Bài tập Cơ ứng dụng bao gồm ý thuyết ngắn gọn + bài tập, bảng tra số liệu của cô Phan Thị Bích Nga Sách dùng trong chương trình giảng dạy của nhiều trường như ĐH Bách Khoa, ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật,... (các trường dạy kỹ thuật, cơ khí,...) Bản PDF này gồm đẩy đủ trang, full HD rõ nét như bản giấy Mọi người khi down về sẽ giảm bớt tiền đi mua và đỡ phí thời gian đi tìm mua
Trang 1r te
DAI HOG QUOC GIA TP HO CHI MINH
Trang 2
DAI HOC QUOC GIA TP HO CHi MINH
TRUONG DAI HOC BACH KHOA
Phan Thi Bich Nga
BAI TAP
CO UNG DUNG (Túi bản lần thứ tư)
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
Trang 3Muc LUC
LỜI NÓI ĐẦU
Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
1.1 Tóm tắt lý thuyết
1.2 Bài tập
Chương 2 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
2.1 Tóm tắt lý thuyết
2.2 Bài tập
2.3 Nhận xét, §
Chương 3 UNG SUAT VÀ BIẾN DẠNG
3.1 Tóm tắt lý thuyết
3.2 Bài tập
Chương 4 TÍNH BỀN THANH KHI UNG SUAT KHÔNG ĐỔI
- 4.1 Khái niệm
4.2 Thiết lập công thức tính ứng suất pháp tổng quát 4.3 Tính bền khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm 4.4 Tính bền khi thanh chịu uốn thuần túy
4.5 Tinh bén khi thanh chịu uốn ngang phẳng 4.6 Tính bền khi thanh chịu uốn và xoắn đồng thời
Chương 5 TÍNH BIẾN DẠNG THANH
B.1 Khi thanh chịu kéo nén đúng tâm
5.2 Tính biến đạng góc khi thanh chịu xoắn
5.3 Tính biến dạng khi thanh chịu uốn phẳng
Trang 4Chuong 1
NHỮNG VẤN DE CO BAN CUA TĨNH HOC VAT RẮN TUYỆT ĐỐI
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1- Các tiên đề cơ bản: - Tiên để trượt lực;
- Nguyên lý hình bình hành;
- Tiên để thêm bớt hệ lực tương đương không;
- Tiên để lực và phản lực;
- Tiên để giải phóng liên kết '
2- Khi đời lực song song (F) về một điểm (O) không nằm trên
đường tác dụng, để trạng thái chuyển động của vật rắn không thay đổi, ta phải thêm vào mơmen (Mạ) có giá trị bằng lực (F) nhân với
khoảng cách (đ) từ phương của lực đến điểm dời về: M,=F.d
3- Khi thu gọn hệ lực về một điểm O, ta được một vectơ chính R và một vectơ mơmen chính Mo
Diéu kién dé hai hé luc tuong duong la:
Ri =Re va Mor = Roe
Trang 5CHUONG 1 LZ / 2 4 1 ia 1 ' ' 2 “ R,(1, 1, 1) R,(1, 1, 1) Mo,(1, 1, 0) Mo2(1, 1, 0) 38 fi 4 [= | 5 1 6 1 1 1
4- Điều hiện cân bằng của uột rắn liền kết:
Gọi: R(S) va R(F) - vecto chính của hé phan luc va hé tai trong
M.(S) = M.(F) - vectd mémen chinh cia hé phản lực và hệ tải trọng thì điều kiện để một vật rắn liên kết được cân bằng là:
R = R(S)+ R(F) = 0
va Mẹ = Ma(S)+ Ma(F) = 0
Chiếu ve.cơ E và Me lên hệ trục Oxyz, ta được sáu phương trình cân bằng tĩnh học dùng trong không gian
R, = 3F, =0; Ry, = UF = 0; R, = LF = 0
Moz = Xmo,(E,) = 0
Moy = >Xmoy(F)) = 0
Mo; = Xmo,Œ¡) = 0
Trong hệ lực phẳng (Oxy) ta có ba phương trình tĩnh học:
Trang 6NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
5- Các loại liên hết thông dụng:
Liên kết đơn Liên kết kép Liên kết ngàm
Liên | gộc chiều: như liên Hi chid (gối tựa cố định): cản trở | (cố định vật
kết | kết dây, mặt tựa nhấn ối tức Si độ 2 hoặc 3 chuyển động | thé): can trở tất
bóng (khơng ma sát) (gối tựa di động) tịnh tiến cả chuyển động
Ký
hie} „2À
Apa
Ví dụ 1.1 Cho dầm có liên kết ngàm chịu lực như hình vẽ Hãy xác
định phản lực tại ngàm q = 20kN/m M= 20kNm P, = 20kN Giai: 30° c B A ` 0,5m 0,5m D 0,5m P, = 10kN y q = 20kN/m M = 20kNm P, = 20kN Hof ™ > 30° \ f° c B A Mo 0,5m 0,5m 0,5m Vo P¿ = 10kN
Giải phóng liên kết khỏi ngàm D, ta có ba thành phần phản lực Các phản lực này hợp với các tải trọng đặt vào đầm tạo thành một hệ lực cân bằng hay hệ lực tương đương 0: (Híp, Vp, Mp, q, P¿, M, Pì) ~ 0
Trang 710 CHUONG 1 Di Fy =0: Vp =-P) +qx0,5+ P, sin 30? =0 > Vp =~10+10+80x 2 = 10 bN Mp = 0: > Mp + Py x 05-9 0,5 x 0,75 + M - P, sin 30° x 1,5 = 0 Mp = -5+7,5-20+15 = -2,5 kNm
dấu (—) chứng tỏ Ấp có chiều ngược với chiều đã chon như hình trên
Ví dụ 1.2 Cho hệ gồm hai thanh liên kết với nhau bằng khớp bản lề tại 8 Hãy xác định phản luc tai A, B, C Cho g = 20kN/m;
M = 10kNm; P = 20kN; CD = BD = 0,3m 0,5m 0,5m
Giải: Để giải hệ gồm hai hay nhiều vật, ta nên dùng phương pháp tách vật: Tách khớp bản lễ tại Ö hay giải phóng liên kết kép Ö ta thay bing cdc phan luc Vg, Hg c6 gid tri bing nhau và ngược chiều nhau theo tiên đề lực và phản lực như hình vẽ:
Trang 8NHỮNG VAN DE CO BAN CUA TINH HOC VAT RAN TUYET DOI 11 - Khảo sát thanh AB:
IM, = qx 0,5x 0,25 ~ M + Vạ.1 = 0 =_ Va=~90x0,5x0,35 + 10 = 7, ÈN
LFiy = —VẠ + Vp + qx0,B = 0
=> Va=7,5 + 20x0,5 = 17,5 kN
- Khảo sát thanh BC :
Me = P.CDsin60° + Vạ.CBcos60° — ïg.CBsin 60° = 0 ⁄3 2000 Sa + (7,5 0,6x 4) => Hg =———2 _2 2144 kn V3 0,6xXŠ = >xFy = Ve— Vg=0 =_ Ve=Vs=1,5kN >F„, = Hs+ He—P=0 =_ Hc=-Hs+P= 14,4 + 20 = 5,6 kN `
Sau khi tính được Ha, ta sẽ tính được H¿ trong thanh AB:
LF, = H,- Hp =0
=> HẠ = Hạ = 14,4 kN
1.2 BÀI TẬP
1.1 Một dầm đồng chất AB dài 4m, có trọng lượng P = 10EN được giữ nằm ngang nhờ bản lễ ở A và dây DE như hình vẽ Tác dụng vào
đầu B của dầm lực F = 20kN tao với phương ngang một góc 60° Xác
định sức căng của dây và phản lực ở A
Pa
Dap s6: T = 42kN; X, = 2,3kN; Ya = 39,6RN
Trang 912 CHUONG 1
1.2 Dam AB và thanh CD không trọng lượng Dầm chịu tác dụng một lực F = 30&N ở đầu B và được giữ nằm ngang nhờ thanh CD và bản lễ
A như hình vẽ Xác định ứng lực của thanh CD và phản lực ở A
F M = 100kNm 60° B Dap s6:S =11kN; X,=kN; Ya =kN 18 Dém AB dai 2m, trọng lượng B P = 1ÈN, đầu A ngàm vào mặt đất nghiêng
góc 60° như hình vẽ Dầm chịu tải trọng phân bố đều cường độ g = 500N/m Xác
định phần lực tại A
Đáp số: XẠ = 866N; Y, = 1500N;
Mg = 1500Nm —_—
60°
14 Dâm AC chịu lực như hình vẽ với gq = 8kN/m; F = 10kN; m, = 5kNm; mạ = 2kNm Bỏ qua trọng lượng của dầm Xác định
phan luc tai A va B
“my, mạ A NN B Ẳ 6 2m 5m 2m Đáp số: Rạ = 11ÈN;, tạ = 39EN
1.6 Thanh AB trọng lượng P = 1000N gắn vào tường nhờ bản lễ ở Á và nghiêng 45° với phương thẳng đứng nhờ day vắt qua ròng rọc treo tải trọng Œ như hình vẽ Ở điểm D trên thanh BD = 1⁄4AB có treo tải
trọng Q = 2000N Xác định phần lực ở A và tải trọng của G để thanh
Trang 10NHONG VAN DE CO BAN CUA TĨNH HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 13 Đáp số G = 1460N Xa = 780N YA = 1730N
1.6 Cho hai thanh AB và CD ở vị trí như hình vẽ với OC = ¡, trọng lượng của thanh CD bằng P Xác định khoảng cách OFƑ' có treo vật Q
để AB cân bằng ở vị trí nằm ngang Đáp số: OF = aa" E D F O Cc A[ }8 Q ———-
1.7 Cam Ó quay quanh O dưới tác dụng của ngẫu ;z Cân AB trượt
trong rãnh thẳng đứng CD Xác định lực P đè xuống cần để cơ cấu
cân bằng, (hình a) Đáp số: P = ”,
Trang 1114 CHUONG 1
Hinh a Hinh b
1.8 Cho cơ cấu Cu-lit, tay quay OA dưới tác dụng của ngẫu luc m
quay quanh O Con chạy A trượt theo thanh BC Xác định lực Q nằm
ngang đặt vào Ö để cơ cấu cân bằng, với OA = R; CB = 3R, (hinh b) Đáp số: Q = Salt
1.9 Cho kết cấu như hình vẽ gồm thanh BC, khung CDA chịu tác
Trang 12NHONG VAN bE CO BAN CUA TINH HOC VAT RAN TUYET ĐỐI 15
1.10 Một cái cầu gồm hai phan nối nhau bằng bản lễ A và gắn vào hai bờ bằng bản lễ 8 và C Trọng lượng của mỗi phần cầu là 40W
đặt tại D và E Cầu chịu tải trọng P = 20ÈN Xác định phản lực tại
A,B,C Dap sé: X, = 17,5kN; Xg =17,5RN; Xc = 17,5kN Y,=7,5kRN; Ypg=52,5kRN; Yo = 47,5kN
1.11 Cho kết cấu như hình vẽ gồm: thanh ÓA = 6a nim ngang có
trọng lượng P\ Đầu A chịu tác dụng của lực Q thẳng đứng Thanh BC =4a có trọng lượng P¿ Xác định phản lực ở B, Ó, C
Đáp số: X„ = 0; Xc =0; Mẹ = (PP; + 3P, + 6Q).a
Trang 1316, CHƯƠNG 1
1.12 Đặt một cần trục trên hai dầm AC và BC như hình vẽ Bỏ qua
trọng lượng của dầm Trọng lượng của cần trục là Q = 50&XW có đường
tác dụng thẳng đứng qua C, trọng lượng vật cẩu là P = 10%N Xác định
Trang 14Chuong 2
‘
BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1- Định nghĩa
Biểu để nội lực biểu diễn sự biến thiên của thành phần nội lực trên những mặt cắt vng góc với trục thanh
2- Quy ước dấu của thành phân nội lực trong bài toán phẳng
NN M>o ` “a : Q,>0 P
e N, > 0: lực đọc dương khi có chiều hướng theo phương pháp tuyến ngoài của mặt cắt làm cho phần vật khảo sát có biến dạng kéo, ngược lai N, < 0
©e Q,„ > 0: lực cắt dương khi có chiều hướng theo phương pháp tuyến ngoài quay theo chiều kim đồng hồ một géc 90°,
ngược lai Q, < 0
e M, > 0: mémen uén duong khi lam thé duong bi kéo, ngược lai M, < 0: mômen uốn âm khi làm thớ âm chịu kéo
Trang 1518 CHUONG 2
3- Trình tự uẽ biểu đơ nội lực ©
Bước 1: Giải phóng liên kết, xác định phan lực
Bước 2: Phân đoạn theo điều kiện sao cho trên mỗi đoạn thanh
khơng có sự thay đổi đột ngột về lực (đối với khung còn thêm điều kiện: trên mỗi đoạn khung khơng có sự thay đổi về phương của khung)
Bước 3: Phân tích các thành phần nội lực trên từng đoạn thanh, sau đó dùng các phương trình cân bằng tĩnh học để viết biểu thức toán cho từng phần
Bước 4: Vẽ biểu dé nội lực (tương tự như khảo sát hàm số)
2.2 BÀI TẬP
Vẽ biểu đô nội lực của các thanh có sơ đồ chịu lực như sau:
Trang 2124 ` CHƯƠNG 2 2.28 2.29 2 2.30
Trang 22BIỂU ĐỒ NỘI LỰC , 25 Giai:
1) Xác định các phản lực Va, Ve
Giả sử phản lực tại hai gối A, B có chiều hướng lên:
>MẠ =0: P1—-M_—-qg2x3+Vp4=0
=> Vp = OS OHS = 15 AN
XFy =0: Vụ=P+g.3— Vạ = 20 + 10 x 3 — 15 = 25 ÈN
2) Phân đoạn thanh
Theo điều kiện phân đoạn, chia thanh ra làm bốn đoạn: CA, AD,
DE, EB
3) Phân tích thành phân nội lực trong từng đoạn
- Đoạn CA: 0 <z < 1m; P Q, =-P; M,=-Pz Q,>0 - Đoạn AD: 1 <z < 2 c oe Q, = —P + Va; + M, = —Pz + Va(z — 1) - Đoạn DE: 2 <z < 3 Q, =-P + Vụ; My =-—Pz + VẠŒ — 1) + M `
- Doan EB: 0 < z' < 2 (đặt gốc tọa độ tại B)
Qy =—Vn +qz; M, = V;z` — qz”/2
4) Vẽ biểu đô nội lực: Từ các biểu thức toán của Qy và M;, thay
giá trị z ở các điểm đầu và cuối của từng đoạn, ta vẽ được biểu dé cia
Qy và Ä, (theo hình vẽ)
2.3 NHẬN XÉT ˆ
1- Liên hệ u¡ phôn giữa các thành phân nội lực: mômen uốn M,, lực cắt
Q, va luc phân bố q
dM,
dz
Trang 2326 CHUONG 2
Từ liên hệ vi phân này, ta có nhận định:
- Trong những đoạn có lực phân bố đều khi g(z) = const thì @y là
đường bậc nhất, M, là đường bậc hai
- Trong những đoạn không có lực phân bố thì Q, là hằng số, M, là đường bậc nhất
2- Biéu dé Q, (M,) có bước nhảy tại nơi có lực (mômen) tập trung, giá trị
của bước nhảy bằng cường độ lực (mơmen) tập trung Ví dụ 2.2 Vẽ biểu đồ néi luc cho dam console sau: -
Trang 24BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 27
Vi du 2.8 Vé biéu dd néi lực của khung có sơ đổ chịu lực và liên kết
như hình vẽ
Giải: Dựa vào những nhận xét rút ra từ ví dụ 2.1, ta có thể vẽ nhanh
biểu đồ nội lực Mai? ql B G 5 2 q 7 2I D œ) A rir Chú ý:
- Đối với liên kết ngàm, ta không cần xác định phản lực, chỉ xét cân bằng ở phần khung không chứa ngàm
Trang 2528 , CHUONG 2
Vi du 2.4 Cho hệ phẳng gồm khung ADC liên kết khớp với thanh 8C
theo sơ đồ lực:
1) Xác định cho các phản luc tai A, B, C, D
2) Vẽ các biểu đồ nội lực cho hệ
a/2 a/2 q l J I | Ìo Giải:
1) Dùng phương pháp tách vật, tách khớp C va tinh phan lực tại liên kết.tựa tại B theo phương trình mơmen:
Trang 26BIỂU Đồ NỘI LỰC 29
=> Ny = 22
v2
Dùng phương trình lực chiếu lên hai phương nằm ngang z và
thẳng đứng ÿ, ta tính được:
3qa
Ho = 2%, Vo ==
£”an 6g
- Xét khung ADC:
XM,A = M -9qa.Š A 2 — Họ.a — Vẹ Cc SẼ + Vp.ø = 0 2 D
=> Vp =-2qa+ 3,75ga = vga = 1,75qa
>y =-Vụ + 2qga + Vẹ - Vp =0
> V, =1,75qa
Vậy phản lực tại các liên kết khớp của hệ là:
qa
H, A =0,50ga kí Nz B = /5 Ho c = 0,5ga qg
V4 =1,75qa Vp =1,75qa Vẹ = 1,5qơ
2) Vẽ ba biểu dé nội lực cho hệ: 1,75qa
Trang 28
Chuong 3
UNG SUAT VA BIEN DANG
3.1 TOM TAT LY THUYET
1- Những định nghĩa và định luật cần nhớ
a- Dinh nghĩa
- Ứng suất tại một điểm là cường độ phân bố của nội lực trên
một đơn vị diện tích ở điểm đó thuộc mặt cắt của vật thể chịu lực
cân bằng
- Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đó được đặc trưng bởi các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp có trên những mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó
b- Định luật
- Tại một điểm trong vật thể chịu lực cân bằng, nếu biết được các thành phần ứng suất pháp và tiếp nằm trên ba mặt vuông góc với nhau thì ta hoàn toàn xác định được trạng thái ứng suất tại điểm đó
- Định luật đối ứng ứng suất tiếp: các thành phần ứng suất tiếp
nằm trên hai mặt vuông góc với nhau và cùng vng góc với giao tuyến
chung của hai mặt cắt đó thì có trị số bằng nhau nhưng đối chiều
- Tại một điểm trong vật thể chịu lực cân bằng, ta ln tìm được ba ứng suất chính nằm trên ba mặt vng góc với nhau: ơ¡ >ơạ >ơa
« Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính » Mặt chính là mặt có các ứng suất tiếp bằng không
Trang 2932 ` CHƯƠNG 3
2- Quy ước dấu cho ứng suất
Tách một phân tố lập phương tại I trên mặt cắt ngang của phần
vật đang khảo sát, ta xét trạng thái ứng suất tại điểm I:
I SẲy z Tụ ‡ i ~ Tự : ; o, : Ty x 1 — ns Ty | oA Tex % Ầ y te
- 62, O,, Gy lA ứng suất pháp (hướng theo phương pháp tuyến
ngoài của mặt cắt ngang)
- Ứng suất tiếp (thuộc về mặt cắt ngang) có quy ước về cách
đặt tên: -
Chỉ số thứ nhất: biểu thị phương pháp tuyến ngoài của mặt cắt
ngang chứa ứng suất tiếp
Chỉ số thứ hai: biểu thị phương
của thành phần ứng suất tiếp đó $ o,>0
Cho phân tố có các ứng suất sau: ———
ø>0: khi hướng ra ngoài : ơ,<0 ơ,<0
(hướng theo phương pháp tuyến Ty> 0
ngoài của mặt cắt ngang), ngược lại
ơ<0
yz< Ô
+>0: cùng chiều với pháp tuyến y
ngoài quay theo chiều kim đồng hỗ
một góc 90° (giống như lực cắt), ngược lại t< 0
3- Cách vẽ vòng tròn Mohr
Phương trình của vịng trịn Mohr ứng suất: o,+ o, 2 2
Trang 30UNG SUAT VA BIEN DANG 33
Vịng trịn sẽ có tâm n*ằm trên trục hoành cách gốc tọa độ một
+
đoạn a=" và bán kinh R = (2 + tây
những điểm nằm trên đường tròn Mohr ứng suất sẽ cho ta giá trị của
các ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trên những mặt khác nhau đi qua điểm có trạng thái ứng suất phẳng ta đang xét “
- Tọa độ của
Khi vẽ vòng tròn Mohr, ta tuân theo trình tự sau:
Bước 1: Xác định tâm của vịng trịn
Trên trục hồnh lấy hai điểm A(G;,0), B(ơy,0) thì trung điểm AB
sẽ là tâm vòng tròn:
(AC = CB = “2°? > OC =a = 927% * Sy)
Bước 2: Xác định bán kính ? của vòng tròn: Lấy điểm cực P(Gy, t,y) thì:
Ơ
‘ — 6,2
CP =R= cv +12
Ví dụ 3.1: 1- Xác định Ơuw Tựw Ơmeas Ominy Tmax Tmin
a- Từ vòng tròn Mohr ta xác định được các giá trị và vị tet các
ứng suất nghiêng, cực trị trên phân tố như sau:
ơu = 3,25kN/cm?; Gmin = —6,BENiem®?; max = 4,5kNicm? tuy = 8,BkNlcm”; tmin = -5,5kNiem?; tax = 5,5kN/em? *
Trang 31
34 , CHUONG 3 b- Kiểm tra kết quả trên bằng cơng thức giải tích:
O,+ oy „5:-8
us * cos2a - try sin 2a
= —— + se cos60° + 2sin 60° = 3,232 &N/em?
so với đồ thị kết quả đúng (sai số rất bé) ƠØy—Ơy
Tuy = “sin 2œ + ty cos 2œ
4-6 o >no 2
= sin 60° —2cos 60° = 3,34kNicm
SG; +Ơy Ø¿y -Ơy 2 2 4-6 4+62 2
Cmax paw 5 ch +tấy = as SF +(-2)
Cmax = 4,45%N/cm? > = -6,45kN!cm? min oO, ae st (2)? + tổ, = +B,4 kN/em?
Tính góc chính ơa (góc định vị ứng suất chính thứ nhất ơi = GØmaz):
ty =9 2
t " nn a
Boy Sy — max -6-45 105
=> a, = 10°47’; ag = a; + 90° = 100°47?
'e- Nhận xét: Bằng vịng trịn Mohr ta có thể xác định được giá
trị và vị trí của các ứng suất trên các mặt cắt khác nhau của phân tố
rất dễ dàng và nhanh chóng và kết quá gần giống với công thức giải tích Các kết quả tìm được rất hợp lý vì:
Ơ; + Ơy = Ơmax + Ơmia = —2kN/em? =
2- Tinh cde ting suất biến dạng dài tỷ đối theo ba phương
Theo định luật Hooke, đối với biến dạng dài của một nguyên tố ở
trạng thái ứng suất phức tạp được xác định theo công thức:
1
Trang 32UNG SUAT VA BIEN DANG 35
£,= E alo, - plo, + oy)]
o, = 4kNiem?
với: 4ơy= -6kN/em?; o, = 0
E = 2.104kN/cem?; = 0,25
Thay các giá trị vào công thức, ta được:
sz= ——xl4 - Ö,95 x (~6)] = 3/75.1074 2.10 Sy= — -z[_6 - 0,85 x 4] = —3,6.1074 2.10 tự = _ 0,25 x (4 — 6)] = 0,25.1074 2.104
Vay phan té bi kéo theo phuong x, z va bi nén theo phuong y 3- Tính ứng suất tương đương
Theo thuyết bền Ứng suốt tiếp lớn nhất (thuyết bền III):
Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương
đương khi hai ứng suất tiếp lớn nhất của chúng bằng nhau
rq = 01 — 03
Dựa vào vòng tròn Mohr ta có:
6, = 4,5kN/em? (= max)
62 =0
63 = —6,BkN!cm? (= Gmin)
Ga = 4,ð + 6,5 = L1EN/cm? -
Theo thuyết bền Thế nỡng biến đổi hình dạng (thuyết bền IV): Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương khi hai “Thế năng biến đổi hình dạng riêng của chúng
bằng nhau”
Org = yo? + 0% +03 - 01.09 - O2.03 — 01.63
Trang 3336 CHUONG 3
Khi ơ; = 0 thì: og = yor + 0% — 01.03
= [4,57 + 6,5? — 4,5 x (-6,5) = 9,6 kNicm?
1a thấy ơ¿z tính theo hai thuyết có kết quả khác nhau Sự chênh lệch giữa hai kết quả tương đối lớn Theo kinh nghiệm và dựa vào cơ sở lý luận của từng thuyết, người ta cho rằng thuyết bển IV cho kết
quả tương đối chính xác hơn nên được dùng nhiễu, trong khi thuyết
bén III cho kết quả kém chính xác hơn nhưng vì tính tốn đơn giản nên người ta vẫn sử dụng khi tính tốn gần đúng
4- Nhận xét đặc điểm của phân tố
Phân tố thuộc loại trạng thái phẳng bất kỳ
3.2 BÀI TẬP
Cho phân tố với các ứng suất ơ;, oy, ty nhu hinh vẽ, đơn vi
kNiem? Hay:
1) Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng và ứng suất cực trị bằng phương pháp đổ thị (vẽ vòng tròn Mohr theo một tỷ lệ nhất
định, ví dụ như 1&N/m? = 1em) Sau đó, kiểm tra lại kết quả bằng cơng thức giải tích và cho nhận xét về hai phương pháp
2) Tính các biến dạng dài tỷ đối theo các phương +, y, z Cho hệ sé Poisson p = 0,25; E = 2.10*kN/em?
3) Tính ứng suất tương đương theo hai thuyết bền: Ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết III) và Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bên IV) So sánh kết quả và cho nhận xét về hai thuyết
Trang 35Chương 4
TÍNH BỀN THANH KHI ỨNG SUẤT KHÔNG ĐỔI
Mục đích của chương này là tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực trị trong thanh để từ đó tính bền chỉ tiết máy hay kết cấu cơng
trình có hình dạng và liên kết được quy về sơ đô dạng thanh và khung (khung là đường thanh có đường tâm là đường gãy khúc)
4.1 KHÁI NIỆM
« Tính bền là tính tốn thanh đảm bảo điều kiện bền, có nghĩa là tính mức độ chịu lực của vật liệu đảm bảo sao cho thanh không bị
phá vỡ khi làm việc Tổng quát điều kiện bền được thể hiện qua hai bất đẳng thức:
moaxlơl <[ø]; mœxltl <[t]
trong đó: møơxlơl, maxltl - giá trị ứng suất pháp, ứng suất tiếp lớn nhất trong toàn thanh được tính bằng những cơng thức sẽ trình bày
trong chương này; [ơ], [r] - ứng suất pháp, ứng suất tiếp cho phép của vật liệu thường được cho trước trong các bài tốn
‹« Trong q trình tính tốn, ở
chương này ứng suất được xem là hằng số, y
không thay đổi theo thời gian, nhiệt độ,
hoặc sự hoạt động của chi tiết máy y
Nhưng trong thực tế, có một số trường hợp ứng suất có thể thay đổi theo các yếu tố trên, vấn để này sẽ được trình bày ở một
chương khác
dF
S x x
« Khi tính sức bền vật liệu ta thường Hinks
inh 4
Trang 36TÍNH BỀN THANH KHI ỨNG SUẤT KHÔNG ĐỔI 39 cắt ngang Ở đây, tài liệu khơng trình bày các đặc trưng này trong
một chương riêng, mà chỉ đưa ra một số công thức tổng quát để bạn
đọc có thể nhận ra các đại lượng này trong một số tính toán và chứng
minh về sau của tài liệu này
Cho hình phẳng Ƒ nằm trong hệ trục Oxy, đƑ là vi phân diện
tích có tọa độ (x, y), (H.4.1)
1- Mơmen tĩnh của hình phẳng đối uới trục (mômen diện tích cấp một) Gọi 9, và S, lần lượt là mơmen tĩnh của hình phẳng #' đối với truc x va y thi:
S, = foar; S,= fxr (4.1)
F F
Nếu hình phẳng tính được diện tích F, c6 toa dé trung tam là x,
và y thì:
S,=yF; S5y=x.F (4.2)
Nếu hệ trục thỏa mãn điều kiện 6, = 8, = 0 (khi gốc tọa độ O trùng với trọng tâm C của hình phẳng) thì hệ được gọi là ứrực
trung tâm :
9- Mơmen qn tính (mơmen diện tích cấp hai)
« Đối uới một trục:
Jv= [y?dF >0; Jy= [x?dP >0 (4.3)
F F
« Đối uới một điểm (mômen quán tính độc cực):
dJ,= [p?dF = lu + y2)dF = J,+ Jy (4.4)
F F
« Đối uới hệ trục (mômen quán tính ly tâm):
Jy = [xvdF (4.5)
F
Ta thấy J„ là đại lượng có thể dương, âm hay bằng 0, nếu hệ
Trang 37"` CHUONG 4
¢ C4ch tinh tốn ứng suất được xác định tùy theo từng trường hợp chịu lực của thanh Các trường hợp chịu lực của thanh được phân biệt dựa vào thành phần nội lực xuất hiện trên mặt cắt ngang của thanh
a- Trường hợp chịu lực đơn giản: khi trên mặt cắt ngang của
thanh chỉ có một thành phần nội lực Nếu trên mặt cắt ngang của
chanh có:
1) N, (luc doc) - thanh chiu kéo nén đúng tâm
2) Q, (lực cốt) - thanh chịu cắt
3) M, (mômen xoắn) - thanh chịu xoắn thuần túy
4)*M, (mômen uốn) - thanh chịu uốn thuần túy
b- Trường hợp chịu lực phức tạp: khi trên mặt cắt ngang của
thanh có từ hai thành phần nội lực trở lên Nếu trên mặt cắt ngang
của thanh có: ,
1) Q,, M, - thanh chiu uén ngang phang
2) M., M, (bé qua Q,, Q,) - thanh chiu uén xién
3) M,, M, va N, - tharh chiu uén va kéo nén đồng thời (thanh chiu kéo nén léch tam)
4) M,, M, va M, - thanh chiu uén va xoắn đồng thời
Khi tính ứng suất pháp từ N;, M;, My sẽ có cùng một cơng thức
tính cho các trường hợp chịu lực của thanh, còn ứng suất tiếp từ Qy
hay Ä⁄, thì tùy theo từng trường hợp chịu lực mà có các cơng thức tính riêng
4.2 THIET LAP CONG THUC TINH UNG SUAT PHAP TONG QUAT
Để thiết lập công thức tính ứng suất pháp tổng quát cho thanh, ngoài việc dựa vào định luật Hooke và nguyên lý độc lập tác dụng ta
còn sử dụng giả thiết Bernouli để tìm quy luật biến dạng cho thanh Giả thiết này dựa vào thí nghiệm như sau:
Cho thanh chịu lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ có thành
Trang 38TÍNH BỀN THANH KHI ỨNG SUẤT KHÔNG Đổi 41
song song và vng góc với trục thanh (tạo thành các góc vng)
tượng trưng cho các thớ dọc và mặt cắt ngang (H.4.2a)
(
a) b) Hình 4.2
M, M
Sau biến dạng ta nhận thấy: (H.4.2b)
- Những đường thẳng song song với trục thanh trở thành những đường cong nhưng vẫn song song với trục thanh sau biến dạng,
điều này dẫn đến giả thiết về các thớ đọc
- Những đường vng góc với trục thanh thì sau biến dạng vẫn vng góc với trục thanh (các góc vng vẫn tổn tại), điều này dẫn đến giả thiết về các mặt cắt ngang
Hai giả thiết có nội dung như sau:
Giả thiết uề các thớ dọc: trong quá trình biến dạng các thớ
dọc không xô đẩy lẫn nhau Giả thiết này chứng tổ khi thanh chịu uốn thì khơng có lực tác dụng theo phương vng góc với trục thanh, nghĩa
là tại mỗi điểm của thanh: ơ; = ơy = 0, chỉ tổn tại một ứng suất pháp
ơ; theo phương song song trục thanh
Giả thiết uê mặt cắt ngang: trong quá trình biến dạng các
mặt cắt ngang luôn phẳng và thẳng góc với trục thanh Giả thiết này
chứng tỏ không có ứng suất tiếp trén mat cdt ngang: ty = tr = try = 0 Từ những lý luận trên có thể chứng minh rằng để thiết lập cơng thức tính ứng suất pháp tổng quát cho thanh, ta chỉ cần tính một ứng
suất pháp o, theo phương song song trục thanh
Giả sử ta xét một thanh chịu lực sao cho trên mặt cắt ngang của thanh có các thành phần nội lực N;, M,, ẤM, liên hệ vi phân với ơ;,
bằng các biểu thức:
N,= [ø,dF (4.6)
Trang 39a CHUONG 4
M, = fo.vdF - (4.7)
F
My= [o,xdF (4.8)
F
Xét đoạn thanh dz gidi han béi hai mặt cắt ngang (1-1) va (2-2)
(H.4.3) : :
Hinh 4.3
Thiết lập hệ trục quán tính trung tâm trên mặt cắt ngang (1-1), như vậy ta có các đặc trưng hình học:
S, =S,=dy =0 Từ định luật Hooke:
o, = Ee, (4.9)
Ta thấy quy luật phân bố của ơ, giống như quy luật phân bố của e;, vì vậy để tìm hàm ơ; ta tìm hàm của e, Để tìm quy luật biến dạng é ta phân tích sự chuyển dịch của mặt cắt ngang (1-1)
Dưới tác dụng của N,, M,, My mặt cắt ngang (1-1) sẽ có các
chuyển động như sau (xét một cách tương đối, ta xem mặt cắt ngang
(2-2) đứng yên):
1- Ñ; làm (1-1) chuyển động tịnh tiến theo trục z khiến điểm O dịch chuyển đến O' một đoạn là đưạ
2- M, lam (1-1) chuyển động quay quanh trục x khiến trục y
Trang 40TÍNH BÊN THANH KHI ỨNG SUẤT KHÔNG Đổi 43
3- M, lam (1-1) chuyển động quay quanh trục y khiến trục z
nghiêng một góc đ0,
Xét điểm A có tọa độ (x, y) nằm trên (1-1) Tính biến dạng dài tuyệt đối du của A theo phương z Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng,
ta có biến dạng dài do N,, É,, My đồng thời gây ra thì bằng tổng các biến dạng do từng thành phần nội lực này gây ra, do đó ta được:
du = dua + yđ9, + xd0, (4.10)
Biến dạng dài tỷ đối:
_ du _ đu, ‘ „39z de, = — 4.11 °z” de T de dz ** dz eo Thay (4.10) vào (4.9): du, de do, : , - Oe 12 a 5 Sie + ye + se (4.12) 'Thay (4.12) vào (4.6) ta có: du dé dé N,= |E|—> * — |dF : fo(Ge + z5 + =S)
Vi E, du,, đ9,, đ9, không phụ thuộc vào diện tích F, nên ta có
thể rút ra ngồi tích phân:
N,= 2 {Ss far + Bs fyar + oe fear }
F F F
dz dz dz
C——— _
F Sy=0 Sy=0
Chú ý: vì ta sử dụng hệ trục quán tính chính trung tâm nên các đặc trưng hình học của diện tích Ƒ là: