BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS LÊ QUANG THUẬN Bình Định - 2021 e Mục lục Lời cam đoan Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bộ trội số tính chất 1.2 Tổng đối xứng hoán vị 1.3 Hàm lồi Bất đẳng thức Muirhead số ứng dụng 10 2.1 Bất đẳng thức Muirhead 10 2.2 Một số ứng dụng bất đẳng thức Muirhead 14 2.2.1 Chứng minh số bất đẳng thức đại số 14 2.2.2 Chứng minh số bất đẳng thức hình học 27 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng 31 3.1 31 Bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát i e ii 3.2 3.3 Một mở rộng bất đẳng thức Muirhead liên quan đến trung bình lũy thừa trộn lẫn 37 Bất đẳng thức Muirhead mở rộng theo cách phân hoạch 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Quyết định giao đề tài luận văn (bản sao) e LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Đề tài “Một số mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng” kết sưu tầm, tìm hiểu tơi hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn có tài liệu tham khảo trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực xác e Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Lý thuyết công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học Trong tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên chúng hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh Trong năm gần đây, nhiều nghiên cứu tập trung mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Tốn học sơ cấp bậc Trung học phổ thông Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Muirhead, số dạng mở rộng ứng dụng, chọn đề tài “Một số mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Phương pháp nghiên cứu sử dụng sưu tầm, đọc tài liệu làm rõ cơng trình cơng bố giới nước Tham khảo dạng toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức Muirhead Từ đó, tạo đề tài phù hợp cho công e tác giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh giỏi tốn Phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học trường Phổ thông, đem lại niềm đam mê, sáng tạo việc dạy toán học toán Nội dung luận văn gồm ba chương với nội dung chương trình bày sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề quan hệ trội số thực khơng âm; trình bày khái niệm số tính chất ban đầu tổng đối xứng hoán vị tổng hốn vị vịng quanh Chương Bất đẳng thức Muirhead số ứng dụng Trong chương này, phát biểu chứng minh bất đẳng thức Muirhead cho hai số ba số thực không âm Một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức toán sơ cấp chọn lọc trình bày Chương Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Muirdhead ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát cho n số chứng minh dựa cách tiếp cận bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [13] Hai mở rộng khác bất đẳng thức Muirhead dựa cách nhìn mở rộng trung bình mở rộng phép phân hoạch biến đề cập Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình thầy TS Lê Quang Thuận Nhân dịp này, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt q trình học tập làm Luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại e học, Khoa Toán Thống kê với quý thầy dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp K22 (06/2019 – 06/2021), nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập làm Luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn để Luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Bịnh Định, tháng năm 2021 Học viên Nguyễn Long Phi e Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số khái niệm trội số tính chất để chuẩn bị cho chương sau 1.1 Bộ trội số tính chất Cho n số thực khơng âm α “ pα1 , α2 , , αn q, tức αi ě 0, i “ 1, 2, , n Ta xếp trật tự thành phần α theo thứ tự giám dần α1Ó ě α2Ó ě α3Ó ě ¨ ¨ ¨ ě αnÓ Ta ký hiệu αÓ véc tơ có từ α cách thành phần theo thứ tự giảm dần trên, tức αÓ “ pα1Ó , α2Ó , , αnÓ q Trong tập hợp tất n số thực khơng âm, ta thứ tự (khơng tồn phần) quan hệ trội ă ą định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 ([13]) Với hai n số thực không âm α “ pα1 , α2 , , αn q β “ pβ1 , β2 , , βn q, ta nói α trội β, kí hiệu α ą β, hay β trội α, ký hiệu β ă α điều kiện sau thỏa mãn: e (a) k ř i“1 αiÓ ě k ř i “1 βiÓ , @k “ 1, 2, , n 1; (b) 1ể ` 2ể ` ă ă ¨ ` αnÓ “ β1Ó ` β2Ó ` ¨ ¨ ¨ ` βnĨ • p1, 1, 1, 1q ă p2, 1, 1, 0q ă p3, 1, 0, 0q ă p4, 0, 0, 0q Ví dụ 1.1 • p1, 1, 1, 1q ă p0, 1, 1, 2q ă p3, 1, 0, 0q ă p0, 0, 4, 0q Ví dụ 1.2 Với n số thực không âm α “ pα1 , α2 , , αn q, ta có pα ¯, α ¯, , α ¯ q ă pα1 , α2 , , n q p1 ` ` ă ¨ ¨ ` αn , 0, , 0q α ¯“ pα1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn q n Từ định nghĩa quan hệ trội ă, ta thấy quan hệ có tính chất bắc cầu α ă β, β ă γ ùñ α ă γ Định nghĩa 1.2 (Ma trận ngẫu nhiên kép) Ma trận ngẫu nhiên kép (còn gọi ma trận bistochastic), ma trận vuông A “ paij q không âm số thực, hàng cột có tổng 1, ÿ ÿ aij “ aij “ i j Với n số thực không âm β “ pβ1 , β2 , , βn q, ta ký hiệu Hpβ q bao lồi tập điểm pβσp1q , βσp2q , , βσpnq q với σ chạy khắp S pnq, S pnq tập hợp tất hoán vị (song ánh) σ : t1, 2, , nu Ñ t1, 2, , nu Hpβ q “ convtpβσp1q , βσp2q , , βσpnq q | σ P S pnqu Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để α làm trội β e ... ứng dụng 10 2.1 Bất đẳng thức Muirhead 10 2.2 Một số ứng dụng bất đẳng thức Muirhead 14 2.2.1 Chứng minh số bất đẳng thức đại số 14 2.2.2 Chứng minh số bất đẳng thức. .. tìm hiểu bất đẳng thức Muirhead, số dạng mở rộng ứng dụng, chọn đề tài ? ?Một số mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng? ?? để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Phương pháp nghiên cứu sử dụng sưu tầm,... thức hình học 27 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng 31 3.1 31 Bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát i e ii 3.2 3.3 Một mở rộng bất đẳng thức Muirhead liên quan đến