TỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRIT

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRIT

A LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH MŨ x Phương trình mũ a b , ( a  0, a 1)   a x b  x log a b Nếu b  phương trình x Nếu b 0 phương trình a b vơ nghiệm Phương trình đưa số  Cách giải: Sử dụng tính chất dụng tính chất ng tính chất t f x g x a   a    f  x  g  x    a 1 Phương pháp đặt ẩn phụ:  t a g  x   g x   f a 0      f  t  0 với i  a 1 , Dạng 1: Phương trình có dạng: 2f x f x m.a    n.a    p 0  1  f  x mt  nt  p 0 Đặt t a , t  đưa phương trình   dạng phương trình bậc 2: Giải phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t   f  x Sau vào phương trình t a tìm nghiệm x  f x f x m.a    n.b    p 0 f x b  f  x t  a , t  t , a.b 1 Đặt suy  Dạng 2:   a f  x f  x f  x   f x   m.a  n  a.b   p.b 0 Dạng 3: Chia hai vế cho b đặt  b  f  x t  Phương pháp logarit hóa   f  x   g x a    f  x    g  x  log a f  x  với  a 1 Dạng 1:  f  x g x f  x g x  f  x  g  x  log a b Dạng 2: a b  log a a log a b Phương pháp hàm số  Định nghĩa  u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v  Hàm số f gọi đồng biến K  Hàm số f gọi u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v  nghịch biến  a; b   Định lí, tính chất  Nếu u Định lí Giả sử hàm số   f  x  0 f  x  0 x   a; b  biếu n (nghịch biến)ch biến)n) khoảng ng y  f  x  a; b  có đạo hàm khoảng f  x  0  a; b  số hữu hạn điểm hàm số đồng i số hữu hạn điểm hàm số đồng t số hữu hạn điểm hàm số đồng hữu hạn điểm hàm số đồng u hại số hữu hạn điểm hàm số đồng n điểm hàm số đồng iểm hàm số đồng m hà m số hữu hạn điểm hàm số đồng điểm hàm số đồng ồng ng Tính chất Nếu phương trình  f  x  0 f  x  0 có nghiệm khoảng có nhiều hai nghiệm khoảng  a; b  phương trình  a; b  a; b Tính chất Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng    u, v   a; b  ; f  u   f  v   u v a; b Tính chất Nếu hàm số f liên tục, đồng biến khoảng   hàm số g liên tục,  nghịch biến (hoặc hàm hằng) khoảng nghiệm khoảng  a; b  phương trình f  x  g  x  có nhiều  a; b   Nhận xét   Khi toán u cầu giải phương trình   , ta chứng minh   đơn điệu cách khảo sát hàm số, sau tìm nghiệm chứng minh nghiệm Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f x 0 f  u  f  v   (trong điểm hàm số đồng ó u u  x  , v v  x  ) c f  x  g  x  Khi tốn u cầu giải phương trình giao điểm đồ thị hàm số y  f  x f  x  m f x sử dụng tính chất dụng tính chất ng tính chất t điểm hàm số đồng ã nêu số nghiệm phương trình số đường thẳng y m Phương pháp đánh giá    Quy tắc Giải phương trình  Bước 1: Xác định x x0 nghiệm phương trình   x  x0  x  x0 Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  Kết luận x x0 nghiệm Quy tắc Giải phương trình f  x  g  x    f  x  m , x  D  f  x  m g  x  , x  D  g  x  m , x  D   Xét tập xác định D ta có  Phương trình thỏa mãn f  x   g  x  m  Áp dụng tương tự với toán bất phương trình Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số lượng giác   f  x  g  x  Ta có: sin x    1;1 ;cos x    1;1 f  x  g  x  2  Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x  b sin x c có nghiệm a  b c  Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm phương trình bậc … VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: x a)  x 5 28 x4 c) x e)  x b) 9  x 8 16 x 1 x2  d) x 3  x 1 9 x  1 x   28  x 58 x 0,001 10 x x f) 12.3  3.15  x 1 20 Lời giải 3x  x 5 a) Ta có:  x 1 9  x  x  2  x2  x  0    x 3 Vậy S  1; 3 3x  x8 9 x  x  x 8 b) Ta có: S  2; 5 Vậy 28 x 4 16 x 1 c)  x 5 34 x  x  x  4 x   x2  x  10 0    x 2  x   x 1  28  x  4 x     x  3 x  3   x   3x      x   x 1   x 3   x 3  x     3  x       S   ;    x 0  x      Vậy  x  10  3.10  x  10 8 x 10  x   x 2  x    x 6 Vậy S   1; 6 d) x    3 3 x x 1 x x 1 x x S log   3   3.2 4.3      x log  4   2 2 e) Vậy x x x 1 x x x 12.3  3.15  20  3.3   5  0 f)  2.5  x2     VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau x a)  x 5 x x 1 b) 4.4  9.2  0 9 x       3 d) x x c)  5.3  0 x 2 x x  10.3 x  x   0 e)  5x  3x 1  0  x log     f) x2  0 7 4 3   3 x 6   Vậy Lời giải x x x a) Đặt t 3 ( t  ), phương trình  5.3  0 tương đương với  x log  t 2 tt2   0     S  log 2;1  t 3  x 1 Vậy x x x 1 b) Đặt tt2 ,  phương trình 4.4  9.2  0 tương đương với S  log   t 4  x 2 4tt  18  0     1 t   x2  S  2;  1  Vậy x x  5.3 x  0  c) x  1  1  1 2       2    x 9  3  3 2x x  1 3tt2  tt2  t     , t  Phương trình trở thành Đặt  t 1   0    t 2 x  1   1  x 0 t 1 Với , ta   x  1   2  x log  log t 2 Với , ta   S   log 2; 0 Vậy x2 x    1    0  x      3  3 d)  3x  x  0  32 x  4.3x  0 x 1 x  1  0  x     0  3  t 1 tt2   0   x  t 3 Đặt tt3 ,  Phương trình trở thành x Với t 1 , ta 1  x 0 x Với t 3 , ta 3  x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 0 , x 1 x x x e) Đặt t 3 ( t  ), phương trình 2 x  10.3 x x  0 tương đương với  x   x2  x  3  t 3  x 1   3tt  10  0     3x x  t   x 0    3  x  Vậy S   1;1;0; 2 f) Đặt   x x tt  ,  7  3   3 Khi phương trình  t 2 tt2   0   t 2    t   loai  Với  Vậy  S  log     x x 2  x log   6  tương đương với  VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: x x x a) 6.4  13.6  6.9 0 33 x  33 x  34  x  34  x 10 b) sin x  cos x 6 c) x d) Lời giải 4 2    2 x    x x 1 2 3 1   x    2x x  x 1  3  3  x x x 6.4  13.6  6.9 0     13    0     x    2  2  x     2    a) 27 81 33 3 x  33  x  34 x  34  x 10  27.33 x  x  81.3 x  x 10 3 b)   27  3 x  x    x 1 Côsi t  x  x  x x 2   81   x  10  1    3 Đặt  1 1 1  tt  3x  x  33 x  3.32 x x  3.3 x x  x  33 x  x t  3  3 3  10     N  1  27 tt3  3tt  81 10t  10 27 Khi đó:  Với t  10 10  3x  x   2 3  y 3  N  10    y  y   3y  10 y  0   y   N y 3x   Đặt Khi 1 y   3x   x  x S   1;1 y 3  3  x 1 3 Với ; Với Vậy 2 2 9sin x  9cos x 6  91 cos x  9cos x 6  cos2 x  cos x  0   c) cos2 x   tt 0  tt2   0  3   tt9 ,   9  t Đặt Khi đó: 2  k t 3  cos x 3  32cos x 31  2cos x  0  cos x 0  x   ,  k   Với x d) Đặt 4 2 tt2 x  x2 1 1  8tttt2  tt4   2 x 2   x 3   8.2 x 1 2 2 x 1  4.2 2 x 1  4.2 x 1  2  Từ suy 1 2 2 , phương trình tương đương với  t4   2x 2   0  3  10 (vì t 2 )   10  x1  log 2 3  10    x  log  10  2 VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: x a) 5 x x x b) 1 x c) x x x d) 500 4 7 x  Lời giải x x a) 5 x   log    log 3 5x 3x  5    log  x log    log  x x    3 log  3  3 x log    log  Phương trình có nghiệm    3   log x.2 x x x b) 1  log  log 2 x  log 2 x 0  x log  x 0  x 0   x  log  x  0  x  log Phương trình có hai nghiệm: x 0 , x  log  x  x x  x x x  log 2   0 x x x x x x    500     c)  x 3 x log 2 0   x  log  log  log 2 0  x Phương trình có hai nghiệm: x 3 , x  log 2 x2  x  log 2 x  log x   x  log 2  x   log  d)  x 2    x    x   log  0  x log  x x x   x   log    VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: x x x a) Giải phương trình  5 x b) Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình 2  x 2  2x  x 2 x  Số phần tử S x    m  x  m 0 c) Tìm tập hợp giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng   Phương trình có hai nghiệm: x 2 , x log  Lời giải 0;1 x x x x  3  4  3  4  5       1        0  1  5  5  5  5 a) x x x x x  3  4 f  x         5  5 Xét hàm số , x   x x  3 4 f  x    ln    ln  0, x    5  5  hàm số f  x  nghịch biến  Ta có:  f  x  0 có tối đa nghiệm tập số thực phương trình   có nghiệm x 2 2 x  x 2  x  x 2 x   1  x  x2  x2  x  2 x  x  x2  x  b) Mà f   0  Xét hàm số Ta có: f  u  2 u  u f  u  2u.ln   0, u    f u 2 u  u Hàm số   đồng biến   1  f x  x   f x  x   x  x   x  x   x   Do Vậy S có phần tử c)   x    m  x  m 0  m   x  3.2 x 2x  f  x   x  3.2 x f  x  x , x   0;1 1 Xét hàm số có f  x  0;1  Hàm số đồng biến 12 x.ln  x.ln  3.2 x.ln 2 x  1  0, x   0;1 Ta có bảng biến thiên: VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: x 1 x 1 x 1 x 1 a) Giải phương trình  3  x b) Giải phương trình 2 1 2  x ax  a, b c) Cho số thực thỏa mãn a  a 1 , biết phương trình nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình: 2 cos  bx  ax có a2 x  a x  cos bx    0 m   2;   m  Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm Vậy Lời giải a) 3x 1  x 1 32 x 1  x 1  x 1  x 1 4 x 1  x 1  1 Nhận xét x 0 nghiệm phương trình   3x 1  32 x 1  x 1  32 x 1  x   x    x 1 x 1  x 1  x 1  4  x  Với , ta có: VT   VP nên phương trình  1 vơ nghiệm x 1 x 1  x   x 1  3  x   x    x 1 x 1  x 1  x 1  4  Với x  , ta có: VT   VP nên phương trình   vơ nghiệm Vậy x 0 nghiệm b) Điều kiện xác định: x 0 x 0  x  1  x 1 2 hay VT 2 x 0   x 0   x 2 hay VP 2 VT 2   VP 2 Suy VT 2 VP , phương trình có nghiệm Vậy x 0 nghiệm  bx  a2 x  2a x  cos bx    0  a x   x 2  cos   a   c) Ta có 2 x2 1 2  x 0   x    x   a2  x  a2    x  4 cos bx   a  x   a2    1      2x bx  a  x 2cos  2 bx a 4cos   x  a   cos bx x   a2  2 Nếu phương trình phương trình có nghiệm chung x0 x bx bx  cos 0  a  x 0  x0 0  cos 1 2 a2 (Vơ lí) 2cos  1  2 bx0 bx  2cos 2 0 Do phương trình  1 phương trình  2 khơng có nghiệm chung Mặt khác theo giả thiết phương trình   phương trình Vậy phương trình cho có 14 nghiệm phân biệt   có nghiệm phân biệt PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT Phương trình logarit có dạng  Nếu log a x b  a  0, a 1 log a x b  x a b Phương trình đưa số  Cho  a 1 Khi đó:    f  x    g  x   0 log a f  x  log a g  x      f  x  g  x   log a f  x  g  x   f  x  a g x (mũ hóa) Phương pháp đặt ẩn phụ:  Phương trình có dạng P  log a f  x   0 với  a 1 Đăt t log a f  x  P  log a f  x   0        P  t  0 Phương pháp đánh giá      Quy tắc Giải phương trình    Bước 1: Xác định x x0 nghiệm phương trình f x g x   x  x0  x  x0 Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  Kết luận x x0 nghiệm Quy tắc Giải phương trình   f  x  m , x  D  f  x  m  g  x  , x  D  g x  m ,  x  D    Xét tập xác định D ta có   Phương trình thỏa mãn f  x  g  x  m  Áp dụng tương tự với tốn bất phương trình Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số lượng giác   f  x  g  x  Ta có: sin x    1;1 ;cos x    1;1 f  x  g  x  2  Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x  b sin x c có nghiệm a  b c  Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm phương trình bậc …  Ngồi ra, sử dụng phương pháp hàm số dạng tập phương trình mũ Việc sử dụng linh hoạt phương pháp giúp em tối ưu việc giải tốn VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: a) ln  x  1 ln x b) log x  log x  log8 x 11 Lời giải x   x 1  x   a) Điều kiện:   1 x  x 1 x 1 ln  x  1 ln x  ln 0  1  x  x  0   x x  1  loai  x  Với x  : b) Điều kiện: x  1 log x  log x  log8 x 11  log x  log x  log x 11 11  log x 11  log x 6  x 64 c) Điều kiện: x  log x.log x.log x 8  log x.log x log x 8   log x  8  log x 2  x 9  x  d) Điều kiện:  x 1  log  x  1 1  log x  log  x  1 log 2 x  x  2 x  x  x  0    x 1  2 Vậy  S   2;1  e) Điều kiện: x 2  , x 0  x 3x   x  2 log x 2 log  x    x  x       x  x   x  So sánh điều kiện ta có phương trình có nghiệm x  f) Điều kiện: x  log  x  1  log  x  1 3  log  x  1 3  x  8  x 9  x 3 Ta có: Vậy S  3 VÍ DỤ Giảng i phương trình sau:ng trình sau: a) log 32 x  log x  0 c) log 22  x   log b) log x  3log x 7  x  5 log 22  x   2m log  x   m  0 d) Tìm tất t cảng giá trị tham tham a tham m điểm hàm số đồng ểm hàm số đồng phương trình sau:ng trình có tích hai nghiệm phương trình m tham a phương trình sau:ng trình ng 16 Lời giải log x t ,  t     x 3t a) Điều kiện: x  Đặt  t 1  2 t  2t  0    t 1  2 Phương trình log3 x  2log3 x  0 trở thành 10