ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
BÙI VĂN THANH DIỄM
CÁC MODUN THOA MAN TINH CHAT
DOI NGAU SCHRODER - BERNSTEIN
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Đà Nẵng - 2021
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÙI VĂN THANH DIỄM
CÁC MODUN THOA MAN TINH CHAT
DOI NGAU SCHRODER - BERNSTEIN
Trang 3LỜI CAM DOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi Các số liệu, kết
Trang 4Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn là
PGS.TS Trương Cơng Quỳnh, Đại học Sư Phạm - Dại học Dà Nẵng, người thầy rất nghiêm khắc nhưng mẫu mực, người luơn tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ
và động viên tơi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình
Toi xin tran trong cam ơn Khoa Tốn và Phịng Dào tạo sau đại học của trường
Đại hoc Sư phạm - Dại học Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi được
học tập nghiên cứu va hồn thành chương trình học tập cla minh
Tơi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè luơn động viên, cổ vũ tơi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình của tơi đã đồng cắm
va chia sẻ những khĩ khăn trong suốt thời gian tơi học tập, nghiên cứu và hồn
thành luận văn
Tác giả
Trang 5INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: THE DUAL SCHRODER — BERNSTEIN PROBLEM FOR MODULES
Marjor: Algebra and Number theory
Full name of Master student: BUI VAN THANH DIEM Supervisors: Assoc Prof TRUONG CONG QUYNH
Training institution: University of Education - University of Danang
Summary: If there exits injective functions A > B and B > A between the sets A and sets B, then there exits bijective functions A > B The dual Schréder — Bernstein
theorem is the statement “whenever A, B sets and there are surjections from A onto B
and from B onto A, then there is bijection between A and B.” This follows from the axiom of choice In fact, the axiom of choice is equivalent to saying that any surjective functions admits a right inverse So dual Schréder — Bernstein follows from the axiom of choice and the Schréder — Bernstein theorem.The study of problem where one asks if two objects A and B in one category which are similar in some sense to a part of each other are also similar themselves is usually called the Schréder — Bernstein problem Thesis shows that the dual Schréder — Bernstein holds for dual automorphism invariant modules or endomorphism invariant modules over a perfect ring At the suggestion of the Assoc Prof teacher Truong Cong Quynh I chose the topic: “the dual Schréder — Bernstein problem for modules” for my master thesis
The topic “the dual Schroder — Bernstein problem for modules” has conducted research and achieved some specific results as follows:
- Systematize the theory related to cover of modules
- An overview study of the modules satisfying the property dual Schroder — Bernstein Especially dual automorphism invariant modules or endomorphism invariant modules over a perfect ring
- The thesis can be a reference for students interested in modules that satisfy dual Schréder — Bernstein
Keywords: COVER, PROJECTIVE COVER, FLAT COVER, DUAL
Trang 6Tén dé tai: CAC MODUN THOA MAN TINH CHAT DOI NGAU SCHRODER — BERNSTEIN
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Họ và tên học viên: BÙI VĂN THANH DIỄM
* Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TS TRƯƠNG CƠNG QUỲNH 2
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm — Đại học Đà Nẵng
Tĩm tắt: Nếu tổn tại hàm đơn ánh A — B và đơn ánh B — A thì tồn tại song anh A > B Định lý đối ngẫu Schrưder — Bernstein chỉ ra rằng “ với mọi tập hợp A và B nếu tồn tại một tồn ánh từ A tới B và tồn ánh từ B tới A thì tồn tại một song ánh giữa A và B” kết quả này được suy ra từ tiên đề chọn Thật vậy tiên đề chọn tương đương với mỗi tồn ánh cĩ nghịch đảo phải Vì vậy định lý đối ngẫu Schrưder — Bernstein suy ra từ tiên đề chọn và dinh ly Schréder — Bernstein Nghiên cứu vấn đề này chúng ta đưa ra câu hỏi nếu như hai vật A và B trong một phạm trù mà tương đương với nhau theo nghĩa cĩ một đơn xạ từ vật này đến vật kia thì các vật này thỏa mãn tính chất Schrưder —
Bernstein Luận văn nghiên cứu các lớp mơđun đối bất biến dưới các tự đồng cấu, tự
đẳng cấu trên lớp vành hồn chỉnh liên quan tính chất đối ngẫu Schrưder — Bernstein Với mong muốn tìm hiểu thêm một số kết quả liên quan cùng sự gĩp ý của PGS TS
TRƯƠNG CƠNG QUỲNH tơi đã chọn đề tài: “Các mơn thỏa mãn tính chất đối ngẫu
Schrưder — Bernstein” cho luan van thạc sĩ của mình
Đề tài: “Các mơđun thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder — Bernstein” đã tiến hành
nghiên cứu và đạt được một sơ kêt quả cụ thê như sau:
- _ Hệ thống lại lý thuyết liên quan đến phủ tổng quát của mơđun
- _ Nghiên cứu tổng quan về các mơđun thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder —
Bernstein, đặc biệt là các mơđun đối bất biến đẳng cấu, đồng cấu trên vành hồn
chỉnh thỏa mãn tính chất này Các ví dụ được trình bày một cách rõ ràng
-_ Luận văn cĩ thể là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm đến các mơđun thỏa mãn tính chất đối ngdu Schréder — Bernstein
Từ khĩa: PHỦ TƠNG QUAT, PHU XA ANH, PHU PHANG, DOI BAT BIEN DONG CAU, DOI BAT BIEN DANG CAU
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Ps
Trang 7MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN 1 LỜI CẢM ƠN 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT 4 MỞ ĐẦU 5 1 CÁC KIÊN THỨC CHUAN BI 9
1.1 Phủ tổng quát của mơđun ch ng 9
1.2 Phi xaanh chamédun 0.020.200 ee ee 13
1:3 Phi phane clin modun os ed ee vay eee ee eb Eda ee 16
1.4 Modun déi bat bién dang cu ee 18
Trang 8Đ: Tập hợp các số tự nhiên
Z: Vành các số nguyên
Q,R: Trường các số hữu tỷ, số thực E(M): Bao nội xạ của mơđun AM
Endp(A/): Vành các tự đơng cấu của # - mơđun AI
Mr(pM): M la mot R - mơdun phải hoặc trái (tương ứng) Rlz]: Vành đa thức trên vành ï
N@A/: Tổng trực tiếp của mơđun W và mơđun M
N1: Tích trực tiếp của mơđun W và mơđun A
In(f); Ker(f): Ảnh, hạt nhân của đồng cầu ƒ (tương ứng) N <M: N la médun con cia médun A/
N <M: N la médun con thic su cha médun M
N <° M: N 1a mơđun con cốt yếu (hay lớn) của mơđun À1 N%À/: N đẳng cấu với AM
Trang 91 Lý do chọn đề tài
Nếu tồn tại đơn ánh A —> ở va don Anh B — 4A thì tồn tại song ánh A4 —> Ư
Định lý đối ngẫu Schrưder-Bernstein chỉ ra rằng “ với mọi tập hợp A va B, néu
tồn tại một tồn ánh từ A tới và tồn ánh từ Ð tới 41 thì tồn tại một song
ánh giữa A và ” Kết quả này được suy ra từ tiên đề chọn Thật vậy tiên đề
chọn tương đương với mỗi tồn ánh cĩ nghịch đảo phải Vì vậy định lý đối ngẫu
Schrưder-Bernstein suy ra từ tiên đề chọn và định lý Schréder-Bernstein
Nghiên cứu các vấn đề này chúng ta đưa ra câu hỏi nếu như hai vật 4 và Ư trong một phạm trù mà tương đương với nhau theo nghĩa cĩ một đơn xạ từ vật này đến
vật kia thì các vật này thỏa mãn tính chất Sehrưder-Bernstein Vấn đề này được
nghiên cứu và phát triển trong những năm gần đây Trong [§], Gowers đã xây dựng
một ví dụ của hai khơng gian Banach khơng đẳng cấu với nhau sao cho mỗi đơn ánh từ khơng gian này vào khơng gian kia Trong phạm trù mơđun [2], Bumby đã
chứng minh rằng, các mơđun tự nội xạ dưới các tự đồng cấu bao nội xạ của chúng thỏa mãn tính chất Schrưder-Bernstein Tiếp tục vấn đề này, Guil Asensio [9] và các cộng sự đã chứng mỉnh rằng các mơđun bất biến dưới các tự đẳng cấu bao
nội xạ của nĩ cũng thỏa mãn tính chất Schrưder-Bernstein Trong [3], Dehghant
và các đồng nghiệp đã nghiên cứu vấn đề các tính chất của Schrưder-Bernstein cho
các hạng tử trực tiếp, điều đĩ chỉ ra rằng các vành nơte mỗi mơđun thỏa mãn tính
chất Schrưder-Bernstein
Luận văn này tổng hợp các lớp mơđun thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder-
Bernstein cho cac mddun bất biến dưới các tự đồng cấu của các phủ tổng quát Cho # là lớp mơđun đĩng dưới đẳng cấu Một # - đồng cấu p: X — M
Trang 10P Xx M 7 - ———= Re sco~e›clpl g thì tồn tại một đồng cấu a : X” —› X sao cho biểu đồ trên giao hốn Nghĩa là pa =p
Hơn nữa, nếu biểu đồ
là giao hốn thì a phải là tự đẳng cấu của X Và khi đĩ 4# - tiền phú gọi là # - phủ tổng quát Nếu X là lớp mơđun xạ ảnh thì các # - phủ tổng quát của các mơđun trùng với phủ xạ ảnh, mỗi phủ xạ ảnh của một mơđun là tồn cấu ¿: —› M từ một mơđun xạ ảnh P vào mơđun A/ sao cho Ker(¿) là đối cốt yêu trong P
Cho p: X(A/) —› AM là # - phủ tổng quát của A/ sao cho p là tồn cấu A/ được
gọi là # đối bất biến đẳng cầu (tương ứng, # - đối bất biến đồng cấn) nến cho mỗi
tự đẳng cấu (tương ứng, tự đồng cấu) ¿ của X(A) thì tồn tại một tự đồng cấu + của Ä/ sao cho po¿@ = yop Trong luận văn này tơi nghiên cứu lớp + - đối bất biến đẳng cấu và + - đối bất biến đồng cấu trên lớp vành hồn chỉnh liên quan tính chất đối ngẫu Schrưder-Bernstein
Với mong muốn tìm hiểu thêm một số kết quả liên quan cùng với sự gợi ý của PGS TS Truong Cơng Quỳnh, tơi đã chọn đề tài “Các mơdun thỏa mãn tính chất
đối ngẫu Schrưder-Bernstein” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trang 11Schrưder-Bernstein Đặc biệt là các mơđun đối bất biến đồng cấu và đối bất biến —— đẳng cấu trên vành hồn chỉnh thỏa mãn tính chất này
- Nhiệm vụ nghiên cứu:
+) Các kiến thức về phủ tổng quát
-') Các mơđun đối bất biến đồng cấu trên vành hồn chỉnh +) Các mơdmn đối bất biến đẳng cấu trên vành hồn chỉnh 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dối tượng nghiên cứu: Các mơđun thỏa mãn tính chất đối ngẫu Sehrưder- Bernstein
- Phạm vi nghiên cứu: luận văn chỉ nghiên cứu về các mơđun 4 - đối bất biến đồng cấu thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder-Bernstein và các mơđun 4 - đối bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schréder-Bernstein
4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển
và các bài báo liên quan, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan - Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn
- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài gĩp phần làm rõ định lý đối ngẫu Sehrưder-Bernstein và các bài tốn liên quan
- Dề tài này Imong muốn cĩ một báo cáo tổng quan kha đầy đủ về các mơđun thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder-Bernstein
6 Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia thành hai chương
Trang 13CHƯƠNG 1
CÁC KIÊN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phủ tổng quát cũng như các mơđun đối bất biến đồng cấu và đẳng cấu Bổ sung các khái niệm, tính chất này chúng tơi tham khảo tài liệu ({1], [H1], [I5])
1.1 Phủ tơng quất của mưđun
Cho vành # và # là lớp các # - mơđun phải đĩng dưới các đẳng cấu, tổng trực
tiếp hữu hạn và hạng tử trực tiếp
Định nghĩa 1.1.1 Một + - tiền phủ tống quát của # - mơđun phải A/ là một đồng cấu p: X —> A/,X € # thỏa mãn điều kiện sau:
Với mọi đồng cấu ø: X! — AI, X'€ # tồn tại đồng câu ƒ: X? > X sao cho g = pof Pp Kee eM u / xỉ
Một # - tiền phủ tổng quát của A/ được gọi là # - phủ tổng quát của A7 nếu mọi
tự đồng cấu ƒ: X — X,X e # thỏa p= pƒ thì ƒ là một tự đẳng cấu của X
Pp
XS M
xX
Dinh lý 1.1.2 Cho M la R - médun Néu M cé hai X - phit tong quat la yy :
X,>M va yo: Xa Al thi Xo Xi
Trang 14Vì gi,¿¿ là các # - phủ tổng quát của A/, tồn tại ƒ¡ : X; — Xi sao cho biều đồ _—— Piao hốn yi fi = yo #1 i——— | # X2 và tồn tại ƒ;: Xị — X¿ sao cho biểu đồ sau giao hốn ợsƒ› = ¢1 2 Xa —————` Ì[ | YL XI
Suy ra go = 01/1 = 2/2 Và ýì = vale = vi Theo định nghĩa của 4# - phủ tổng quát thì /¡/s và /sƒ¡ là các đẳng cấu, suy ra ƒ¡, fy IA các đẳng cấu Do đĩ,
No = Xj
Định lý 1.1.3 Giá sử mơđun AI cĩ % - phủ tổng quát 0à ¿: X — AI là một Ä - tiền phú tổng quát của AI Khi đĩ X = Xị 0K tới các mơđun con XỊ,K sao cho hạn chế đồng cấu @ly,: Xi AM là một Ä' - phủ tong quat cia M va K < Ker(y) Chitng minh Xét vw: Xo 9 A/ là # - phủ tổng quát của A/ Khi đĩ biểu đồ sau giao hốn Xu gi |: w Xo
Do y,v la & - tiền phủ tổng quat ctia M nén gf = 0 và ủø = ¿ Suy ra, Y = ¢f =
Trang 1511
X = Ker g@Im ƒ Chọn Xị = er ø % Xọ là một + - phủ tổng quát của A ———Hệ quả 1:1:4 Giả sử M cĩ %—= phú tổng quát Khi đĩ, Ä—= tiền phủ tổng quát
e:X = M là Y - phủ tổng quát của NI nếu uà chỉ nếu khơng tồn tại hạng tử trực tiếp l #0 của X chúa trong Ker(v)
Chúng mình
(>) là hiển nhiên
(©) Xét X = Xi@€ với K < Ker(e) Ta xác định đồng cấu ƒ: X - X bởi tm +k} zị Dễ thấy, ¿ƒ = ¿ Khi đĩ, ƒ khơng là đẳng cấu của X trừ khi K =0
Định lý 1.1.5 Giá sử lớp % cũng đĩng dưới tích trực tiếp bất hụ Với mỗi ,vị :
X¡— Mị là X - tiền phủ tổng quát của M¿ Thà, đồng cấu tích tự nhiên
Il¢i : TX => TIAI
là một & - tiền phú tổng quát của I] %: Chứng mình
Xét ¿: X = [TA là đồng câu bất kỳ, với X € 4# Ta cĩ p : [[A A1; là phép chiếu chính tắc Vì ¿: X; — M; là # - tiền phủ tổng quát của A/; nên tồn tại đồng
cấu ƒ;: X => X; sao cho biển đồ san giao hốn py = yi;
X; FF M
Trang 16
Định lý 1.1.6 Giá sử AI = Ah @Ala@ @ Afa voi Mj, (i = 1,7) la médun con cia M,¿¡: Xị + Mỹ là các Ý - phủ tổng quát của Mj Khi dé, @y; : ®X; 3 M la mét % - phủ tổng quát của M
Chứng mình
Ta chỉ cần chứng mình định lý đúng với ø = 2 Hiển nhiên ¿¡ @ ¿¿ là # - tiền phủ tổng quát của M; @ My Gia sit ton tại tự đồng cấu ƒ : Xị@ X; + Xi © X; thỏa
(£¡ ®2) ƒ = gì Ga Gọi jj : Xi © X¿ 3X, (7 = 1,2) là phép chiếu chính tắc và đ¡ : X¡ => XỊ Ơ X¿,(¡ = 1,2) là phép nhúng chính tác Khi đĩ, Xx; 4 X16 Xo 4 Xi®@X¿ 5 Xj £7 Với mọi EX, @ Xe ta cd x #Ị đ1 0 i =f +f = fis (x1) + fig (x2) 2 0 2 — | m/n(l)+/ia(s2) | — | TH mà vy
mo fir (v1) + 72 fig (x2) maƑii mafia 2
Dắt 11 = Ø1, 1 = @la, 1a ft = gạt, ma f2a = ý» Khi đĩ, Ƒ được biểu diễn dưới dạng ma trận
Trang 1713 Với mọi z¡ € XỊ, với mọi za € X¿ ta cĩ pr (zt) oe UIT =(#i®w2)ƒ = (2i ®2) #› (z2) +2 21 22 v2 @1#1 (#1) + 21912 (#2) #221 (#1) + #222 (%2) do đĩ q1 (#1) = @1@n (#1) + 1912 (32) và #2 (#2) = payar (1) + 2055 (z2)
VỚI mỌI z¡ € Xị, VỚI moi z¿ € X¿ Suy ra ý = /1211:/01012 = Ư VÀ ý = yoyo; poya = 0 Vi v1, ¢2 lan ludt là # - bao tổng quát của Ai, Ma nên ¿¡t, ¿2ï là các tự đẳng cấu Xét tích ma trận
Ị 0 gu #12 pil #12
—/si2ni Ì 1 211 21 22 2; 0 — yuyu 12 _3 È 22
VÌ #1212 = 022i = 0 nên ý¿ (van la + 25) = ý2222 = và Và vì yo là ¥ -
bao tổng quát của Mạ nên —ÿ31ii'@ta + Yoo lA tu đẳng cấu của X; Vậy, từ tích ma trận được xét ở trên, suy ra ma trận biểu diễn của / cĩ nghịch đảo, hay ƒ là tự đẳng cấu
1.2 Phủ xạ ảnh của mơđun
Nhắc lại rằng, đối với mơđun A/, mơdun con # < A/ được gọi là đối cốt yếu
trong A/, ký hiệu là 9 < A/, nếu với bất kỳ mơdun con L của A/ thỏa 9+ L= M
thì L= AI
Trong [18] Bass đã đưa ra khái niệm và nghiên cứu về phủ xạ ảnh
Định nghĩa 1.2.1 Cho # - mơđun phải A7, tồn cấu p: ? — A7 được gọi là phủ
Trang 18Ker(p) < P) Lúc này, ta cũng nĩi P là phủ xạ ảnh của Af
———Ví dụ 1.2.2 (1) Nếu A7 là mơdun xạ ánh, thì đồng cấu đồng nhất ?: A7 = A/ là tồn câu đối cốt yếu (hạt của nĩ bằng 0) Do đĩ, mơđun xạ ảnh luơn luơn cĩ phú xạ ảnh
(2) Phủ xạ ảnh của Z4 - mơđun 2s là Z4
(3) Nếu 7(R) = 0, thì mơđun A/ cĩ phủ xạ ảnh nếu và chỉ nếu A/ là mơdun
xạ ảnh
(4) Nếu đ là vành hồn chỉnh, thì mọi # - mơdun 4 đều cĩ phủ xạ ánh và nĩ trùng với phủ phẳng của AI
Gọi ø là lớp các # - mơđun phủ xạ ảnh Khi đĩ, khái niệm ø - phủ tổng quát
và phủ xạ ảnh và biểu diễn qua định lý sau:
Dinh ly 1.2.3 Cho M là R - mơđun uà đồng cấu ¿: P —> AI uới PcP Các điều
biện sau tương tương:
(1): P—y AI là - phủ tổng quái (2)e:P— AI là phủ za ảnh
Chứng múnh
(1) > @) Giả sử @: P — A/ là Ð - phủ tổng quát của A/ Vì mọi mơdun A/ là ảnh
tồn cấu của một mơđun xạ ảnh 7” nào đĩ và kết hợp với điều kiện đầu của 7 - phủ tổng quát ta suy ra ¿ là một tồn cấu Lấy 7 là mơđun con của P sao cho
Trang 19Để ý ¿|y = v¿ với ¿ là phép nhúng chính tắc E vào P, do đĩ g = ¿¿ƒ = yf Theo » —— điều kiện thứ hai của ? - phủ tổng quát ta cĩ ƒ là một tự đẳng cấu của P, điều
nay suy ra L = P Vậy Ker(¿) < P hay gy: P > M là phủ xạ ảnh của M
(2) = (1) Lấy ¿: P — A/ là phủ xạ ảnh của A7, rõ ràng ¿ đúng với điều kiện thứ nhất của ? - phủ tổng quát Giả sử tồn tại tự đồng cấu ƒ của P thỏa điều kiện
y=yf Do P = Ker(¿) + ƒ(P) và Ker(¿) < 7 nên P = ƒ(P), suy ra ¿ là tồn cấu Mặt khác dãy khớp 0 — Ker(g) —> P — P — 0 là chẻ ra do P là xạ ảnh, nên tồn tại
dong cau g: P + P sao cho fg = 1) va khi dé ạ là đơn cấu với P = g(P) + Ker(/)
Vi y = yf, nén Ker(ƒ) < Ker(y) < P Diéu nay suy ra P = ø(P), do đĩ ø là một tự đẳng cầu nên ƒ cũng là một tự đẳng cấu Vậy ¿: P — A/ là một ? - phủ tổng
quát của A1
Từ đỉnh lý trên và các tính chất của + - phủ tổng quát, ta suy ra các kết quả sau về phủ xạ ảnh của mơđun A1:
Định lý 1.2.4 (Bổ đề cơ bản của phủ œạ ảnh) Cho P là phủ sạ ảnh của R mơđun
phải AI Nếu Q là mơđun va ảnh tà ạ: Q —> AI là một lồn cấu, thà Q cĩ sự phân tích thành tổng trực tiếp Q = P, ® Py vdi Py ~ P, Pạ < Ker(q) tà đ[p,: Pị — AT là
phú xa ảnh của M
Dinh lý 1.2.5 (Tính duy nhất của phủ œạ ảnh) Nếu ạ: Q — AI tàp: P—y M là hai phi: va ảnh của M, thì tồn tai một đẳng cấu ¿: Q — P, sao cho poy =4q
Khơng phải mơđun nào cũng tồn tại phủ xạ ảnh Các ví dụ sau cho ta thấy điều này:
Ví dụ 1.2.6 (1) Z - mơđun Z„ khơng cĩ phủ xạ ảnh Thật vậy, giả sử Z - mơdun
P là phủ xạ ảnh của Z„,(n > 2) và ƒ: P — Z„ là tồn cấu đối cốt yêu Khi đĩ P/ker f % 2„ Vì ker ƒ & P nên Ker ƒ < J(P) = J(ZP) = J(Z)P = (MpZ)P =0 Suy
ra P = Z, Do P xa anh nén P la Z - mơdun tự do nên Z¿ là Z - mddun tự do
Trang 20(2) Cho # là vành thỏa J(ï) = 0 Khi đĩ, mọi R - médun khơng xạ ảnh thì
—— khơng cĩ phủ xạ ảnh _
(3) Cho M la R/J(R) - médun cĩ phủ xạ ảnh như # - mơdun Khi đĩ, A/ là xạ ảnh xem như là R/J(R) -mddun That vay: Goi 0 > + P — A7 — 0 là phủ xạ ảnh xem như là # - mơđun Khi đĩ, ta cĩ dãy khớp ngắn: R/J 4 kK + R/(J@P.—
R/J@M — 0 Vì AI R/J& M như là R/J - mơđun và R/ J P la R/J - mơdun xạ
ảnh Hơn nữa, K < J(P) = J(R)P Do đĩ R/J & K — R/J @ P là đồng cấu khơng
Suy ra M 1a R/J(R) - modun xa anh
Ta ký hiệu J = J(R) 1A cin Jacobson ctia vanh R Nha&c lại rằng, một tập con
SC R duge goi la 7 - lũy lĩnh nếu với bất kỳ dãy đếm được {ø¡ 6 5/7 > 1} thì tồn
tại số nguyên n sao cho àa a„ = 0 Vành # được gọi là vành hồn chỉnh phải
nếu #/J là nửa đơn và 7 là 7' - lũy linh phải Chúng ta phát biển đỉnh lý Bass
trong [8] về sự tồn tại của các lớp phủ xạ ảnh:
Dinh lý 1.2.7 Các điều kiện sau là tương đương đối uới ồnh hết hợp R : (1) R la vanh hồn chỉnh phải
(2) Moi R - médun phải cĩ phủ sa ảnh
(3) R/J là nửa đơn uà mối H - mơdun phải khác khơng cĩ mơdun con tối dai (4) Mỗi H - mơđun phải phẳng là «a anh
(5) H thỏa mãn dieu kién DCC các idcan phải chính
(6) Bát kỳ tích trực tiếp của các R - mơdun phải va ánh là œq ảnh
1.3 Phủ phẳng của mơđun
Nhắc lại rằng, # - mơđun phải A được gọi là mơđun phẳng nếu ham ttt (A @ —)
là hàm tử khớp Nĩi cách khác 41 là mơdun phẳng nếu với mỗi dãy khớp ngắn các
Trang 2117
0> A@xX 2X say “8 A@z—0
Cho # là lớp tất cả các R-modun phai phẳng Đối với ï - mơđun A/, một Ƒ -
(tiền) phủ của A/ được gọi là (tiền) phủ phẳng của A/ Trong [11], Enochs đã đưa
ra giả thuyết: đối với bất kỳ vành kết hợp # thì mọi # - mơđun đều cĩ phủ phẳng €ĩ nhiều lý do để cho rằng sự đối ngẫu giữa mơdun phẳng và mơđmn nội xạ là tốt hơn so với sự đối ngẫu giữa các mơđun xạ ảnh và các mơđun nội xạ Một trong số
các lý do này là cấu trúc của mơdun xạ ảnh tương đối đơn giản nhưng cấu trúc
của mơdun nội xạ và mơđun phẳng phức tạp hơn Trên thực tế cĩ rất ít mơđun nội xạ và mơdun phẳng cĩ thể được mơ tả một cách rõ ràng Cho đến nay giả thuyết của Enoehs vẫn cịn bỏ ngỏ Người ta chỉ chứng minh được rằng giả thuyết
trên đúng đối với một số lớp vành như vành hồn chỉnh phải Chú ý rằng, trên
lớp vành hồn chỉnh lớp các mơdun xạ ảnh và mơđun phẳng là trùng nhau Ta cĩ
mệnh đề:
Mệnh đề 1.3.1 Cho H là ồnh hồn chỉnh phải Khi đĩ, mọi R - mơđun phải đều
cĩ phú phẳng, xem như là phủ xa ảnh của nĩ
Bây giờ chúng ta xét lại ví dụ vành # khơng hồn chỉnh mà giả thuyết của lnochs vẫn đúng Trước hết, chúng ta xét khái niệm phủ khơng xoắn của mơđun
Cho # là miền nguyên giao hốn, một # - mơđun A7 được gọi là khơng xoắn nếu với « € l,œ € AI : a = 0 kéo theo a = 0 hoặc z = 0 Nĩi cách khác tập linh hĩa của
mọi phần tử khác khơng của A/ là 0 Gọi 7 là lớp tất cả các R - médun khơng xoắn Một 7;-( tiền ) phủ tổng quát của A/ được gọi là (tiền) phủ khơng xoắn của
M Cht ¥ rang, néu y: F > A/ là tiền phủ khơng xoắn thì ¿ là tồn cấu Enoehs đã chứng mỉnh trong [10, Theorem 1] mỗi mơđun trên miền nguyên giao hốn # cĩ
phủ khơng xoắn Teply đã tổng quát hĩa kết quả này đến lý thuyết xoắn Chúng
ta chứng mỉnh kết quả của Enochs:
Trang 221.4 Mơđun đối bất biến đẳng cấu
Định nghĩa 1.4.1 Một - mơđun phải A2 được gọi là mơđun đối bất biến đẳng cấu nếu bất cứ /{ị và X¿ là các mơđun con đối cốt yếu của A/ thì mỗi tồn
cầu „Ọ: Ä1/Kị —› M/K› với hạt nhân đối cốt yếu được nâng lên tự đồng cấu ¿ của
Al
Bồ đề 1.4.2 Giả sử M la médun déi bat biến đẳng cấu Nếu ø: M —>+ M là tồn
cấu uới hạt nhân đối cốt yếu, thà ơ là tự đẳng cấu Chứng minh
Giả sử K = Ker(ø) Thì ø sinh ra đẳng cấu ø : M/K —> M Xét ø~!: \M —> MỊN
Từ A/ là mơđun đối bất biến đẳng cấu, theo định nghĩa, ø~! nâng lên tự đồng
cấu A : Aƒ —+ AM Ta cĩ A(M) +K = M Vì K C¿ M, nên ta cĩ A(AM) = M
Do đĩ, A là một tồn cấu Như vậy, với z € Af,ø !{z) = A(œ) + WK Bay giờ,
„=øØ~!(w) = ø(A(#) + K) = øA(œ) Diều này chứng minh rằng Ao = 1,7 Do dé, ø~!=A và vì vậy øơ là một tự đẳng cấu
Hệ quả 1.4.3 Một R moddun phải M là mơđun đối bất biến đẳng cấu nếu uà chỉ nếu, uới hai mơđun con đối cốt tếu Kị tà Kạ của ÁI, các tồn cấu nạ: MI/Kị —>
ÁI/Kạ uới hạt nhân đối cốt yếu được nâng lên thành các tự đẳng cấu ọ của M
Ví dụ 1.4.4 Các mơđun với mơđun con đối cốt yếu dễ dàng được xem là các mơđumn đối bất biến đẳng cấu
Định nghĩa 1.4.5 Vành # được gọi là V - vành phải nếu mọi # - mơđun phải
là nội xạ
Mệnh đề 1.4.6 Gid sit R la V - 0uành phải Khi đĩ mọi R - mơdun phải là đối bát biến đẳng cấu
Trang 23
19
Giả sử A/ là đ - mơđun phải khác khơng Giả sử «(4 0) € M Theo bé dé Zorn, tồn
khác khơng của A⁄/N là (+ N)/A Vì vậy, A! =zR+N Điều này chỉ ra rằng A/ cĩ mơđun con đối cốt yếu khơng khác khơng vậy thì A/ là đối bất biến đẳng câu.L]
Bổ đề 1.4.7 Giả sử Ah, Mạ là các R - mơđun phải Nếu M = My + Mo la đối bat
biến đẳng cấu, thì các đồng cấu ƒ : Ah —> Alạ|R› tới Kạ đối cốt yếu trong Mạ tà Ker(f) doi cốt yếu trong MHh được nâng lên đồng cấu g: kh —>+ Mo
Chứng mình
Ta cĩ tồn cấu ơ : Á/ —> A1/K¿ xác định bởi ơ(m + mạ) = mì + ƒ(mì) + (mạ + K›)
vi my € My,my € Mo Tit Ky cét yéu trong Mz Va Mp C M, ta được Kạ đối cốt
yếu trong A/ Vì A/ đối bất biến đẳng cau, theo dinh nghia, o nang lén thanh tự đẳng cấu mạ của A Giả sử zị € Af và (#) = uị + uạ, trong đĩ ứị € Ađ,uạ € Áb Thi w+ ug + Ka = (gi + Kv) + f0), VỚI ug + Ko = J(ei) Giả sử mạ: M —> A0 là
tồn cấu chính tắc, khi đĩ ø = msn|a, : Äh —> Af› nâng lên ƒ
Định lý 1.4.8 Vành R là V - uành phải nếu uà chỉ nếu tất cả các mơđun hữu hạn
sinh là đối bát biến đẳng cấu
Lưu ý 1.4.9 Cĩ thể ghi chú rằng nếu ta suy yếu đi giả thuyết và giả sử rằng R là vành sao cho moi R - modun phai cyclic là đối bất biến đẳng cấu, thì ï khơng cần thiết là V - vành phải Ta biết rằng mọi mơđun cyclic trên vành giao hốn là
tựa xạ ảnh Do đĩ, nếu ta xét # thành vành giao hốn hồn chỉnh khơng là artin,
thì mọi mơdun cyclic của # là đối bất biến đẳng cấu, những # khơng là V - vành phải
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng một mơđun với phú xạ ảnh là đối bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu nĩ là tiền bất biến đẳng cấu
Trang 24Xét các đồng cấu sinh ra `: A— BỊJ(C) à g : A —> B/J(C) Nếu ƒ =g thà f= 9 g
Chúng mình
Giả sử œ: B —› D//(G) là tồn cấu chính tắc Thì ƒ = zƒ và g = xụ Từ ƒ =ø, ta cĩ với mỗi z € A, (+) = ø(z) Do đĩ zƒ(+) = xø(ø) với z e A Diền này cho ta được ƒ() + f(C) = ø(œ) + ƒ(C) với z€ A Do đĩ, (ƒ — ø)(4) € Œ - ø(C), và vì
vậy AC Œ+ Ker(ƒ - ø) Bây giờ, từ Œ là mơđun con đối cốt yếu trong 4, ta cĩ A= Ker(f —g), suy ra f-—g=0va f=g
Ménh dé 1.4.11 Gia sit P la mot médun va anh va K đối cốt yếu trong P sao
cho M = P/K la déi bat bién ding céu Thi o(K) = i tới tất cả các tự đẳng câu
ơ của P Do đĩ các tự đẳng cấu ơ của P sinh ra các tự đẳng cấu của M
Định lý 1.4.12 Nếu AI là H- mơđun phải cĩ phủ »ạ ảnh thì MI là đối bất biến
Trang 2521
CHƯƠNG 2
CÁC MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHẤT ĐỐI NGAU SCHRODER - BERNSTEIN
Trong chương này trình bày các nội dung về mơđun đối bất biến đồng cấu và
đối bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất đối ngẫu Schrưder-Bernstein Các kết
quả sau chúng tơi đã tham khảo trong ([14])
2.1 Các mơđun # - đối bất biến đồng cấu thoả mãn
tính chất đối ngẫu Schrưder-Bernstein
Trong suốt chương này chúng tơi giả sử rằng # là lớp các # - mơdun đĩng dưới
tổng trực tiếp hữu hạn và hạng tử trực tiếp, một # - phủ tổng quát của mọi đ -
mơđun phải là một tồn cấu ạ; : X(A/) —> M
Đồng cấu p: A7 —› X được gọi là # - tồn cấu tỉnh mạnh nếu mọi đồng câu
ff: X —› N với X € # đều nâng lên đồng cấu ø: X —> A/ sao cho pog=ƒ
Bổ đề 2.1.1 Giá sứ p: AI —y N là một đồng cấu Khí đĩ các điều kiện sau là tương đương:
(1) p là X - tồn cấu tinh mạnh (2) Px : X(N) — N nâng trong p
(3) Ánh xạ hợp popar: X(A) —x N là Ä - tiền phủ tổng quái
Mơdun thương X của A/ được gọi là mơđun thương + - tỉnh mạnh nếu ánh xạ chính tắc p: M —> N là một tồn cấu # - tỉnh mạnh Mơdun A/ được gọi là # - tỉnh mạnh đối đĩng nếu mọi mơđun thương của mơđun A/ là + - tỉnh mạnh
Ví dụ 2.1.2 (¡) Giả sử 4# là lớp của mơđdun phải xạ ảnh trên vành hồn chỉnh
Trang 26
(đ) Giả sử 4 là lớp của các mơđun phải xạ ảnh trên vành nửa hồn chỉnh #
thì mọi # - mơđun phải hữu hạn sinh là #ˆ- tỉnh mạnh đối đĩng _——— ¬
(iii) Gia sit ï = Z và # là lớp của R - mơdun phẳng Nghĩa là mọi # - mơđun đều tồn cấu # - phủ tổng quát Gọi (+,C) là lý thuyết đối xoắn, với C 1a lớp của
đối xoắn - mơđun Với p là số nguyên tố thì Z„~ là # - tỉnh mạnh đối đĩng Thật vậy, Z„x là nhĩm chia được, và vì vậy nĩ là rút gọn đối xoắn Theo ([5, p 233]) ta cĩ nhĩm con #ƒ của Z„~ là đối xoắn nếu và chỉ nếu Z„~/!ï là rút gọn Vì
Z„~/1H hoặc là 0 hoặc đẳng cấu đến Z„~ Vì vậy, nếu Z„x —> W — 0 và F phẳng thì mọi đồng câu từ Ƒ đến W nâng đến Z„~ Ta kết luận Z„ là # - tỉnh mạnh đối
dong
Dinh nghĩa 2.1.3 Giả sử A⁄, A1; là các mơđun Mơđun Aị được gọi là 4 — À1 -
xạ ảnh nếu tồn tại các # - phủ tổng quát jị : Xị —> ÄI:pạ: Xa —> Mạ sao cho bất
kỳ đồng cấu ø: Xị —> X¿ thì tồn tại đồng cấu ƒ : Ah —> Áạ sao cho ppog = fopr Xì Bees AN
| T
2
Xa = Mo
Nếu A/ là # - A/ - xạ ảnh thì A/ được gọi là mơđun # - đối bất biến đồng cấu
Mệnh đề 2.1.4 Giả sử pị : Xị —> MỊ, pạ: X¿ —> Àla là các tồn cấu Ä - phủ
tổng quái hi đĩ các điều kiện sœu là tương đương:
(1) Ah là Áạ — A' xạ ảnh
(2) g(Ker(pi)) < Ker(p2) vdi moi g € Hom(Xh, Äa)
Chứng mình
(1 = (2) Giả sử A“ là Af¿ - Z— xạ ảnh và ø € Hom(Xị, X;) Khi đĩ tồn tại [: My —> Aly sao cho ppog = fopy Vi bat kv x € Ker(m).pi(+) = 0 và từ đĩ
suy ra (p20 g)(x) = (Ƒopi)(œ) =0 Do đĩ g(x) € Ker(p2) Va vi vay g(Ker(p1)) <
Trang 2723
(2) = (1) Giả sử ø: Xị —+ Ä¿ là một đồng cấu Từ (2), ta cĩ øg(Ker()) < Ker(p)
—— Thìu: X;/ø(Ker(pi)) —› A1; là một đồng cầu xác định bởi ú(z+ø(Ker(pi))) =pa() với mọi z € Xa Vì p¡ là tồn cấu nên với mỗi m € A/¡ thì tồn tại một phần tử
œ€ Xị sao cho rm = p¡(+) Xét ánh xạ sau
o: M, — X2/g(Ker(p1))
m+—+ g(x) + g(Ker(p1))
Khi đĩ ĩ là một đồng cấu Dặt ƒ =oĩ: AI —+ Aa Với z 6 Xị ta cĩ (f° pi)(z) = Wo $)(pi(x)) = W(g(x) + g(Ker(p1))) = (p2 © g) (2)
'Từ đây ta suy ra, ƒ/op¡„ =psò Diều này chứng tỏ Ađ là A1› — A- xa anh
Bổ đề 2.1.5 Các hạng tử trực tiếp của các mơdun A' - đối bắt biến đồng cấu là + - đối bắt biến đồng cấu
Chứng mình
Giả sử W là hạng tử trực tiếp của mơđun # - đối bất biến đồng cấu A/ Ta viết
AM = N@K€ với là mơđun con của A/ Giả sử ø là tự đồng cấu của X(W) Ta cĩ
Đx ®pk :Xx ©X& —> M là # - phủ tổng quát Giả sử p: Xy@© Xky —> X(XN) là
tồn cấu chính tắc và¡: X(N) —> Xwy£© Xzy là ánh xạ nhúng Dặt ø = iogop Vì A/
là # - đối bất biến đồng cấu nên tồn tại đồng cấu ƒ của M sao cho fo(py OpK) =
(py @pK) og Goi h =ze(/|x) với z: A7 —¬+ là tồn cấu chính tác Chúng ta cĩ
thể kiểm tra được hop = px è Do đĩ N 1A modun # - đối bất biến đồng cấu
Mệnh đề 2.1.6 Giả sử AI = AI 5: AI sao cho pị: Xị —+ À1, = 1.9) Đà pị@pg:
Xị@ X; —+ AI là Y - phú lống quái Nhi đĩ các điều kiện sứu là tương đương (1) AI là - đối bắt biến đồng cấu
(2) Mj la & - M; - va anh voi moi i,j € {1,2}
Chitng minh
Trang 28ta chi ra rang M, lA ¥ — Mp - xạ ảnh Đặt X(A?) = Xi @ Xa Ta cĩ p = pị ®p :
Xị@ Xạ —› Mí là # - phủ tổng quát của A/ Giả sử g: Xị —> X¿ là đồng cấu Gọi
1 Z : cay idx, 0
g : Xi @X¿ —} Xị @ X: là tự đồng cau ctta X(M) xdc dinh bdi g = )
g 0
Vì A/ là 4 - đối bất biến đồng cấu, tồn tại ƒ e End(A/) sao cho f’ op =pog Dat Jƒ =đso Jọi với iy : My —> M 1a don cfu chinh tae va m: M —> A1; là tồn cấu
chính tác Dễ dàng ta thấy f op; = poo g Diéu dé chi ra rang My 1a XY - Mg - xa
anh
(<=) Chttng minh tuong tu ta c6 M2 la XY - My - xa anh
Hai médun Mj, Mg goi la hai X - xa anh tudng hé néu A, 1a VY — Mo xa anh
và Mạ là Z — M xạ ảnh
Tiếp theo chúng ta đưa ra định lý đối ngẫu Schréder-Bernstein cho médun ¥
- đối bất biến đồng cấu
Định lý 2.1.7 Giá sử mọi mơdun đều cĩ 3 - phủ tổng quát, gọi A,B là các mơun
+ - đối bát biến đồng cấu uới tồn cấu % - phủ tổng quát pA : X(A) —+ A.pp :
X(B) —› B Giá sử rằng A là mơđun 3 - đối đĩng tỉnh mạnh va B la médun thương Ä - tỉnh mạnh của A Nếu tồn tại % - tồn cấu tỉnh mạnh B —>› A thi A= B
Chitng minh
Gia stt pp: A—> Bvag: B— Ala X& - tồn cấu tỉnh mạnh Ta cĩ po pg : X(A) — Bla # - tiền phủ tổng quát và tồn tại đồng cấu ƒ\ : X(B) —> X(4) sao cho po pao fi = pg Hon nita pg : X(B) — B là # - phủ tổng quát, đồng cấu fo: X(A) — X(B) véi popa = ppo fo Khi a6 pg = ppo (foo fi) va foo fi lA đẳng
cấu Suy ra ƒ; là tồn cấu chẻ ra Lập luận tương tự chỉ ra được tồn tại tồn cấu chế
ra ga: X(D) —> X() do đĩ ¿©pg = paòa Từ hợp thành /2òs: X(B) —> X(Đ) cũng là tồn cấu chẻ ra, nên tồn tại tự đồng câu v cla X(B) sao cho (fgog2)ov = 1
Trang 29B sao cho wo pp = pp ov Suy ra
Db = DB9 290291 =LOpg0qov=pLoypoppov=(popow)opp
Từ pp là tồn cấu chính tac po yow = 1p Nghĩa là ¿ là tồn cấu chẻ ra và
B đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của A Khơng mất tính tổng quát ta giả sử rằng là hạng tử trực tiếp của A, ta viết A = H@ B với H là mơdun con của A
Gọi ¿:Ð —> A là một tồn cầu Khi đĩ ¿~!(4) > ¿~!(H) +¿~1(B) và A=HeB>He¿r!(A) > Hole (H)+¢\(B)) > Help (eH) +e lA) > Hel @ ku k=1 (trong dé yl (p71( p7!(H) ))) được biểu thị bởi (¿~!)*(HN)) 5 ¬il64y8/Aoneemgimec.lainlvEtbnistoaajsdf tv Dặt P = H@[$3—¡(7!{k)(H))] là mơđun con của 4 Từ cách xây dựng, ta cĩ được đẳng thức oo BOP =e (UD) = oP) k=l
Hơn nữa ¿ là tồn cấu và do dé P = (BNP) Goi m : B — B/BOP la toan cấu chính tắc Vì 4 là mơđun # - đối đĩng tỉnh mạnh, nên cũng vậy Diều này
suy ra Ư cũng là # - tồn cấu tỉnh mạnh Cĩ nghĩa là z¡opg là # - tiền phủ tổng quát Khi đĩ tồn tại đồng cấu w: X(B) —› X(B) sao cho 7¡ opp o = ppg
x)
we PB 1 =
X (B) B B 0
Trang 30hok= 1y(g; Khi đĩ È là đơn cấu chẻ ra hay Im(/) là hạng tử trực tiếp của X()
_—_ và (koh)?=kob Hơn nữa từ Ø là mơdun 4# - đối bất biến đồng cấu, ta cĩ đồng - cau a: — B sao cho va wo pp = ppokoh Do dé a(B) = (pgok)(X(B)) va
0=ppo(l—koh)o(koh) =ppo(koh)—ppo(koh)o(koh) =(a—a?) opp 2 va vi vay a(B) IA hang tit true tiép cha B
Từ pp là tồn cau, tacda =a
Do đĩ tồn tại dong cau + : a(B) —+ B sao cho œo¿ = lạyp), Tiếp theo chúng ta chỉ rappgok : X(B) —> (pgo k)(X(B)) là # - phủ tổng quát Thật vậy, gọi ƒ:X' —+(pgoR)(X(P)) = a(B) là đồng cấu với X' e + Chúng ta xét biểu đồ
Kl ƒ{— a(B) etn
Khi đĩ tén tai ding céu 6: X° —> X(B) véi pgpo = 0 f Bây giờ ta lấy
y=ho8, vavi vay ppokoy = ppokohoB =aopgo8B =aocirf = f Dieu
nay chi ra rang pp ok: X(B) — (ppok)(X(B)) la & - phti ting quat, theo [15, Hệ quả 1.2.8], điều kiện cần để chứng mình rằng khơng tồn tại hạng tử trực tiếp chứa trong Ker(øpg e È) Ngược lại, gọi L là hạng tử trực tiếp khác 0 của X(B)
chita trong trong Ker(pg ok) Khi do k(L) 1a khac 0 va chứa trong Ker(pp) Vì k là đơn cấu chẻ ra, nên #(1) là hạng tử trực tiếp của Im(#) và &(L) 1A hang ttt true
tiếp của X() Điều này mâu thuẫn với # - phủ tổng quát của p; Ta kết luận
ppok: X(B) — (ppok)(X(B)) = a(B) la X - phd tong quat
Lấy K là mơdun con của B sao cho B= a(B)@K, va A= @a(B)©K Bằng
cách xây dựng của P, ta cĩ 1/P % B/(BTP) và 1/(BnP) % A/Po.1/B % AJPQH =
[B/(BOP)|@H Ta c6 A/(BNP) & A/P kéo theo B/(BNP) = [B/(BOAP)]@H Vi
vay, ta c6 X(B) = X(B)@X(H) Chú ý 4 là mơdun + - đối bất biến đồng cấu Từ
Mệnh đề 2.1.6, chỉ ra rằng a(Ø) và a(Đ) @ H là #- xạ ảnh tương hỗ Mặc khác ta
Trang 31
27
a(B) = a(B)@H Vi vay B=a(B) eK % a(B) @ H @ K = A
Bổ đề 2.1.8 Giả sử P là mơđun phải sạ ảnh Nếu Kuà Ky là mơlun con của P- sao cho K là bát biến dưới các tự đồng cấu của P tà tồn tại tồn cấu P/K —> P/Kn
thi K phải chứa trong Ky Chứng mình
Giả sử tồn tại tồn cấu / —> P/Ki và K là bất biến dưới tất cả tự đồng cấu của P Do đĩ tồn tại mơđun con H của P chứa K sao cho Ð/Kị là đẳng cấu đến P/H Ta cĩ thể viết ĩ : P/Kị —> P/H là đẳng cấu và gọi m: P —> P/Ki,xa: P —› P/H là tồn cấu chính tác Xét sơ đồ của các đồng cấu
PK, ———— P/H
Vi P 1A médun xa ảnh, nên tồn tại tồn cấu : P —> P sao cho sơ đồ trên
giao hốn Điều này cĩ nghĩa là ĩ¿o z¡ = z0 Khi đĩ ta cĩ
ð(m(K)) = m2(0()) Š za(K) =0 Suy ra m(K)=0 va K < Ky (vi ¢ la dang cau)
2.2_ Các mơđun + - đối bất biến đẳng cấu thoả mãn
tính chất Schrưder-Bernstein
Mặc dù ta khơng biết liệu các kết quả của các phần trước cĩ thể mở rộng cho các mơđun đối bất biến dưới các đẳng cấu hay khơng Chúng ta sẽ mở rộng kết quả này và cho thấy rằng tính chất Sehrưder-Bernstein cĩ một giải pháp khả quan cho các mơđun đối bất biến đẳng cấu
Trang 32thương tính mạnh của A Nếu tồn tại # - tồn cấu tính mạnh ¿ : B —> A th A đẳng cấu uới B
Chứng mình
Giả sử p: A —› B là # - tồn cấu tỉnh mạnh với # e # ta thu được 7# đẳng câu với một hạng tử trực tiếp của A Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử rằng B là hạng tử trực tiếp của 4 Chúng ta viết A = H© B với !ï là mơđumn con của A Gọi ¿: B—> 4 là # - tồn cấu tỉnh mạnh Khi đĩ ¿~1!(4) > ¿~1(H) + ¿~1(B) và A=H®@®B> vy (A) > Hele (HA) +¢'(B)) 2 Hele *0)+ø "4 (A))] >Ho D <i] trong d6 ge UD ) dutge biéu thi béi (p71) i CO Dặt P = H@ Doe) lA médun con cita A Bang cách xây dựng của P k=1 chúng ta cĩ đẳng thức 8nP=) 101) =ø*(P) k=l
Hơn nữa theo giả thiết ¿ là tồn cấu nên chúng ta cĩ P=¿(BnP)
Dat B = B/(BnP) và gọi pg: X(B) —› B là một # - phủ tổng quát Gọi z
: B —> Bla tồn cấu chính tác
= PR =
xX (B) ——— 3B ——— 0
ee 6
` B
Theo định nghĩa của + - phủ tổng quát, tồn tại đồng câu 0: 8 — (B) sao
Trang 3329
của 4 nên tồn tại đồng cấu Ø : X(B) —› B sao cho zoØ = pp Diều này kéo theo
ma(mom)= Dp và 0o Ø là đẳng cấu, vì mg là # - phủ tổng quát Nghĩa là 0 là tồn cấu chẻ ra và = Q @ K với Q = Ket(0) và K % X(B) Do đĩ Q< P và A=Ke@He@
Tiếp theo chúng ta chứng minh K ~ Kk OH
Ta cĩ
A/Q2= KOH = X(B)OH — [B/(BOP) OH &A/P OH = A/(PNB) Chúng ta chi ¥ A/Q € + Điều này kéo theo tồn tại +- phủ tổng quát
p:A/Q —> A/(PnĐB) của A/(PnB) Theo cách xây dựng của @ chúng ta cĩ đẳng
cấu /: B/Q —› X(B) Chú ý đẳng cầu sau đây
ĩ:A/(PnB) —› A/P
at+PNBe> o(a+PNB)=¢(a)+P
That vay néu a € BNP thi g(a) € P Diéu nay chi ra ¢ 1A mot đồng cấu Với
a € A, toan cau y suy ra a = ¢(b) với b € B nào đĩ Khi d6a+P = yb) +P = ĩ(œ+ PđB) =0 Nghĩa là ø là tồn cấu Mặc khác nếu œ € A vdi g(a + PAB) =
y(a) + P =0, thi y(a) € P=y(PNB), va vi vay a € Ker(y) + (PNB) = PNB Do
đĩ ĩ là đơn cấu Chúng ta kết luận ĩ¿ là đẳng cấu Khi đĩ tồn tại + - phủ tổng quất ú: B/Q — A/(PNB) Ta xét biểu đồ các đồng cấu Af@ — + Aj BY ag i 8 ị _ Ụ ` B/Q
Chú ý ư/Q ~ K, và B/Qe # Theo tính chất của + - phủ tổng quát tồn tại dong cfu 8: B/Q — A/Q va 8: A/Q — B/Q sao cho poB =u vaio 8 =p Do
Trang 34B=Qe@Q>Q@K@H=A
Hệ quả 2.2.2 Giả sử 1.B là các modun phai xa anh tren vanh hoan chỉnh phải h Nếu tồn tại các tồn cấu A —> B uà B —> A thì A đẳng cấu tới B
Tw Dinh lý 2.2 1 ta cĩ:
Hệ quả 2.2.3 Giả sử A,B là các mmơđun phải biên ồnh hồn chỉnh phải h Giả sử A là ảnh tồn cấu của B uà B là ảnh tồn cấu của A hi đĩ phú va ảnh của A
va B la đẳng cấu uới nhau
Chứng mình
Giả sử m1 : Pa —> A và ra: Pg —> B là các phủ xạ ảnh, chúng ta phải chứng mình Pa ~ Ppg Theo Dịnh lý 2.1.1 chỉ ra rằng tồn tại các tồn cấu từ P4 dén Pp va tit Pz dén Py Dể thấy điều này ta xét tồn cấu ¿: 4 —> B Từ P4 là mơđun xạ ảnh, tồn tại đồng cấu Ø: P4 —> Pp sao cho so dé sau giao hoén
Chú ý rằng ¿ là tồn cấu Dễ dàng thấy rằng Z phải là đẳng cấu Nghĩa là
tồn tại tồn cấu từ 7x đến Ppg Tương tự chúng ta cĩ tồn tại tồn cấu từ P; đến
Dạ, kết luận được điều cần chứng mình
Ta cht ý kết luận của Hệ quả 2.2.2 khơng đúng nếu khơng là vành hồn chỉnh
phải
Ví dụ 2.2.4 Giả sử U là khơng gian vectơ vơ hạn chiều trên trường #' và đặt
8= Endp(V) va J ={f € S|đimy(ƒ(V)) < oo} Dat R= {(f,g) € Sx Sif —g € J}
Khi d6 R 1A vanh chinh quy von neumann vdi liy dang e sao cho R # eR va R
nhúng trong eR Chúng ta kiểm tra được # khơng phải là vành hồn chỉnh phải
Trang 3531 va eR — R ——— Bồ đề 3.3.5 Giá sử Anh, Mạ là hai Ä= sa ảnh lương hỗ 0à pịc X; —>- AM, là các A— at - phủ tổng quát (¡= 1.9) nếu Xị ~ X¿ thì Nh ~ Mạ Chứng mình
Gọi ø: Xị —> X¿ là đẳng cấu Giả sử tồn tại các đồng cấu fy : My) —> My và
fo: Mg —> M, sao cho
fiopr=p20g va foop =piog 1
Ti d6 suy ra fio foo po = po va foo fiop: = pi Ching ta két ludn fifo =idjy, và
foo fi =idyy,
Hé qua 2.2.6 Gid sti A,B la céc médun phải tựa va ảnh trên uành hồn chính
phải R Nếu tồn tại các toan cau A—> B va B— A thi A dang céu vdi B
Tồn cấu a : Q —> AI được gọi là phủ tựa œạ ảnh nếu
(1) Q la tua xa anh;
(2) Ker(a) la doi cot yéu trong Q;
(3) Q/P khơng là tua va ánh đối v6i moi médun con khac khong P ctia Ker(a)
Mệnh đề 2.2.7 Giả sử A ồ B là các mơdun phải trên vanh hồn chỉnh phải R Nếu A là ảnh tồn cấu của B ouà B là ảnh tồn cấu của A thi phic twa va ảnh của
A tà B là đẳng cấu uới nhau Chứng mình
Trang 36xử TA
Qa — : —
(với xa là tồn cầu chính tắc)
Điều này kéo theo tồn tại đồng cấu œ: P —> Q Ta cĩ x4 và qa là các tồn cấu với hạt nhân đối cốt yếu và khi đĩ a là tồn cấu, do đĩ Qa % P/K, cho médun con đối cốt yếu Kị của P nào đĩ Nghĩa là P/K¡ là mơđun tựa xạ ảnh trên vành
hồn chỉnh phải # Ta kết luận rằng X: bất biến dưới tất cả các tự đồng cấu của
P Tương tự Qp % P/Kạ với mơđun con đối cốt yếu £¿ của ? nào đĩ và Kạ đối
bất biến đưới tất cả các tự đồng cấu của P
Ta sẽ chỉ ra Kị = Kạ Để thấy được điều này ta chú ý tồn cấu P/Kị —> P/L
và P/Kạ —> P/L Theo Bổ đề 2.1.8 Ky < L va Ko < L Vi R 1a vành hồn chỉnh
phải và Ky + I 1a déi bat bién dudi tat cA dng céu cha P, P/(iy + Ke) 1a tua xa
anh
Chú ý rằng ¿p : Qp —> B là phủ tựa xạ ảnh, Qpg ~ P/Kạ và B ~ P/L Khi đĩ ta gọi ĩ: P/Kạ —> P/L phủ tựa xạ ảnh Theo định nghĩa của phủ tựa xạ ảnh,
và P là xạ ảnh, nên tồn tại đồng cấu ý: P —> P sao cho ¿o¡ =pao0, trong đĩ pi: P — P/KĐa, và pạ: P —y P/L là các tồn cấu chính tắc
Tal oO
P/ Ky ———> P/L
Ta cĩ ð(p(KI)) = p¿(U(KI)) < poly) = 0, 6 + WKo/K2) = 0 vi thé (ty + Ko/K2) < Ker(¢) Gia stt (iy + Ko)/K khac khong Vi 9: P/Ko —> P/L la pha tựa xạ ảnh, ta cĩ (Kị + Ks)/Ka (P/K2)/{(Kn + Ka)/Ka] khơng là tựa xạ ảnh (mâu thuẫn) Nghĩa là (Kì + Ka)/Ka =0 hay Kị < Ko
Trang 3733
ta kết luận Q¡ ~ Qp
———————Mơdun A7 được gọi là mơdun đối bất biến đẳng cấu nến K, 7#; bất kì là các- mơđun con đối cốt yến của A/ thì tồn cấu +: Af/Kq —> A1/Ka với hạt nhân đối
cốt yếu nâng lên đến tự đồng cấu ¿ của A/ Diều này nghĩa là ? là mơđun xạ ảnh và /£ cốt yếu trong P, khi đĩ P/K là mơđun đối bất biến đẳng cầu nếu và chí nếu 4(K) = K với mọi tự đẳng cầu + của P
Bổ đề 2.2.8 Nếu A/ là mơdunu đối bất biến đẳng cấu trêu uành hồn chỉnh phải R th căn Jacobson J(End(M)) = {Ƒ € End(M) : Im(†) < M}
Chứng mình
Goi W = {f € End(M) : Im(7) < M} và z: P —+ AJ là phủ xạ ảnh
'Tồn tại đồng cấu ø : PP —> P sao cho ƒoz = xog Tà cĩ Im(ø) < z~!(ƒoz(P)) = ~1(ƒ(AI)) Giả sử Im(ø)+ = P, khi đĩ z~!{ƒ(ÄWI))+ = P hoặc ƒ(M)+z(L) = M Mặc khác, ƒ(M) < M,a(L) = M = x(P) hoặc L+ Ker(m) = P, nên ta cĩ L = P Khi đĩ Im(ø) < P Vì P là mơđun xạ ảnh, ø e J(End(P)), điều này kéo theo 1 — g là tự
dang cấu của P Mặc khác A/ là đối bất biến đẳng cấu, nên tồn tại h: M —› AM
sao cho hom =70(1—g)~! Do đĩ
ho(1—ƒ)om=hozo(l-g)=zoe(1—ø) !e(1-g)=z
(1—/ƒ)shom=(1-/ƒf)exro(1-gø) !=zo(I-g)s(1-ø) 1=z
Vì z là tồn cấu, ho(1— /) và (1— ƒ)oh là các đẳng cấu Diều này chứng tỏ, 1= ƒ là tự đẳng cấu của A/ với mọi ƒ e W Chú ý rằng I là iđêan của End(1)
Khi đĩ I « 7(End(A/)) Ngược lại, giả sử f € J(End(M)) Giả sử K < A/ với Im(ƒ) + = A/ Khi đĩ tồn tại tồn câu po ƒ: Aƒ —› M/K Vi M la déi bat bién dang cau, khi d6 ton tai h: Af —> M sao cho p= po foh Do đĩ p(L— ƒeh) = 0 Chú ý 1— /oh là một đẳng xạ Vì vậy p = 0 hoặc A/ = /£ Suy ra Im(ƒ) < A/ hoặc
Trang 38Định lý 2.2.9 Giá sử A1 ồ N là các mơđun đối bất biến đẳng cấu của vanh hoan
chỉnh phải h Nếu tồn tại các tồn cấu ƒ:M—>N tàng: NAM, thà MÃN, —
Chứng mình
Giả stt f: J —> Đ và g: W —> A/ là các tồn cấu Vì A/ và Ấ là các mơdun đối
bất biến đẳng cấu, kéo theo ƒ và ø là các tồn cấu chẻ ra Gọi ƒ“: W —> Af và g :Ä/ —y N là các đồng cấu sao cho ƒo ƒ =1 và gog =1
Theo Hệ quả 2.2.3, phủ xạ ảnh của AM và Đ là đẳng cấu Giả sử xa; : Pa; —> M va ty : Dy —> X là các phủ xa anh va h : Pyy —> Py 1a dang céu Khơng mất tính
tổng quát ta cĩ thể gid sit M = Pyy/Ker(mj,) va N = Py /Ker(my)
Dat MW’ = hol (Ker(my))+(Ker(my)) và NỔ = h=!(Ker(xa¿))+(Ker(xy)) Thì A
là đối cốt yếu trong Py va N’ déi cét yéu trong Py va hUMW') = Nh) = MW Điều này dé dang kiểm tra được đồng cấu b : Pạ//\M —› Px/A' nâng lên h
VÀ `: Py/N' — Py;/M' nang len h-! Gọi pị : Pạy/Ker(ay) —> Pu /M và p: Px/Ker(my) —> Py/N là tồn cấu chính tắc Ta chú ý đến sơ đồ các đồng cầu g ) Py] Kerry) — > Pye gg) — > Pal 2) = ~s P2 Py /Ker (zy)
Vì N là đối bất biến đẳng cấu, nên tồn tại đồng cấu # : ;/Ker(za¡) —>
Dy/Ker(zx) sao cho pạok = hopiog Vì go ø = 1, nên tồn tại đồng cấu a :
Pạy/lSer(mar) a Py /Ker(ry) sao cho p29°9Aa= ho DỊ:
Trang 3935 Ta cĩ sơ đồ các đồng cấu Py, /Ker (mai) —= Py /Ker (mA) == Py, /Wer (war) Lạ”
PưJMU PN Sesu00E keo Pyr/M!
Khi d6 pp o Boa = fiz ©jaoq = Re hoj = pị Do đĩ, p(1— 8oa)=0
hoặc Im(1— Øoa) <Ker(p¡) Chú ý rằng Ker(pi) = AM /er(ma) với lKer(Ai) < PẠi
và M' < Py Diéu này chỉ ra Ker() < Pyy/WKer(ays) Vi vay Im(1—- Boa) «
Dạ /ert(m) Từ AI = Dạy/Ker(m) là mơdun đối bất biến đẳng cân, 1— đoœ € J(End(A7)) theo Bổ đề 2.2.8 Suy ra đo œ là khả nghịch trong End(A/) Tương tự, œo 8 cũng là khả nghịch trong End(A/) Vì vậy a là đẳng cấu
Bổ đề 2.2.10 Giá sử P là mơđưn phải z4 ảnh tùu ý trên uồnh R Nếu K Kì là
cdc médun con ctia P sao cho K bất biến dưới các bự đẳng cấu của P, Kị đối cốt
uếu trong P uà tồn tại tồn cấu P/K — P/K\ thà K phải chứa trong Kì Tồn cấu a : P —+ MI được gọi là phủ đối bất biến đẳng cấu nếu
(1) D là đối bắt biến đẳng cấu ;
(2) Ker(a) là đối cốt yếu trong Q;
(3) D/C khơng đối bắt biến đẳng cấu uới mọi médun con khác khơng Œ của
Ker(a)
Chú ý rằng # là vành hồn chỉnh phải nếu và chỉ nếu mỗi mơđun phải cĩ phủ tựa
xạ ảnh Hơn nữa, nếu z : Q —> A/ là phủ tựa xạ ảnh thì nĩ cũng là phủ đối bất biến đẳng cấu Nghĩa là bất kì mơdun phải phủ trên vành hồn chỉnh phải là phủ đối bất biến đẳng cấu
Từ Bồ dề 2.2.10 và Mệnh đề 2.2.7, ta đưa ra kết luận cho phú đối bất biến đẳng
cấu: