bài giảng về Tối ưu hóa

bài giảng về Tối ưu hóa, bài giảng về Tối ưu hóa , bài giảng về Tối ưu hóa , bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa bài giảng về Tối ưu hóa

TỐI ƯU HĨA I Khái niệm - Tối ưu hóa hoạt động có mục đích, nhằm có kết tốt (giá trị tham số đối tượng) điều kiện thích hợp - Tối ưu hóa gồm:  Tìm cực trị hàm xét  Điều kiện tối ưu để thực quy trình cơng nghệ II Phân loại - Tối ưu hóa thơng số - Tối ưu hóa nhiều thơng số III Trình tự thực toốn tối ưu B1: Chọn tiêu chuẩn tối ưu hóa B2: Lập quan hệ (mơ hình tốn học) hàm mục tiêu yếu tố khảo sát thơng qua thí nghiệm quy luật (cân vật chất, cân lượng, v.v) chuẩn số thực nghiệm B3: Tìm thuật tốn (phương pháp tìm giá trị tối ưu) mục tiêu IV Tiêu chuẩn tối ưu hóa Các tiêu chí cần định lượng được, nhất, kiểm tra thực thi Tiêu chí đề cao khó thực  Chỉ tiêu cơng nghệ: suất, hiệu suất, v.v  Chỉ tiêu kinh tế: giá thành, chi phí lượng, chi phí nhân cơng, v.v  Chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật (nếu đảm bảo tiêu kinh tế kỹ thuật thỏa tiêu kinh tế)  Chỉ tiêu khác tâm lý, thẩm mỹ, môi trường, xã hội, v.v V Tối ưu hóa hàm biến Đặt vấn đề: Tìm x để f(x)  Min, g(x)  Max Yêu cầu: - Hàm f(x) có dạng giải tích - Biết khoảng khảo sát a,b]: [a,b] f(x) có cực tiểu - Sai số cho phép:  > bé tùy ý Phương pháp thực - Phương pháp phân đôi - Phương pháp lát cắt vàng - Phương pháp dùng cơng cụ máy tính Phương pháp nhân đơi B1: Tìm khoảng chứa nghiệm [a;b] có nghiệm cách vẽ đồ thị, chọn ε tùy ý B2: Tính c= a+ b B3: Biết c, yinhs giá trị x1 từ tính giá trị f(x1) f(x2) tương ứng B4: So sánh giá trị f(x1) f(x2) Nếu f(x1) < f(x2) thay b c, f(x1) > f(x2) thay a c B5: Tính Δ = |b –a| tìm đượcb –a|b –a| tìm tìm Nếu Δ < ε dừng ta coi giá trị đoạn [a;b] nghiệm Nếu không, ta quay trở lại bước với giá trị a, b tiếp tục xét Phương pháp lát cắt vàng Thế lát cắt (tỷ số) vàng ? AC BC = BC AB Trong đó: L= AC = 3−√ =0,382 AC + BC = L + 0,618 = B1: Tìm khoảng chứa nghiệm [a;b] có nghiệm cách vẽ đồ thị, chọn ε tùy ý B2: Tính L = a + 0,382.|b –a| tìm đượcb – a|b –a| tìm B3: Biết c, giá trị x1 từ tính giá trị f(x1) f(x2) tương ứng B4: So sánh giá trị f(x1) f(x2) Nếu f(x1) < f(x2) thay b L, f(x1) > f(x2) thay a L B5: Tính Δ = |b –a| tìm đượcb – a|b –a| tìm tìm Nếu Δ < ε dừng ta coi giá trị đoạn [a;b] nghiệm Nếu không, ta quay lại bước giá trị a, b tiếp tục xét VI Tối ưu hóa hàm nhiều biến Đặt tốn - Cần tìm cực trị ( cực tiểu) hàm nhiều biến u = f( 𝑥1, x2, x3,…, xn) - Cần tìm X* = 𝑥1*, x2*,x3*,…, xn* để f(X*)→ - Nếu cần tìm X* để g(X*) → Max đặt f(X) = -g(X) - Tìm X* để f(X*) → Min đồng nghĩa với việc tìm g(X*) → Max Giả thiết - F(X) có dạng giải tích - Biết giá trị X0 = 𝑥10, x20, …, xn0 gần ban đầu - Biết sai số cho phép : Ꜫ Thực Bước 1: Tìm X0 : Bộ số gần ban đầu  Khơng có phương pháp chung cho toán mà phụ thuộc nhiều vào kinh nghiệm  Trong ngành cơng nghệ hóa học thì: o Nồng độ thường có giá trị từ → o Các biến thường không âm, nghĩa X ≥ Các biến quy hoạch thực nghiệm: 0, ±1, ± α Bước 2: Tìm X* thơng qua Xo theo phương pháp:    Luân phiên biến Phương pháp Gradient Phương pháp dùng máy tính Ví dụ Tìm cực tiểu hàm: f(x) = (x1 – )4 + (x1 – )2.x22 + (x2 + 1)2 bắt điểm đầu X0= [1;1] với sai số Ꜫ = 10-6 4.1 Phương pháp luân phiên biến Bước 1: Xem x2 = const, ta tìm cực trị hàm f(x1, 1) Bước 2: Xem x1 = const, ta tìm cực trị hàm f( 1, x2) Bước 3:  Nếu Δ = |b –a| tìm x10 − x11|b –a| tìm + |b –a| tìm đượcx20 − x21|b –a| tìm > Ꜫ thay Xo X tiến hành vòng lặp  Nếu Δ = |b –a| tìm x10 − x11|b –a| tìm + |b –a| tìm đượcx20 − x21|b –a| tìm < Ꜫ ta dừng vòng lặp kết luận  f(x1, 1) = f(x1, 1) = (x1 – )4 + (x1 – )2 + f(x1, 1) x1 =  f( 1, x2) = (x2 + 1)2 + x22 + f( 1, x2) x2 = - 0,5  Δ = |b –a| tìm được1-2|b –a| tìm + |b –a| tìm được1-(-0,5)|b –a| tìm = 2,5 > Ꜫ → Tiến hành vòng lặp với X1 = (2,-0.5) Thực tương tự với X1 = (2,-0.5) f(x1, x2 ) X2 = (2,-1) Δ = |b –a| tìm được2-2|b –a| tìm + |b –a| tìm được-0,5 – (-1)|b –a| tìm = 0,5 > Ꜫ →Tiến hành lặp lần với X2 = (2,-1) f(x1, x2 ) X3 = (2,-1) Δ = |b –a| tìm được2-2|b –a| tìm + |b –a| tìm được-1 – (-1)|b –a| tìm = < Ꜫ = 10-6 → Dừng lặp Kết quả: Sau lần lặp, Δ=0 < Ꜫ → Dừng lặp f(x)min = x1 = , x2 = -1 4.2 Phương pháp Gradient Thuật toán gradient: Biết hàm: f(X) với giá trị gần ban đầu: X0 = X10, X20, Xn0 Tính:  xi,k+1 = xi,k ∓ h ∇ f ( Xi,k)  với: dấu – tìm cịn dấu + tìm max  h khoảng cách từ O đến Xk 4.2.1 Phương pháp Newton YÊU CẦU: Hàm mục tiêu có đạo hàm cấp liên tục BƯỚC KHỞI TẠO: Chọn sai số số ε > Lấy điểm xuất phát X0 BƯỚC LẶP THỨ K: Điều kiện dừng: |b –a| tìm đượcf(Xk+1) – f(Xk)|b –a| tìm < ε Thực hiện: S K =−∇ f (X ¿¿ k) ¿  Chọn vector hướng ⃗  Phương pháp Newton truyền thống: không sử dụng bước nhảy h khơng có vecto phương Sk để tính bước nhảy nên h = với phép lặp −1  Tính Sk theo cơng thức: X k+1= X k −h k [ ∇2 ( X )k ] ∇ f ( X k )  Kiểm tra điều kiện Nếu thỏa điều kiện dừng phép lặp Nếu khơng tiếp tục thực phép lặp 4.2.2 Phương pháp đường dốc 4.2.3 Ưu điểm: cần vector gradient điểm làm vector phương, kết hợp vector gradient vector hướng thay đổi nhanh hàm số → Bài toán tiến nhanh Ưu điểm: cần vector gradient điểm làm vector phương, kết hợp vector gradient vector hướng thay đổi nhanh hàm số → Bài toán tiến nhanh - BƯỚC KHỞI TẠO: Chọn sai số ε > Lấy điểm xuất phát Xo - BƯỚC LẶP THỨ k: Điều kiện dừng: |b –a| tìm được|b –a| tìm ∇ f (Xk)|b –a| tìm được|b –a| tìm < ε, với ¿ Thực hiện: S K =−∇ f (X ¿¿ k) ¿  Chọn vector hướng ⃗  Chọn bước nhảy h khoảng cách ngắn từ toạn độ đầu Xo đến Xk cách Sk ) thực toán cực tiểu hàm biến f(Xk + hk⃗  Kiểm tra điều kiện |b –a| tìm được|b –a| tìm được∇ f(Xk)|b –a| tìm được|b –a| tìm < ε Nếu thỏa điều kiện dừng phép lặp Nếu khơng tiếp tục thực phép lặp VII Lập mơ hình tốn tối ưu Các bước lập mơ hình Bước Đặt ẩn xác định điều kiện cho ẩn Bước Xác định điều kiện ràng buộc ẩn Bước Xác định hàm mục tiêu Bước Hồn thiện mơ hình Giải toán - X = (x x f(X) ) thỏa (2), (3) => X phương 1, xmục 2,…, Hàm tiêu: n → Max/Min án Mơ hình tốn học - Phương án X gọi phương án tối ưu (PATU) X thoả Hệ ràng buộc (1) Ràng buộc * Giải tốn QHTT tìm PATU Ràng buộc dấu Mơ hình toán QHTT dạng tổng quát ◉ Giải toán - X = (x1, x2,…, xn) thỏa (2), (3) => X phương án - Phương án X gọi phương án tối ưu (PATU) X thoả (1) * Giải tốn QHTT tìm PATU Mơ hình tốn QHTT dạng tắc QHTT dạng CHÍNH TẮC = QHTT dạng TỔNG QUÁT + Điều kiện Điều kiện 1: Các ràng buộc (2) phương trình Điều kiện 2: ràng buộc dấu (3) thỏa x j ≥ ∀ j=1 ´,n (thực tế ln thỏa) * Xử lý ràng buộc - Trường hợp 1: Mang dấu “≥” Thêm vào toán ẩn phụ dương với dấu “−” trước ẩn - Trường hợp 2: Mang dấu “≤” Thêm vào toán ẩn phụ dương với dấu “+” trước ẩn Mơ hình toán QHTT dạng chuẩn QHTT dạng chuẩn = QHTT dạng tắc + điều kiện Điều kiện 1: Các hệ số tự ràng buộc (2) không âm: b i ≥ ∀ i=1 ,´m (thực tế thỏa) Nếu bi < 0, tiến hành đổi dấu ràng buộc thứ i tương ứng Điều kiện 2: Ma trận hệ số A ràng buộc (2) có đủ m cột đơn vị - Nếu ma trận A thiếu cột đơn vị thứ k thêm vào tốn ẩn giả xn+k ≥ cộng vào ràng buộc thứ k Hàm mục tiêu thay đổi sau: Đối với toán min: f(x) = f(x) + M(ẩn giả) Đối với toán max: f(x) = f(x) – M(ẩn giả) Vói M vơ lớn