Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ QUANG TOAN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990086226751000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ QUANG TOAN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tính đơn điệu hàm số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Cực trị hàm số 11 1.4 Tiệm cận hàm số 12 1.5 Một số tính chất đồ thị hàm số 13 1.6 Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số 15 CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ 16 2.1 Hàm số vô tỷ 16 √ 2.1.1 Hàm số dạng y = bx + c, b 6= ([9]) 16 √ 2.1.2 Hàm dạng y = ax2 + bx + c, a 6= 18 √ 2.1.3 Hàm số y r = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= 25 ax + b 2.1.4 Hàm y = , ad − bc 6= 27 cx + d 2.2 Hàm số hữu tỷ 28 ax2 + bx + c 2.2.1 Hàm y = 28 dx + e ax2 + bx + c 2.2.2 Hàm số y = 30 dx + ex + f 2.3 Hàm số lượng giác 34 2.4 Hàm số mũ hàm số logarit 35 2.4.1 Hàm mũ: y = ax , < a 6= 35 MỤC LỤC 2.4.2 Hàm logarit: y = loga x, < a 6= 37 2.5 Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 40 2.5.1 Hàm y = |f (x)| 41 2.5.2 Hàm y = f (|x|) 41 2.5.3 Hàm y = |f (|x|)| 42 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ .47 3.1 Tìm số nghiệm phương trình 47 3.2 Xác định tính chất hàm số y = f (x) dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) 53 3.3 Giải phương trình phương pháp hàm số 58 3.4 Giải bất phương trình phương pháp hàm số 61 3.5 Chứng minh bất đẳng thức hàm nhiều biến 65 3.6 Một số đề thi liên quan khảo sát hàm số 73 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 (x − 1)e2x =  (x − 1)e2x (1 − x)e2x x ≥ x < Suy  (2x − 1)e2x y = (1 − 2x)e2x x ≥ x < Do đó, y0 = ⇔ x = - Giới hạn tiệm cận: Ta có lim f (x) = lim (x − 1)e2x = +∞; x→+∞ x→+∞ lim f (x) = lim (1 − x)e2x = x→−∞ x→−∞ Đồ thị hàm số nhận đường y = tiệm cận ngang - Bảng biến thiên: x −∞ f (x) + e +∞ − k + +∞ f (x) 0 - Đồ thị: - Theo Ví dụ 2.4.1 ta có đồ thị hàm số y = (x − 1)e2x - Ta lấy phần đồ thị bên trục hoành đối xứng qua trục hoành (bỏ phần trục hoành) - Hợp hai phần đồ thị ta đồ thị hàm số y = (x − 1)e2x 46 y y = (x − 1)e2x x y = (x − 1)e2x 47 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 3.1 Tìm số nghiệm phương trình A Phương pháp 1) Số nghiệm phương trình f (x) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) với trục hồnh 2) Số nghiệm phương trình: f (x) = g(x) số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) 3) Phương trình dạng f (x, m) = ta biến đổi dạng g(x) = h(m), y = h(m) hàm có đồ thị song song trục Oy B Một số dạng toán liên quan Bài toán 3.1.1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau y 1 x −1 −1 −3 48 Tìm giá trị tham số m để phương trình f (|x| − 1) = m có nghiệm phân biệt Bài giải Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy đồ thị y = f (|x|) Tịnh tiến qua phải đơn vị ta nhận đồ thị hàm số y = f (|x| − 1) y y = f (|x| − 1) x y=m Số nghiệm phương trình f (|x| − 1) = m số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f (|x| − 1) y = m Như vậy, phương trình có nghiệm phân biệt −3 < m < −1 Bài toán 3.1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ y −4 −1 −5 x 49 Có giá trị ngun m để phương trình sau có nghiệm   p (3.1) 2f − 6x − 9x = m − Bài giải Ta có điều kiện tốn 6x − 9x2 ≥ ⇔ ≤ x ≤  Do hàm số y = f (x) nghịch bến khoảng (−1; 3) nên với x ∈ 0, , ta có r p ≤ 6x − 9x2 = −9(x − )2 + ≤ p ⇔ −4 ≤ −4 6x − 9x2 ≤ p ⇔ −1 ≤ − 6x − 9x2 ≤ q ⇔ f (3) ≤ f (3 − 6x − 9x2 ) ≤ f (−1)  Suy q −5 ≤ f (3 − 6x − 9x2 ) ≤ Như vậy, phương trình (3.1) có nghiệm −5 ≤ m−3 ≤ ⇔ −7 ≤ m ≤ Do đó, giá trị nguyên m {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Bài tốn 3.1.3 Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt √ m x2 + = x + m Bài giải Bởi đương với √ x2 + − > với x nên phương trình cho tương m= √ x x2 + − 50 x ta có x2 + − √ x2 + 2 − √ f (x) = √ x2 + 2( x2 + − 1)2 Xét hàm số f (x) = √ Suy √ f (x) = ⇔ x = ± Ta có bảng biến thiên sau x √ − −∞ f (x) − √ + +∞ f (x) +∞ √ √ − − −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có ba nghiệm √ √ − ≤ m ≤ Bài toán 3.1.4 Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ y x −2 −3 Khi đó, phương trình f (2 − f (x)) = có nghiệm thực phân biệt?