Chuong 5 kiemdinh

ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN – KHOA CƠ BẢN Bài giảng XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ThS ThS Nguyễn Văn Phong Email : nvphong1980@gmail.com, nv.phong@ufm.edu.com Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT MỘT SỐ KHÁI NIỆM CÁC LOẠI SAI LẦM BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TRUNG BÌNH TỔNG THỂ KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ TỔNG THỂ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CÁC LOẠI SAI LẦM - Sai lầm loại : Bác bỏ giả thuyết H0 H0 Sai lầm loại : Chấp nhận giả thuyết H0 H0 sai Quyết định H0 xảy H0 không xảy Chấp nhận Bác bỏ Đúng SL Loại I SL Loại II Đúng BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH Để kiểm định cho giả thuyết H0 , ta xét mẫu quan sát X1, X2, …, Xn Khi ta chọn thống kê T (θ ) = f (X1, X , , Xn , θ ) Nếu H0 ta xác định phân phối xác suất cho T , với mức sai lầm α cho trước, ta tìm khoảng tin cậy [ a, b] cho T (θ ) Khi đó, T (θ ) ∉ [a , b ] : bác bỏ H0 T (θ ) ∈ [a , b ] : chaáp nhận H0 XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG MỘT SỐ KHÁI NIỆM BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH Được thực theo bước kiểm định Bước : Đặt giả thuyết H0 Bước : Mô tả giả thuyết H0 dạng chứa tham số kiểm định Bước : Xây dựng thống kê chứa tham số kiểm định Bước : Xác định miền bác bỏ Wα Bước : Xác định giá trị quan sát Tqs (θ ) Bước : Kết luận Tqs (θ ) ∈Wα : bác bỏ H0 Nếu Tqs (θ ) ∉Wα : chấp nhận H0 (chưa có sở bác bỏ) Nếu Trong α mức ý nghóa Miền bác bỏ phụ thuộc - Bài toán kiểm định phía hay phía - Phân phối xác suất thống kê XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG MỘT SỐ KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghóa nghóa Giá trị tới hạn biến ngẫu nhiên U, ký hiệu zα thoả P (U > zα ) = α α zα NGUYEÃN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TRUNG BÌNH TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI CHUẨN HAI PHÍA MỘT PHÍA H : µ = µ0  H : µ ≠ µ0 GIẢ THUYẾT H : µ = µ0  H : µ > µ0 BIẾT PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ THỐNG KÊ T= MIỀN BÁC BỎ (X − µ ) n σ Wα /2 { XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHÔNG BIẾT PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ ∼ N (0,1) T = Wα Wα /2 = Tqs : Tqs > zα /2 } H : µ = µ0  H : µ < µ0 (X − µ ) n ∼ St(n − 1) SX Wα Wα = {Tqs : Tqs < −zα } Wα = {Tqs : Tqs > zα } NGUYEÃN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TRUNG BÌNH TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI CHUẨN Chấp nhận Bác bỏ Bác bỏ −zα /2 zα / { Wα /2 = Tqs : Tqs > zα /2 } NGUYEÃN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TRUNG BÌNH TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI CHUẨN Chấp nhận Bác bỏ zα Wα = {Tqs : Tqs > zα } XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TRUNG BÌNH TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI CHUẨN Chấp nhận Bác bỏ −zα Wα = {Tqs : Tqs < −zα } NGUYEÃN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI BERNOULLI HAI PHÍA MỘT PHÍA H : p = p0  H : p ≠ p0 GIẢ THUYẾT T= THỐNG KÊ MIỀN BÁC BỎ Wα /2 { Wα /2 = Tqs : Tqs > zα /2 XÁC SUẤT THỐNG KEÂ H : p = p0  H : p > p0 } (f − p) n p(1 − p) Wα H : p = p0  H : p < p0 ∼ N (0,1) Wα Wα = {Tqs : Tqs < −zα } Wα = {Tqs : Tqs > zα } 10 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ TRONG PHÂN PHỐI CHUẨN HAI PHÍA GIẢ THUYẾT H : σ = σ 02  2 H : σ ≠ σ H : σ = σ 02  2 H : σ > σ χ2 = THỐNG KÊ MIỀN BÁC BỎ MỘT PHÍA (n − 1)SX σ Wα /2 { H : σ = σ 02  2 H : σ < σ ∼ χ (n − 1) Wα Wα Wα = χqs2 : χqs2 < χ12−α /2 hay χqs2 > χα2/2 { } { Wα = χqs2 : χqs2 < χ12−α Wα = χqs2 : χqs2 > χα2 } 11 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI TRUNG BÌNH HAI PHÍA GIẢ THUYẾT MỘT PHÍA H : µ1 = µ2  H : µ1 ≠ µ2 H : µ1 = µ2  H : µ1 > µ2 H : µ1 = µ  H : µ1 < µ2 BIẾT PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ T= THỐNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ σ / n1 + σ / n 2 2 ∼ N (0,1) KHÔNG BIẾT PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ T= MIỀN BÁC BỎ (X1 − X ) − (µ1 − µ2 ) Wα (X1 − X ) − (µ1 − µ ) S / n1 + / n Wα ∼ St(n1 + n − 2) Wα 12 NGUYỄN VĂN PHONG } KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI TRUNG BÌNH Trong Với hai mẫu { } { Ω1 = X11, X12 , , X1n1 , Ω = X 21, X 22 , , X 2n Trung bình mẫu } n1 n2 X1 = ∑ X1i ; X = ∑ X 2i n1 i =1 n i =1 Phương sai mẫu phương sai goäp (n1 − 1)S12 + (n − 1)S 22 S= n1 + n − n1 (X1i − X1 )2 , S = ∑ n1 − i =1 1 n1 (X 2i − X )2 S = ∑ n − i =1 2 XÁC SUẤT THỐNG KÊ 13 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI TỶ LỆ HAI PHÍA GIẢ THUYẾT MỘT PHÍA H : p1 = p2  H : p1 ≠ p2 THỐNG KÊ T= MIỀN BÁC BỎ Wα Nếu H0 đúng, g, Khi H : p1 = p2  H : p1 > p2 (f1 − f2 ) − (p1 − p2 ) p1(1 − p1 )/ n1 + p2 (1 − p2 )/ n Wα ∼ N (0,1) Wα p1 = p2 = p T= XÁC SUẤT THỐNG KÊ H : p1 = p2  H : p1 < p2 (f1 − f2 ) p(1 − p)(1 / n1 + / n ) 14 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI TỶ LỆ Trong Với hai mẫu { } { Ω1 = X11, X12 , , X1n1 , Ω = X 21, X 22 , , X 2n Tỷ lệ mẫu f1 = } k1 k n f + n f2 ; f2 = ; f = 1 Thay cho p n1 n2 n1 + n 15 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI PHƯƠNG SAI HAI PHÍA GIẢ THUYẾT H : σ 12 = σ 22  2 H : σ ≠ σ Nếu H0 đúng, g, Khi ñoù Wα H : σ 12 = σ 22  2 H : σ < σ Wα Wα σ 12 = σ 22 S12 F= S2 XÁC SUẤT THỐNG KÊ H : σ 12 = σ 22  2 H : σ > σ S12σ 12 F = 2 ∼ F (n1 − 1, n − 1) S2σ THỐNG KÊ MIỀN BÁC BỎ MỘT PHÍA 16 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH THAM SỐ KIỂM ĐỊNH HAI PHƯƠNG SAI Trong Với hai mẫu { } { Ω1 = X11, X12 , , X1n1 , Ω = X 21, X 22 , , X 2n } Phương sai mẫu n1 n1 2 S = (X1i − X1 ) ; S = (X 2i − X )2 ∑ ∑ n1 − i =1 n − i =1 17 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ - Kiểm định phi tham số thủ tục thống kê để kiểm định giả thuyết giả thuyết liên quan tham số hay dạng phân phối tổng thể - Trong phần sử dụng phương pháp kiểm định Chi bình phương dựa vào tiêu chuẩn Chi bình phương K.Pearson Pearson - Ta có toán sau Kiểm định giả thuyết tính độc lập hai dấu hiệu định tính Kiểm định giả thuyết k tham số p k biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli Kiểm định giả thuyết quy luật phân phối biến ngẫu nhiên Kiểm định giả thuyết hai trung bình hai liệu 18 XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI DẤU HIỆU ĐỊNH TÍNH Bài toán Giả sử tổng thể ta nghiên cứu đồn thời dấu hiệu định tính A, B Dấu hiệu A có h phạm trù A1, A2, …, Ah Dấu hiệu B có k phạm trù B1, B2, …, Bk Nếu có dấu hiệu cho A, B độc lập nhau Khi ta có giả thuyết sau H0: “A B độc lập” H1: “A B không độc lập” Để kiểm định cho giả thuyết trên, ta điều tra từ tổng thể mẫu gồm n quan sát trình bày dạng bảng sau 19 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI DẤU HIỆU ĐỊNH TÍNH n : Kích thước mẫu B A A1 ni : Tổng tần số với dấu hiệu A A2 … mj : Tổng tần số với dấu hiệu B Ai nij : Tần số với … dấu hiệu A B Ah Tổng XÁC SUẤT THỐNG KÊ B1 B2 … Bj … Bk Toång n11 n21 n12 n22 … … n1j n2j … … n1k n2k n1 n2 ni1 ni2 … nij … nik ni nh1 m1 nh2 m2 … … nhj mj … … nhk mk nh n 20 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI DẤU HIỆU ĐỊNH TÍNH Với n đủ lớn theo định nghóa xác suất thống kê, ta có n n n P(Ai Bj ) = ij ; P(Ai ) = i ; P(Bj ) = j n n n Neáu H0 đúng, g, n n n P(Ai Bj ) = P(Ai )P(Bj ) ⇔ ij = i × j n n n vaø  nij ni m j  −  h k  n n n   χ = n ∑∑ ∼ χ ((h − 1)(k − 1)) ni m j i =1 j =1 n n hay  h k nij2  χ = n  ∑∑ − 1 ∼ χ ((h − 1)(k − 1))  i =1 j =1 ni m j  XÁC SUẤT THỐNG KÊ 21 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HAI DẤU HIỆU ĐỊNH TÍNH Với cặp giả thuyết H : "A B độc lập"  H : "A B không độc lập" Ta bác bỏ H0 neáu    h k nij2  2 χ ∈Wα =  χ = n  ∑∑ − 1 : χ > χα ((h − 1)(k − 1)) n m  i =1 j =1 i j    qs XÁC SUẤT THỐNG KÊ 22 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ k THAM SỐ CỦA A k BIẾN BI N CÓ PHÂN PHỐI BERNOULLI n : Kích thước mẫu ni : Số lần thử mẫu i MẪU … i … k Tổng Số lần xuất biến cố X11 X21 Số lần không xuất Tổng biến cố n1 X12 X22 n2 Xi1 Xi2 ni Xk1 m1 Xk2 m2 nk n 23 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ k THAM SỐ CỦA A k BIẾN BI N CÓ PHÂN PHỐI BERNOULLI Với n1, n2, …, nk lớn 50 đó, thống kê Xi1 − ni pi Ui = Do ni pi (1 − pi ) k k i =1 i =1 χ = ∑U i2 = ∑ hay ∼ N (0,1) (Xi1 − ni pi ) ni pi (1 − pi ) ∼ χ (k )  h Xij2  χ = n  ∑∑ − 1 ∼ χ (k )  i =1 j =1 ni m j  XÁC SUẤT THỐNG KÊ 24 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ k THAM SỐ CỦA A k BIẾN BI N CÓ PHÂN PHỐI BERNOULLI Với cặp giả thuyết H : p1 = p2 = = pk = p  H : Coù hai giá trị khác Ta bác bỏ H0    h Xij2  2 χ ∈Wα =  χ = n  ∑∑ − 1 : χ > χα (k ) n m  i =1 j =1 i j    Trong đó, pi = p thay ước lượng qs f = X11 + X 21 + + Xk n1 + n + + nk 25 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3.1 Nếu X biến ngẫu nhiên rời rac Với Xi x x2 … mẫu quan ni n1 n2 … sát xk nk Với cặp giả thuyết H : X có phân phối A  H : X phân phối A pi = P(X = x i ); i = 1, 2, , k Nếu H0 đúng, g, ta có Và tần số lý thuyết Bảng phân X x1 i phối tần số ni n’1 lý thuyế t XÁC SUẤT THỐNG KÊ n i′ = npi x2 n’2 … … xk n’k 26 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3.1 Nếu X biến ngẫu nhiên rời rac Dùng thống kê k (ni − ni′ )2 χ =∑ ∼ χ (k − r − 1) ni′ i =1 r số tham số cần ước lượng Ta bác bỏ H0 neáu  k (ni − ni′ )2  χ ∈Wα =  χ = ∑ : χ > χα2 (k − r − 1) ni′ i =1   qs 27 NGUYỄN VĂN PHONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3.1 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục Với moät Xi x – x x1 – x2 mẫu quan ni n1 n2 sát … … x k -1 – x k nk Với cặp giả thuyết H : X có phân phối A  H : X phân phối A pi = P(x i −1 ≤ X ≤ x i ); i = 1, 2, , k Nếu H0 đúng, g, ta có Và tần số lý thuyết Bảng phân X x1 i phối tần số ni n’1 lý thuyế t XÁC SUẤT THỐNG KÊ n i′ = npi x2 n’2 … … xk n’k 28 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3.1 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục Lưu ý: Việc tính xác suất lý thuyết pi = P(x i −1 ≤ X ≤ x i ); i = 1, 2, , k phụ thuộc vào phân phối lý thuyết biến ngẫu nhiên X Ta dùng thống kê k (ni − ni′ )2 χ =∑ ∼ χ (k − r − 1) ni′ i =1 r số tham số cần ước lượng Ta bác bỏ H0  k (ni − ni′ )2  χ ∈Wα =  χ = ∑ : χ > χα2 (k − r − 1) ni′ i =1   qs XÁC SUẤT THỐNG KÊ 29 NGUYỄN VĂN PHONG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CỦA TỪNG CẶP DỮ LIỆU CỦA HAI MẪU KHÁC NHAU Với mẫu quan sát Xi Yi x1 y1 x2 y2 … … xn yn Với cặp giả thuyết cặp ) H : Xi =Yi (Hai liệu cặ  ng cặp H : Hai liệu không ta đặt Di = Xi −Yi ; i = 1, 2, , n ta có giả thuyết tương đương H : D =  H : D ≠ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Đây toán kiểm định giả thuyết cho trung bình 30 NGUYỄN VĂN PHONG