Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12122018 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị (H) và đường thẳng d: (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (4,5 điểm). Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực 1) . 2) . Câu 3 (2,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức . Câu 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có , là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A và . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 5 (2,0 điểm). Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18 m. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài đoạn đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc quả bóng không nảy nữa. Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình , tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc A có phương trình . Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ dương. Tính diện tích tam giác ABC.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12/12/2018 x 1 x có đồ thị (H) đường thẳng d: y (m 1) x Câu (2,5 điểm) Cho hàm số (với m tham số) Tìm tất giá trị m để d cắt (H) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức P 12( x1 x2 ) 11x1 x2 đạt giá trị lớn y Câu (4,5 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số thực 2 1) x x x x 2 x 3x x 2) log (6 x 1) 0 n Câu (2,5 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (1 x x ) , biết n số tự 2n nhiên thỏa mãn hệ thức C2 n C2 n C2 n C2 n 512 Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB c, BC a, CA b , độ dài đường cao xuất a b c phát từ đỉnh A Chứng minh tam giác ABC Câu (2,0 điểm) Một bóng cao su thả rơi từ độ cao h = 18 m Sau lần chạm đất, bóng lại nảy lên cao độ cao lần rơi trước Giả sử bóng rơi nảy theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài đoạn đường bóng di chuyển từ lúc thả đến lúc bóng khơng nảy Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm I có phương trình (x 1) (y + 1) 5 , tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường phân giác góc A có phương trình x y 0 Biết hai điểm A I cách đường thẳng BC điểm A có hồnh độ dương Tính diện tích tam giác ABC Câu (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, chiều cao h khơng đổi Gọi M, N hai điểm di động hai cạnh BC, CD cho góc MAN 450 Đặt BM = x Tìm x theo a cho thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c ba số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị 1 b c 5a M b a c b a c nhỏ biểu thức Hết Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………… .……; Số báo danh: … ; Phòng thi số: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Bảng B HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Câu (2,5đ ) Điể m Đáp án x 1 ( m 1) x x Phương trình hồnh độ giao điểm (H) d (m 1) x (m 5) x 0 (do x = khơng nghiệm phương trình) 0,5 2 Đường thẳng d cắt (H) hai điểm phân biệt (m 5) 4(m 1) 2 ( m 3) 12 Suy m d ln cắt (H) hai điểm phân biệt 0,5 Ta có x1 x2 m2 ; x1.x2 2 m 1 m 1 0,5 m2 59 P 12( x1 x2 ) 11x1.x2 12 11 12 71 m 1 m 1 m 1 0,5 Do P đạt giá trị lớn 71 m = Vậy m = giá trị cần tìm 0,5 x x x x 2 x x ( x x ) 3( x x) x x 0 1) (2,5đ) Đặt t x x , t 0 , phương trình trở thành t 3t 2t 0 t 0; t 2; t (loại) Với t 0 suy x 0, x 3 Với t 2 suy x 1, x 4 x 7 6 y y 7 6 x 2) (2,0đ) Kết hợp với phương trình cho ta có hệ x y x y t Suy 6 y x x 7 y (1) Xét hàm số f (t ) 7 6t t Ta có f '(t ) 7 ln 0, t nên hàm số f đồng biến 0,5 0,5 0,5 0,5 x Do (1) f ( x) f ( y) x y Suy x 0 (*) ; x Xét hàm số g ( x) 7 x khoảng x x Ta có g '( x) 7 ln 6; g ''( x) 7 (ln 7) nên đồ thị hàm số g lõm ; ; Do (*) có khơng q hai nghiệm thuộc khoảng Mà g (0) 0, g (1) 0 nên x = 0, x = tất nghiệm (*) Vậy nghiệm (2,5đ 0,5 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0, x 3 , x 1, x 4 x Đặt y log (6 x 1) , y 6 x Điều kiện (4,5đ ) 0,5 phương trình cho x = 0, x = 1 C20n C22n C24n C22nn 512 (C20n C21n C22n C22nn ) 512 Ta có 0,5 0,5 0,5 ) (2,5đ ) (2,0đ ) 2n 512 n 5 0,5 5 k k i k i (1 x x )5 x(1 x) C5k x k (1 x) k C5 Ck x k 0 i 0 , (i, k , i k ) k 0 0,5 i k 5 i 0 i 1 i 2 ; ; i , k , i k k k k 3 x Vì số hạng chứa nên , giải ta Hệ số cần tìm C5 C5 C4C5 C3 C5 51 a a 2S a b c b c ABC b c (b sin C ) 2 a Ta có sin( B C ) sin B sin C sin B sin C 0,5 0,5 0,5 0,5 3 sin B sin C sin B( cos C sin C ) sin C ( cos B sin B) 2 2 0,5 sin B cos C 1 sin C cos B 1 0 3 3 0,5 cos B cos C 1 B C 3 3 Vậy tam giác ABC h1 h Tiếp theo, bóng rơi từ độ Sau lần chạm đất đầu tiên, bóng nảy lên độ cao h2 h1 h Sau bóng lại rơi từ độ cao h2 tiếp cao , chạm đất nảy lên độ cao hn hn tục Sau lần chạm đất thứ n, bóng nảy lên độ cao Tổng độ dài đoạn đường bóng từ lúc thả đến lúc bóng khơng nảy d (h h1 h2 hn ) (h1 h2 hn ) d tổng hai cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội h h d 126 1 q 1 q Do m q , có số hạng đầu h, h1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có I (1; 1) Tọa độ giao điểm đường phân giác góc A (I) nghiệm hệ phương trình (2,0đ ) ( x 1) ( y 1) 5 x 2; y 1 x y 0 x 1; y Suy có hai giao điểm A(2;1), A '( 1; 2) 0,5 Đường thẳng BC vng góc A’I nên phương trình BC có dạng: x y m 0 ( BC A ' I ) d ( A; BC ) d ( I ; BC ) 1 m x y Phương trình BC: Tìm tọa độ 1 m điểm B, m C là: 0,5 0,5 21 21 21 21 ; ), ( ; ) 5 5 Vậy diện tích tam giác ABC ( 9 1 84 2 21 S ABC BC.d ( A; BC ) 2 5 (2,5đ ) h AM AN Vs AMN h.S AMN 12 Ta có 0,5 0 Đặt MAB , 45 , NAD 45 AB AD AM AN cos cos(450 ) 0,5 a2 2a 2 cos (cos sin ) sin(2 450 ) 0,5 Vs AMN nhỏ AM AN nhỏ sin(2 450 ) lớn 22,50 0,5 Vậy với x a.tan 22,5 a ( 1) thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ 0,5 1 M a b c 1 1 1 b c a Biến đổi 1 ,(x, y 0, xy 1) x y xy Ta có bất đẳng thức (1,5đ ) 1 x y ( xy 1) 0, x y xy Thật x, y 0, xy 1 M a 1 c 1 a c Do a 5t 5t M t c Vì a b c nên t 1 t t Suy t t t 1 Đặt 5t f '(t ) 0, t 1; f (t ) ( t 1) t Xét hàm số , ta có nên f (t ) đồng biến 1; Do f (t ) f (1), t 1 0,5 Vậy M f (1) 3 , t 1 a b c Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm tròn Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ DỰ BỊ (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2,5 điểm) Cho hàm số y KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12/12/2018 2x x có đồ thị C Tìm tất giá trị tham số m để C đường thẳng d: y x m cắt hai điểm phân biệt A B cho tam giác PAB đều, P 2;5 biết Câu (4,5 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số thực 1) x x 8 x x x x 2) 11 2 log11 (10 x 1) 2018 Câu (2,5 điểm) Tính tổng P 3C2018 5C2018 7C2018 2021C2018 Câu (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện cho đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) A’, B’, C’, D’ MA MB MC MD 12 thỏa mãn đẳng thức MA ' MB ' MC ' MD ' Gọi V1 , V2 , V3 , V4 thể tích khối tứ diện MBCD, MCDA, MDAB, MABC Chứng minh V1 V2 V3 V4 u1 a , (a 0) u a un ; (n 1; ) u Câu (2,0 điểm) Cho dãy số ( n ) xác định hệ thức n 1 Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(1; 3) Biết M(6; 4) 17 N ; thuộc cạnh BC (M khác B C) 2 thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình vng ABCD Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác Chứng minh sin A sin B sin C 1) 27 R ma mb mc , (với R bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 2) Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c ba số thực tùy ý thuộc đoạn [1;9] a b, a c Tìm giá trị 1 b c b M b c c a 10b a nhỏ biểu thức Hết Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………… …; Số báo danh… ; Phòng thi số: MA TRẬN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN – BẢNG B Cấp độ Chủ đề Vận dụng cao Cấp độ Cấp độ Cấp độ Cộng - Thể tích khối đa diện - Phương pháp tọa độ mặt phẳng Hình học - Nhận dạng tam giác Số câu 3 Số điểm 7,0 7.0 Giải tích - Cấp số nhân Số câu 1 Số điểm 2,0 2,0 - Tương giao hai đồ thị Đại số - Giải phương trình mũ, logarít Bất đẳng thức - Giải phương trình chứa thức -Nhị thức Niu-tơn Số câu 1 Số điểm 7,5 2,0 1,5 11,0 TS câu 4 TS điểm 9,5 9,0 1,5 20,0