Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính

Ngun Do∙n Ph−íc lý thut ®iỊu khiĨn tun tÝnh (In lần thứ t, có sửa đổi v bổ sung) Nh xuất Khoa học v Kỹ thuật Hà Nội 2009 Lời nói đầu Sau lần xuất năm 2002, tác giả đà nhận đợc nhiều đóng góp từ phía bạn đọc để có đợc nội dung với chất lợng tốt cho lần xuất sau ny ny Tác giả hy vọng với sửa đổi đó, bạn sinh viên theo học ngnh Điều khiển tự động, Đo lờng v Tin học công nghiệp, Tự động hóa, học viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc ngnh liên quan, có đợc ti liệu với chất lợng tốt hỗ trợ cho viƯc tù häc, cịng nh− cho viƯc hiĨu kü, hiểu sâu bi giảng Lý thuyết điều khiển tuyến tính l phần tảng v quan trọng Lý thuyết điều khiển nói chung Rất nhiều phát triển khái niệm nh phơng pháp Điều khiển nâng cao nh ổn định đều, ổn định theo hm mũ, ổn định ISS, Điều khiển tuyến tính hóa xác, Điều khiển thích nghi kháng nhiễu có đợc gợi ý t tởng từ Lý thuyết điều khiển tuyến tính Nắm vững v lμm chđ Lý thut ®iỊu khiĨn tun tÝnh sÏ gióp ta có đợc kiến thức chắn để tự tin tiến sâu vo lĩnh vực khác Điều khiển So với lần xuất thứ nhất, lần xuất thứ t ny, sách đợc bố cục lại hon ton việc phân chia chơng theo chủ đề dạng mô hình mô tả hệ thống đợc sử dụng Cụ thể l: Chơng đợc dnh cho phần nhập môn Lý thuyết điều khiển tuyến tính, bớc cần phải thực phải giải bi toán điều khiển Chơng trình by bớc thực bi toán điều khiển mô hình toán học đối tợng l mô hình miền phức (miền tần số) Chơng l nội dung bớc thực bi toán điều khiển ứng với mô hình trạng thái đối tợng (điều khiển không gian trạng thái) Chơng l nội dung bớc thực bi toán điều khiển đối tợng có mô hình không liên tục, đợc xem nh phần nhập môn điều khiển số đó, chơng 2, v lại đợc trình by theo thứ tự thực bớc bi toán điều khiển, nh: Công cụ toán học cần thiết, Xây dựng mô hình mô tả đối tợng, Phân tích đối tợng v Thiết kế điều khiển Cũng so với lần xuất thứ nhất, lần tái sau ny, tác giả đà đa thêm số nội dung đợc cho l cần thiết điều khiển nâng cao, nhng có liên quan đến mô hình tuyến tính đối tợng Các phần đợc bổ sung thêm bao gồm: Phân tính tính bền vững hệ tuyến tính có mô hình toán học đối tợng lμ hμm trun − − Tht to¸n thiÕt kÕ điều khiển theo mô hình mẫu Phơng pháp tham số hóa Youla, phơng pháp thiết kế điều khiển ổn định mạnh v ổn định song hnh để điều khiển ổn định bền vững đối tợng tuyến tính (nguyên lý điều khiển đa mô hình) Thiết kế điều khiển tuyến tính theo nguyên lý bám tín hiệu mÉu (tracking control) − ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn bï bất định cho đối tợng tuyến tính Thiết kế lọc Kalman Cuối cùng, sách đà đợc viết với giúp đỡ, chia sẻ to lớn thnh viên gia đình tác giả l vợ Ngô Kim Th, gái Nguyễn Phớc My v hai cháu ngoại Bông, Bo Không có họ chắn sách hon thnh đợc Quyển sách đợc hoμn thμnh nhê sù cỉ vị, khun khÝch vμ t¹o điều kiện thuận lợi đồng nghiệp Bộ môn Điều khiển Tự động, Trờng Đại học Bách khoa, nơi tác giả công tác Tác giả xin đợc gửi tới gia đình v bạn lời cám ơn chân thnh Mặc dù đà nỗ lực, song thiếu sót Do tác giả mong nhận đợc góp ý sửa đổi, bổ sung thêm bạn đọc để hon thiện Th góp ý xin gửi về: Trờng Đại học Bách khoa H Nội Khoa Điện, Bộ môn Điều khiển Tự động phuocnd-ac@mail.hut.edu.vn H Nội, ngy 29 tháng 10 năm 2009 Mục lục Nhập môn 1.1 Nội dung toán điều khiển 11 11 1.1.1 Bài toán có tín hiệu tiền định (Điều khiển tiền định) 14 Kh¸i niƯm tÝn hiƯu 14 Phân loại tín hiệu tiền định 15 Một số tín hiệu tiền định điển hình 17 Chn cđa tÝn hiƯu (hay hµm sè) 19 1.1.2 Bµi toán có tín hiệu ngẫu nhiên (Điều khiển ngẫu nhiên) 21 Kh¸i niƯm qu¸ trình ngẫu nhiên 21 Quá trình ngẫu nhiên dừng ngÉu nhiªn egodic 22 1.2 Những cấu trúc hệ thống điều khiển 23 1.2.1 Phân loại hệ thống 23 1.2.2 Xác định tín hiệu điều khiển thích hỵp 24 1.2.3 Sư dơng bé ®iỊu khiĨn 25 §iỊu khiĨn hë 25 §iỊu khiĨn phản hồi trạng thái 26 Điều khiển phản hồi tín hiÖu 26 Câu hỏi ôn tập tập 27 29 Điều khiển liên tục miền phức 2.1 Các công cụ toán học 29 2.1.1 Lý thuyÕt hµm biÕn phøc 29 Định nghĩa, khái niệm hàm liên tục, hàm giải tích 29 Tích phân phức nguyên lý cực đại modulus 30 Hàm bảo giác (conform) 32 2.1.2 Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 34 Chuỗi Fourier (cho tín hiệu tuần hoàn) 34 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier 38 2.1.3 PhÐp biÕn ®ỉi Laplace 46 PhÐp biÕn ®ỉi Laplace cho tÝn hiƯu liªn tơc 46 Phép biến đổi Laplace cho tín hiệu không liên tục (biến đổi Z) 48 2.1.4 Phép biến đổi Laplace ngợc 49 BiÕn ®ỉi ngợc hàm hữu tỷ 49 Phơng pháp residuence 52 2.1.5 Mét øng dơng cđa phÐp biÕn ®ỉi Laplace: Giải phơng trình vi phân 55 2.2 Xây dựng mô hình toán học 57 2.2.1 Phơng trình vi phân mô tả quan hệ vàora 60 2.2.2 Hµm truyền, hàm trọng lợng hàm độ 63 2.2.3 PhÐp biÕn đổi sơ đồ khối (đại số sơ đồ khối) 71 Hai khèi song song 71 Hai khèi nèi tiÕp 72 HÖ cã hai khèi nèi håi tiÕp 72 Chun nót nèi tÝn hiƯu tõ tr−íc sau mét khèi 73 Chun nót nèi tÝn hiƯu tõ sau tíi tr−íc mét khèi 73 Chun nót rÏ nh¸nh tÝn hiƯu tõ tr−íc sau mét khèi 74 Chun nót rÏ nh¸nh tÝn hiƯu tõ sau tíi tr−íc mét khèi 74 Chun nót rÏ nh¸nh tõ tr−íc sau mét nót nèi 74 Chun nót rÏ nh¸nh tõ sau tíi tr−íc mét nót nèi 75 2.2.4 Sơ đồ tín hiệu công thức Mason 77 2.2.5 Đồ thị đặc tính tần biênpha 83 Khái niệm hàm đặc tính tần 83 X©y dựng hàm đặc tính tần thực nghiệm 85 Đồ thị đặc tính tần biênpha 86 2.2.6 Đồ thị đặc tính tần logarithĐồ thị Bode 90 2.2.7 Quan hƯ gi÷a phần thực ảo hàm đặc tính tầnToán tử Hilbert 96 Bài toán thứ nhất: Xác định hàm truyền từ phần thực hàm đặc tính tần 97 Bài toán thứ hai: Xác định hàm truyền từ phần ảo hàm đặc tính tần 99 Toán tử Hilbert: Trờng hợp tổng qu¸t 100 2.2.8 Xây dựng mô hình toán học khâu động học thực nghiệm chủ động 102 Khâu quán tính bậc 103 Khâu tích phânquán tính bậc 104 Kh©u tích phânquán tính bậc n 105 Khâu quán tính bËc hai 107 Khâu quán tính bậc cao 109 Kh©u (bï) Lead/Lag 111 Kh©u dao ®éng bËc hai 114 Kh©u chËm trƠ (kh©u trƠ) 115 2.2.9 Ma trËn hµm trun cho hÖ MIMO 117 2.3 Ph©n tÝch hƯ thèng 118 2.3.1 Những nhiệm vụ công việc phân tích 118 2.3.2 Xác định tính ổn định từ đa thức đặc tính 120 Mối liên hệ vị trí điểm cực tính ổn định hệ thống 120 Tiêu chuẩn đại số thứ nhất: Tiêu chuẩn Routh 122 Tiªu chuẩn đại số thứ hai: Tiêu chuẩn Hurwitz 127 Tiêu chuẩn đại số thø ba: Tiªu chuÈn Lienard−Chipart 129 Tiêu chuẩn hình học: Tiêu chuẩn Michailov 131 2.3.3 Ph©n tÝch chất lợng hệ kín từ hàm truyền hệ hở 134 XÐt tÝnh ổn định: Tiêu chuẩn Nyquist 134 Kiểm tra tính ổn định hƯ kÝn nhê biĨu ®å Bode 140 Đánh giá sai lệch tĩnh 142 Thông số đặc trng trình độ: Độ điều chỉnh thời gian độ 144 Thông số đặc trng trình độ: Sai lệch bám 147 2.3.4 Quan hệ chất lợng hệ thống với vị trí điểm cực điểm không hàm truyền 150 Mét sè kÕt luËn chung 150 Điều kiện tồn độ điều chỉnh 151 Khâu thông tần hệ pha cực tiÓu 154 Phân tích phơng pháp quỹ đạo nghiÖm sè 156 2.3.5 Phân tích tính bền vững 161 Đánh giá chất lợng bền vững nhờ hàm nhạy 162 Đánh giá tính ổn định bền vững với sai lệch mô hình cÊu tróc 163 HƯ võa cã tÝnh ổn định bền vững vừa có độ nhạy nhỏ 164 Tính ổn định bền vững hệ bất định có cấu trúc: Tiêu chuẩn Kharitonov 165 Bài toán mở 169 2.4 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn 170 2.4.1 Chän tham sè cho bé ®iỊu khiĨn PID 170 Hai phơng pháp xác định tham số PID ZieglerNichols 172 Phơng pháp ChienHronesReswick 174 Phơng pháp tổng T cña Kuhn 176 Phơng pháp tối u độ lín 177 Phơng pháp tối u đối xứng 183 Chän tham sè PID tèi −u theo sai lƯch b¸m 191 2.4.2 Phơng pháp điều khiển cân mô hình 193 ThiÕt kÕ điều khiển cân hàm truyền hệ hở (loop shaping) 193 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn cân hàm truyền hệ kín 196 Điều khiển theo nguyên lý mô hình néi (IMC) 199 Thiết kế điều khiển dự báo Smith cho đối t−ỵng cã trƠ 201 2.4.3 Thiết kế điều khiển theo mô hình mẫu 202 Thuật toán tìm nghiệm phơng trình Euclid 204 ThuËt to¸n thiÕt kÕ hai điều khiển theo mô hình mẫu 205 2.4.4 Tập điều khiển làm ổn định đối tợng khái niệm ổn định mạnh, ổn định song hành 207 Một số khái niệm 207 Néi dung phơng pháp tham số hóa Youla 208 Khả điều khiển ổn định mạnh (strongly stable) 212 Bộ điều khiển ổn định song hành (simultane stable) 213 2.4.5 Điều khiển tách kênh 216 Tách kênh toµn bé miỊn thêi gian 216 Tách kênh chế ®é x¸c lËp 217 Câu hỏi ôn tập tập Điều khiển liên tục miền thời gian 3.1 Công cụ toán học 218 229 229 3.1.1 Những cấu trúc đại số 229 Nhãm 229 Vµnh 230 Tr−êng 230 Kh«ng gian vector 231 Kh«ng gian vector 232 Đa tạp tuyến tính 233 Đại số 233 Ideale 233 3.1.2 Đại số ma trËn 234 C¸c phÐp tÝnh víi ma trËn 235 Định thức ma trËn 236 H¹ng cđa ma trËn 238 Ma trận nghịch đảo 238 VÕt cña ma trËn 239 Ma trận ánh xạ tuyến tính 240 PhÐp biến đổi tơng đơng 240 Không gian nhân không gian ảnh ma trận 241 Giá trị riêng vector riêng 242 Chn cđa vector vµ ma trËn 244 Ma trËn có phần tử phụ thuộc thời gian 245 3.2 X©y dùng mô hình toán học 245 3.2.1 Phơng trình trạng thái 245 CÊu tróc chung 245 Quan hệ mô hình trạng thái hàm truyền 249 3.2.2 Quü đạo trạng thái 255 Ma trËn hµm mũ cách xác định 256 Nghiệm phơng trình trạng thái có tham số không phụ thuộc thời gian 262 Nghiệm phơng trình trạng thái phụ thuộc thời gian 264 Quá trình cỡng trình tự 266 3.3 Ph©n tÝch hệ thống 267 3.3.1 Những nhiệm vụ công việc phân tích 267 3.3.2 Phân tích tính ổn định 268 Phân tích tính ổn định BIBO 268 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Hàm Lyapunov 271 3.3.3 Ph©n tÝch tÝnh ®iỊu khiĨn ®−ỵc 276 Khái niệm điều khiển đợc điều khiển đợc hoàn toàn 276 Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển ®−ỵc cho hƯ tham sè h»ng 280 Tiêu chuẩn xét tính điều khiển đợc cho hệ tham sè phô thuéc thêi gian 284 3.3.4 Phân tích tính quan sát đợc 289 Kh¸i niƯm quan sát đợc quan sát đợc hoàn toàn 289 Mét sè kÕt luËn chung tính quan sát đợc hệ tuyến tính 290 Tính đối ngẫu tiêu chuẩn xét tính quan sát đợc hệ tham số 293 3.3.5 Phân tích tính động häc kh«ng 295 3.4 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn 297 3.4.1 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cùc 297 Đặt vấn đề phát biểu toán 297 Ph−¬ng ph¸p Ackermann 298 Phơng pháp Roppenecker 304 Phơng pháp modal phản hồi trạng thái 308 3.4.2 §iỊu khiĨn tách kênh 317 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh FalbWolovich 317 Bộ điều khiển tách kênh SmithMcMillan 321 3.4.3 §iỊu khiĨn phản hồi trạng thái tối u 324 Điều kiện cần bớc tổng hợp điều khiển tối u 324 Bàn tính ổn định hệ kín tối u toán mở 330 Phơng pháp tìm nghiệm phơng trình Riccati 332 3.4.4 Điều khiển bám (tracking control) phản hồi trạng thái 334 3.4.5 Điều khiển phản hồi trạng thái thích nghi 337 Tr−êng hỵp đối tợng đà có chất lợng mong muốn nhiễu 338 Trờng hợp tổng quát 340 3.4.6 Điều khiển phản hồi tín hiệu 341 Đặt vấn đề 341 Bé quan s¸t Luenberger 344 Gi¶m bËc bé quan s¸t Luenberger 346 Bé quan s¸t Kalman 347 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn tèi u phản hồi đầu LQG 350 KÕt ln vỊ chÊt l−ỵng hƯ kÝn: Nguyên lý tách 351 Điều khiển kháng nhiễu phản hồi đầu 355 3.4.7 Lo¹i bá sai lƯch tÜnh b»ng bé tiỊn xư lý 356 3.4.8 Hiện tợng tạo đỉnh (peak) toán chọn điểm cực 359 Câu hỏi ôn tập tập Điều khiển hệ không liên tục 4.1 Tín hiệu công cụ toán học 364 371 371 4.1.1 Tín hiệu không liên tục 371 Mô tả trình trÝch mÉu 371 D·y sè, tÝnh héi tơ vµ giá trị giới hạn 372 4.1.2 Công cụ toán học 374 Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 374 PhÐp biÕn ®ỉi Z thn 377 PhÐp biến đổi Z ngợc 380 Chuỗi tính hội tụ chuỗi 383 4.1.3 PhÐp biÕn ®ỉi z 384 4.2 Xây dựng mô hình toán học 386 4.2.1 Khái niệm hệ không liên tục 386 4.2.2 Phơng trình sai phân, hàm trọng lợng hàm truyền 387 Phơng trình sai phân 387 DÃy giá trị hàm trọng lợng (hàm trọng lợng) 390 Hµm trun 390 Mét sè kÕt luËn chung 393 4.2.3 Mô hình trạng thái 394 Xác định mô hình trạng thái từ phơng trình sai phân 394 Xác định mô hình trạng thái từ hàm truyền 396 Xác định mô hình trạng thái hệ không liên tục từ mô hình trạng thái hệ liên tục 396 Xác định hàm truyền từ mô hình trạng thái 398 Xác định hàm trọng lợng từ mô hình trạng thái 399 4.2.4 Đại số sơ đồ khối hệ không liªn tơc 399 Hai khèi nèi tiÕp: 400 Hai khèi song song: 400 HÖ håi tiÕp: 400 { } T Q = M ek ek → víi ek = x k x k (4.96) Để tìm nghiệm L k bi toán tối u (4.96) trên, ta cần đến nguyên lý trực giao: M { | X ( t ) −a Y ( t ) | } ⇔ ⎯⎯⎯ → a M {( X ( t ) −a Y ( t ) ) Y ( t ) } =0 ®ã X ( t ), Y ( t ) l hai trình ngẫu nhiên Nó đợc suy từ điều hiển nhiên hm khả vi xác định dơng có giá trị nhỏ điểm m đạo hm có giá trị áp dụng nguyên lý trực giao cho bi toán tối u (4.96), lúc ny đợc viÕt l¹i thμnh: Q=M {( x − x ) k T k } ( xk − xk ) ( ) ( ) T ⎧ ⎫ / / / / = M ⎨ xk − x k − Lk ( yk/ − Cx k ) xk − x k − Lk ( yk/ − Cx k ) ⎬ víi yk/ = yk − Duk ⎩ ⎭ T ⎧ / / / ⎫ = M ⎨ qk − Lk yk qk − Lk yk ⎬ → , víi qk = xk − ( I − LkC ) x k ⎩ ⎭ ( ta đợc: =M {( q ) ( k ) } ) − Lk yk/ ( yi/ )T , i = , , … , k KÕt hỵp thêm với giả thiết n k , v k có kỳ vọng 0, không tơng quan với v / v k không tơng quan với trạng thái x k hệ, không tơng quan với x k , nh n k không tơng quan với yk v x k không tơng quan với tất giá trị / trạng thái trớc lμ xi , i =1,2, … , k− 1, bao gồm x k , ta có thêm: ( ⎧ Θ = M ⎨ q − Lk yk/ ⎩ k )( y / − Cx k )( y / − Cx k k / ) ⎬ ⎭ / ) T Điều ny dẫn đến: ( = M ⎨ q − Lk yk/ ⎩ k k T⎫ ( )( ) ⎧ / / T⎫ = M ⎨ x k − ( I − LkC ) x k − Lk yk/ yk/ − Cx k ⎬ ⎩ ⎭ T⎫ ⎧⎡ / / / = M ⎨ ⎢ x k − x k − LkC x k − x k − Lk vk ⎤⎥ C( x k − x k ) + vk ⎬ v× yk/ = Cx k + vk ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ T⎫ ⎧⎡ / / / / = M ⎨ ( I − LkC ) ek − Lk vk ⎤ ⎡Cek + vk ⎤ ⎬ víi ek = x k − x k ⎦⎣ ⎦ ⎭ ⎩⎣ ( { ) } ( = ( I − LkC ) M ( ek )( ek )T C T − LkV / / ) { { = ( I − LkC ) PkC − LkV víi Pk = M ( ek )( ek ) T Suy ra: 438 T / } v× M ek vk = Θ / / T } ( I − LkC ) PkCT − LkV = Θ ( Lk = PkCT CPkCT + V ) Tiếp tục, ta xác định P k : { = M {( Ae } { Pk = M ( ek )( ek )T = M ( x k − x k )( x k − x k )T / { / k −1 / / + n k −1 )( Aek −1 + n k −1 )T T } } } { } v× M {e n } = Θ { T T = AM ek −1 ek −1 AT + M nk −1 nk −1 + AM ek −1 nk −1 = AK k −1 AT + N ®ã { k K k −1 = M ek −1 eTk −1 } T k } Ngoμi ra, tõ: ek = x k − x k / / = x k − x k − Lk ( Cx k − Cx k + vk ) / / = ek − LkC( x k − x k ) − Lk vk / = ( I − LkC )ek − Lk vk ta cßn cã: { } T⎫ ⎧ / / T K k = M ek ek = M ⎨ ⎡( I − LkC )ek − Lk vk ⎤ ⎡( I − LkC )ek − Lk vk ⎤ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ { = ( I − LkC ) M ( ek )( ek )T / / }( I − L C) k T { T } { T } + Lk M vk vk LTk , v× M ek vk = Θ / = ( I − LkC ) Pk ( I − LkC )T + LkVLTk ( ) = ( Pk − LkCPk ) I − C T LTk + LkVLTk = Pk − LkCPk − PkCT LTk + LkCPkC T LTk + LkVLTk ( ) = ( I − LkC ) Pk − PkC T LTk + Lk CPkCT + V LTk ( = ( I − LkC ) Pk − PkC T LTk + PkC T CPkC T + V ) ( CP C −1 k T ) + V LTk = ( I − LkC ) Pk VËy lọc Kalman với nhiệm vụ xác định x k , k = , , đợc xem nh l giá trị trạng thái xấp xỉ cho x k , k = , , … cña hệ (4.94), có cấu trúc bao gồm công thức tính lặp trên, đợc viết chung lại nh sau: 1) Chän K0 vμ x0 tïy ý 2) Thùc hiÖn lần lợt với k = , , c¸c b−íc sau: 439 a) TÝnh P k = AK k − A T + N cã sư dơng K k từ vòng lặp trớc b) Tính L k = P k C T ( CP k C T + V ) c) TÝnh K k = ( IL k C ) P k cho vòng lặp sau −1 / d) TÝnh x k = Ax k −1 + Buk −1 cã sư dơng x k −1 từ vòng lặp trớc e) / ( / Tính x k = x k + Lk y − Cx k Duk k ) Điều khiển phản hồi đầu theo nguyên lý tách Hệ kín hình 4.30c) gồm điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực R thỏa mÃn (4.88) v quan sát trạng thái (4.90), có phơng trình trạng thái w k =0 lμ: Ax k + BRq ⎞ ⎛ A ⎛ x k +1 ⎞ ⎛ k ⎟= ⎜ ⎟=⎜ ⎜ q ⎟ ⎜ LCx + ( A − LC − BR)q ⎟ ⎝⎜ LC k ⎝ k +1 ⎠ ⎝ k⎠ − BR ⎞ ⎛ xk ⎞ ⎟⎜ ⎟ A − LC − BR ⎠ ⎝⎜ qk ⎠⎟ Suy ra, nã có đa thức đặc tính: zI A det ⎜ ⎝ − LC BR BR ⎞ ⎛ zI − A + BR ⎞ ⎟ = det ⎜ ⎟ − + − + + zI − A + LC + BR ⎠ zI A BR zI A LC BR ⎝ ⎠ BR ⎛ zI − A + BR ⎞ = det ⎜ ⎟ Θ − + zI A LC ⎝ ⎠ = det( zI − A + BR)det( zI − A + LC ) v đến đợc: Định lý 4.16: Hệ kín phản hồi đầu hình 4.30c gồm điều khiển phản hồi trạng thái R v quan sát trạng thái (4.90) có điểm cực l điểm cực điều khiển phản hồi trạng thái (4.88) v quan sát trạng thái Định lý khẳng định bi toán thiết kế điều khiển phản hồi đầu tách đợc thnh hai bμi to¸n lμ bμi to¸n thiÕt kÕ bé điều khiển phản hồi trạng thái v bi toán thiết kế quan sát trạng thái Mở rộng ra, tơng tự nh đà bn hệ liên tục (định lý 3.41), hệ kín phản hồi đầu nh mô tả hình 3.40c l SISO, với mô hình đối tợng điều khiển: x k +1 = Ax k + buk ⎨ T ⎪⎩ yk = c x k + duk vμ cã bé quan s¸t tiƯm cËn (4.90) nh phản hồi trạng thái gán điểm cực R, th× nã sÏ cã hμm trun lμ: ⎛ zI − A − b ⎞ det ⎜ T ⎟ ⎜ c d ⎟⎠ ⎝ G( z ) = det( zI − A + bR) 440 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn deadbeat Khái niệm hệ deadbeat đà đợc giải thích mục trớc phần trình by bớc thiết kế điều khiển deadbeat miền tần số Tuy nhiên ta cha xét đến điều kiện tồn điều khiển Để công việc thiết kế điều khiển deadbead nói chung, kể miền tần số v miền thời gian có kết trớc thực công việc tổng hợp điều khiển ta cần phải kiểm tra xem no tồn điều khiển nh Hình 4.31 mô tả hệ thống phản hồi trạng thái gồm đối tợng SISO có mô hình: x k +1 = Ax k + buk , B lμ vector cét ⎨ T T ⎪⎩ yk = c x k , c lμ vector hμng (4.97) vμ hai bé ®iỊu khiĨn khch đại tĩnh R , V Giả sử hệ l deadbeat Khi hệ đợc từ trạng thái ®Çu x bÊt kú vỊ gèc täa ®é sau ®óng n b−íc ®iỊu khiĨn (øng víi w = ) , nói wk V uk Hệ không xk cách khác x n = Theo công thức (4.43) trạng thái x n tự hệ ®ã sÏ lμ: x n = ( A − bR ) x n −1 = ( A − bR)n x0 liên tục C yk R Hình 4.31: Điều khiển deadbeat Nh vậy, để có x n = phải cã: ( A − bR)n = Θ , Θ lμ ma trận có tất phần tử (4.98) Rõ rng phơng trình có nghiệm R đối tợng (4.97) điều khiển đợc hon ton Hơn n÷a, ( A − b R ) n = , đợc gọi l ma trận nilpotent bậc n, nên từ định lý CayleyHamilton, hệ kín phải có phơng trình đặc tính: det( z I ( A b R ) ) = z n (4.99) Từ ta đến đợc khẳng định: Định lý 4.17: Nếu đối tợng SISO bậc n (có n biến trạng thái) mô tả (4.97) l điều khiển đợc hon ton tồn điều khiển deadbead R , V vμ hƯ kÝn dead−bead ë h×nh 4.31 sÏ cã ®iĨm cùc z = béi n Chó ý: Theo nội dung định lý 4.17 hệ kín có ®iĨm cùc béi n t¹i z = ViƯc cã ®iĨm cùc béi z = sÏ lμm cho hệ nhạy cảm với thay đổi nhỏ đối tợng điều khiển Nói cách khác hệ deadbeat tính bền vững cao Bây ta chuyển sang viƯc thiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn dead−beat R , V Điều kiện (4.99) nói điều khiển R phải có chức gán đợc điểm cực: z1 = = zn = 441 Do đó, theo công thức (3.68) phơng pháp Ackermann, l: R = sTAn (4.100) T ®ã s lμ vector hμng cuèi cïng cña ( b , Ab , … , A T s =(0, … ,0,1)( b , Ab , … , A n−1 b) n−1 b) −1 , tøc l: Bộ điều khiển V lại có nhiệm vụ phải tạo đợc y k = w k chế độ xác lập Từ phơng trình trạng thái cđa hƯ kÝn (h×nh 4.31): ⎧⎪ x k+1 = ( A − bR) x k + bVwk ⎨ T ⎪⎩ yk = c x k ta cã víi c«ng thøc (4.44) v tính chất (4.98), đáp ứng đầu k ≥ n : yk = c T k −1 n −1 i=0 i=0 ∑ ( A − bR)k− i −1 bVwi = c T ∑ ( A − bR)n i1 bVwi Giả thiết tiếp giá trị tín hiệu kÝch thÝch w k lμ h»ng sè, tøc lμ w = w = yk = c T n −1 ∑ ( A − bR)n − i−1 bVw = w ⇒ V = i =0 = w , ta đợc: c T n ( A − bR)n − i−1 b i =0 Ngoμi ra, víi (4.98) ta cßn cã: n −1 n −1 n −1 i=0 i =0 n −1 i=0 n −1 i =0 n −1 i =1 n −2 i =0 i=0 ( I − ( A − bR)) ∑ ( A − bR)n−i−1 = ∑ ( A − bR)n−i−1 − ∑ ( A − bR)n−i = = ∑ ( A − bR)n − i−1 − ∑ ( A − bR)n − i ∑ ( A − bR)n − i−1 − ∑ ( A − bR)n − i−1 = ( A − bR)0 = I VËy: V= c T ( I − ( A − bR)) −1 b (4.101) Tỉng kÕt l¹i, ta đến: Định lý 4.18: Hai điều khiển R , V cho bëi (4.100) vμ (4.101) sÏ lμm cho hệ kín hình 4.31 có đợc đáp ứng y k = w , k ≥ n hÖ ®−ỵc kÝch thÝch b»ng tÝn hiƯu h»ng w k = w đầu vo Đơng nhiên điều khiển deadbeat phản hồi trạng thái chuyển đợc sang thnh điều khiển deadbeat phản hồi đầu cách ghép thêm quan sát trạng thái tiệm cận (4.90) lọc Kalman vo trớc khâu phản hồi trạng thái R 442 4.4.4 Nhập môn điều khiển dự báo Nguyên tắc chung điều khiển dự báo (MPCmodel predictive control) Hình 4.32a mô tả hệ thống điều khiển kín Nguyên lý lm việc điều khiển dự báo hình đợc hiểu nh sau Tại thời điểm k v sở cực tiểu hóa hm mục tiêu Q no cho trớc đợc xây dựng từ chất lợng mong muốn định trớc, khoảng thời gian tơng lai k , k +1, , k + N (hình 4.32b) chẳng h¹n nh−: Q= k+ N ∑ ⎡⎣( wi − yi )2 + ui2 ⎤⎦ → (4.102) i= k ta xác định đợc dÃy giá trị tín hiệu điều khiĨn t−¬ng lai u i , i = k , k +1, … , k + N Trong sè giá trị tín hiệu điều khiển tơng lai tìm ®−ỵc ®ã ta chØ sư dơng u k lμm tÝn hiệu điều khiển thời điểm k thời điểm k+1 tiếp theo, ta lại lặp lại chu trình để có u k +1 v nh điều khiển dự báo phải thực lặp bi toán tối u (4.102) chu kỳ trích mẫu Hiển nhiên điều khiển dự báo phải có: DÃy giá trị tín hiệu đặt trớc w k v cảm biến đo tín hiệu y k Mô hình toán học đối tợng Một phiếm hm mục tiêu, chẳng hạn nh phiếm hm (4.102) v thuật toán giải bi toán tối u với phiếm hm mục tiêu Giá trị N (4.102) đợc gọi l cửa số dự báo Có thể thÊy r»ng N = ∞ th× víi (4.102) cịng ph¶i cã: lim ( wi − yi ) = vμ i →∞ lim ui = i →∞ Suy hệ kín l ổn định v có sai lệch tĩnh Điều khiển dự báo hệ SISO miền phức Điều khiển dự báo a) b) Mô hình đối tợng wk ek Tối u hóa N +1 u k Đối tợng điều khiển yk t k k +1 k+N Cảm biến Hình 4.32: Mô tả nguyên lý điều khiển dự báo sở tối u đoạn với cửa sổ trợt Để minh họa việc xây dựng điều khiển dự báo, ta xét hệ kín mô tả hình 4.32a với lớp đối tợng có hμm truyÒn: 443 S( z ) = b1 z−1 + b2 z−2 + + a1 z −1 + + bm z − m (4.103) + an z − n ®ã b ≠ 0, b i , a j l tham số đà biết Từ mô hình đối tợng l hm truyền (4.103) thì: m n n j =1 j =1 j =1 ∑ b j uk− j = yk + ∑ a j yk− j = ( wk − ek ) + ∑ a j ( wk− j − ek− j ) ⇔ n ek = − ∑ a j ek − j − j =1 m ⎛ n ⎞ j =1 ⎝ j =1 ⎠ ∑ b juk− j + ⎜⎜ wk + ∑ a j wk− j ⎟⎟ n = − ∑ a j ek − j − uk −1 + wk −1 j =1 ®ã uk −1 = m n j =1 j =1 ∑ b juk− j vμ wk−1 = wk + ∑ a j wk− j (4.104) Suy ⎛ ek − n +1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ xk = ⎜ ⎜ ek −1 ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ek ⎠ ⎝ − an − an −1 F = F x k −1 + c ( wk −1 − uk −1 ) ⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟x ⎜ ⎟ (w − u ) + k −1 ⎟ k −1 ⎜ ⎟ k −1 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − a1 ⎠ ⎝1 ⎠ c (4.105) Bëi vËy, nÕu viÕt l¹i công thức dới dạng truy hồi, đợc: x k + N = F x k + N −1 + c( wk + N −1 − uk + N −1 ) = F ⎡⎣ F x k + N − + c( wk + N − − uk + N −2 )⎤⎦ + c( wk + N −1 − uk + N −1 ) − uk + N − ⎞ ⎛w = F x k + N − + ( Fc , c ) ⎜ k + N −2 ⎟ w ⎝ k + N −1 − uk + N −1 ⎠ wk − uk ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ − w u k +1 k +1 ⎟ = F N x k + F N −1 c , F N − c , … , c ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ wk + N −1 − uk + N −1 ⎠ ( ) v điều ny tơng đơng với: F N −1 c ⎛ x k+ N ⎞ ⎛ F N ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ N −1 ⎟ x ⎜ F N −2 c ⎜ ⎟ xk + ⎜ x = ⎜ k + N −1 ⎟ = ⎜ F ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ ⎜ c ⎝ k +1 ⎠ ⎝ F ⎟⎠ ⎝ D C 444 Fc c c⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ ( w − u ) = Dxk + C ( w − u ) ⎟ ⎟⎠ (4.106) ®ã ⎛ wk ⎞ ⎛ uk ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ vμ u = ⎜ ⎟ w=⎜ ⎜w ⎟ ⎜u ⎟ k + N −1 k + N −1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ wk + N ⎠ ⎝ uk + N ⎠ (4.107) B©y giê ta chun sang việc xây dựng điều khiển dự báo theo quy tắc tối u đoạn sổ N nh sau Cứ sau chu kỳ trích mẫu với y k đầu ra, cộng thêm với dÃy giá trị tín hiệu đặt {w k } đà có, ta cần phải xác định đợc giá trị tín hiệu điều khiển uk thời điểm đó, cho với có đợc: Q = x T Sx + uT Ru → (4.108) ®ã S, R lμ hai ma trận đối xứng xác định dơng cho trớc (Q l hμm låi) Thay x tõ (4.106) vμo hμm mơc tiªu (4.108) ta đợc: Q = ( Dx k + Cw − Cu ) S ( Dx k + Cw − Cu ) + uT Ru T Vì Q có dạng ton phơng nên để có Qmin cần v đủ lμ: 0T = ( ) T T ∂Q = −2 ( Dx k + Cw − Cu ) SC + 2uT R = 2uT CT SC + R − ( Dx k + Cw) SC ∂u ⇔ u = C T SC + R ( ) ⇒ uk = (1 , , , ) u = (1 , , ⇒ uk = ⎡ ⎢(1 , , b1 ⎣⎢ −1 CT S ( Dx k + Cw) ( ( , ) CT SC + R , ) C T SC + R ) −1 ) −1 C T S ( Dx k + Cw) CT S ( Dx k + Cw) − m ⎤ j =2 ⎦⎥ ∑ b juk+1− j ⎥ (4.109) với C, D, x k , w xác định (4.105), (4.106) vμ (4.107) C«ng thøc (4.109) cuèi cïng nμy l mô hình toán điều khiển dự báo hình 4.32a Tóm lại, điều khiển dự báo ứng với phiếm hm mục tiêu (4.108) để ®iỊu khiĨn ®èi t−ỵng (4.103) cã nhiƯm vơ thùc hiƯn thuật toán sau: 1) Xây dựng ma trận v vector F, c, D, C theo (4.105), (4.106) 2) Thùc lần lợt với k = , , bớc sau: a) Đo tín hiệu y k b) Xây dựng vector x k , w tõ w k , y k theo (4.104), (4.105), (4.107) c) Xác định tín hiệu điều khiển u k theo (4.109) Chú ý: Mặc dù thuật toán dùng cho lớp đối tợng (4.103), song đà thể nguyên lý lm việc chung điều khiển dự báo ứng với lớp đối tợng 445 khác nhau, có công thức (4.104), (4.105), (4.106), (4.107) khác nhau, có công thức tính giá trị tín hiệu điều khiển u k khác Điều khiển dự báo hệ MIMO không gian trạng thái Với hỗ trợ nguyên tắc chung điều khiển dự báo đà trình by trên, ta hon ton không khó khăn phải thực bi toán điều khiển dự báo cho lớp đối tợng tuyến tính MIMO có mô hình trạng thái: x k +1 = Ax k + Buk ⎨ m ⎪⎩ y k = Cx k + Duk , u k R (4.110) cho hệ có đợc tín hiƯu y b¸m theo tÝn hiƯu mÉu mong mn đặt trớc w k theo k nghĩa (4.102) Trớc tiên, từ mô hình (4.110) ta có đợc: y k+ N = Cx k + N + Du k + N = C ( Ax k + N −1 + Bu k + N −1 ) + Du k + N ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ = CAx k + N −1 + ( CB , D ) ⎜⎜ k + N −1 ⎟⎟ = CA ( Ax k + N −2 + Buk + N −2 ) + ( CB , D ) ⎜⎜ k + N −1 ⎟⎟ ⎝ uk + N ⎠ ⎝ uk+ N ⎠ ⎛ uk + N −2 ⎞ ⎜ ⎟ = CA2 x k + N − + ( CAB , CB , D ) ⎜ u k + N −1 ⎟ ⎜ u ⎟ ⎝ k+ N ⎠ ( = CA N x k + CA N −1 B , ⎛ uk ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ , CB , D ⎜ ⎜u ⎟ ⎜ k + N −1 ⎟ ⎜ u ⎟ ⎝ k+ N ⎠ ) Bëi vËy, viÕt l¹i cho ton khoảng thời gian dự báo k,k+1, ,k+N sÏ cã: ⎛ ek + N ⎞ ⎛ wk + N ⎞ ⎛⎜ y k + N ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ e w x = ⎜ k + N −1 ⎟ = ⎜ k + N −1 ⎟ − ⎜ k + N −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ e ⎟ ⎜ w ⎟ ⎜⎜ y k k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k ⎠ N ⎞ N −1 ⎛ ⎛ ⎛ wk + N ⎞ CA CA B ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ N −1 ⎟ N −2 w ⎜ ⎜ CA B = ⎜ k + N −1 ⎟ − ⎜ CA ⎟ xk − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ w ⎟ ⎜ ⎜ D k ⎝ ⎠ ⎝ C ⎟⎠ ⎝ w B A CB D ⎞ ⎛ uk ⎞ ⎟⎜ ⎟ D Θ⎟⎜ ⎟ = w − Ax − Bu (4.111) k ⎟⎜u ⎟ k + N − ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Θ Θ ⎟⎠ ⎝ uk + N ⎠ u ®ã Θ lμ ký hiƯu cđa ma trận có tất phần tử Thay vector x cđa (4.111) vμo hμm mơc tiªu (4.108) cã hai ma trận đối xứng v xác định dơng S, R: 446 ( Q = w − Ax k − Bu ) S ( w − Ax T k ) − Bu + uT Ru ta thÊy, Q lμ dạng ton phơng lồi, nên để có Qmin, cần v ®đ ph¶i lμ: 0T = ( ∂Q = −2 w − Ax k − Bu ∂u ( ⇔ u = BT SB + R ⇒ uk = ( Im , Θ , ) −1 ) T ( ( ) ( SB + 2uT R = 2uT BT SB + R − Ax k + w BT S Ax k + w ) T SB ) ( , Θ ) u = ( Im , Θ , , Θ ) BT SB + R ) −1 ( BT S Ax k + w ) (4.112) ®ã A, B, x k , w xác định (4.111) v Im l ma trận đơn vị m chiều, số chiều tín hiệu đầu vo đối tợng (4.110) Công thức (4.112) cuối ny l mô hình toán điều khiển dự báo phản hồi trạng thái mô tả hình 4.33 wk Bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái Hình 4.33: Điều khiển dự báo phản hồi trạng thái (4.112) u k Đối tợng y điều khiển (4.110) k xk Câu hỏi ôn tập tập Tìm đáp ứng cho hệ yk − yk −1 + yk −2 = uk đầu vo l dÃy giá trị trích mẫu tín hiệu 1(t) v giá trị đầu l y =1, y =1 HÃy xác định ¶nh X(z) cđa {x k } víi a) xk = b) x k = −k ⎛ kπ π ⎞ + ⎟ cos ⎜ 3⎠ ⎝ H·y tìm tín hiệu {x k } có ảnh X(z) sau ®©y a) −k b) z ( z − 1) z2 + z 4z − 5z + c) − z − z + 11 z ( z − 1) ( z + ) Cho tÝn hiÖu xung {x k } cã ¶nh Z lμ X(z) Chøng minh r»ng nÕu cã lim zm X ( z ) = M z →∞ th× cịng cã x m = M Cho tÝn hiƯu tn hoμn {x k } víi chu kú N, tøc lμ x k =x k + N Chøng minh r»ng: X(z) = zN z N −1 N −1 ∑ xk z− k k=0 Cho hai tÝn hiÖu {x k } vμ {y k } Gọi X(z), Y(z) l ảnh chúng Giữa {x k } vμ {y k } ph¶i cã mèi liên hệ để có X(z) = Y(z ) Ngời ta đà ci đặt hệ thống SISO có hm truyền G(s) cho sau vo máy tính HÃy xác định hm truyền không liên tục tơng ứng cđa hƯ 447 a) d) + 2s (1 + 3s)(1 + 5s) b) s − 2s + e) s(2s2 − s + 1) c) f) s(1 + 2s)3 s +1 2s2 + 3s + s3 + 3s − s + ( s2 + )( s2 + 2s + 2) Chøng minh r»ng: a) 0,2s(1 + s)(1 + 3s) z{ GZOH ( s) s−a } = GZOH(a) eaTa z−e aTa b) z { ( s − a) k } = d k −1 ⎛ z ⎞ ⋅ k −1 ⎜ aT ⎟ ( k 1)! da ze a HÃy xác định hm truyền không liên tục cho hệ có sơ đồ khối sau: a) b) G1 Hình 4.34: Cho tËp G1 G2 G2 G3 G5 G3 G4 10 Cho hƯ SISO cã hμm trun G( z ) = G5 z3 + ( z − 0.5)3 G4 HÃy xác định dÃy giá trị hm trọng lợng {g k }, k=0,1,2, v từ tìm đáp ứng {y k }, k=0,1,2,… u k =1, ∀k 11 Chøng minh hm truyền dạng thựchữu tỷ (4.35) hệ nhân (causal) có bậc đa thức tử số (theo z z 1) không lớn bậc ®a thøc mÉu sè Tõ ®ã chØ r»ng m« hình trạng thái (4.42) mô tả đợc hệ nhân 12 Xét hệ không liên tục với mô hình trạng thái (4.42), Chứng minh phép biến đổi tơng đơng (đổi trục tọa độ) x k = M x k , M kh«ng suy biÕn, kh«ng lμm thay ®ỉi hμm trun (4.49) cđa hƯ 13 H·y xÐt tÝnh ổn định, điều khiển đợc, đạt tới đợc v quan sát đợc hệ có mô hình trạng thái sau: a) ⎛ 0,5 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x k +1 = ⎜ ⎟ x k + ⎜ ⎟ u k ⎜ 0 0⎟ ⎜ 0,5 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ b) ⎛1 / ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xk+1 = ⎜ 0 ⎟ xk+ ⎜ a ⎟ uk vμ ⎜ 0 1⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ vμ y k = (1 , , 0)x k 14 Cho hÖ tuyÕn tính SISO liên tục mô tả bởi: dx −1 ⎞ ⎛0⎞ =⎜ ⎪ ⎟ x + ⎜ ⎟u dt ⎨ ⎝ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎪ ⎩ y = (2 , 1) x 448 y k = (1 , , 0)x k TÝn hÖu vμo u(t) hệ đợc trích mẫu thnh dÃy {u k }, k=0,1,2,… víi chu kú trÝch mÉu T a =0,1, sau lại đợc liên tục hóa khâu ZOH thnh u( t ) Tín hiệu đầu y(t) hệ đợc trích mẫu thnh dÃy {y k }, k=0,1,2,… víi cïng chu kú trÝch mÉu H·y x©y dựng mô hình trạng thái không liên tục tơng đơng vμ tõ ®ã lμ hμm trun G(z) cđa hƯ 15 Chøng minh r»ng nÕu cã (4.98) th× cịng sÏ cã (4.99) 16 Cho hệ không liên tục mô tả bởi: x k +1 = Ax k + Bu k Gäi R l điều khiển phản hồi trạng thái lm hệ ổn định tối u theo nghĩa: Q= T T ∑ x k Ex k + uk Fuk → k =0 ®ã E lμ ma trËn ®èi xứng (E T =E), bán xác định dơng ( E ≥ ) vμ F lμ ma trËn ®èi xøng (F T =F), xác định dơng ( F > ) Chøng minh r»ng bé ®iỊu khiĨn R sÏ lμ: R = ( F + BT PB)−1 BT PA P l nghiệm đối xứng, xác định dơng phơng trình: P = E + AT PA AT PB( F + BT PB)−1 BT PA Gièng nh− hệ liên tục, điều khiển tối u R cho hệ không liên tục có tên gọi l điều khiển LQR 17 Cho đối tợng không liên tục mô tả bởi: x k +1 = Ax k + Buk ⎨ ⎪⎩ yk = Cx k + Duk Chøng minh r»ng bé ®iỊu khiĨn tèi −u phản hồi đầu xây dựng theo nguyên lý tách nh mô tả hình 4.30c, bao gồm điều khiển phản hồi trạng thái tối u tìm theo bi tËp 16 øng víi hμm mơc tiªu: Q= ∞ T T ∑ x k Ex k + uk Fuk → k =0 v quan sát trạng thái tiệm cận (4.90), không lm thay đổi đợc tính pha cực tiểu đối tợng 18 Chứng minh lọc Kalman áp dụng đợc cho hệ tuyến tính không dừng mô tả x k +1 = Ak x k + Bk u k + nk ⎨ ⎪⎩ y k = Ck x k + Dk u k + vk víi n k , v k lμ hai tÝn hiƯu nhiƠu egodic, cã kú väng b»ng 0, không tơng quan với nhau, v k không tơng quan với trạng thái x k hệ, nh x k không tơng quan 449 với tất giá trị trạng thái trớc xi , i=1,2, ,k1 Khi ®ã bé läc Kalman sÏ lμ: ⎧ Pk = Ak −1 K k −1 AkT−1 + N k −1 víi K tïy chän ⎪ −1 ⎪ T T ⎪ Lk = PkCk Ck PkCk + Vk ⎪ ⎨ K k = ( I − LkCk ) Pk ⎪ / ⎪ x k = Ak x k −1 + Bkuk −1 víi x0 tïy chän ⎪ / / ⎪ x k = x k + Lk y k − Ck x k − Dk uk ⎩ ( ) ( ) { T víi k=1,2, … vμ M nk ni 450 }=N δ k k−i { T , M vk vi }=V k ki ảnh Laplace ảnh Z số tín hiệu x(t), t0 X(s)= L {x(t)} δ (t) 1(t) s s s e at te at t n e at a bt ta bt t a bt cos(β t) sin( β t) s zTa ( z − 1)2 ( kTa )n n! n +1 s−a z( z + 1)Ta2 ( z − 1)3 z( z2 + z + 1)Ta3 ( z − 1)4 − ( zTa d n −1 ⋅ Z {( kTa} n ! dz n! ( s − a)n +1 s − b ln a s β s2 + β ( z − eaTa )2 dn ⎛ z ⎞ n ⎜ aTa ⎟ da ⎝ z − e ⎠ (kT a ) n eakTa z bkTa z − abTa zTa abTa bkTa (kT a ) a (kT a ) a ( s − b ln a) zeaTa Ta a ( s − b ln a) z − eaTa kT a eakTa ( s − a)2 bkTa cos( β kT a ) sin( β kT a ) ) z eakTa s +β z z −1 (kT a ) (kT a ) s } kT a t3 X(z) = Z {x k } = z {X(s)} t2 tn n! {1, 0, 0, 0, t x k = x(kT a ), k≥0 ( z − abTa )2 z( z + abTa )Ta2 abTa ( z − abTa )3 z[ z − cos( β Ta )] z − z cos( β Ta ) + z sin( β Ta ) z2 − z cos( β Ta ) + 451 Tài liệu tham khảo [1] Anderson, B.D and Moore, J.B.: Linear Optimal Control Prentice−Hall, NJ, 1971 [2] Äström, K.J and Wittenmark, B.: Adaptive Control Addision−Wesley Publishing Company, Inc 1995 [3] Balas, G.; Doyle, J.C.; Glover, K.; Packard, A and Smith, R.: µ−Analysis and Synthesis Toolbox MatLab User's Guide [4] Burmeister, H.L.: Automatische Steuerung VEB Verlag Technik Berlin, 1976 [5] Bögel, K; Tasche, M.: Analysis in normierten Räumen Akademie Verlag Berlin, 1974 [6] Chiang, R and Safonov, M.: Robust Control Toolbox MatLab User's Guide [7] Chui, C K and Chen, G.: Linear System and Optimal Control Springer Verlag, Heidelberg New York, London, Paris, Tokyo, 1989 [8] Doyle,J.; Francis, B and Tannenbaum,A.: Feedback Control Theory Macmillan Publishing C0., 1990 [9] Fossard, A.: Multivariable System Control North−Holland Publishing Company, 1972 [10] Fửllinger, O.: Regelungstechnik (xuất lần 9) Hỹthig Buch Verlag Heidelberg, 1996 [11] Katsuhito Ogata: Modern Control Engineering Prentice−Hall International Inc., 1995 [12] Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik Verlag Harri Deutsch, 1998 [13] Müller, K.: Entwurf robuster Regelungen B.G Teubner Stuttgart, 1996 [14] Ph−íc, N.D vµ Minh, P.X: Nhận dạng hệ thống điều khiển Nhà xuất Khoa häc vµ Kü tht, 2001 [15] Ph−íc, N.D vµ Minh, P.X: Điều khiển tối u bền vững (xuất lần thứ 2) Nhà xuất Khoa học Kü tht, 2000 [16] Ph−íc, N.D.: Lý thut ®iỊu khiĨn nâng cao Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [17] Reinschke, K.: Steuerung kontinuierlicher Prozesse Skriptum zur Vorlesung, TU−Dresden, 2002 [18] Safonov, M.G.: Stability and Robustness of Multivariable Feedback Systems MIT Press, Cambridge, MA, 1980 [19] Unbehauen, R.: Systemtheorie (xuất lần 6) R Oldenbourg Verlag Mỹnchen Wien, 1993 [20] Zhou,K.; Doyle,J.C and Glover,K.: Robust and Optimal Control Prentice Hall, 1996 452