Bài toán có tín hiệu tiền định (Điều khiển tiền định)
Tín hiệu là một hoặc nhiều hàm thời gian chứa thông tin vật lý, được truyền tải thông qua một đại lượng vật lý khác.
Nh− vậy tín hiệu có ba đặc điểm để nhận biết Đó lμ:
− đ−ợc mô tả bằng một (hoặc nhiều) hμm thời gian x(t),
− hμm thời gian đó phải mang một thông tin vật lý nhất định,
− vμ hμm đó phải truyền tải đ−ợc cũng bằng một đại l−ợng vật lý
Ví dụ 1.2: Minh họa khái niệm tín hiệu
Để duy trì mực nước trong bình ở mức hằng số, độ cao cột nước là thông số kỹ thuật quan trọng của hệ thống Giá trị độ cao cột nước tại thời điểm t được đo bằng cảm biến và biểu diễn dưới dạng điện áp u(t) theo thời gian, với đơn vị là Volt Điện áp này được sử dụng để truyền tải thông tin về độ cao cột nước.
Để điều khiển nhiệt độ, giá trị nhiệt độ hiện tại là một thông số kỹ thuật quan trọng của hệ thống Nhiệt độ tại thời điểm t được biểu diễn dưới dạng hàm số phụ thuộc thời gian i(t), được đo bởi cảm biến và chuyển đổi thành đại lượng dòng điện với đơn vị Ampe Tín hiệu i(t) là hàm thời gian mang thông tin về nhiệt độ trong phòng tại thời điểm t, được truyền tải thông qua dòng điện.
Tiếng nói là một đại lượng vật lý có thể được biến đổi thành dòng điện, tạo thành một đại lượng vật lý khác để truyền tải thông tin đi xa Dòng điện này được mô tả bằng hàm thời gian i(t), trong đó hàm thời gian này đóng vai trò là tín hiệu mang thông tin của tiếng nói và được truyền tải thông qua dòng điện.
Khi đối tượng có nhiều tín hiệu x1(t), x2(t), …, xn(t) được quan tâm cùng lúc, chúng ta sử dụng ký hiệu vector x(t) = (x1(t), x2(t), …, xn(t))T để chỉ ra các tín hiệu này Trong đó, chỉ số mũ T biểu thị phép chuyển vị của vector (hay ma trận).
Phân loại tín hiệu tiền định
Tín hiệu tiền định được mô tả qua hàm thời gian x(t) và được phân loại dựa trên tính chất của hàm này Các tín hiệu này được chia thành từng cặp phạm trù để dễ dàng phân tích và hiểu rõ hơn về đặc điểm của chúng.
Tín hiệu được phân loại thành hai loại: liên tục và không liên tục, dựa trên miền xác định t∈R Một tín hiệu được coi là liên tục nếu hàm x(t) mô tả nó liên tục từng đoạn Ngược lại, tín hiệu không liên tục không đáp ứng điều kiện này Khái niệm hàm x(t) liên tục trong một đoạn có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm trong đoạn đó, tức là với mọi t₀ thuộc đoạn, hàm x(t) luôn có giá trị liên tục.
= → = − = + vμ giới hạn nμy không phụ thuộc chiều t→t 0 từ bên trái sang (luôn có tt 0 ), đ−ợc ký hiệu lμ x(t 0 +0)
Tín hiệu không liên tục đ−ợc mô tả bởi dãy các gía trị {x k }, k=…,−1,0,1,… của nó
Tín hiệu có thể được phân loại thành tín hiệu t−ơng tự và tín hiệu rời rạc dựa trên miền giá trị x∈R Tín hiệu t−ơng tự được mô tả bởi hàm x(t) với miền giá trị liên tục, trong khi tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị tại các điểm riêng lẻ Ví dụ, nếu tín hiệu chỉ nhận các giá trị hữu tỷ, nó sẽ được xem là tín hiệu rời rạc.
3) tuần hoμn vμ không tuần hoμn Tín hiệu x(t) đ−ợc gọi lμ tuần hoμn nếu tồn tại hằng số T để có x(t+T)=x(t), ∀t Hằng số T đ−ợc gọi lμ chu kỳ của tín hiệu tuần hoμn
4) nhân quả vμ phi nhân quả (causal vμ uncausal) Tín hiệu nhân quả lμ hμm x(t) thỏa mãn x(t)=0 khi t0 ph−ơng trình truyền nhiệt với nghiệm u(x,t)
− Lọc nhiễu với tần số xác định có trong tín hiệu tuần hoμn x(t)
− Phân tích sự giao thoa các đáp ứng xung trong hệ tuyến tính
− Xấp xỉ một tín hiệu x(t) tuần hoμn, liên tục từng đoạn bằng tổng hữu hạn các hμm điều hòa:
Khi xem xét điểm không liên tục t0 của x(t), tổng hữu hạn ở vế phải vẫn là một hàm liên tục với các thành phần dao động có biên độ lớn Sự gia tăng của các số hạng n dẫn đến biên độ dao động cũng lớn Hiện tượng này được gọi là hiện tượng.
− Thiết kế tín hiệu tuần hoμn x(t) với dải tần số lμm việc cho tr−ớc (bμi toán ng−ợc của việc phân tích chuỗi Fourier)
Ngoμi ra, ta còn có thể dễ dμng kiểm chứng đ−ợc các tính chất sau của phép phân tích chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoμn x(t) theo (2.10) vμ (2.12):
1) Nếu x(t) lμ hμm lẻ thì a k =0, ∀k vμ nếu x(t) lμ hμm chẵn thì b k =0, k=1,2,…
3) Bình ph−ơng sai lệch:
Q= ∫ x t −y t dt giữa hμm x(t) cho trước vμ hμm y(t) xác định bởi:
= + ∑ = + sẽ lμ nhỏ nhất, nếu y(t) có các hệ số a k , b k đ−ợc tính từ x(t) theo (2.12)
4) Chuỗi hμm theo t ở vế phải trong (2.10) sẽ hội tụ đều (uniformly) tới x(t) nếu có:
∑ tức lμ khi đó giới hạn x(t) của chuỗi (2.10) cũng lμ hμm liên tục, khả vi, khả tích giống nh− các phần tử của chuỗi
Chuỗi Fourier có thể áp dụng cho tín hiệu tuần hoàn không liên tục, được mô hình hóa dưới dạng dãy giá trị {x k }, với k = …, −1, 0, 1, …, trong đó x k = x(kT a ) và T a là chu kỳ trích mẫu từ tín hiệu liên tục x(t) Do tín hiệu là tuần hoàn, điều kiện x k+N = x k được thỏa mãn với mọi k, trong đó N là chu kỳ tuần hoàn của dãy Vì vậy, dãy này, hay hàm mở rộng x(t) = x(t) s(t), cũng có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier, nhưng với các hệ số c k , a k , b k được tính toán theo các công thức cụ thể.
Các công thức nμy đ−ợc suy ra từ (2.12) bằng cách thay dấu tích phân ∫ bằng dấu tổng ∑, t bằng iT a iT
= N Chúng th−ờng đ−ợc gọi lμ chuỗi Fourier rời rạc (DFS
− Discret Fourier Series) Nói cách khác, bản chất của DFS chính lμ chuỗi Fourier (2.10) đ−ợc áp dụng cho tín hiệu không liên tục
Tên gọi chuỗi Fourier rời rạc không liên quan đến tính chất miền giá trị của ánh xạ như đã phân loại ở chương trước Cụ thể, thuật ngữ "rời rạc" không có nghĩa là miền giá trị của các hệ số chuỗi là tập điểm không liên thông Thực chất, chuỗi Fourier (2.10) được áp dụng cho tín hiệu không liên tục {x k }, với k = …, −1, 0, 1, … Do đó, để chính xác hơn về mặt ngôn từ, chúng ta nên gọi nó là chuỗi Fourier cho tín hiệu không liên tục thay vì chuỗi Fourier rời rạc.
Chuỗi Fourier có ứng dụng quan trọng trong thực tế, nhưng chủ yếu chỉ áp dụng cho các tín hiệu tuần hoàn Để mở rộng khả năng ứng dụng của chuỗi Fourier, cần nghiên cứu thêm các phương pháp khác.
Phép biến đổi Fourier được định nghĩa cho tín hiệu x(t), bất kể tín hiệu đó có tuần hoàn hay không, cũng như có liên tục hay không Ảnh Fourier của tín hiệu này, ký hiệu là X(jω), được tính toán dựa trên công thức (2.12) để xác định hệ số c_k.
= ∫ với ánh xạ ng−ợc ( ) 1 ( )
= ∫ (2.13) Để tiện cho việc trình bμy, sau đây ta sẽ sử dụng ký hiệu:
F để chỉ phép biến đổi Fourier, tức lμ:
T−ơng tự nh− ở chuỗi Fourier, điều đầu tiên mμ ta cần phải bμn ở đây lμ khả năng hội tụ của tích phân vô hạn trong (2.13)
− Điều kiện đủ để tồn tại ảnh Fourier: Hμm x(t) phải có chuẩn bậc 1, tức lμ tích phân vô hạn thứ nhất trong (2.13) phải hội tụ:
−∞ ∫ < ∞, hay x(t)∈L 1 vì khi đó cũng sẽ có:
− Nếu x(t) không liên tục tại t 0 thì để ảnh ng−ợc ở công thức thứ hai trong (2.13) cũng đúng tại t 0 , hμm x(t) phải có giá trị tại t 0 lμ:
Tiếp theo, ta sẽ khảo sát một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier (2.13) để tiện cho việc sử dụng sau nμy
1) Nếu x(t) lμ hμm chẵn thì X(jω) lμ hμm thuần thực (phần ảo bằng 0) vμ nếu x(t) lμ hμm lẻ thì X(jω) lμ hμm thuần ảo (phần thực bằng 0)
Khẳng định nμy đ−ợc suy ra một cách đơn giản nhờ công thức Euler:
= ∫ = ∫ − ∫ vμ điều hiển nhiên rằng tích phân có cận đối xứng của hμm lẻ sẽ bằng 0
2) Phép biến đổi Fourier lμ tuyến tính:
3) Phép biến đổi Fourier lμ nội xạ (injective): x(t)≠y(t) ⇒ F{x(t)}≠F{y(t)}
4) Nếu có ( )x t =x t( ) thì cũng có (X −jω)= X j( ω), trong đó a lμ ký hiệu chỉ số phức liên hợp của a
5) Nếu x(t) có ảnh Fourier X(jω) thì:
7) Parseval: Giữa năng l−ợng tín hiệu x(t) vμ ảnh Fourier X(jω) của nó có quan hệ:
8) Riemann−Lebesgue: ảnh Fourier X(jω) lμ hμm liên tục theo ω vμ lim ω X j ( ω 0
Tính liên tục của X(jω) đ−ợc xác nhận bằng cách với mọi ε>0 cho tr−ớc ta chọn hai hằng số d−ơng a,b sao cho:
Hiển nhiên hai hằng số dương nμy luôn tồn tại do có x(t)∈L 1 Khi đó với mọi hằng sè δ δ (ký hiệu Re(s) lμ chỉ phần thực vμ Im(s) lμ chỉ phần ảo của số phức s)
5) Gọi X(s) lμ ảnh Laplace của x(t) Khi đó: a) y(t)=x(t−τ)} có ảnh lμ Y(s)=X(s)e − s τ b) y(t)=e − as x(t)} có ảnh lμ Y(s)=X(s+a) c) y(t)=x(at) có ảnh lμ 1X( )s a a vμ ( )y t x( )t
= a có ảnh lμ Y(s)=aX(as) d) ( ) dx y t = dt có ảnh lμ Y(s)=sX(s)−x(+0) e) y t( )=∫ x t dt( ) có ảnh lμ ( )
6) Nếu X(s) có bán kính hội tụ δ=0 thì X s ( ) s j = ω = X j ( ω) lμ ảnh Fourier của x(t)
7) Nếu tồn tại giới hạn
8) Nếu tồn tại giới hạn lim ( ) t x t
Ví dụ 2.3: Xác định ảnh Laplace của một số tín hiệu điển hình
1) Xung dirac có ảnh đ−ợc suy ra từ định nghĩa hμm mở rộng của nó lμ:
2) Tín hiệu bước nhảy đơn vị x(t)=k⋅1(t) có ảnh Laplace lμ:
3) ảnh của x(t)=ke − at ⋅1(t) đ−ợc suy ra từ kết quả trên vμ tính chất 5b) nh− sau:
4) ảnh của tín hiệu điều hòa x 1 (t)=sin(ω t), x 2(t)=cos(ωt) đ−ợc suy ra từ ảnh của e j ω t vμ e − j ω t có từ kết quả câu 3) ứng với a=±jω cũng nh− tính chất tuyến tính nh− sau: {e j t } 1 s j ω
5) Tín hiệu tăng đều r(t)=t⋅1(t) có ảnh Laplace lμ:
{ ( )}r t te dt st te st e st dt 1 s s s
6) ảnh của tín hiệu tăng đều x(t)=t n ⋅1(t) đ−ợc suy ra từ kết quả câu 5) vμ tính chất 5e) cũng nh− quan hệ t n 1( )t =n t ∫ n − 1 1( )t dt nh− sau:
7) Từ kết quả câu 6) vμ tính chất 5b) ta có ngay:
8) Từ kết quả câu 2), 3) vμ tính chất tuyến tính ta có ảnh của ( ) (1 )1( ) t x t =k −e − T t lμ:
9) Sử dụng kết quả câu 8) để kiểm tra lại tính chất giới hạn, ta có: x(+0)=0 vμ lim ( ) lim 0
Phép biến đổi Laplace cho tín hiệu không liên tục (biến đổi Z)
Xét tín hiệu causal không liên tục {x k }, với k=0,1,2,…, có thể coi đây là dãy giá trị trích mẫu của tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ trích mẫu T a Dạng mở rộng của tín hiệu này cũng được thể hiện rõ trong quá trình phân tích.
Khi áp dụng phép biến đổi Laplace theo công thức định nghĩa, ta có thể mở rộng hàm và ký hiệu z e = sT Rõ ràng, giá trị x k sẽ bằng 0 khi k < 0, và ảnh Laplace của dãy vô hạn {x k}, với k = 0, 1, 2, được xác định như sau:
X s x t e dt x t kT e dt x t kT e dt x e x z X z δ δ
Hμm X(z) địngh nghĩa trong công thức trên đ−ợc gọi lμ ảnh Z của dãy {x k }, k=0,1,2,… vμ phép biến đổi từ dãy {x k } thμnh X(z) gọi lμ phép biến đổi Z, ký hiệu bởi Z{⋅}, tức lμ:
Phép biến đổi Laplace ng−ợc
Việc biến đổi Laplace ngược giúp xác định tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace X(s) Mặc dù có thể thực hiện trực tiếp qua công thức định nghĩa, để tiện lợi hơn, chúng ta sẽ làm quen với hai phương pháp đơn giản thường được sử dụng Một trong số đó là phương pháp biến đổi ngược X(s) có dạng hàm hữu tỷ.
− Ph−ơng pháp residuence cho X(s) khả vi ngoμi hữu hạn các điểm cực
Biến đổi ng−ợc hμm hữu tỷ
Giả sử tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) dạng:
Để xác định x(t), chúng ta cần dựa vào tính đơn ánh và tính tuyến tính, cùng với các kết quả từ các ví dụ ở mục trước Các bước thực hiện sẽ được trình bày cụ thể để đạt được kết quả mong muốn.
1) Phân tích X(s) thμnh tổng các hμm phân thức tối giản:
∑ ∑ ∑ trong đó A, A k i , B k , C k lμ các hằng số, a k lμ điểm cực thực bội r k vμ σ k +jω k lμ điểm cực phức của X(s), nói cách khác chúng lμ điểm mμ tại đó có X(s)=±∞
2) Xác định hμm gốc cho từng phần tử trong tổng trên theo (ví dụ 2.3): a) L − 1 {A} = Aδ(t) b) L − 1 {
Ví dụ 2.4: Biến đổi ng−ợc hàm hữu tỷ
= + của tín hiệu x(t) Phân tích X(s) thμnh tổng các phân thức tối giản ta đ−ợc:
5) Một tín hiệu x(t) có ảnh Laplace ( )
= + Phân tích X(s) thμnh tổng các phân thức tối giản ta đ−ợc:
7) Xét tín hiệu causal h(t) có ảnh Laplace lμ:
Hình 2.9: Minh họa ví dụ 2.4 x(t) t k t x(t) nT a) b) c)
Khi xem xét trường hợp cụ thể, nếu ảnh Laplace X(s) của tín hiệu x(t) có dạng thực hữu, công thức (2.20) sẽ được áp dụng Giả sử rằng đa thức mẫu số A(s) và đa thức tử số B(s) là nguyên tố cùng nhau, tức là chúng không có chung nghiệm Trong trường hợp này, điểm cực của X(s) sẽ là nghiệm của phương trình A(s)=0 Các điểm cực này được ký hiệu là s₁, s₂, …, sₙ và giả định rằng chúng là những nghiệm đơn của A(s)=0 Do X(s) có thể phân tích thành tổng các phân thức tối giản, điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của tín hiệu.
− − − nên sau khi nhân cả hai vế với (s−s k ) vμ cho s tiến tới s k ta sẽ có công thức xác định nhanh những hệ số A 1 , A 2 , … , A n nh− sau (công thức Heaviside): lim ( ) ( ) k k s s k
Trong biến đổi ngược X(s) có dạng hàm hữu tỷ, ngoài một số điểm cực là nghiệm của A(s)=0, X(s) được xác định và có đạo hàm vô hạn lần tại các điểm khác Điều này cho thấy X(s) là một hàm giải tích, ngoại trừ các điểm cực Dạng tín hiệu x(t) được xác định hoàn toàn bởi vị trí của các điểm cực này trong mặt phẳng phức, như minh họa trong Hình 2.10.
− ứng với những vị trí khác nhau của điểm cực s k =δ k + jω k
Mở rộng điều nhận xét trên ta có ph−ơng pháp residuence để xác định ng−ợc tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace
X(s) của nó, nếu nh− X(s) lμ hμm giải tích, trừ một vμi các điểm cực rời nhau vμ hữu hạn, đồng thời lim ( ) s X s
→±∞ = ∞ Các hμm có tính chất nh− vậy đ−ợc gọi chung lμ hμm phân hình
Bản chất của ph−ơng pháp residuence đ−ợc lấy từ công thức tích phân Cauchy (2.7) Trước tiên ta đi từ công thức biến đổi Laplace ngược :
Hình 2.10: Dạng tín hiệu phụ thuộc vào vị trí điểm cực của ảnh Laplace của nó trong mặt phẳng phức σ jω
Tắt dần Điều hòa Tăng dần
Đường cong C lμ là một đường cong khép kín chứa đường thẳng δ+jω, với ω chạy từ -∞ đến ∞ Bán kính hội tụ σ lμ của tích phân được xác định trong hình 2.11 Chiều của đường cong C lμ được chọn để phù hợp với chiều của ω từ -∞ đến ∞.
Ký hiệu miền được bao bởi đường cong C theo chiều dương là D, với miền luôn nằm phía trái khi di chuyển dọc theo C Các điểm cực của hàm X(s) được ký hiệu là s1, s2, …, sm, và do δ là bán kính hội tụ, tất cả m điểm cực này phải nằm trong D Hơn nữa, theo tính chất của tích phân theo đường cong khép kín của một hàm phân tích trong miền bao bởi đường cong, tích phân đó luôn có giá trị bằng 0 Do đó, theo tính chất về tích phân phức của Cauchy, công thức sẽ được điều chỉnh từ (2.21).
Trong (2.22), công thức được biểu diễn dưới dạng tổng tích phân, trong đó C k (k=1,2,…,m) là các đường cong khép kín bao quanh các điểm cực s k theo chiều dương, với s k luôn nằm bên trái khi di chuyển dọc theo C k Do đó, đường cong C trong (2.21) đã được thay thế bằng tập hợp các đường cong C k trong (2.22).
= ∫ lμ giá trị residuence của X(s)e st tại s k , k=1, 2, … , m thì (2.22) trở thμnh: δ+ j ω jω δ−jω s k C
Hình 2.11: Mô tả ph−ơng pháp residuence
=∑ = (2.23) vμ đó chính lμ công thức thực hiện biến đổi ngược X(s) theo phương pháp residuence
Ví dụ 2.5: Ph−ơng pháp residuence
− Hμm phân hình (meromorph) nμy có một điểm cực lμ s k nên:
A A s s− = π j ∫ s s− ds trong đó C lμ đường tròn bán kính ρ >0 bao quanh s k theo chiều d−ơng (hình 2.12) Nh− vậy dọc theo C biến s sẽ có ph−ơng trình:
Thay ph−ơng trình của biến s vμo công thức trên đ−ợc:
Hàm phân hình (meromorph) có khả năng phân tích thành chuỗi vô hạn như chuỗi Taylor và chuỗi Lorenz Các hệ số trong phân tích hàm X(s)e^st thành chuỗi Lorenz gần điểm sk được ký hiệu là ai.
Theo công thức nμy, một hμm X(s)e st , nếu có điểm cực s k bội l k thì giá trị residuence của nó tại điểm cực đó sẽ lμ:
− (2.24) vμ do đó việc tìm ngược tín hiệu gốc x(t) từ ảnh Laplace X(s) của nó theo phương pháp residuence sẽ gồm hai b−ớc:
− Xác định tất cả các điểm cực s k của X(s)e s t cũng nh− bậc l k của chúng
− Tìm các giá trị residuence của hμm X(s)e st tại những điểm cực đó theo (2.24)
− Tính x(t) theo (2.23) từ các giá trị residuence tìm đ−ợc ρ jω s k σ
Hình 2.12: Đ−ờng tròn lấy tích ph©n cho vÝ dô 2.5
Ví dụ 2.6: Ph−ơng pháp residuence
+ có điểm cực s=−a bội n nên hμm gốc x(t) của nó lμ
Phương pháp residuence không chỉ được áp dụng để tìm gốc x(t) của X(s) mà còn có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị tích phân trong các bài toán tổng hợp bộ điều khiển Ứng dụng của phương pháp này bao gồm việc tìm tham số tối ưu cho bộ điều khiển, minh họa cho tính hiệu quả và linh hoạt của nó trong các lĩnh vực kỹ thuật điều khiển.
Ví dụ 2.7: Tính giá trị tích phân phức bằng ph−ơng pháp residuence §Ó tÝnh tÝch ph©n:
= ∫ + + − ta thÊy hμm ph©n h×nh (meromorph)
Trong bài viết, có ba điểm cực là s1 = -1 + j, s2 = -1 - j và s3 = 1 Trong số đó, chỉ có hai điểm cực s1 và s2 nằm bên trái trục ảo, trong khi điểm s3 nằm bên phải Khi thay đường lấy tích phân bằng một đường cong C khép kín bao quanh trục ảo, chỉ có s1 và s2 thuộc miền D được bao bởi C theo chiều dương Điều này dẫn đến kết quả tương tự như trong ví dụ 2.5.
Một ứng dụng của phép biến đổi Laplace: Giải phương trình vi phân
Cho ph−ơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:
0 1 2 2 0 1 2 2 n m n n m m dy d y d y du d u d u a y a a a b u b b b dt dt dt dt dt dt
+ + + + = + + + + (2.25) có các hệ số a 0 , a 1 , … , a n vμ b 0 , b 1 , … , b m lμ những số thực Bμi toán đặt ra lμ tìm nghiệm y(t) khi biết tr−ớc u(t) cũng nh− các sơ kiện y(+0), dt dy(+0), … , n 1 ( 0) 1 n d y dt
Hình 2.13: Minh họa cho ví dụ 2.7
Tr−ớc hết ta giả sử u(t) vμ y(t) lμ hai tín hiệu causal Vậy thì khi lấy ảnh Laplace cả hai vế của phương trình đã cho:
{ } { } n m n n m m dy d y du d u a y a a b u b b dt dt dt dt
L L rồi áp dụng tính chất tuyến tính của toán tử Laplace sẽ đ−ợc:
Tiếp tục, nếu gọi Y(s) lμ ảnh của y(t) thì từ công thức ảnh của đạo hμm:
L{ dt dy} = sY(s)−y(+0) ta cã
2 d y dt } = sL{ dt dy}− dt dy(+0) dt sy dy s Y s 2 ( )− (+0)− (+0)
− ∑ + Cũng t−ơng tự, nếu gọi U(s) lμ ảnh Laplace của tín hiệu causal u(t) thì:
Thay tất cả các công thức tính đạo hμm đó vμo (2.26) ta sẽ đ−ợc:
Y(s)[ a 0 + a 1 s + … + a n s n ] − A = U(s)[ b 0 + b 1 s + … + b m s m ]−B trong đó A lμ hμm xác định từ a k vμ k 1 ( 0) 1 k d y dt
= ∑ ∑ + vμ B cũng lμ hμm đ−ợc xác định từ b k vμ k 1 ( 0) 1 k d u dt
Nh− vậy ảnh Laplace của nghiệm y(t) sẽ lμ:
Chuyển ng−ợc Y(s) cho trong (2.27) sang miền thời gian ta sẽ đ−ợc nghiệm y(t) của phương trình (2.25), vì toán tử Laplace lμ đơn ánh
Ví dụ 2.7: Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace
Hãy tìm nghiệm của ph−ơng trình vi phân:
2 3 2 0 d y dy y dt + dt+ = , với sơ kiện y(+0)=a vμ dy( 0) dt+ =b
Chuyển cả hai về ph−ơng trình sang miền phức nhờ toán tử Laplace đ−ợc:
Ví dụ 2.8: Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace
Giải ph−ơng trình vi phân:
2 2 5 3 d y dy y dt + dt+ = với sơ kiện ( 0) dy( 0) 0 y dt
+ = + Chuyển cả hai vế ph−ơng trình sang miền phức nhờ toán tử Laplace đ−ợc:
Xây dựng mô hình toán học 57
Ph−ơng trình vi phân mô tả quan hệ vào − ra
Mô hình này rất phù hợp với hệ thống SISO, với ánh xạ T mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) thông qua phương trình vi phân Mô hình được xây dựng theo phương pháp lý thuyết, dựa trên các định luật vật lý và quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài Các quan hệ này được mô tả bằng các quy luật lý-hóa và quy luật cân bằng dưới dạng phương trình toán học Kết quả của quá trình mô hình hóa là mô hình T dạng phương trình vi phân, thể hiện rõ mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra.
0 1 2 2 0 1 2 2 n m n n m m dy d y d y du d u d u a y a a a b u b b b dt dt dt dt dt dt
Trong hệ thống, các hệ số a i và b j được xác định từ các linh kiện và thiết bị cấu thành Những hệ số này có thể là hằng số hoặc phụ thuộc vào thời gian t và các yếu tố khác Chẳng hạn, điện trở của một đường dây dẫn điện phụ thuộc vào độ dài của đoạn dây, trong khi nhiệt độ của vật được nung có thể có sự phân bố không đều từ bề ngoài vào tâm của vật.
Nếu các hệ số a i và b j phụ thuộc vào thời gian t, mô hình (2.28) được coi là tuyến tính không dừng Ngược lại, nếu chúng phụ thuộc vào các yếu tố khác, mô hình (2.28) sẽ là tuyến tính với tham số rải.
Mô hình (2.28) được gọi là phương trình vi phân, hay mô hình vào-ra, vì khi biết kích thích u(t) và trạng thái đầu của hệ thống, ta có thể xác định nghiệm y(t) là đáp ứng của hệ thống Bài viết này sẽ trình bày một số ví dụ minh họa cho việc xây dựng mô hình hệ thống dưới dạng phương trình vi phân giữa tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t).
Ví dụ 2.8: Mô hình toán học là ph−ơng trình vi phân
Trong mạch điện được mô tả trong hình 2.16, với các giá trị đã biết của tụ điện C, cuộn dây L và các điện trở R1, R2, cần xác định mô hình mạch điện dưới dạng phương trình vi phân Phương trình này sẽ mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào, cụ thể là điện áp u(t), và tín hiệu ra, là điện áp trên R2 được ký hiệu là y(t).
Các định luật Kirchoff sẽ được sử dụng phục vụ việc xây dựng mô hình mô tả T dưới dạng phương trình vi phân Ta định nghĩa thêm các biến:
− Điện áp u C trên tụ điện C
− Điện áp u L trên cuộn dây L
− Điện áp u R trên điện trở R 1
− Dòng i C đi qua tụ điện C
− Dòng i L đi qua cuộn dây L
− Dòng i R đi qua điện trở R 1
1) Theo các định luật của Kirchoff có: a) u C (t) + u R (t) = u(t) (2.29) b) u L (t) + y(t) = u R (t) (2.30) c) i L ( t) + i R (t) = i C (t) (2.31)
2) Theo các định luật về các linh kiện có: a) i C (t) = C dt t du c ( ) (2.32) b) u L (t) = L dt t di L ( )
Dựa vào các công thức đã nêu, bước tiếp theo là loại bỏ các biến đã được định nghĩa để cuối cùng chỉ còn lại phương trình chứa hai biến lμ u(t) và y(t) Bằng cách đạo hàm hai vế của phương trình (2.29) và áp dụng các mối quan hệ khác, ta thu được kết quả i C i L u R i R.
Hình 2.16: Minh họa cho ví dụ 2.8 u C u L
CR CR CR dt dt dt dt
CR CR CR R dt R dt dt
CLR CR R L R R y t CR R dt dt dt + + + + vμ ta có đ−ợc mô hình mạch điện d−ới dạng ph−ơng trình vi phân:
( ) dy t d y t du t a y t a a b dt dt dt
Để nghiên cứu bộ giảm chấn trong ô tô và thiết bị máy móc, cần mô hình hóa chúng bằng phương trình vi phân Sơ đồ nguyên lý bộ giảm chấn cho thấy các yếu tố như hằng số lực của lò xo (c), hằng số đặc trưng phần giảm tốc (d), và khối lượng tĩnh của thiết bị (m) tác động lên bộ giảm chấn Cần xây dựng phương trình vi phân để mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào là lực u(t) tác động lên bộ giảm chấn và tín hiệu đầu ra y(t) là độ lún của nó.
Trên cơ sở sơ đồ nguyên lý ta có các lực cản trở độ lún y(t) của bộ giảm chấn: m y(t) u(t) c d
Hình 2.17: Mô hình hóa bộ giảm chấn, ví dụ 2.9 a) F m = m
2 dt y d (tiên đề về lực của Newton) b) F c = c y(t) (lực cản của lò xo) c) F d = d dt dy (lực cản của bộ giảm tốc) d) F m + F c + F d = u(t) (tiên đề cân bằng lực của Newton)
Suy ra ph−ơng trình vi phân mô tả bộ giảm chấn lμ: m 2 2 dt y d + d dt dy+ c y(t) = u(t) S
Ví dụ 2.10: Mô hình toán học là ph−ơng trình vi phân
Cho một bình đựng chất lỏng mô tả ở hình
2.18 Biết tr−ớc các thông số về bình nh− diện tích đáy A của bình, hệ số chuyển đổi áp suất p(t) trong bình với lưu lượng ra y(t) lμ r, tức lμ: y(t) r t p( ) vμ hệ số chuyển đổi áp suất p(t) với độ cao cột chất lỏng trong bình lμ γ, tức lμ: p(t) =γ⋅h(t)
Gọi u(t) lμ lưu lượng chất lỏng chảy vμo bình Vậy thì: y(t) r t p( ) r γ h(t) ⇒ dt t dy( ) dt t dh r
) ( ) ( − γ⋅ vμ ta có được phương trình vi phân mô tả quan hệ lưu lượng vμo u(t) với lưu lượng ra y(t) nh− sau:
Hàm truyền, hàm trọng l−ợng và hàm quá độ
Hệ liên tục SISO có tín hiệu đầu vào u(t) và tín hiệu đầu ra y(t) Hàm truyền G(s) được định nghĩa là tỷ số giữa ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu ra y(t) và ảnh Laplace U(s) của tín hiệu vào u(t), khi hệ thống được kích thích từ trạng thái ban đầu bằng 0, tức là khi các điều kiện đầu y(0) và dy(0)/dt được thỏa mãn.
− n n dt y d đồng nhất bằng 0 Nói cách khác: trạng thái đầu=0
Hình 2.18: Minh họa ví dụ 2.10 γ r
Với công thức định nghĩa trên thì ở hệ tuyến tính tham số hằng, hμm truyền lμ một mô hình, vì từ tính chất xếp chồng u 1 y u 1 , 2 y 2 ⇒ u 1 +u 2 y 1 +y 2 , ta có ngay:
Tương tự như trong mục 2.1.5, khi áp dụng toán tử Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình vi phân (2.25) để mô tả mối quan hệ vào ra của hệ thống cùng với các điều kiện ban đầu: y(0) và dt dy(0).
− = 0 thì khi chuyển sang miền phức bằng toán tử Laplace ta có:
Lưu ý rằng hàm truyền (2.37) là tỷ số giữa ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu ra y(t) và ảnh Laplace U(s) của tín hiệu vào u(t), chỉ có ý nghĩa đối với hệ thống tuyến tính với tham số hằng Đồng thời, hàm này chỉ được định nghĩa khi hệ thống có các trạng thái ban đầu bằng 0.
So với mô hình phương trình vi phân, việc sử dụng hàm truyền mang lại ưu điểm vượt trội trong việc mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra thông qua một phương trình đại số tuyến tính Điều này giúp đơn giản hóa quá trình xác định đáp ứng y(t) của hệ thống đối với một kích thích u(t) đã cho Với hàm truyền, việc khảo sát đặc tính động học của hệ thống trở nên dễ dàng và nhanh chóng hơn.
Mặc dù hàm truyền (2.37) được phát sinh từ phương trình vi phân mô tả mối quan hệ vào-ra (2.28) của hệ thống, nhưng không nhất thiết phải có mô hình dạng phương trình vi phân để có được hàm truyền Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa cho điều này.
Ví dụ 2.11: Xác định hàm truyền
Quay lại ví dụ 2.8 với mô hình mạch điện trong hình 2.16, chúng ta đã định nghĩa thêm các biến mới như điện áp uC trên tụ điện C, điện áp uL trên cuộn dây L, điện áp uR trên điện trở R1, dòng iC đi qua tụ điện C, dòng iL đi qua cuộn dây L và dòng iR đi qua điện trở R1 Các phương trình (2.29) đến (2.35) mô tả mối quan hệ giữa các biến này.
U C (s) lμ ảnh của u C , U L (s) lμ ảnh của u L , U R (s) lμ ảnh của u R , I C (s) lμ ảnh của i C ,
I L (s) lμ ảnh của i L vμ I R (s) lμ ảnh của i R , thì các quan hệ (2.32) ữ (2.35) trở thμnh: a) I C (s) = CsU C (s) b) U L (s) = LsI L (s) c) R 1 I R (s) = U R (s) d) R 2 I L (s) = Y(s)
Khi đó thì từ những phương trình Kirchoff (2.29) ữ (2.31) ta có ngay được:
CR 1 R 2 sU(s) = CR 1 R 2 sU C (s)+CR 1 R 2 sU R (s)
Suy ra hμm truyền của mạch điện hình 2.3 lμ:
Ví dụ 2.12: Xác định hàm truyền
Để xác định hμm truyền cho mạch điện theo sơ đồ ở hình 2.19, cần biết trị số của các linh kiện, bao gồm cuộn dây L, điện trở R và tụ điện C.
Ký hiệu ảnh Laplace cho những biến đ−ợc định nghĩa thêm bằng các chữ in hoa (hình 2.19) ta sẽ có:
Hình 2.19: Minh họa cho ví dụ 2.12 về việc xác định hàm truyền vμ ta đ−ợc hμm truyền của mạch điện:
Ví dụ 2.13: Xác định hàm truyền
Hệ cơ bao gồm một lò xo với hệ số c, một vật có khối lượng m, và bộ suy giảm tốc với hệ số d, được kết nối như hình 2.20 Để xác định hàm truyền cho hệ thống này, cần xác định tín hiệu đầu vào u(t), được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật, và tín hiệu ra y(t), là quãng đường mà vật di chuyển.
Gọi F c , F m , F d , lμ những lực của lò xo, vật vμ bộ suy giảm tốc sinh ra khi vật dịch chuyển nhằm cản sự dịch chuyển đó thì:
F d = d dt t dy( ) vμ do đó theo tiên đề cân bằng lực ta đ−ợc: u(t)= F c +F m +F d = cy(t)+m 2 2 ( ) dt t y d +d dt t dy( ) ⇔ U(s)=(c+ds+ms 2 )Y(s) Suy ra hμm truyền của hệ lμ:
Gọi g(t) lμ hμm gốc (causal) của hμm truyền G(s), tức lμ: g(t) =L − 1 {G(s)}, vậy thì theo tính chất của toán tử Laplace ta có:
Hμm g(t) đ−ợc gọi lμ hμm trọng l−ợng của hệ thống Với u(t)=δ(t) thì do:
H×nh 2.20: Cho vÝ dô 2.13 vμ ta đi đến: Định lý 2.3: Hμm trọng l−ợng g(t) lμ đáp ứng của hệ thống khi hệ đang ở trạng thái 0 (có các giá trị ban đầu y(0), dt dy(0), … ,
− n n dt y d bằng 0) vμ đ−ợc kích thích bởi xung dirac δ(t) ở đầu vμo Với hμm trọng l−ợng g(t) ta luôn xác định đ−ợc tín hiệu ra y(t) theo công thức (2.38), nếu biết tr−ớc tín hiệu vμo u(t)
Theo công thức (2.38), khi có kích thích u(t), ta có thể xác định đáp ứng y(t) của hệ thống với giả thiết hệ ở trạng thái 0 tại thời điểm bắt đầu kích thích Điều này cho thấy hàm trọng lượng là một mô hình mô tả hệ thống và thuộc loại mô hình không tham số, biểu diễn đặc tính động học của hệ thống dưới dạng bảng tra hoặc đồ thị Cần lưu ý rằng xung Dirac δ(t) không phải là tín hiệu vật lý, do đó hàm trọng lượng g(t) cũng không phải là tín hiệu G(t) chỉ được sử dụng như một mô hình để mô tả và phân tích động học của hệ thống.
Ngoài hàm trọng lượng g(t), một loại mô hình không tham số phổ biến khác để khảo sát đặc tính động học của hệ thống là hàm quá độ h(t) Hàm này được định nghĩa là phản ứng của hệ thống khi ở trạng thái 0 và bị kích thích bởi tín hiệu Heaviside 1(t) tại đầu vào.
Với đầu vμo u(t) lμ tín hiệu 1(t) thì:
U s = s do đó hμm quá độ h(t) có ảnh Laplace H(s) đ−ợc tính theo:
Bởi vậy, theo tính chất của toán tử Laplace (khi h(0)=0) ta suy ra đ−ợc:
Giả sử rằng một hệ thống có hμm truyền G(s) đ−ợc kích thích bằng tín hiệu u(t) có ảnh Laplace U(s) Tín hiệu ra y(t) của nó khi đó sẽ lμ: y(t) = L − 1 {G(s)U(s)} = L − 1 {sH(s)U(s)}
Nếu gọi ( )h t lμ tín hiệu có ảnh Laplace ( )H s =H s U s( ) ( ) thì:
( ) { ( )} { ( ) ( )} ( ) * ( ) t ( ) ( ) h t =L − H s =L − H s U s =h t u t =∫ h t−τ τ τu d vì u(t)=0 khi tt , tức lμ chúng đều lμ các tín hiệu causal áp dụng tính chất toán tử Laplace cho ảnh của đạo hμm với H s( )=sH s( )−h(0) thì:
Hàm quá độ h(t) là một mô hình quan trọng của hệ thống, thể hiện phản ứng của hệ khi bắt đầu từ trạng thái 0 Theo Định lý 2.4, h(t) phản ánh đáp ứng của hệ thống dựa trên các giá trị ban đầu như y(0) và các đạo hàm tại thời điểm t=0.
− n n dt y d bằng 0) vμ đ−ợc kích thích bởi tín hiệu
Heaviside 1(t) ở đầu vμo Với hμm quá độ h(t) ta có thể xác định đ−ợc tín hiệu ra y(t) theo công thức (2.40), nếu biết tr−ớc tín hiệu vμo u(t)
Hệ thống tuyến tính sau khi mô hình hóa với hàm truyền G(s) thường được biểu diễn dưới dạng khối, như hình 2.21 Cách biểu diễn này thuận tiện cho việc xây dựng mô hình hệ phức tạp bao gồm nhiều khối mắc nối tiếp, song song hoặc phản hồi.
Ví dụ 2.14: Sử dụng mô hình là hàm quá độ
Cho hệ mô tả bởi hμm truyền:
+ víi T t ≠ T m ảnh Laplace H(s) của hμm quá độ h(t) lμ:
Do hμm quá độ h(t) có ảnh Laplace lμ s s
G( ) nên từ dạng đường đồ thị của h(t) người ta có thể suy ra được nhiều tính chất cho G(s) Định lý sau minh họa cho điều đó
Hình 2.21: Mô tả hệ thống bằng sơ đồ khối và hàm truyền G(s)= ( )
Hình 2.22: Minh họa ví dụ 2.14 Định lý 2.5: Cho một hệ thống tuyến tính có hμm truyền G(s) dạng thực−hữu tỷ:
Nếu đường h(t) xuất phát từ 0 (h(+0) = 0), thì n > m Ngược lại, nếu h(t) không đi từ điểm 0 (h(+0) ≠ 0), thì n ≤ m Nếu h(t) đi từ 0 và có đạo hàm tại 0 bằng 0 (h(+0) dt/d = 0), thì n - m > 1 Nếu h(+0) = 0 và h(+0) dt/d ≠ 0, thì n = m + 1.
→ t lim h(t) = ∞) th× a 0 =0 d) Nếu đ−ờng h(t) tiến tới 0, tức lμ lim t→∞ h(t)=0 th× a 0 ≠ 0 vμ b 0=0 e) Nếu h(t) tiến tới một hằng số k, tức lμ
Chứng minh: a) Do ảnh Laplace H(s) của h(t) lμ H(s) s s
G( ) nên từ tính chất toán tử Laplace ta có: h(+0) ∞
Bởi vậy nếu h(+0)=0 thì cũng phải có n>m Ng−ợc lại khi h(+0)≠0 thì hoặc n=m, nếu h(t)) xuất phát từ hằng số m n b a , hoặc nn thì do
Nên trong đáp ứng y(t) phải có thμnh phần không causal y c (t) với ảnh Laplace:
Phép biến đổi sơ đồ khối (đại số sơ đồ khối)
Biểu diễn hệ thống qua hàm truyền, đặc biệt là dưới dạng mô tả khối, giúp dễ dàng xác định hàm truyền cho các hệ thống lớn và phức tạp Khi làm việc với những hệ thống nhiều khâu và công đoạn, người ta thường chia nhỏ thành các hệ thống con Sau đó, hàm truyền cho từng hệ con được xác định và từ đó, tổng hợp lại để tính toán hàm truyền cho toàn bộ hệ thống lớn.
Mục này sẽ trình bày các phương pháp của đại số sơ đồ khối nhằm xác định hàm truyền cho hệ lớn từ các hàm truyền của các hệ thành phần bên trong Tên gọi "đại số sơ đồ khối" xuất phát từ nguyên lý ứng dụng của nó trong việc phân tích và tổng hợp hệ thống.
− Thứ nhất lμ vì các ph−ơng pháp nμy lμm việc với những phần tử lμ khối biểu diễn các hệ con nh− hình 2.21 mô tả
Nội dung của từng khối (phần tử) được xác định bởi hàm truyền hợp thức dạng (2.41) Khi kết hợp các hàm hợp thức (với m≤n) thông qua phép cộng, nhân và phép nhân với số thực (hoặc phức), chúng tạo thành một đại số trên trường số thực R (hoặc C).
Hình 2.24a) mô tả một hệ gồm hai khối (hệ con) với hμm truyền của từng khối lμ
G 1 (s), G 2 (s) Hai khối nμy đ−ợc nối song song có cùng tín hiệu vμo u(t) Tín hiệu ra của từng khối lμ y 1 (t) vμ y 2 (t) Tín hiệu ra y(t) của cả hệ lμ tổng/hiệu của chúng: y(t) = y 1 (t) ± y 2 (t)
Gọi G(s) lμ hμm truyền của toμn bộ hệ thống, vậy thì:
Vậy, hμm truyền G(s) của hệ nối song song lμ tổng/hiệu của các hμm truyền thμnh phần
Xét hệ gồm hai khối con G 1 (s), G 2 (s) mắc nối tiếp nh− hình 2.25a) mô tả Tín hiệu vμo u(t) của cả hệ cũng lμ tín hiệu vμo của khối thứ nhất G 2 (s) Tín hiệu ra w(t) của
G 2 (s) lμ tín hiệu vμo của khối thứ hai G 1 (s) Tín hiệu ra y(t) của G 1 (s) lμ tín hiệu ra của hệ thống Từ đó ta có đ−ợc:
Vậy hμm truyền của hệ thống gồm hai khối nối tiếp lμ tích của hai hμm truyền của hai khối đó − hình 2.25b)
Hệ có hai khối nối hồi tiếp
Khối nối hồi tiếp hai được mô tả trong hình 2.26a, trong đó tín hiệu đầu ra y(t) của hệ thống chính là tín hiệu ra của khối thứ nhất G1(s) Tín hiệu này được đưa vào đầu vào của khối thứ hai G2(s) để tạo ra phản hồi ngược trở lại đầu vào của G1(s) Đầu vào e(t) của G1(s) bao gồm tín hiệu từ đầu vào hệ thống u(t) và tín hiệu ra w(t) của G2(s).
Hình 2.24: Một hệ có hai hệ con nèi song song a) b)
Hình 2.25: Một hệ có hai hệ con nối tiếp a) b) e(t) = u(t) ± w(t)
Chuyển nút nối tín hiệu từ tr−ớc ra sau một khối
Hình 2.27a) mô tả một khối G(s) có tín hiệu đầu vμo lμ tổng/hiệu của hai tín hiệu thμnh phần u 1 (t) vμ u 2 (t) Nh− vậy thì tín hiệu ra y(t) sẽ có ảnh Laplace lμ:
Y(s) = G(s)[ U 1 (s) ± U 2 (s)] = G(s)U 1 (s) ± G(s)U 2 (s) vμ do đó ta có được một sơ đồ tương đương như ở hình 2.27b, trong đó nút nối hai tín hiệu u 1 (t), u 2 (t) đã đ−ợc chuyển ra sau khối G(s)
Chuyển nút nối tín hiệu từ sau tới tr−ớc một khối
Cho hệ với hμm truyền G(s) có tín hiệu ra y(t) lμ tổng/hiệu của tín hiệu ra y 1 (t) của G(s) vμ một tín hiệu y 2 (t) khác − hình 2.28a Nh− vậy thì:
G Y 2 (s)] tức lμ tín hiệu đầu vμo của khối G(s) nμy sẽ lμ tổng/hiệu của hai tín hiệu u(t) vμ tín hiệu đầu ra của khối
G có đầu vμo lμ y 2 (t) Từ đó ta có được sơ đồ tương đương như ở hình 2.28b mô tả Chú ý lμ khối mới đ−ợc tạo thμnh
G có thể không có đ−ợc hμm truyền hợp thức (bậc đa thức tử số lớn hơn bậc đa thức mẫu số) w(t) 1 ( ) ( )
Hình 2.26: Một hệ có hai hệ con nối hồi tiếp a) e(t)
H×nh 2.27: ChuyÓn nót nèi tõ tr−íc ra sau mét khèi u 2 (t)
Chuyển nút rẽ nhánh tín hiệu từ tr−ớc ra sau một khối
Nguyên tắc chuyển một nút rẽ nhánh tín hiệu từ trước khối G(s) ra sau khối đó đ−ợc mô tả trong hình 2.29
Chuyển nút rẽ nhánh tín hiệu từ sau tới tr−ớc một khối
Hình 2.30 trình bμy nguyên tắc chuyển một nút rẽ nhánh tín hiệu từ phía sau tới phÝa tr−íc mét khèi cã hμm truyÒn G(s)
Chuyển nút rẽ nhánh từ tr−ớc ra sau một nút nối
Hình 2.31 trình bμy nguyên lý chuyển một nút rẽ nhánh tín hiệu từ tr−ớc một nút nối ra sau nút nối đó u(t)
H×nh 2.28: ChuyÓn nót nèi tõ sau ra tr−íc mét khèi y 2 (t)
Hình 2.30: Chuyển nút rẽ nhánh từ tr−ớc ra sau một khèi y 2 (t) a)
Hình 2.30: Chuyển nút rẽ nhánh tõ tr−íc ra sau mét khèi y 2 (t) a)
Hình 2.31: Chuyển nút rẽ nhánh từ tr−íc ra sau mét nót nèi a) y(t) b) u(t) w(t) ± y(t) w(t)
Chuyển nút rẽ nhánh từ sau tới tr−ớc một nút nối
Nguyên tắc chuyển nút rẽ nhánh từ sau tới tr−ớc nút nối đ−ợc mô tả ở hình 2.32
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về việc áp dụng đại số sơ đồ khối để xác định hàm truyền cho hệ thống tuyến tính có nhiều khối con.
Ví dụ 2.16: Biến đổi sơ đồ khối
Giả sử có một hệ thống bao gồm hai khối G1 và G2, chúng ta sẽ sử dụng đại số sơ đồ khối để xác định hàm truyền của hệ thống Đầu tiên, tách hiệu y(t) - u(t) thành hai phần riêng biệt Tiếp theo, áp dụng nguyên lý ghép hai khối song song và nguyên lý ghép hai khối hồi tiếp để tạo ra sơ đồ tương đương Cuối cùng, sử dụng nguyên lý ghép hai khối nối tiếp để đạt được sơ đồ cuối cùng Từ đó, chúng ta có thể xác định hàm truyền của hệ thống.
Ví dụ 2.17: Biến đổi sơ đồ khối
Hệ thống được mô tả bằng sơ đồ khối như hình 2.34a Áp dụng nguyên lý ghép hai khối song song, ta có sơ đồ tương đương ở hình 2.34b Tiếp theo, bằng cách sử dụng nguyên lý ghép hai khối nối tiếp, chúng ta thu được sơ đồ như hình 2.34c Cuối cùng, áp dụng nguyên lý hai khối hồi tiếp, chúng ta có sơ đồ tương đương cho toàn bộ hệ thống như hình 2.34d Do đó, hệ thống có hàm truyền: y(t) = u(t) ± w(t).
Hình 2.32: Chuyển nút rẽ nhánh tõ sau tíi tr−íc mét nót nèi a) y(t) b) u(t) w(t) ± y(t) w(t) ± y(t) u(t)
Hình 2.33: Sử dụng đại số sơ đồ khối để xác định hàm truyền cho hệ ở ví dụ 2.16 a) b) c)
Ví dụ 2.18: Biến đổi sơ đồ khối
Cho một hệ có sơ đồ khối trong hình 2.35a Chuyển nút nối tín hiệu từ trước khối
Sau khi xem xét khối G1, chúng ta có hình 2.35b Sơ đồ này được điều chỉnh trong hình 2.35c bằng cách hoán đổi vị trí của hai điểm rẽ nhánh trước và sau khối G4 Tiếp theo, bằng cách áp dụng nguyên lý ghép hai khối hồi tiếp cho hai vòng hồi tiếp bên trong, chúng ta có thể đạt được sơ đồ trong hình 2.35d, từ đó dễ dàng xác định hàm truyền G(s) cho toàn bộ hệ thống.
Hình 2.34: Minh họa cho hệ ở ví dụ 2.17
Hình 2.35: Sử dụng đại số sơ đồ khối để biến đổi hệ các sơ đồ khối của ví dụ 2.18 4
Sơ đồ tín hiệu và công thức Mason
Biểu diễn hệ thống lớn qua các hệ con bằng sơ đồ khối giúp ta có cái nhìn tổng quát về cấu trúc bên trong, nhưng việc xác định hàm truyền lại gặp khó khăn do cần phải biến đổi sơ đồ khối ban đầu Điều này đòi hỏi người sử dụng phải có kinh nghiệm trong việc biến đổi sơ đồ khối, gây khó khăn trong ứng dụng Để khắc phục nhược điểm này, sơ đồ tín hiệu đã được sử dụng thay thế nhằm hỗ trợ việc xác định hàm truyền và phân tích các đặc tính của hệ thống một cách thuận lợi hơn Sơ đồ tín hiệu có nguồn gốc từ lý thuyết đồ thị, thường được dùng để minh họa các phương trình đại số tuyến tính.
Một sơ đồ tín hiệu đ−ợc cấu tạo bởi các thμnh phần:
Các điểm nút (node) trong sơ đồ khối tương ứng với các đường tín hiệu, điểm rẽ nhánh và điểm nối tín hiệu Những đường nối giữa các điểm nút (branch) đóng vai trò như các khối trong sơ đồ khối, với mỗi đường nối mang giá trị bằng hàm truyền của khối tương ứng Đường nối không có khối được thể hiện bằng giá trị 1 trong sơ đồ tín hiệu, và các đường nối này cần có hướng chỉ chiều tín hiệu.
Sơ đồ tín hiệu có cấu trúc như sau: Tín hiệu đầu vào u(t) là điểm nút nguồn, không có đường nối dẫn đến nó ngoại trừ đường phản hồi Tín hiệu đầu ra y(t) là điểm nút đích, chỉ có đường nối dẫn đến nó mà không có đường nối từ đó đi Tuyến thẳng (forward path) là những đường nối từ điểm nút nguồn đến điểm nút đích, đi qua mỗi điểm nút một lần Các vòng lặp (loops) được tạo thành từ những điểm nút có đường nối với nhau, hình thành một vòng kín Vòng lặp không dính nhau (nontouching loops) là những vòng lặp không chia sẻ đoạn nối nào Một vòng lặp và một tuyến thẳng sẽ không dính nhau nếu không có đoạn nối chung Tất cả các điểm nút trong sơ đồ tín hiệu đều là điểm cộng tín hiệu.
Để xác định tính dính hay không dính, cần tuân thủ quy tắc rằng điểm cộng tín hiệu chỉ có một đầu ra, trong khi điểm tách tín hiệu chỉ có một đầu vào.
Ví dụ 2.19: Chuyển sơ đồ khối thành sơ đồ tín hiệu
Hệ thống gồm hai khối nối song song như hình 2.36a sẽ có sơ đồ tín hiệu tương đ−ơng cho trong hình 2.36b S
Ví dụ 2.20: Chuyển sơ đồ khối thành sơ đồ tín hiệu
Hệ gồm một khối G 1 mắc nối tiếp với hai khối G 2 vμ G 3 nối song song nh− hình 2.37a sẽ có sơ đồ tín hiệu tương đương cho trong hình 2.37 S
Ví dụ 2.21: Chuyển sơ đồ khối thành sơ đồ tín hiệu
Hệ gồm một khối G 1 mắc nối tiếp với hai khối G 2 vμ G 3 nối hồi tiếp nh− hình 2.39a) mô tả sẽ có sơ đồ tín hiệu tương đương cho trong hình 2.39b S
Ví dụ 2.22: Chuyển sơ đồ khối thành sơ đồ tín hiệu
Hệ gồm một khối G 1 mắc nối tiếp với khối G 2 dạng hồi tiếp nh− hình 2.39a) sẽ có sơ đồ tín hiệu tương đương cho trong hình 2.39b S u y
Hình 2.36: Sơ đồ tín hiệu tương đ−ơng cho hệ gồm hai khối song song u GG 1 2 ±y
Hình 2.37: Sơ đồ tín hiệu t−ơng đ−ơng của ví dô 2.20 u GG 2 3 ±y
Hình 2.38: Sơ đồ tín hiệu t−ơng đ−ơng của ví dụ 2.21 y u G 2 ± G 3
Công thức Mason được sử dụng để xác định hàm truyền của một hệ thống từ sơ đồ tín hiệu của nó Công thức này có dạng tương tự như một thuật toán với nhiều bước tính toán Để dễ dàng theo dõi các bước thực hiện, chúng ta sẽ áp dụng công thức Mason cho hệ thống có sơ đồ tín hiệu minh họa trong hình 2.40.
1) Bước 1: Xác định tất cả những tuyến thẳng P k có thể có của hệ thống Đó lμ những đ−ờng nối liền nhau không chứa đ−ờng phản hồi đi từ điểm nút nguồn u(t) tới điểm nút đích y(t) vμ P k lμ giá trị của nó bằng tích của tất cả các giá trị các đường nối có trong P k Với hình minh họa 2.40 thì hệ sẽ có ba tuyến thẳng lμ:
2) Bước 2: Xác định tất cả các vòng lặp L k có thể có của hệ thống Đó lμ những đường nối liền nhau tạo thμnh một vòng kín Hệ với sơ đồ trong hình 2.40 có bốn vòng lặp bao gồm:
Hình 2.39: Sơ đồ tín hiệu tương đương của ví dụ 2.22 y u ± G 2
Hình 2.40 minh họa công thức Mason, trong đó L_i và L_j là các cặp vòng lặp không dính nhau, không chia sẻ đoạn nối nào Các vòng lặp L_l, L_m, và L_n là những bộ ba vòng lặp không dính nhau Theo sơ đồ ở hình 2.40, chỉ có hai vòng lặp L_1 và L_2 không dính nhau, dẫn đến công thức Δ = 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + L_1 L_2.
4) Bước 4: Xác định Δ k từ Δ bằng cách trong công thức (2.43) ta bỏ đi tất cả những vòng lặp có dính với P k (có đoạn nối chung với P k vμ điều nμy khác với khái niệm các vòng lặp dính nhau phải có một đoạn chung) Ví dụ nh− với hệ ở hình 2.40 thì: Δ1 = 1 (tất cả vòng lặp đều dính tới P 1 ), Δ2 = 1 (tất cả vòng lặp đều dính tới P 2 ), Δ3 = 1 − L 1 = 1 + G 4 H 1 (vòng lặp L 1 không dính vμo P 3 )
5) Bước 5: Xác định hμm truyền G(s) theo công thức Mason:
Chẳng hạn hμm truyền của hệ có sơ đồ tín hiệu cho trong hình 2.40 lμ:
Ví dụ 2.23: Minh họa công thức Mason
Hệ thống được mô tả qua sơ đồ khối trong hình 2.41a, trong đó các tín hiệu mμ tại các điểm nối không được chỉ thị là cộng (+) hay trừ (−) sẽ được hiểu là cộng (+) Hình 2.41b thể hiện sơ đồ tín hiệu tương đương của hệ thống.
Hệ chỉ có một tuyến thẳng vμ đó lμ:
Hệ có 3 vòng lặp dính nhau từng đôi một (từng đôi một có đoạn nối chung):
Do tất cả các vòng lặp cũng đều dính vμo tuyến thẳng P 1 (có đoạn chung) nên: Δ1 = 1
Ví dụ 2.24: Minh họa công thức Mason
Xét một hệ thống gồm hai bình chứa chất lỏng nh− hình 2.42 mô tả
Chất lỏng được bơm vào bình thứ nhất với lưu lượng u(t), tạo ra độ cao h1 và áp suất p1 Hệ số chuyển đổi áp suất/lưu lượng r1 và hệ số áp suất/độ cao γ cũng được xác định Khi chất lỏng chảy sang bình thứ hai với lưu lượng q, nó sẽ có độ cao h2, áp suất p2 và hệ số chuyển đổi áp suất/lưu lượng r2 Các thông số kỹ thuật này có mối quan hệ xấp xỉ theo các định luật vật lý.
1 r p 2 (áp suất tại đầu ra đ−ợc xem lμ bằng 0) (2.48) p 1 = γ h 1 (2.49)
Hình 2.42: Hệ thống gồm hai bình thông nhau q r 1 γ, p 1 h 1 u(t) y(t)
Hình 2.41: Sử dụng công thức Mason để xác định hàm truyền cho hệ trong ví dụ 2.23
H 2 p 2 = γ h 2 (2.50) trong đó y(t) lμ lưu lượng chất lỏng chảy ra khỏi bình thứ hai
Dựa trên những hiểu biết lý thuyết ban đầu về hệ thống, chúng ta đã xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ tín hiệu mô tả hệ thống như hình 2.43 Sơ đồ này được tạo ra bằng cách sao chép nguyên bản các đẳng thức (2.45) và (2.50).
Từ sơ đồ tín hiệu trên ta thấy hệ chỉ có một tuyến thẳng:
Hệ có ba vòng lặp:
3 = − r 2 A 2 s γ trong đó có hai vòng lặp L 1 vμ L 3 không dính nhau (không có đoạn nối chung) Bởi vậy: Δ = 1 − (L 1 + L 2 + L 3 ) + L 1 L 3 = ( )
Vì cả ba vòng lặp đều dính vμo P 1 (có chung đoạn với P 1 ) nên: Δ1 = 1
1 r a) Sơ đồ khối b) Sơ đồ tín hiệu
Hình 2.43: Sơ đồ khối và sơ đồ tín hiệu của hệ thống trong ví dụ 2.24.
Đồ thị đặc tính tần biên − pha
Khái niệm hμm đặc tính tần
Xét hệ tuyến tính với mô hình ph−ơng trình vi phân (2.28) Hệ có hμm truyền G(s):
Hμm đặc tính tần G(jω) đ−ợc hiểu lμ:
Chú ý: Hμm G(jω) trong (2.51) sẽ không phải lμ ảnh Fourier của hμm trọng l−ợng g(t), nếu G(s) có bán kính hội tụ σ>0 Từ mục 2.1.4 ta đã đ−ợc biết rằng để G(jω) trong
(2.51) lμ ảnh Fourier của g(t) thì G(s) phải có bán kính hội tụ bằng 0, tức lμ G(s) phải có tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo, hay hμm truyền G(s) phải lμ một hμm bền
Hàm đặc tính tần được định nghĩa rõ ràng, nhưng nó đại diện cho tính chất gì của hệ thống? Để hiểu rõ hơn về điều này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 2.25: ý nghĩa của hàm đặc tính tần
+ Kích thích hệ từ trạng thái 0 bằng tín hiệu điều hòa u(t) = sin(ωt), với ảnh Laplace
− vμ khi t →∞ thì do e − t → 0 ta đ−ợc: y(t) = sin( )
Mặt khác hμm đặc tính tần của hệ lμ:
+ Do đó nếu so sánh (2.52) với (2.53) ta sẽ đi đến đ−ợc kết luận cho tr−ờng hợp t→∞:
( ) ( ) sin( ) y t = G jω ω ϕt+ với ϕ lμ góc pha của G(jω) S
Định lý 2.7 nêu rõ rằng khi kích thích một hệ thống có hàm truyền bền G(s) từ trạng thái ban đầu 0, hệ thống sẽ phản ứng tại thời điểm kích thích.
= = = − bằng tín hiệu điều hòa u(t)=e j ω t thì khi t→∞, tức lμ hệ ở chế độ xác lập, sẽ có đáp ứng y(t) đ−ợc xác định từ hμm đặc tính tần G(jω) nh− sau:
Trong công thức (2.54) ta đã sử dụng ký hiệu arcG(jω) để chỉ góc pha của G(jω):
G j ω = ωω vμ ReG(jω) lμ phần thực, ImG(jω) lμ phần ảo của G(jω) Nói cách khác:
Theo định lý 2.7, với giả thiết G(s) là hàm bền, G(jω) chính là ảnh Fourier của hàm trọng lượng g(t) Do đó, cả tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) đều có ảnh Fourier tương ứng là U(jω) và Y(jω) Hơn nữa, hàm đặc tính tần số được định nghĩa bởi (2.51) cũng có trạng thái đầu là 0.
U j ω ω ω = Đó cũng lμ mô hình mô tả hệ khi t→∞ theo nghĩa:
Khi phân tích hệ thống ở chế độ xác lập với t→∞, ta có thể xem xét các tín hiệu u(t) và y(t) trong khoảng thời gian −∞≤t≤∞ Do đó, khi kích thích hệ thống bằng tín hiệu tuần hoàn u(t) với chu kỳ T ở đầu vào, ta có thể xác định ảnh Fourier U(jω).
= ∫ tín hiệu y(t) ở đầu ra sẽ có ảnh Y(jω) lμ:
∑ Điều đó khẳng định tính đúng đắn của định lý 2.7, rằng tín hiệu ra y(t) cũng tuần hoμn với chu kỳ T vμ d n , n=…,−1,0,1,… lμ các hệ số chuỗi Fourier của nó, tức lμ:
Xây dựng hàm đặc tính tần bằng phương pháp thực nghiệm dựa trên Định lý 2.7 cho hệ tuyến tính với tham số hằng, bao gồm các bước trong thuật toán xác định hàm đặc tính tần Phương pháp này sử dụng cách tiếp cận thực nghiệm chủ động để đạt được kết quả chính xác trong việc mô hình hóa hệ thống ở chế độ xác lập.
1) Thiết kế tín hiệu u(t) tuần hoμn với chu kỳ T chọn trước có dải tần số lμm việc đủ lớn vμ xác định các hệ số chuỗi Fourier c n , n=…,−1,0,1,… của nó theo (2.12):
Ta cũng có thể chọn tr−ớc hai dãy giá trị thực a k , k=0,1,… vμ b k , k=1,2,… rồi thiÕt kÕ u(t) tuÇn hoμn víi chu kú T theo:
Khi đó các hệ số phức c n , n=…,−1,0,1,… sẽ lμ
2) Kích thích hệ ở đầu vμo bằng tín hiệu u(t) vừa đ−ợc thiết kế rồi đo tín hiệu y(t) cũng tuần hoμn với chu kỳ T ở đầu ra
3) Tính các hệ số chuỗi Fourier d n , n=…,−1,0,1,… của y(t) Nếu kết quả đo đ−ợc ở b−ớc 2) chỉ lμ dãy gồm N giá trị y 0 , y 1 ,…, y N − 1 trong một chu kỳ, thì các hệ số d n , n=…,−1,0,1,… sẽ đ−ợc tính xấp xỉ nhờ công thức DFS, tức lμ:
Chú ý rằng do d n trong công thức trên lμ tuần hoμn với chu kỳ N nên ở đây ta chỉ cần tính N giá trị của nó trong một chu kỳ d n , n=0,1,…,N−1 lμ đủ
4) Tính các giá trị của hμm đặc tính tần:
G jn d n ω = c =… − … rồi biểu diễn chúng dưới dạng đồ thị (biênưpha hoặc Bode)
Khi hệ được kích thích bằng tín hiệu điều hòa u(t) = sin(ωt) ở đầu vào, với a_k = 0 cho mọi k và b_1 = 1, b_2 = b_3 = = 0, tín hiệu ra khi t tiến đến vô cùng sẽ có giá trị nhất định.
Đồ thị đặc tính tần biên-pha thể hiện mối quan hệ giữa tần số và pha của hàm đặc tính G(jω) Đường biểu diễn G(jω) được vẽ trên hệ trục tọa độ với trục tung là ImG(jω) và trục hoành là ReG(jω), khi tần số ω thay đổi từ 0 đến ∞ Đây là công cụ quan trọng trong phân tích hệ thống, giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hệ thống theo tần số.
Ví dụ 2.26: Xây dựng hàm đặc tính tần
Cho một hệ thống có hμm truyền
Hμm đặc tính tần của hệ lμ
Đối với hàm G(jω), khi ω biến thiên từ 0 đến ∞, biểu thức [ReG(jω)−2]² + [ImG(jω)]² = 4 tạo thành một nửa đường tròn nằm dưới trục hoành, do phần ảo của hàm G(jω) luôn nhỏ hơn 0 trong khoảng này.
Hàm G(s) được xác định là hàm bền, do đó, từ đồ thị đặc tính tần số trong hình 2.45, chúng ta có thể xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi bị kích thích từ trạng thái ban đầu 0 bởi tín hiệu điều hòa u(t) = sin(t) Theo định lý 2.7 và ví dụ 2.25, đáp ứng này sẽ có dạng: khi t → ∞, y(t) = (2/π) * sin(t - π/4).
Ví dụ 2.27: Xây dựng hàm đặc tính tần
Hình 2.44: Đồ thị đặc tính tần của ví dụ 2.26
Hệ có hμm đặc tính tần
G j j j j ω ω ω = ω + ω = − + ω − ω + ω vμ từ đó ta được đường đặc tính tần của hệ cho trong hình 2.45a) Đường đặc tính tần nμy có một đ−ờng tiệm cận lμ
Ví dụ 2.28: Xây dựng hàm đặc tính tần
Từ G(s) ta có hμm đặc tính tần vμ đó cũng lμ ảnh Fourier G(jω) của hμm trọng l−ợng g(t), vì G(s) lμ hμm bền (có hai điểm cực lμ 1 1 s = −4 vμ s 2 =−1):
+ + + + + + Đồ thị hμm G(jω) cho trong hình 2.45b) Với đồ thị đó ta thấy khi ω s = 0,5 thì
Nói cách khác nếu kích thích hệ từ trạng thái 0 bằng tín hiệu u(t)=sin(0,5t) thì sau một khoảng thời gian đủ lớn (t→∞), đáp ứng của hệ sẽ lμ
Ví dụ 2.29: Sử dụng hàm đặc tính tần
Cho một hệ thống đ−ợc mô tả bới hμm truyền ( ) 5 2
+ Hãy xác định điểm tần số ω0 mμ tại đó có |G(jω)|=1 Hệ có hμm đặc tính tần:
Hình 2.45: Đồ thị đặc tính tần của ví dụ 2.27 và 2.28 a) b)
Từ hμm đặc tính tần ta có:
Ví dụ 2.30: Xây dựng hàm đặc tính tần
Để xác định tín hiệu u(t) cho hệ thống G(s) được giả thiết là hàm bền, cần đảm bảo rằng sau một khoảng thời gian đủ lớn (t→∞), đáp ứng y(t) của hệ sẽ có một góc lệch pha với u(t) là ϕ = ±90 độ khi được kích thích từ trạng thái 0.
Từ G(s) ta có hμm đặc tính tần G(jω) vμ đó cũng lμ ảnh Fourier của hμm trọng l−ợng g(t), vì G(s) lμ hμm bền:
Hình 2.46 biểu diễn đường đặc tính tần của hệ Theo định lý 2.7 vμ công thức (2.54), nếu có ( )u t =e j t ω s ở đầu vμo thì đáp ứng của hệ khi t→∞ sẽ lμ
( arc ( ) ) ( ) ( s ) j s t G j s y t = G jω e ω + ω Điều đó nói rằng để y(t) có một góc lệch pha với u(t) lμ
2 ϕ= ±π ta phải xác định điểm tần số ω s của ( )u t =e j t ω s sao cho:
Hình 2.46: Đồ thị đặc tính tần biên
Bài viết này đề cập đến việc xây dựng đường đặc tính tần biên từ hàm truyền của hệ thống và ngược lại, tìm hàm truyền G(s) từ đồ thị của hàm đặc tính tần biên G(jω) Trong quá trình mô hình hóa hệ thống tuyến tính bằng phương pháp thực nghiệm, sau khi quan sát và đo các tín hiệu vào/ra, ta có được đồ thị G(jω) Bước tiếp theo là xác định bậc m, n cùng với các hệ số b0, b1, …, bm và a0, a1, …, an cho hàm truyền.
Chìa khóa cho việc giải bμi toán ng−ợc lμ mối liên hệ giữa dạng của đồ thị G(jω) với
G(s) tại những điểm tần số đặc biệt mμ ở đây ta quan tâm hơn cả lμ hai điểm tần số ω= 0 vμ ω=∞
Tr−ớc hết ta xét mối liên hệ giữa chúng khi ω=∞ Từ G(s) cho trong công thức (2.37) ta cã
Suy ra: Định lý 2.8: Nếu một hệ thống tuyến tính có hμm truyền G(s) lμ hợp thức thì hμm G(jω) tại điểm tần số ω=∞ sẽ thỏa mãn: a)
Theo định lý 2.8, nếu đồ thị của G(jω) kết thúc tại gốc tọa độ thì hμm truyền G(s) phải lμ một hμm hợp thức chặt
Bước tiếp theo lμ ta tìm quan hệ của G(jω), G(s) khi ω= 0 vμ để lμm điều nμy ta biến đổi G(jω) từ (2.55) về dạng:
, (2.56) trong đó r lμ hằng số phụ thuộc vμo giá trị các tham số đầu b 0 , b 1 , … , a 0 , a 1 , … có bằng 0 hay không Chẳng hạn nh− a) r0 nÕu a 0 =a 1 = … =a r− 1 =0 vμ b 0 ≠ 0 c) r=0 nÕu a 0 ≠0 vμ b 0 ≠ 0
Víi (2.56) ta thÊy: Định lý 2.9: Đồ thị hμm đặc tính tần biên−pha G(jω) dạng (2.56) tại điểm tần số ω= 0 vμ hμm truyền G(s) của nó có quan hệ: a) NÕu lim (0 G j ) ω ω
→ lμ một số thực hữu hạn khác 0, tức lμ đồ thị của G(jω) bắt đầu từ một điểm trên trục thực, thì k= ~( ) lim0 ω ω G j
→ vμ r=0 Hệ có hμm truyền với r=0 đ−ợc gọi lμ hệ có khâu khuếch đại b) NÕu lim (0 G j ) ω ω
→ = |r|⋅2 π Hệ có hμm truyền với r0 đ−ợc gọi lμ hệ có khâu tích phân.
Đồ thị đặc tính tần logarith − Đồ thị Bode
Ngoài việc biểu diễn hàm đặc tính tần G(jω) trong mặt phẳng với hai trục tọa độ ReG(jω) và ImG(jω), còn có phương pháp biểu diễn khác là đồ thị đặc tính logarith, hay còn gọi là biểu đồ Bode Phương pháp này thể hiện G(jω) thành hai đồ thị riêng biệt theo tần số ω.
1) biên độ, hay giá trị logarith của |G(jω)| lμ
L(ω) = 20⋅lg |G(jω)|, có đơn vị lμ Dezibel (dB),
2) vμ pha, hay giá trị góc ϕ(ω) = arcG(jω) có đơn vị lμ Grad
Cả hai đồ thị đều có trục hoành là ω, nhưng không được chia đều theo giá trị của ω mà theo lg(ω) Việc chia này giúp tiết kiệm diện tích vẽ, đồng thời vẫn đảm bảo đồ thị minh họa đầy đủ cho hệ thống thông qua G(jω) trong một dải tần số rất lớn.
(2.57) đ−ợc thực hiện một cách đơn giản lμ cộng trừ các đồ thị thμnh phần:
Ví dụ 2.31: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu khuếch đại
Khâu khuếch đại đ−ợc hiểu lμ một hệ động học cơ bản có hμm truyền
Khâu nμy có hμm đặc tính tần:
Ví dụ 2.32: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu quán tính bậc nhất
Khâu quán tính bậc nhất đ−ợc hiểu lμ một hệ động học cơ bản có hμm truyền
Khâu nμy có hμm đặc tính tần
L(ω) = −10⋅lg(1+T 2 ω 2 ) vμ ϕ(ω) = −arctanTω Đường đồ thị của L(ω) có hai tiệm cận ứng với khi ω→0 vμ khi ω→∞:
=⎨⎪⎩− + → ∞ (2.58) vμ hai đ−ờng tiệm cận nμy cắt nhau tại 1
G T ω = đ−ợc gọi lμ tần số gẫy vμ ở đó có
Từ (2.58) ta thấy đ−ờng tiệm cận thứ hai ứng với tr−ờng hợp ω→∞ lμ đ−ờng thẳng có độ dốc:
−20 dB/dec trong đó 1 dec lμ độ dμi khoảng [ω, 10ω] trên trục tung (ω lμ tùy ý) Hình 2.48 biểu diễn biểu đồ Bode của khâu quán tính bậc nhất
Hình 2.47: Biểu đồ Bode của khâu khuếch đại ϕ(ω) ω
Ví dụ 2.33: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu khuếch đại−vi phân
Khâu khuếch đại−vi phân lμ một hệ động học cơ bản có hμm truyền
Khâu nμy có hμm đặc tính tần:
Nh− vậy, đồ thị L(ω) có hai tiệm cận ứng với khi ω→0 vμ khi ω→∞ lμ
Chúng cắt nhau tại điểm tần số 1
Tần số gãy được ký hiệu là G T ω, trong đó đường tiệm cận thứ hai khi ω tiến tới vô cực là một đường thẳng với độ dốc 20 dB/dec Biểu đồ Bode của khâu này được thể hiện trong Hình 2.49.
Hình 2.48: Biểu đồ Bode của khâu quán tính bậc nhất cho trong ví dụ 2.32 ϕ(ω) ω
Hình 2.49: Biểu đồ Bode của khâu cho trong ví dụ 2.33 ϕ(ω) ω
Ví dụ 2.34: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu tích phân
Khâu tích phân lμ hệ động học cơ bản có hμm truyền 1
Biểu đồ Bode của hệ thống có dạng như hình 2.50, với đường đồ thị L(ω) là một đường thẳng có độ dốc −20 dB/dec Đường này cắt trục hoành tại điểm tần số ω c = T I − 1, được gọi là tần số cắt.
Ví dụ 2.35: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu vi phân
Khâu vi phân lμ một hệ động học cơ bản đ−ợc mô tả bởi hμm truyền G(s)=T D s Kh©u nμy cã
Biểu đồ Bode của khâu vi phân được mô tả bởi phương trình L(ω) vμ ϕ(ω), với đồ thị L(ω) thể hiện một đường thẳng có độ dốc 20 dB/dec Tại tần số cắt ω c = T D − 1, giá trị của L(ω) là 0 Tần số này được gọi là tần số cắt.
Hình 2.50: Biểu đồ Bode của khâu tích phân cho trong ví dụ 2.34 ϕ(ω) ω
Hình 2.51: Biểu đồ Bode của khâu vi phân cho trong ví dụ 2.35 ϕ(ω) ω
Ví dụ 2.36: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu dao động bậc hai
Khâu dao động bậc hai lμ một hệ động học cơ bản có hμm truyền
Khi kích thích khâu này bằng tín hiệu 1(t) ở đầu vào, đáp ứng đầu ra sẽ là hàm h(t) với dạng dao động Dao động này sẽ tắt dần khi T>0, hoặc ngược lại, sẽ không tắt nếu T