7 tính giá trị của biểu thức số có quy luật

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ CĨ QUY LUẬT Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 1+2+3+ +49+50 Nhận xét: Ta thấy tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 50, có quy luật số sau lớn số liền trước đơn vị Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết biểu thức 1→A 2→B A+B→A B+1→ B # Gán vào ô nhớ A (A biến chứa) Gán vào nhớ B (B biến chạy) Dịng lệnh Dòng lệnh SHIFT Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu #  đến  B + → B có giá trị 50 ấn  đọc kq :(1 275) 1 b) B =     1  ? 49 50 Nhận xét: Ta thấy tổng tổng phân số với tử số không đổi, mẫu số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết biểu thức 1→A 2→B A+ Gán vào ô nhớ A Gán vào nhớ B Dịng lệnh Dòng lệnh →A B B+1→ B Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu # SHIFT #  B + → B có giá trị 50 ấn  đến  đọc kết (KQ: 4,499205338) c) C = 1 1      1   48 49 ? 50 Nhận xét: Ta thấy biểu thức dãy phép toán + - xen kẽ phân số với tử số không đổi, mẫu bậc hai số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Nếu mẫu CBH STN lẻ dấu +, cịn mẫu CBH STN chẵn dấu - Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu  ta thu kết biểu thức Cách lập tương tự VD2, song ta phải ý đến dấu số hạng 1→A Gán vào ô nhớ A 2→B A + (-1)B+1 Gán vào nhớ B Dịng lệnh Dịng lệnh →A B B+1→ B Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu # SHIFT #  B + → B có giá trị 50 ấn  đến  đọc kết (KQ:0,534541474) Ví dụ 2: Cho số a1 , a2 , a3 ,…………,a2003 3k + 3k + Biết ak = k + k với k = , , ,………… , 2002, 2003 Tính S = a1 + a2 + a3 + + a2003 Giải: Ta có: ak = Do 1  3- 1 đó:   1   -  2 Ví dụ 3: k + 3k + 3k + 1 - k  k + 1 a1 k + a2       3   2003 2004  k + 1 - k =  k + 1 k + a3 = + 1 k  k + 1 + a2003 = 8048096063    1  8048096064 2004  Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Giải: Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a + b2 Khi : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 -  a  b  a b 2 = 33,76244   a b   Đáp số : A = 184,9360067 II.1 Phương pháp tách số hạng: Dạng 1:Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp 1.1 Ví dụ 1: Tính 1 1 S     1.2 2.3 3.4 2004.2005 Học sinh phải nhận dạng số hạng tổng tách sau 1   ; 1.2 1 1 1   ;   2.3 2004.2005 2004 2005 Cộng vế với vế đẳng thức ta  1 2004  1  1  S 1             1    2005 2005  2  3  2004 2004  2005 1.2 Ví dụ 2: Tính tổng S  1    9.10 10.11 2004.2005 Nhận xét: Ta thấy tổng giống hệt tổng ví dụ ta dùng cách tách số hạng ví dụ 1: 1 1 1 S       10 10 11 2004 2005 1 1996    2005 18045 Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng qt có dạng: n n  1 Thì ta tách sau: 1   n n  1 n n  Từ ta có cơng thức tổng qt để tính tổng sau: 1 1 S    1  1.2 2.3 n n  1 n 1 Dạng 2: Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử số 1, mẫu tích hai thừa số “k” đơn vị 2.1 Ví dụ 1: 1 S    1.3 3.5 2003.2005 Cách Học sinh phải nhận dạng số hạng có dạng - Tử số số hạng - Mẫu tích hai số tự nhiên hai đơn vị Ta tách sau: 1  1  1   1.3   11 1     3.5   ……………………… 1 1      2003.2005  2003 2005  Cộng vế với vế đẳng thức ta được:    1     1002  S                1        2003 2005    2005  2005 Nhận xét kết quả: - Thừa số nhỏ nhất, lớn mẫu số hạng 1; 2005 - Kết tích hiệu nghịch đảo thừa số nhỏ thừa số lớn với nghịch đảo đơn vị Cách 1 S    1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1     Ta thấy: b.a b.a b.a b a (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi cho tử số tất số hạng phải khoảng cách hai thừa số mẫu tất hạng tử tách được: 1   1.3 1   3.5 1   2003.2005 2003 2005 2  1 1  1                  1.3 3.5 2003.2005      2003 2005  2004 1   2005 2005 1 Mµ S     1.3 3.5 2003.2005 2 2004  2S      1.3 3.5 2003.2005 2005 2004 1002 S :2 2005 2005 Chú ý: Thơng qua ví dụ cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp: 1   sai 3.5 M 1   Nhận xét tổng quát: với a-b=M b.a b a Bài toán tổng quát Sn  1    a(a  m) (a  m)(a  2m)  a   n  1 m  a  nm n=1;2;3 11  Sn     m  a a  nm  Dạng 3: Mẫu số tự nhiên liên tiếp với m=1;2;3 3.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: 1 Sn     1.2.3 2.3.4 n n  1 n   Nhận xét đề bài: - Tử số - Mẫu số hạng tích số tự nhiên liên tiếp - Số hạng tổng quát có dạng n n  1 n  2 Ta có 1 1      1.2.3  1.2 2.3  1 1      2.3.4  2.3 3.4   1 1     n n  1 n    n n  1  n  1 n    Cộng vế với vế đẳng thức ta  1 1 1 1  S n          1.2 2.3 2.3 3.4 n n  1  n  1 n    Nhận xét kết Nếu mẫu có thừa số tổng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch đảo tích thừa số có giá trị nhỏ tích thừa số có giá trị lớn  1 1  S n     1.2  n  1 n    3.2 Ví dụ Tính tổng sau 1 Sn     1.2.3.4 2.3.4.5 n n  1 n   n  3 Nhận xét đề - Tử số hạng - Mẫu số hạng tích số tự nhiên liên tiếp - Số hạng tổng quát có dạng n n  1 n  2 n  3 Ta có 1 1      1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1 1      2.3.4.5  2.3.4 3.4.5   1 1     n  n  1  n    n  3  n  n  1  n    n  1  n    n    Cộng vế với vế đẳng thức ta  1 1 1 1 Sn           1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n  n 1  n    n 1  n    n     1 1    1.2.3  n  1 n   n  3  =  Bài toán tổng quát 1 Sn     1.2.3 m 2.3.4  m  1 n n  1 n    n  m  1   1    Ta có S n  m   1.2.3  m  1  n  1 n   n  3  n  m  1  với m=2;3;4 n=1; 2; 3…… Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy tổng 1 Sn     1.2.3 2.3.4 n n  1 n   Thì 3-1=4-2=… =n+2-n=2 2  2S n     1.2.3 2.3.4 n n  1 n  2     1    S n            1.2 2.3   2.3 3.4   n n  1  n  1 n    1   1.2  n  1 n  2 1 1   => S n     1.2  n  1 n    Như vậy: 2m 1   a a  m  a  2m  a a  m   a  m  a  2m  3m 1 *   a a  m  a  2m  a  3m  a  a  m  a  2m   a  m  a  2m  a  3m  * Một số tập áp dụng Tính tổng sau: 1 1 1 A       12 20 30 42 56 1 B    1.4 4.7 2002.2005 3 C    15.22 22.29 85.92 668 §S : 2005 11 §S : 460 §S : 1 D    1.3 3.5  2n  1  2n 1 §S : n 2n  1 1 n  2n E    §S : 1.3.5 3.5.7  n  1  n    2n  1  2n  1  2n  3 II.2 Tính tổng phương pháp giải phương trình ( làm trơi) Trong số trường hợp gặp tốn tính tổng dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà số hạng tổng quan hệ với là: Mỗi số hạng liền trước( liến sau) (kém) “q” lần ta nhân chia số hạng tổng cho “q” để xuất tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu Dạng 1: số hạng tổng ln nhỏ băng 1.1 Ví dụ Tính tổng sau 1 S     2005 2 (1) Ta thấy số hạng liền sau tổng số hạng liền trước “2” lần S 1  1    2004 2 (2) Trừ vế với vế (2) cho (1) ta S 1  2005  2005  2005 1.2 Ví dụ Tính tổng 1 S    1.3 3.5 2003.2005 a b a b 1     Ta thấy: b.a b.a b.a b a (a,bN, a>b ) Ta phải biến đổi cho tử số tất số hạng phải khoảng cách hai thừa số mẫu tất hạng tử tách được: 2  1 1  1  2S                 1.3 3.5 2003.2005      2003 2005  2004 1   2005 2005 2004 1002 S :2 2005 2005 Dạng 2:Các số hạng tổng lớn 2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau S 30  31    3100 Ta thấy số hạng sau gấp số hạng liền trước “2” lần Cách làm tương tự toán dạng Ta có : 3S 31    3100  3101 S 3101  S 3101  2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN* Để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số ta nhân số hạng tổng với Thừa số viết dạng: 3-0 số hạng thứ 4-1 số hạng thứ hai 5-2 số hạng thứ ba (n+2)-(n-1) số hạng thứ cuối Ta có 3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) =>Sn= n n  1 n  2 Tổng quát cho trường hợp ta có S n 1  a  a   a n  a n 1  với nN ; 1Sn= n n  1 n  2 1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau: Sn=1.3+3.5+5.7+…+(2n-1)(2n+1) Nhận xét đề - Khai thác từ số hạng tổng quát ta có (2n-1)(2n+1)=4n2-1 n S a 1 n n   : n  4a   4a  1.n a 1 a 1 4n n  1 2n  1   n 2n n  1 2n  1   n Dạng 2:Tính tổng thơng qua việc lập hiệu hai tổng trung gian Ví dụ: Tính tổng sau Sn=13+33+53+…+(2n+1)3 Nhận xét đề bài: Đây tổng lập phương số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng ta lập tổng tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp bới phần cộng thêm Giải Sn=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63+…+(2n)3} =13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33+…+(2n)3} 10  2n 2n  1   n n  1   23       = ={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2 =n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2) =n2(2n2-1) 11