định lý Rolle giải thích mặt hình học sau có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực h hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f ) Định lý Rolle tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.1.4 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 6= x2 I, tồn điểm η phụ thuộc vào x1 x2 cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η(x1 , x2 )) x1 − x2 (1.1) Chú ý 1.1.5 Ta kết thúc mục chứng minh khác định lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh Tucker (1997) Velleman (1998)