DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN THI THU THUY
CAC MODUN THOA MAN TINH CHAT SCHRODER - BERNSTEIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Trang 2DẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
NGUYÊN THỊ THU THUỶ
Trang 3LOI CAM DOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn là
PGS.TS Trương Cơng Quỳnh, Dại học Su Phạm - Dại học Dà Nẵng, người thầy rất nghiêm khắc nhưng mẫu mực, người luơn tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ và động viên tơi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình
Toi xin tran trong cam ơn Khoa Tốn và Phịng Đào tạo sau đại học của trường Dại hoc Sư phạm - Dại học Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi được học tập nghiên cứu va hồn thành chương trình học tập của mình
Tơi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè luơn động viên, cổ vũ tơi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Cuối cùng tơi xin bày tổ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình của tơi đã đồng cảm va chia sẻ những khĩ khăn trong suốt thời gian tơi học tập, nghiên cứu và hồn
thành luận văn
Trang 5Tên đề tài: CÁC MƠĐUN THỎA MÃN TÍNH CHÁT SCHRƯDER - BERNSTEIN Ngành: Đại số và lý thuyết số
Họ và tên học viên: NGUYÊN THỊ THU THỦY
Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TS TRUONG CONG QUYNH 2
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm — Đại học Da Nẵng
Tĩm tắt: Tính chất Schrưder — Bernstein là kết quả cỗ điển trong tốn học Nĩ chỉ ra
rằng nếu A và B là hai tập mà cĩ don anh A — B và đơn ánh B ¬ A thì tồn tại song ánh
AB Câu hỏi đặt ra là nếu hai vật A và B cùng trong một phạm trù nào đĩ thì tính chất Schréder — Bernstein con đúng hay khơng và tính chất dé goi 1a tinh chat Schroder — Bernstein Nghiên cứu các mơđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ được
nghiên cứu đầu tiên bởi Iohnson và Wong Để chứng minh tinh chat Schréder —
Bernstein cĩ lời giải đúng cho mơđun là bất biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ, Bumby đã chứng tỏ rằng nếu Ä⁄ và N là hai mơđun và cĩ các đơn cấu từ mơđun này đến mơđun kia thì bao nội xạ của chúng là đẳng cấu với nhau Từ kết quả đĩ cho ta thấy rằng nếu M và N là hai mơđun bắt biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ của nĩ và cĩ một đơn cấu từ mơđun này vào médun kia thì chúng đẳng cấu với nhau Trong luận văn này chúng tơi tổng quan các kết quả của Bumby cho mơđun cĩ bao nội xạ tổng quát Với mong muốn tìm hiểu thêm về bài tốn Schrưder -Bernstein và các vấn đề về mơđun
ở trên, cùng sự gĩp ý của PGS TS TRƯƠNG CƠNG QUỲNH tơi đã chọn đề tài: “Các
mơđun thỏa mãn tính chất Schrưder — Bernstein” cho luận văn thạc sĩ của mình
Đề tài: “Các mơđun thỏa mãn tính chất Schrưder — Bernstein” đã tiến hành nghiên cứu
và đạt được một số kết quả cụ thể như sau:
- Nhắc lại các kiến thức liên quan đến mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh, vành chính quy von Neumann
- Hé théng lai lý thuyết liên quan đến bao tổng quát, bao nội xạ, bao nội xạ tỉnh của mơđun
- Hệ thống lại lý thuyết liên quan đến mơđun y- bat biến đẳng cấu
- _ Nghiên cứu tổng quan về các mơđun thỏa mãn tính chất Schrưder — Bernstein Đặc biệt là các mơđun bắt biến đồng cấu và đẳng cấu thỏa mãn tính chất này
Từ khĩa: BAO NỘI XẠ , MƠĐUN NOI XA, MO DUN XA ANH, BAT BIEN DONG CAU, BAT BIEN DANG CAU.,
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
state a 7
= par he The this,
Trang 6INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: THE SCHRODER — BERNSTEIN PROBLEM FOR MODULES Marjor: Algebra and Number theory
Full name of Master student: NGUYEN THI THU THUY Supervisors: Assoc Prof TRUONG CONG QUYNH
Training institution: University of Education - University of Danang
Summary: The Schréder — Bernstein theorem is a classical result in basic set theory It states that if A and B are two sets such that there are a one — to — one function from A into B and a one — to — one function from B into A, then there exists bijective map between two sets A and B This type of problem where one asks if two mathematical objects A and B which are similar themselves is usually called the Schréder — Bernstein problem and it has been studied in various branches of Mathematics The study of modules which are invariant under endomorphisms of their injective envelope goes back to the pioneering work of Johnson and Wong In order to prove that the Schréder — Bernstein problem has a positive solution for modules are invariant under endomorphisms of their injective envelopes Bumby first showed that if M and N are two modules such that there are a monomorphisms from N to M and a monomorphism from M to N, then their injective envelope are isomorphic Thesis shows that review Bumby's results for modules that are invariant only under automorphisms of their injective envelopes or pure injective envelopes At the suggestion of the Assoc Prof Dr Truong Cong Quynh I chose the topic: “the dual Schréder — Bernstein problem for modules” for my master thesis
The topic “The Schroder — Bernstein problem for modules” has conducted research and achieved some specific results as follows:
- Recalling the knowledge related to the injective modules, the projective modules, the regular von Neumann ring
- Systematize the theory related to the injective envelopes
- Systematize the theory related to the isomorphic of y-automorphism-invanriant modules
- An overview study of the modules satisfying the property Schréder — Bernstein Keywords: ENVELOPE , INJECTIVE MODULES, PROJECTIVE MODULES, AUTOMORPHISM — INVARIANT MODULES, ENDOMORPHISM —
INVARIANT MODULES
Confirmation of instructor = Who made the topic
Trang 7MỤC LỤC Lời nĩi đầu 2 Một số kí hiệu viết tắt 4 1 Một số kiến thức chuẩn bi 1 1¿1-::Mơdun nội xã và -iơđun-xạ ÁN 2222502606 n3% sảng 1 12'-:Vành chính quy.von.Neumamn ; :‹.›:¡::‹ (3c so 3 TBesBaotONe Guat CUAMNOGUN gi.e\e scn Beeitones ie ohn AEB once, xUn 6 4
LAr BAOMIOl KA; CUA INOGUINS sao ee a aa GR lee ee ee es it
Lb 151219731119E5/421A0°1111MGYI-VT(STSEIIIXAS SE NET 2188/8010 nan 1i pWd an 11 1.6 Mơđun #-bất biến đẳng cấu và một số kết quả liên quan 15 2_ Các mơđun thoả mãn tính chất Schrưder-Bernstein 20
2.1 Các mơđun #-bất biến đồng cấu thoả mãn tính chất Schrưder-
1361771516101 c215210/11/0Ì88i961) M78801ã1 ni 01T T0T0ìTi71112151số sả 12ai hs set lế 20 2.2 Các mơđun #-bất biến đẳng cấu thoả mãn tính chất Schréder-
Bernstein eee eet ee et ee ee ee ees 27
Kết luận 31
Trang 8MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Đ: Tập hợp các số tự nhiên Z: Vành các số nguyên
Q,R: Trường các số hữu tý, số thực E(M): Bao nội xạ của mơđun A
Endg(M): Vành các tự đơng cau của # - mơđun Af
Mrpr(rM): M la mot R - mơđun phải hoặc trái (tương ứng) flz]: Vành đa thức trên vành R
N@Á/: Tổng trực tiếp của mơđun W và mơdun A1
NI: Tích trực tiếp của mơđun W và mơđun A1
Im(f); Ker(ƒ): Ảnh, hạt nhân của đồng cấu ƒ (ương ứng) N<M:N là mơđun con của mơđun À7,
N <M: N JA médun con thuc su cha médun M
Trang 9MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Tinh chAt Schréder-Bernstein là kết quả cổ điển trong tốn học Nĩ chỉ rằng nếu
A va là hai tập mà cĩ đơn ánh từ A4 vào ? và một đơn ánh từ ÿ vào 4 thì tồn
tại một ánh xạ song ánh giữa hai tập A và Câu hỏi đặt ra là nếu hai vật A và B cùng trong một phạm trù nào đĩ thì tính chất Sehrưder-Bernstein cịn đúng hay khơng và tính chất đĩ được gọi là tính chất Schrưder-Bernsteim Tác gia Gowers ([1]) đã xây dựng một ví dụ về hai khơng gian Banach khơng đẳng cấu với nhau, tuy nhiên tồn tại các đơn ánh từ mỗi khơng gian này vào mỗi khơng gian kia Vì
vậy điều này cho thấy rằng tính chất Schrưder-Bernstein cĩ lời giải phủ định cho các khơng gian Banach Trong phạm trù mơđun Bumby ({2]) nghiên cứu và chứng mình tính chất Schrưder-Bernstein đúng cho mơđun bất biến dưới các tự đồng cấu
của bao nội xạ
Nghiên cứu các mơđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ được nghiên cứu đầu tiên bởi Johnson và Wong Để chứng mình tính chất Schrưder-Bernstein cĩ lời giải đúng cho mơđmm là bất biến dưới tự đồng cầu của bao nội xạ, Bumby đã chứng tỏ rằng nếu A/ và W là hai mơđun và cĩ các đơn cấu từ mơđun này đến mơđun kia thì bao nội xạ của chúng là đẳng cấu với nhau Từ kết quả đĩ cho ta thấy rằng nếu A/ và XW là hai mơđun bất biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ của nĩ và cĩ một đơn cấu từ mơđun này vào mơđun kia thì chúng đẳng cấu với nhau
Dickson và Puller đã nghiên cứu các mơđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao
nội xạ của nĩ Xuất phát từ đây, mơđun bất biến dưới tự đồng cấu và tự đẳng cấu của bao tổng quát đã được giới thiệu và nghiên cứu trong những năm gần đây Trong luận văn này chúng tơi tổng quan các kết quả của Bumby cho mơđun cĩ
Trang 10Nếu # là lớp -mơđun phải đĩng dưới đẳng cấu và hạng tử trực tiếp Tiền bao tổng quát đối với # của mơđun phải A7 là một đồng cấu u: A/ X với X € + sao cho bất kì đồng cấu ø: AM > X' với X’ € # đều nâng được đến w Một tiền bao tong quắt vw: Af + X được gọi là bao tổng quát đối với # nếu bất kì đồng cấu h: X — X sao cho ho = ứ thì h phải là một tự đẳng cấu của X Một tiền bao tổng quát hoặc bao tổng quát wu: MW + X đối với 4# gọi là đơn câu nếu œ là đơn cấu Một lớp # của mơđun phải trên vành # đĩng dưới đẳng cấu và hạng tử trực tiếp được gọi là một bao tổng quát nếu bất kì ï-mơdun phải của 4 là bao tổng quát đối với # Cho w: A# — X(M) là bao tổng quát và đơn cấu, A được gọi là #-bất biến đẳng cấu nếu tự đẳng cấu bất kì ¿: X(A/) —› X(M) tồn tại một tự đồng cấu ƒ : A! —› A/ sao cho uo ƒ/ =¿ou Lớp các mơđun bất biến đẳng cấu đã
được nghiên cứu trong những năm gần đây Một số tính chất và cấu trúc của các vành thơng qua lớp mơđun này đã được nghiên cứu
Với mong muốn tìm hiểu thêm về bài tốn Schrưder-Bernstein và các vấn đề về mơđun ở trên, cùng với sự gợi ý của PDGS TS Trương Cơng Quỳnh, chúng tơi đã chọn đề tài "Các mơđun thoả mãn tính chất Sehrưder-Bernstein" làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn của mình
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Mục đích của đề tài là nghiên cứu về các mơđun thỏa mãn tính chat Schréder- Bernstein Dặc biệt là các mơdun bất biến đồng cấu và bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất này
- Nhiệm vụ nghiên cứu:
+) Các kiến thức về bao tổng quát +) Các mơđun bất biến đồng cấu +) Các mơđun bất biến đẳng cấu
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trang 11cấu thỏa mãn tính chất Schrưder-Bernstein và các mơđun #-bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất Schrưder-Bernstein
4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển và các bài báo liên quan, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan
- Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn
- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài gĩp phần làm rõ tính chất Schrưder-Bernstein và các bài tốn liên quan
- Dề tài này mong muốn cĩ một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các mơđun thỏa man tinh chat Schréder-Bernstein
6 Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia thành hai chương Chương 1 trình bày về các khái niệm và các kết quả liên quan
Trang 12CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này nếu khơng nĩi gì thêm, # đã cho luơn được giả thiết là vành kết hợp, cĩ đơn vị 1 # 0 và mọi ï-mơđun được xét là mơdun unita phải hoặc trái Các khái niệm và một số kết quả liên quan chúng tơi tham khảo tài liệu [6],
[15], [17], [20], [21]
1.1 Médun noi xa va médun xa anh
Định nghĩa 1.1.1.(1) Cho R la mét vanh va M,X 1a hai R-médun phat Médun
M duoc goi la noi xa doi vdi X hodc X-noi xa néu vdt moi médun con X1 trong
X, mỗi đồng cấu Xì — M1 cĩ thể mở rộng thành đồng cấu X — M
(2) Một R-mơđun phải M được gọi là nội sạ nếu M là X -nội xa uới mọi médun phải X
(3) Médun M duoc goi la tua noi xa néu M la M-ndéi ca
Dinh nghia 1.1.2 (1) Médun M duoc got la xa ảnh đối uới X hodc X-xa anh nếu
ới mợi tồn cấu h: X — ÄX tà bắt kỳ đồng cấu ƒ : M —> X thà tồn tại đồng cấu f:M—>X sao cho f=hf (2) Một R-mơđun M được gọi là médun ca anh néu M la xa anh đối vdi mdi médun Ri (3) Mot médun M la sạ ảnh đối voi chinh né néu M la X-ca anh vdi moi médun phải X
Rõ ràng tất cả các mơđun xạ ảnh là tựa xạ ảnh và một nhĩm xyclic cấp nguyên
Trang 13là X -nội xa 0à X-zq anh
Dinh lý 1.1.4 Lớp # là lớp tất cả các mơđun X sao cho AI là X -nội zạ 0à chúa tắt cá các mmơđun con thà ảnh đồng cấu tà tổng trực tiếp của các mơđun thuộc 3
Lớp 3 của tất cả mơđun Y sao cho AT là Y -#@ ảnh uà chứa tắt cả các ảnh đồng cấu thì các mơđun con 0à tổng trực tiếp hữu hựn của mơđun thuộc 3
Định lý 1.1.5 Cho AT là một mơđun Khi đĩ:
(1) Tát cả hạng tử trực tiếp nà tích trực tiếp của các mơđun mà là \I-nội zạ là M-néi va Dặc biệt, tất cả hạng tử trực tiếp ồ tích trực tiếp của các mơđun nội
va la ndi xa
(2) Tat ca hang tit truc tiếp uà tổng trực tiếp mà là M-+q ảnh M là M-+q ảnh Dặc biệt tất cả các hạng tử trực tiếp tà tổng trực tiếp của các médun xa anh la va anh
Chứng mình
Chúng ta chỉ cần chứng minh khẳng định thứ nhất, vì khẳng định thứ hai cũng được chứng minh tương tự Gọi X là một R-mơđun phải, và cho V = ]J;¿¡ M Rõ ràng A7 nội xạ của của mơđun kéo theo Ä/ nội xạ của tất cả các mơđun N; Bây giờ ta giả sử rằng tẤt cả các mơđun Nj là A/-nội xạ Gọi X là mơđun con trong M, f € Hom(X, N) và cho mị : N — N; là các phép chiếu chính tac Tat cả đồng cấu miƒ: X — N¿ cĩ thể được mở rộng thành đồng cấu gi: M — N; xác định một phần mở rộng chính tắc của g: M — Ä
Định lý 1.1.6 Nếu mơdun AI là X-nội xa tà lồn lại đơn cấu J : AI —> X, thà
ƒ(M) là tổng trực tiếp của X, AI là tựa nội xa va M là đẳng cấu uới lổng trực tiếp
của mmơđun X Đặc biệt, nếu mmơdun X là khơng phân tích được hoặc ƒ(M) là một
mơun cơn cốt yếu của X, thà ƒ: M — X là một đẳng cấu Chitng minh
Trang 143
Khi đĩ ánh xạ đồng nhất ¿đ: ƒ(A/) — A/ thì tồn tại một đồng cấu ø: X — /(M) sao cho goi = id voi i: f(M) 3 X là đơn cấu chính tắc Từ đĩ suy ra ¡ là đồng cấu chẻ ra Vậy ƒ(A/) là một hạng tử trực tiếp của X
Định lý 1.1.7 Nếu mơđun AI là X-sạ ảnh uà lồn tại tồn cấu h : X — AI, thì
Kerh là hạng tử trực tiép ctia X vd M la médun tua wa ảnh sao cho nĩ đẳng cấu đối uới hạng tử trực tiếp của X Đặc biệt nếu X là khơng phân tích được tà h: X — M
là một đăng cấu
Định lý 1.1.8 Nếu Y là một médun cơn của mmơđun X va modun X/Y la X-va
ảnh, thà Y là hạng trực tiếp trong X Ngồi ta, mỗi mơđun œ0clic &R là mạ ảnh nếu ồ chỉ nếu r(œ) là một hạng tử trực tiếp trong Rr néu va chi néu r(x) = eR cho mét phan té luyj dang e € R nao dé
Định lý 1.1.9 Các điều kiện sưu là tương đương doi vdi R modun phdai M 1 M là một mmơđun œq ảnh
9 Tồn tại một tap con {mi}ier C M vd tap {fi}ier ctia dong cau fi: M — Rp sao cho m = Doie, mifi(m) vdt moi m € M, trong đĩ ƒ;(m) = 0 hầu khắp ¡
3 Tồn tại một hệ sinh {mi}iei của mơđưn M tà tập {f;iei của đồng cau fi: Ma Rp sao chom = Dye, mifi(m) vdi moim € M, trong dé Ji(m) =0 hầu khắp ¡
1.2 Vành chính quy von Neumann
Dinh nghĩa 1.2.1 Một oờnh R được gợi là vanh chinh quy von Neumann nếu uới mỗi a € R, tồn tại một phần tử b€ R sao cho aba = a
Định lý 1.2.2 Đối uới một uành R, các phát biểu sau là tương đương (1) R la vanh chinh quy von Neumann
Trang 154 1.3 Bao tổng quát của mơđun
Cho vành # và # là lớp các R-mơđun phải đĩng dưới các phép đẳng cấu, tổng trực tiếp hữu hạn và hạng tử trực tiếp, tức là nếu A/ € # và W % A! thì ý € 4;
nếu Äị, „6 # thì 8 @ @ Âf„ #; nếu '=W@P€ # thì M,Me€Z
Định nghĩa 1.3.1 Cho M la mot R-mơđưn phải Một đồng cấu u: M —y Ä tới X €4 được gọi là X-liền bao tổng quát của AI nếu bất kì đồng cấu tử : AI > X',X' EX thì tồn tại đồng cấu ƒ: X — X' sao chow = fou
Ay ——_*—_> X
N Me
Khi đĩ ta cĩ thể nĩi u là &- tién bao téng quat cia M
Mot X-tién bao tong quat ctia M dudc goi la ¥-bao tổng quát của MI nếu mọi đồng cấu h: X — X thoả mãn hou =u thà h là một đẳng cấu
Nhận xét 1.3.2 Nếu AM! — X là một 3-tiền bao tổng quát của M uà S < AI là một hạng tử trực tiếp của AI thi S > M > X là một #-tiền bao tổng quát của ®S Định lý 1.3.3 Giá sử mơđun M cĩ hai X-bao tổng quát u : M —y X 0ầu": M —y X', Khi đĩ X'% X
Chứng mình
Vì u,ứ là các #-bao tổng quát của M, tồn tại các đồng cấu ƒ : X -» X’ sao cho w= fu va f’:X’—> X sao cho u= flu Do d6, w= flu’ = f/fuvaw = fus= ffl Theo định nghĩa về A-bao tổng quát của A/, suy ra f/f va ff’ la các đẳng cấu Do đĩ ƒ,/' cũng là các đẳng cấu Hay X'> X
Mệnh đề 1.3.4 Gid sit M la X-bao tong quat va py: M > X la X-tién bao tong quát của M Khi dé X = X* OK vdi X*,K la céc médun con nào đĩ của Ä sao cho phép hợp thành @: M —> X > X* là mot X-bao tong quat cia M
Trang 165 Dat J: M — Xọ là #-bao tổng quát của A7 Khi đĩ biểu đồ sau giao hốn: Xo f i X i LŨ Xo
sao cho y= Jw va w = gy Do dé, ý = gfw Suy ra gf la dt tự dang cấn của Xo và X = Im(ƒ) ® Xọ là một #-bao tổng quát của A/
Hệ quả 1.3.5 Giả sử ME cĩ Y-bao tổng quái Xét: M > X la X-tién bao tổng quát của \ Khi đĩ, ¿ là A-bao tổng quát của A1 nếu 0à chỉ nếu khơng cĩ sự phân tích tổng trực tiếp X = XỊ ©K tới K #0 tà Im(@) < Ấn
Chứng mình
(©) theo mệnh đề trên
(=>) Xét @: A/ —› X là bao tổng quát của A/ và tồn tại sự phân tích tổng trực tiếp X =XiO©K với K #0 và Im(¿) < Xị Ta xây dựng đồng cấu ƒ: Xi@® K X và thu được tồn cấu đến Xị Khi đĩ, @ = ƒ¿, suy ra ƒ là một tự đẳng cấu Do đĩ
Đ#=.Ú:
Mệnh đề 1.3.6 Giá sử lớp mơdun Ä cũng đĩng đưới tổng trực tiếp bất kỳ Nếu mỗi ¡,¿¡ : Mi > X; la X-tién bao tong quat ctia M; thi đụ, : OM; — @X; là +-tiền bao tong quat @M
Chứng mình
Trang 17A\, Mạ cĩ A-bao tổng quát lần lượt uị : Mì —> X(ÂH), uạ : Alạ —> X(Ma), Khi đĩ, tì ©uas:ÁI > X(AI) @ X(Mạ) là một Ý-bao tổng quát của M
Chitng minh
Lấy ws MX’ Viw : My > X(Aq) là #Z-bao tổng quát của A/¡ nên tồn tại
ầ: X(MI) — ÄT sao cho ty = fius,
À —¬ ES M = x’
|»
xạ")
Tương tự, tồn tại /¿ : X(Alạ) —y X” sao cho ua;, = /sua Theo tính chất
Trang 18ĩ Đặt m1ợi1 = 011, T172 = 212, T2gi1 = Ya1, Tagi2 = Y22 Khi d6, g được biểu diễn dưới dạng ma trận Pll 12 #21 22 VWm € ÀHỊ,Vma € Na ta cĩ (m1) = m(m) ` #11i(m1) + 1320m2) ug(mg) ua(ma) #210i(m1) + asua(ma) do đĩ (m1) = @1101(m1) + @12u2(ma) và ua(ma) = @2101(nmH1) + 2au2(ma)
Suy ra wy = 0@1101;012ua = Ú;ua = ÿ222;2iui = 0 Vì uị là y-bao tổng quát của
M, nén yy IA tut dang cấn của X(Ađ) Xét tích ma trận
1 0 Pll 12 Pll p12
,
—yayy L Nai ye2 Ú —/212ij/012 + ¥22
VÌ ¿1aua = Ú, tua = 222ua, ta cĩ
(—ý21211212 + 933)0a = tạ
Vì u¿ là x-bao tổng quát của A⁄¿ nên "n + yoo là tự đẳng cấu của X(M)
Như vậy, từ tích ma trận được xét ở trên, suy ra ma trận biểu diễn của ø cĩ nghịch
đảo, hay ø là tự đẳng cấu
1.4 Bao nội xạ của mơđun
Trang 19Nếu A/ < E là một mở rộng cốt yếu của A/, thì ta nĩi A⁄ là một mơđun con cốt yếu của #, và kí hiệu Ä/ <° ÿ
Bổ đề 1.4.2 Một mơđun Mp là nội zạ nếu 0à chỉ nếu Mp khơng cĩ các mỏ rộng cốt tuếu thực sự
Chứng mình
(=>) Giả sử A/ là ï-nơdun phải nội xạ Xét bất kì mớ rộng thực sự A/ < # Vì A/ là nội xạ nên A7 là hạng tử trực tiếp của F, do dé EF = M @ N véi médun con nao dé N 40 cla FE Ta c6 NOM =0, suy ra # khơng phải một mở rộng cốt yếu của
M
(©) Giả sử A/ khơng cĩ các mở rộng cốt yếu thực sự, và nhúng M trong một mơđun nội xạ I„ Theo Bổ đề Zorn, tồn tại một mơđun con 6 < 7 tối đại đối với tính chất @nẬJ =0 Khi đĩ, trong thương 1/5, bất kì mơđun con khác khơng 5/5 giao với ảnh của A/ khác khơng, nên /m(Af) <° F/S Theo giả thiết, ta cĩ Im(Á) = 1/5
Hay ! = M @ S, nên Ä/ là một mơdun nội xạ
Bổ đề 1.4.3 Mọi mơdun My đều cĩ mở rộng cốt yếu tối đại Chứng mình
Cố định một mơđun nội xạ M < 1 Xét bất kì họ các mở rộng cốt yếu M trong 1, đây là tập sắp xếp thứ tự tuyến tính với quan hệ bao hàm Khi đĩ, hợp của một
họ các mở rộng cốt yếu cũng cốt yếu trên A/ Theo bổ đề Zorn, ta cĩ thể tìm một mơđun # tối đại theo tính chất A/ <° 7 Ta chỉ ra rằng ⁄ là một mở rộng cốt yếu
tối đại của A/ Thật vậy, nếu khơng, ta sẽ tìm được một < E’ sao cho M <° E’ (E' cĩ thể khơng thuộc 7) Theo tính nội xạ của 7, ánh xạ bao hàm # < 7 cĩ thể mở rộng đến ø : / — ! Rõ ràng (kerg)fA/ =0, do đĩ ÄJ <° FƑ suy ra kerg = 0 'Ta đồng nhất Ƒ7 với ø(“') Nhưng khi đĩ A⁄ <° E' mâu thuẫn với tính tối đại của
Trang 20Dinh ly 1.4.4 (Eckmann-Schopf) Cho M < I khi dé cdc diéu kiện sau tương duong:
(1) I la mé rong cét yéu toi dai cia M (2) 1 là nội xa, va mé rong cot yéu ctia M (3) 1 là nội aa tối tiểu chứa M
Chứng minh (1) = (2) Giả sử 1 là cốt yếu tối đại chứa A/, suy ra 7 khơng cĩ mở rộng cốt yếu Do đĩ, 7 là nội xạ
(2) = (3) Lay Ƒ là một mơđun nội xạ sao cho ă < J“ < J Suy ra, J = I'@ N véi
mơđun con nào đĩ Ý < 17 Khi đĩ NA? =0 mà Aƒ <° 7ƒ nên Đ =0, do đĩ I0 =1
(3) = (1) Giả sử 7 là nội xạ tối tiểu chứa A/ Khi đĩ, một mơđun con FE < J 1a cốt yếu tối đại trên A/ Dùng (1) = (2), ta được # là nội xạ, và do đĩ B= I
Định nghĩa 1.4.5 Nếu mơđun 1 > AI thoả một trong ba điều kiện (1),(2),(3) trong dinh ly Eckmann-Schopf, thi ta noi I là bao nội œạ của M Như uậu, một
médun noi xa E dude goi là bao nội xa ctia M néu M cĩ thé nhiing cot yéu vao EB,
ký hiệu là E(M), tức là tồn tại phép nhúng @: M — E sao cho véi bắt kỳ K < E ma Im(y) OK =0 thi kK =0
Từ định lý và các bổ đề trên, suy ra bất kì một mơđun M nao đều cĩ bao nội xạ Kí hiệu e là lớp các R-mơdun phải nội xạ
Định ly 1.4.6 Cho M la R-médun va E € 2 Các khẳng định sau là tương đương: (1) ¢: M > E la mét e-bao tong quat
(2) p:M = E là bao nội #a Chứng mình
(1) = (2) Ta cĩ, A/ cĩ thể nhúng vào một mơđun nội xạ ?” Do đĩ, tồn tại đồng cầu nhúng ¿': A/ — Ƒ' Theo định nghĩa của z-bao tổng quát của A/ tồn tại đồng
i
Trang 21œ(Ä7) khơng cốt yếu trong # Khi đĩ, tồn tai mơđun con khác khơng K < # với g(M)nE=0 Vì K +ự(M) = K @¿(M), ta xác định đồng cấu p: K @w(M) — E với p( + y(m)) = @(m),k,m € M Mở rộng p đến g: E — E, ta cĩ biểu đồ sau giao hốn: Chú ý rằng, ¿ = g¿ Theo định nghĩa của e-bao tổng quát, ø là đẳng cấu của E Do dé g(K) = 0
(2) + (1) Theo dinh nghia cita médun ndi xa, hién nhién y : M + E 1a mot c-tiền bao tổng quát của A/ Giả sử tồn tại đồng cấu ƒ của EF véi y = fy Ta sé chứng minh ƒ là đẳng cấu Ta cĩ ƒ là đơn cấu vì ¿ cốt yếu Do đĩ, Ð= /(#) ® K với mơđun con K < # Nếu K #0, lấy phần tử khác khơng z € K < #, tồn tại phần tử z € R sao cho rv £40 va re = y € y(M) Nhung khi đĩ
y= lm) = fem) € ƒP)đK =0
Điều này mâu thuẫn, suy ra f lA toan cAu Hay f 1A dang cau
"Từ Định lý trên và các tính chất của ¥-bao tong quat, ta suy ra cdc két qua sau:
Hệ quả 1.4.7 Cho 1,1! là hai bao nội ta của M Khi đĩ I %1 Hệ quả 1.4.8
(1) Nếu T là một mơđun nội œ4 chúa M, thà I chúa một bản sao của #(M) (2) Nếu M <° N, thà N cĩ thể mở rộng thành một bản sao của E(M) Hay E(N) =
E(M)
Trang 2211
1.5 Bao nội xa tinh cua médun
Nhác lại rằng một dãy khớp ngắn của các #-mơđun phải 0—>Mí > N—>L—>0
được gọi là dãy khớp ngắn tỉnh nếu với mỗi # - mơđun trái A, ta cĩ dãy khớp ngắn
0>Ä/@A—>N@A->”"@A—0
Diều kiện trên cĩ thể hiểu là nếu Aƒ — N là một đơn cấu thì suy ra A14 A1 — N@A cũng là một đơn cấu Khi đĩ, ta nĩi A/ là mơđun con tỉnh của N, hay N 1a mé rộng tỉnh của A/, hay đồng cấu A/ -› X là tỉnh Warfield đã định nghĩa mơđun nội xạ tỉnh như sau:
Định nghĩa 1.5.1 Một N-mơđun phái D được goi la ndi aa tinh néu sd dd sau
giao hốn đối uới mỗi dãy khớp tình 0— N — M — L— 0 kế g P Tite IA, Hompy(M, P) > Homp(N, P) > 01a khép véi bat ky médun con tinh N cia M
Ví dụ 1.5.2 (1) Mọi mơđun nội sạ đều là nội wa tinh
(2) Với bắt kỳ R - mơdun trái N thì mơđun N* = Homz(N,Q/2) là R - mơđun phải
nội va tinh
'Ta biết, mọi mơđun đều cĩ thể nhúng vào một mơđun nội xạ, đối với mơđun nội xạ, ta cĩ kết quả sau
Chứng mình
Trang 23xạ nên biểu đồ san giao hốn 0————>1@N BON CaN 0 a git Q/Z Hay Homz(B @ N,Q/2) 3 Homz(N & N,Q/2) —š 0 Mặt khác,
Hơmz(B N,Q/2) 3 Homn(B, Homz(N,Q/2)) Homz(A ® N,Q/Z) = Homr(A, Homz(N, Q/Z)) Nén Homz(B ® N,Q/Z) = Homr(B, Homz(N, Q/Z)) 4 Homz(B ® N, Q/Z) = Homp(A, Homz(N, Q/Z)) Tức là biểu đồ sau cũng giao hốn đối với mọi dãy khớp tỉnh 0 A B C 0 i ce Homz(N, Q/Z)
Nhu vay theo dinh nghia thi N* = Homz(N,Q/Z) la R médun phai nội xa tinh Ta biết mọi mơđin đều cĩ thể nhúng vào một mơđin nội xa, đối với mơđun nội
xạ tỉnh, ta cĩ kết quả sau
Bổ đề 1.5.3 Mọi R-mơdun phải M cĩ thể được nhúng như là một mơđun con tính
vio mot médun ndi xa tinh
Trang 2413
M* = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z) la tinh Hon nita, M la noi va tinh néu va chỉ nếu AI là hạng tử trực tiếp của M”*
Gọi PE là lớp tất cả các R-mơđun phải nội œạ tỉnh Khi đĩ, uới bất kỳ R phải M, một PE-bao tổng quát của M được ký hiệu là PE(M)
Dễ thấy rằng ¿ : Af — PE(A/) là đơn câu do mỗi mơđun cĩ thể nhúng được vào
mơđun mọi nội xạ là nội xạ tỉnh Do đĩ, từ biểu đồ giao hốn của P#£-tiền tổng
quát ở trên, suy ra ¿ là đơn cấu Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của bao nội xạ tỉnh qua các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.5.5 Mỗi H-mnơdun cĩ tiền bao nội #ạ tính Chứng mình: Dễ dàng kiểm tra dãy khớp ngắn cảm sinh tự nhiên 0> M— M D0
là một tiền bao của AM, với A!** = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z)
Định lý 1.5.6 Mỗi R-médun M cĩ bao nội xa tinh
Định nghĩa 1.5.7 Cho P là mở rộng tính của R-médun phai M, ta noi P la md rộng tỉnh cốt yếu của M nếu khơng tồn tại mơđun con 5 < P tới SnM = 0 va (S@M)/S(% M) là tính trong P/S
Định nghĩa 1.5.8 Một mở rộng tỉnh P của NI được gọi là bao nội va tinh cia M
nếu P là nội œạ tỉnh ồ là mở rộng tính cốt yếu của M
Mệnh đề 1.5.9 Mỗi R-mơdun AI tồn tại bao nội xa tinh va sai khdc nhau một đẳng cấu
Giống như mơdmn nội xạ: mỗi mở rộng cốt yếu đều nhúng được vào mở rộng nội xạ Dối với mơđun nội xạ tỉnh ta cĩ:
Trang 25đồng cấu P > Q nhúng P như là médun con tinh ctia Q
Kết quả sau cho thấy sự đồng nhất giữa hai cách tiếp cận khác nhau này Định lý 1.5.11 Đối 0ới R-mơdun AI các điều kiện sau là tương đương:
(1): AI P là bao nội œạ tỉnh của M (3): M — P là PE(M)-nội xa tinh
Chứng mãnh (1) — (2) Xét biểu đồ giao hốn
M*
đồng cấu ƒ xác định vì A/** là nội xa tinh va P là bao nội xạ tỉnh của A/ Nhưng vio la tinh, o = fy kéo theo ¿ cũng tỉnh Tiếp theo ta chứng minh mở rộng này
là tỉnh cốt yếu Xét < P là mơdun con với ØfnAƒ = 0 và (Ä © S)/S tinh trong P/S Xét biểu đồ
P
Vi M = (M@S)/S nén M > P/S la tinh va P ndi xa tinh, suy ra đồng cấu ø
tồn tại Dễ đàng thấy ¿ = (øh)¿ Suy ra øh là đẳng cấu, do đĩ h là đơn cấu điều này xảy ra khi 9 =0 (vì nếu h đơn cấu thì h là đẳng cấu)
Trang 26tồn tại biểu đồ giao hốn Ss 4c -hg( -V oe SS ờ
Vì ƒ:A/ — P! là bao tổng quát, øh là tự đẳng cấu của ?/ Do đĩ 8 = ker(ø) là hạng tử trực tiếp của P tinh trong P Vi MNS =0,S =0 Do đĩ g là tự đẳng cấu,
suy ra M/ © P là bao nội xạ tỉnh
1.6 Mơdun #-bất biến đẳng cấu và một số kết quả
liên quan
Định nghĩa 1.6.1 Cho mơđun M uà # là lớp mơdun đĩng dưới các đẳng cấu AI được gợi là #-bất biến đẳng cấu nếu tồn tại một X-bao tong quét u: M > X sao cho uới bat ki tự đồng cấu g: X —y X ton tại tự đẳng cấu J : MI — AI sao cho
tro ƒ =got
Nhận xét 1.6.2 (1) Thêm giả thuyết wu: M — X trong định nghĩa trên là đơn cấu Ta cĩ, vì ø—! cđng là tự đẳng cấu của X nên tồn tại tự déng cau f’: M > M sao cho
1
1 ou Suy rauofof! = g7 A 1 ogou va uo fof’ = gouo |’ = gog tou = u uo! = g7 ouo = g~
Do w la don cAu, nén f 1A dang cAu
(2) Cho # là lớp médun ndi xa, E(M) 1a bao ndi xa cita M Khi đĩ, phép đồng nhất ¿: A7 — E(M) lA mot ¥-bao tong quat cia M Mơđun M là #-bất biến đẳng cấu khi và chỉ khi với mọi ø: £(M) — E(M) tồn tại tự đẳng cấu ƒ: M > M sao cho ¿o ƒ = goi, hay g(M) CAI Vậy trong trường hợp này, mơđun #-bất biến đẳng
Trang 27Bổ đề 1.6.3.Cho mơđun AI tới u: M —y X là X-bao tổng quát của M Với mọi f € End(M), gợi g,g € End(X) thoả mãn gou = to J,gou =uoƒ Khi đĩ, g—g € J(End(X))
Chứng mình
Với mọi ƒ : A/ —> A/, theo định nghĩa của +, luơn tồn tai g : X > X sao cho uf được phân tích qua u, hay uf = gu
Goi g,g' € End(X) thoa man gu = g'u = uf Dể chỉ ra g— ø'€ J(End(X)), ta cần chứng minh 1 — t(g — g’) là phần tử khả nghịch với mọi ¿ € End(X) Ta co
Ug —g')u = Ugu — gu) = 0, suy rà
u — l(g — g)u = (1— tíg — g))u =1
Theo định nghĩa của wu suy ra 1 — t(g — ø) là đẳng cấu, hay là phần tử khả nghịch
Nhận xét 1.6.4 Từ bổ đề trên, với mơđun Ä cĩ u: M — X là #-bao tổng quát, chúng ta cĩ thể xác định một đồng cấu vành
yg: End(M) EndX)/J(End(X))
với @(ƒ) = g+ J(End(X)) và ø thoả uo ƒ = go Lúc này, ¿ Xác định một đơn cấu vành ®: End(M)/ker(e) => End(X)/J(End(X)) hay End(M)/ker(y) = Im(®) là một vành con của EZnd(X)/2(End(X))
Bổ đề 1.6.5 Cho mơđưn AT cĩ '-bao tổng quát của u: M — X, giả sử M là X-bat bién ding chu Khi dé udi j € J(Pnd(X)), tồn tai k € ker(y) sao cho ok =jou, Chứng mình
Do j € J(End(X)) nên 1— 7 là tự đẳng cầu của X Vì A/ là #-bất biến đẳng câu
nén ton tai f € End(M) sao cho uf = (1—j)u Do dé
ju=(1-(1-j)u=u-(1-jjusu-uf =u(l— f)
Trang 2817
Bổ đề 1.6.6 Giả sử 9 = T¡ị x T; uới Tị là ồnh chính quy abel tự nội œạ 0à mọi phần tử của T› là tổng của hai phần tử khả nghịch Nếu R là một uành con của 5
mà bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tử khả nghịch của S thà R là uành
chinh quy von Neumann Chitng minh
Vì ƒ là vành con cia S, nén c6 thé viét R = R; x Ro vai R, 1A vanh con ctia Ti, Re
là vành con của 7› Giả sử tất cả các phần tử khả nghịch của S déu nam trong h Lấy bất kì phần tử ¿ € 7;¿ Khi đĩ tạ = a+8 với a,đ khả nghịch trong T› Do dé, 17, x a, 1p, x Ø là các phần tử khả nghịch trong ® Theo giả thiết ta được (l› xa)(1n, x 1n,) € R và (1r, x Ø)(1n, x 1n,) € f, suy ra œ1p, € lạ và đln, € đ Nhu vay, to = tele, = (œ1n,) + (01n,) € la hay 7; C lạ Vay To = Ro, suy ra To C R và là iđêan chính quy von Neumamn của R Vi moi vanh chính quy abel là chính quy khả nghịch, nên với z 7¡ tồn tại phần tử khả nghịch ¡ € 7; sao cho x = rua Hơn nữa 0 + lự;, là khả nghịch trong 9 nên khả nghịch trong F Vậy R/7; là vành chính quy von Neumann Theo bé đề trên ta cĩ # là vành chính quy von Neumann Với A/ là mơđun bất biến đẳng câu thi J(End(M)) gồm tất cả các tự đồng cấu của A/ cĩ nhân cốt yếu End(M)/J(End(M)) là vành chính quy von Neumann và các luỹ đẳng nâng modulo J(End(M)) Với trường hợp A⁄ là #-bất biến đẳng cấu,
ta cd:
Định lý 1.6.7 Giả sử AI là Ý-bất biến đẳng cấu uới đơn cấu u: M — X là Ä-bao tổng quát của AI Giả sử uành 9 = End(X)/J(End(X)) = Tì x Tà trong đĩ T\ là vanh chinh quy abel tu ni xa va moi phan tt Ty la tổng của hai phần tử khả nghịch Khi dĩ nếu luỹ đẳng trong S néng médun cén Jacobson thi End(M)/J(End(M)) la vanh chinh quy von Neumann va céc luỹ đăng nâng mơđun J(End(M))
Chứng mình
Trang 29tự đẳng cấu của X Do đĩ A/ là mơđun # bất biến đẳng cấu nên nên tồn tại một đồng cấu ƒ của M sao cho uf = gu Theo nhận xét trên ta được
o(f + Ker(y)) = 9+ J(End(X)) € Im(4) Lấy ĩ(ƒ + Ker(e)) là phần tử bất kì thuộc /n(ĩ) Ta cĩ
(+ J(Z2nd(X)))2Π+ ker(g))
= o(f + ker(y))(f' + ker(¢))
= (ff + ker(y)) €€ Im(d)
Vậy Tm(ø) bất biến dưới phép nhân trái bởi phần tử khả nghịch của End(M)/J(End(M))
'Theo bổ đề trên ta được /m(ø) là vành chính quy von Neumamn nên End(M)/Ker(y) cũng vậy Do đĩ, J(End(M))/Ker(e) = 0 hay J(End(M)) C Ker(y)
Bãy giờ với mọi ƒ e Ker(¿) ta cĩ ¿(f) = øg+ J(End(X)) = 0 với g € End(X) thoả uf = gu Suy ra g€ J(End(X)), do đĩ 1— ø khả nghịch trong J(End(X)) Do M là mơđun x bất biến đẳng cấu, (1 — ø)~! là một tự đẳng cấu của X nên tồn tại h € End(M) sao cho (1 — g)~!u = uh Khi d6
w= (1-9) 1(1-g)u = (1-g)'(u—gu) = (1-9) (u-uf) = (l-g)""u(1— f) = uh—f)
đồng thời
ứ =(1— ø)}{(1— g)u = (1— g)uh = (w— gu)h = (6— uƒ)h = u(L— J)h
Do œ là đơn cấu, như nhận xét trên ta được 1— ƒ là khả nghịch hay ƒ € J(End(M)) Vậy J(End(M)) = Ker(e) Do đĩ, End(M)/J(End(M)) vành chính quy von Neumann
Cuối cùng, lấy ƒ+J(End(M)) là phan ttt ny dang cla Bnd(M1)/J(End(M)) Khi
Trang 3019
End(X) sao cho g + J(End(X)) = e+ (End(X)) hay g — e € J(End(X)) Theo bổ
đề trên, tồn tại k € J(Ƒnd(A/)) sao cho (g — e}u = uk Suy ra, gu — u = eu hay u(ƒ — k) =cu Vậy @(ƒ — k) =e + J(End(X)) Như vậy
u(ƒ — k)? = eu(J — k) = cŸu = eu = t(ƒ — k)
Trang 31CHƯƠNG 2
CAC MODUN THOA MAN TINH CHẤT SCHRODER-BERNSTEIN
Trong chương này chúng tơi nghiên cứu các mơdun bất biến dưới các đồng
cấu của 4-bao tổng quát thoả mãn tính chất Schrưder-Bernstein Các kết của của chương này chúng tơi tham khảo trong tài liệu ([13|)
Theo định lý Sehrưder-Bernstein chúng ta cĩ nếu tồn tại đơn cấu ƒ: 4> B và
đơn cấu ø: 8 — A thì tồn tại một song ánh Ð : A4 —> Ư
2.1 Các mơđun #-bất biến đồng câu thoả mãn tính
chất Schrưder-Bernstein
Trong tồn bộ chương này, chúng tơi luơn luơn giả sử mọi #-mơđun phải Af đều cĩ #-bao tổng quát œ„; : M => X(M) và là đơn cấu
Ta nĩi rằng đồng cấu u : N 3 M cla R-modun phai ld ¥-don cấu tỉnh mạnh nếu bất kì đồng cấu ƒ: W > X, voi X e # Dều mở rộng cho đồng cấu g: AM — X
sao cho gou = ƒ
"Theo định nghĩa của #-đơn câu tỉnh mạnh +: A7 —> W thì chúng ta kiểm tra wu là đơn cấu
Bổ đề 2.1 Cho w: N — AI là một đồng cấu Tụ cĩ các mệnh đề tương đương sau: (1) ula X don céu tinh manh
(2) ww: N + X(N) duge nang bdiu
(3) Hop thank vy ow: N + X(M) la &-tién bao tong quat
Trang 3221
Cho M 1A R médun phải, ta kí hiệu add[A/| là lớp của tất cả các hạng tử trực tiếp của các tổng trực tiếp hữu hạn của các bản sao của A/ Và ta nĩi rằng mơdun M la #-đĩng tỉnh mạnh nếu bất kì giới hạn trực tiếp của các đơn cấu chẻ ra trong add[A⁄] là một #-đơn cấu tỉnh mạnh
Ví dụ 2.2 Mot vai vi du uề mơđun đĩng tỉnh mạnh ta sẽ quan tâm trong bài này (1) Cho 4# là lớp tất cả các mơđun nội xạ Khi đĩ mọi mơđun là #-đĩng tỉnh
mạnh
(2) Cho # là lớp tất cả các mơđun tỉnh nội xạ Khi đĩ mọi mơđun là #-đĩng tỉnh mạnh
Trong mệnh đề dưới đây ta sẽ mơ tả vành đồng cấu của mơđun #-đĩng tỉnh mạnh Nhắc lại rằng mơđun A/ được gọi là đối xoắn nếu z+/!{(F A7) = 0 cho mọi mơđun phẳng Ƒ Chứng tỏ rằng nếu A/ là một đối xoắn phẳng của A/ mơđun phải
và Ø = End(MIp), hơn nữa 5/J(5) là một vành chính quy von Neumann phai tu nội xạ và mơđun nâng khơng đổi J(S)
Mệnh dé 2.3 Cho # là lớp của mơdun đĩng dưới đẳng cấu tà giả sử bất hà mơđưn
cĩ một đơn cấu -bao tổng quát Khi đĩ cho bất kà Ý-đĩng tỉnh mạnh mơđun X,
End(X) là tành đối xoắn phải
Đặc biệt, End(X)/J(End(X)) là một uành chính quụ von Neumann phai tu noi xa va médun nang khơng đổi J(Ead(X))
Chứng mình
Ta đặt 9 = End(X) Lay bat ki day khdp ngén 0 > Sg 4 L > F > 0 véi F 1a mot S-m6odun phai phang Vi S phang, nén day trén 1A tinh va day nhu vay tao ra day 0—› 9% Xp —> Lớ Xp — Pớ Xp — 0 cũng tỉnh trong # - mơdun Ta biết rằng Ƒ
là giới hạn trực tiếp của một họ của hữu hạn tạo ra mơdun xạ ảnh Ta nĩi rằng
Trang 330——>#@——> l¡—— P;——›0
| |p [a
0——›8——›L——>Ƒ——0
Trong đĩ hàng trên là tách được, từ 7; là xạ ảnh Hơn nữa, L = lim l¿ Ứng dụng > này của hàm tử — @s X, ta nhận được sơ đồ giao hốn trong R- mơđun như sau: 1Ø X 0 S@gX L;@X P.@X 0 [sex ax Joes 0 Sax 225 Lax FQX 0
Tacd L@X = lim L,@X valL@x = lim P,@ X, tt! - %„ X giao hốn với giới
hạn trực tiếp Chú ý rằng S@g X =X va P;& X 1a dang cau với hạng tử trực tiếp của tổng trực tiếp hữu hạn của ảnh X Diều này chứng tỏ rằng w @ X là giới hạn trực tiếp của đơn cấu tách được trong số các mơđun của add[X] và hơn nữa ta giả sử rằng X là #-mơđun đĩng tỉnh mạnh, điều này cĩ nghĩa rằng ¡ @ X là
#-đơn cấu tỉnh mạnh Vì thế nĩ tồn tại một ánh xạ h: Le X —- S3 X sao cho
ho(wu@ X) = 1sex Ứng dung ham ttt Homp(X,—), ta cĩ sơ đồ trong 6-mơđun như
sau:
8 — L
|» |e
Hom(X,S ® X) ——+> Hom(X,L® X)
trong đĩ ðs là một đẳng cấu, ơ, ou = Hom(X,u® X)oơg, Hom(X,1sax) 90g = ơs
và Hơm(X,h)o Hom(X,u@ X) = Hom(X, 1sax) Vì vậy og! oHøm(X,h)òơpou = 1s
và điều này chứng tỏ rằng u ché ra Nhu vay, day khdp ngin 0 > Ss 3 L > F > 0
ché ra va do d6 End(X) 1A mot vanh déi xoan phai Kết luận, Znd(X)/J(End(X)) là vanh chinh quy von Neumann phải tự nội xạ và luỹ đẳng năng modulo J(End(X)) Dinh ly 2.4 Cho X € # là một ÄZ-mơđun tỉnh mạnh ồ Y € + là một Ä-mơđun
Trang 3423 Chứng mình
Vì Y e€#, nên Y phải là hạng tử trực tiếp của X Khi đĩ, tồn tại một mơđun con HH của X sao cho X = H@Y Lúc này
X=HẠY 3H@u(X)=H@u(H)@u(Y)ÐĐ
và hơn nữa, gọi P = @ƒ£Sg#!(H), ta được X 2 P Theo cách xây dựng của P chúng ta cĩ PnY =@#¡uf(H) = u(P)
Gọi spay : PhY — X(PnY) là #-bao tổng quát của PnY và gọi ø: PhY —> Y là ánh xạ bao hàm Chú ý rằng Y là #-mơđun đĩng tỉnh mạnh, từ đĩ nĩ là hạng tử trực tiếp của X Và hơn nữa œ là hợp trực tiếp bao hàm của các ánh xạ bao hàm của các hạng tử trực tiếp Y, nên nĩ là một #-đơn cấu tỉnh mạnh Điều này cĩ nghĩa rằng tồn tại g: Y => X(PY) sao cho go = 0pay, từ đĩ X(PnY) e # Tương tự, với Y e# và X(PnY) là một #-bao tổng quát thì tồn tại h: X(PnY)->Y sao cho ho pny =0
Dặc biệt, gohòpny = 0pay Vì opay là bao tổng quát, ta kết luận rằng go h là đẳng cấu Vì vậy, h là đơn cấu chẻ ra và Q = /m(h) là một hạng tử trực tiếp của
Y Vì thế, tồn tại một mơđun con kK sao cho Y =Q@K
Lic nay, X =H@O@Y =HO(QEK)=(HOQ)OK Nhu vay, H@Q eX Hon nữa, đồng cấu bao hàm ¿: P — H @@Q cĩ thể được xem nhu i = (177 @ vpnay) : P= TO(PAY) 91 OX(PNY) = 17 OQ Vi thé la một Z-đơn câu tỉnh mạnh Lúc nay, vdi Q € ¥, ta két ludn rang t6n tai»: HQ —> Q sao cho poi =hovpny ou Hơn nữa, h~Ìo oi = 0pay ou Chú ý rằng wu: P + PnY vành: X(PnY)> Q là đẳng cấu Giống như cách trên, với !ƒ © Q € #, tồn tại ¿: Q — II @@Q sao cho
pohoupny ou=i Diéu nay cho thay yowot=i va poyohoupay =upny Mat
khác, với øpay : PAY X(PnY) là &-bao tong quat va H € #, nên ta cĩ được
Trang 35là đẳng cấu Vì vậy, X Y
Ứng dụng định lý trên đến trường hợp của bao nội xạ, bao nội xạ tỉnh và bao đối xoắn, ta nhận được như sau:
Hệ quả 2.5 Cho 12 la mét médun
(1) Néu EF la médun noi xa va E' la médun con ndi œ@ của P` sao cho ton tai mot đơn cấu u: ÐƯ + E! thì E E',
(2) Nếu E la médun noi xa tinh va E' la médun con nội œq tỉnh của E sao cho ton tại một mơđun tỉnh đơn cấu u: B — E! thà B % F'
(3) Nếu E là mơdun đối soắn phẳng va B! la médun con tinh cia E sao cho E cũng là đối xoắn phẳng tà tồn tại một đơn cấu tính u: Ð — E' thà P % PL Chứng mình Ứng đụng định lý trên cho trường hợp của nội xạ, nội xạ tỉnh và mơdun đối xoắn phẳng trong Ví dụ 2.2 Bổ đề 2.6 Một hạng tử trực tiếp của A-bất biến tự đồng cấu cững là 4-bất biến tự đồng cấu Chứng mình
Cho A/ là một #Z-mơđun bất biến đồng cấu và wW là hạng tử trực tiếp của A/ Vì vậy, tồn tại một mơđun K sao cho M = W@K Vì thế, X(M) = X(N) @ X(W) Cho f : X(N) > X(N) 1A mot dong céu cha X(N) Vi vay, xiv) e ƒ 9 zx(x) là một đồng cấu của X(A/), ở đây ¿x(„) : X(M) > X(Af) 1a anh xa bao hàm và #x(w): X(M) —¬ X(N) là phép chiếu chính tắc Ta cĩ 0y ow = Zx(A) 9 0ạ/ VÀ
ĐẠI OEN =tX(N)O0N VỚI ty :N — M là ánh xa bao ham va my : M W là phép
Trang 3625
vy: M > X(M) vay : N > X(N) Gia st rang N la X&-dong tink manh va M là một A' mơđun con tỉnh mạnh của N Nếu tồn tại một A-đơn cấu tinh mạnh w:N ÁI, th M %N
Chứng mình
Cho ¿' là #-đơn cấu tỉnh mạnh từ Aƒ và W Vì uạ; : M > X(M) la &-bao tổng quất và øy o“: A => X(N) là Z-tiền bao tổng quất, nên tồn tại một đơn cấu chế ra fy: X(M) + X(N) sao cho frougs = vy ow’ Tuong tut ta ching tỏ được rằng tồn tai mot don cAu ché ra fo: X(N) => X(A/) sao cho ƒ2o 0y = vas ot Vi hep thanh foofi: X(M) > X(M) cing 1a một đơn cấu chẻ ra, khi đĩ tồn tại một đồng cau
g:X(M) — X(M) sao cho go (fo fi) = 1x(¡)- Ngồi ra, vì A/ là Z-bất biến đồng cấu, nên tồn tại một đồng cấu ổ : Aƒ —› M sao cho vyyod = gouy Diều này dẫn đến, vypodouow! = gouyouow’ = go foovyouw! = go foo fiovns = UM Ti dé va, 1A mot đơn
cầu và douow" JA dang cAu Vi vay, w’ Id don cu ché ra va điều này dẫn đến rằng 4í là
hạng tử trực tiếp của NM Vì thế, tồn tại một mơđumn con H của sao cho ý = H@MM
Lúc này, N = H@À Ð 1 @u(N) = H @u(H) Gu(M) 2 2 GP, gu'(H)@u°(M)
Gi P= â#9g#(H) = Hđ(â#1w'(H)) = HO(PAM) CN Bằng cách xây dựng của P ta cĩ u(P) = PAM Goi vpaw : PAM > X(POM) la &-bao tổng quát của
PhM và ø: PRAI — M là ánh xạ bao hàm Vì œ một hợp trực tiếp của các đơn
cấu bao hàm của các hạng tử trực tiếp của A/, nên nĩ là #-đơn cấu tỉnh mạnh Vì
tpn là 4-bao tổng quát nên tồn tại một đồng cấu h : X(PAf) + X(M) sao cho
hovpam = vu ow Va vì ¿ là một V-don cấu tỉnh mạnh nên tồn tại một đồng cấu p: X(M) > X(PnM) sao cho po Đạy 000 = ĐPnM: Dặc biệt, po ho 0pnAt = UPnAM
và từ ppaa¿ là #-bao tổng quát, poh = Ix(nai,- Mặt khác, hop là đồng cấu của
X(M) Vi M là #-bất biến đồng cầu nên chúng ta cĩ (ho p)(M) € AI, Điều này cĩ nghĩa h|„/a„j là đồng cấu từ p(M) đến AI
Bây giờ ta chứng minh rằng, Upc) PCM) > X(PnM) là một #-bao tổng quát và
Trang 37là một #-bao tổng quát và X” e # nên tồn tại một đồng cấu aœ : X(A/) — X” sao cho
aovuy = fop|y Luu ý rằng, vm ohm) = hovpca) Va poum = vp(aroPlM, theo dinh
nghĩa của đồng cấu Vì thế, ta cĩ aoh : X(PAM) —> X” với (œoh)oop(x„y = ƒ Ta suy ra rằng 0a): p(M) + X(PM) là Z-tiền bao tổng quát Hơn nữa, cĩ thể chỉ ra rang vary | PUM) > X(PAM) la &-bao tổng quát Giả sử ¿: X(PAM) > X(PNM) là một đồng cấu Vì ho¿op là đồng cấu của X(M) và A/ là 4-bất biến đồng cấu, (hoyop)(M) C M Do dé ta cĩ ¿(p(M)) € p(M) Vậy p(M) là 4-bất biến đồng cấu
Hơn nữa, ta cĩ 0y =po9h 9 tp) =9 0M 9 hạ(Ap) = Đp() 9 Pla © hlpcary Va vì p(w) là một đơn cấu, suy ra p|a 9| sa) = 1p(u)- Vì vậy, h|g„y : p(M) — M là đơn cầu chẻ ra và @ = Im(h|s¿w)) = hop(M) là tổng trực tiếp của M Vì vậy tồn tại một
mơđun sao cho A! = Q@® 7€ Hơn nữa, N = ƒ@Ä! = H@(Q@K) =(H®(Q)@K và do đĩ H @ Q là #-mơđmn bất biến đồng cấu
Ngồi ra, phép nhúng chính tắc ¿ : P — H@Q cĩ thể xem như ¡ := (1©(p|u©2)) : P = H@(PNM) > H@p(M) ~ Neg Vi vay ila một Z-đơn cấu tỉnh mạnh Vì @@ là +-bất biến đồng cấu, tồn tai : H @(@Q — Q sao cho Pot = Alp) o plas ow o up, trong đĩ đ[ap : p(M) Q và uy: P + PA là đẳng cấu Mặt khác, vì ¿ là
Z-đơn cấu tỉnh mạnh và # @@Q là &-mddun bat biến đồng cấu, ta nhận được ¿:P=HG(PnM) I@œ(Q là Ä-bao tổng quát Tương tự, tồn tại một đồng
cấu ¿: Q— H@Q sao cho ¿ư hy) 9 p[ạ o0 o up = ý Điều này cĩ nghĩa là popot=iva h| ăn 000 0 hay) ° UPnat) = 0PnM- Và vì cả ¿ và 0pnar là bao tổng quát, ta suy ra rằng ¿o và h| vân ojo¿ehl,a„y là tự đẳng cấu Do đĩ, theo đĩ ¿o cũng là một đẳng cấu Vì vậy, cả ¿ và ø đều là đẳng cấu Cuối cùng, VOlgk:N=(1OQ) OK >Q@1#Ý = M là đẳng cấu
Hé qua 2.8 Cho M va N la hai médun
(1) Néu M va N la céc médun tua noi xa sao cho tén tai mot đơn cấu từ M vao
N va mét don cau ttt N uào M thì M = N
Trang 3827
M vao N va mot don céu tinh tt N vao M thà NI N
(3) Nếu M uà N là các mơđun phẳng bất biến dưới tự đồng cấu của bao đối xoắn sao cho tồn tại một don cấu tỉnh từ M ào N 0à một đơn cấu tính từ N uào M, th MS%N
2.2 Cac médun #-bất biến đẳng cấu thoả mãn tính
chất Schrưder-Bernstein
Mặc dù ta khơng biết liệu các kết quả của các phần trước cĩ thể mở rộng cho các mơdun bất biến dưới các đồng cầu của bao tổng quát của chúng trong các trường hợp chung hay khơng, ta sẽ nghiên cứu câu hỏi này trong các trường hợp cụ thể bao nội xạ và bao nội xạ tỉnh trong phần này Gần đây, nĩ được chỉ ra rằng nếu Ä/ và N là mơđun bất biến đẳng cấu cĩ chiều Goldie hữu hạn sao cho cĩ một
đơn cấu từ A⁄/ vào W và một đơn cấu từ N vào A/, thì AM N Ta sẽ mở rộng kết
quả này và cho thấy rằng bài tốn Schrưder-Bernstein cĩ một giải pháp khả quan cho bất kì mơđun bất biến đẳng cấu nào
Ta sẽ biểu thị bao nội xạ của mơdun Ä⁄ bởi (AM) và A <° B sẽ cĩ nghĩa rằng
A là mơđun con cốt yếu của B Bay gid ta cĩ thể chứng minh kết quả chính của phần này Định lý 3.1 Gọi M, N là các mơđun bất biến đẳng cấu Nếu tồn tại các đơn cấu ƒ:M-+>Nbuầàg:N-›M thì M%N Chúng mình Theo Hệ quả 2.5, ta biết rằng (A7) Z(N) Mặt khác, ta cĩ một sơ đồ M —s> sm) 5 N 25M |» AM
Trang 39ƒ: AM —y ƒ(M) là đẳng cấu, điều này cĩ nghĩa là œ : /(A/) —> N chẻ ra và do đĩ ƒ(M) là tổng trực tiếp của N Tương tự, ø(N) là hạng tử trực tiếp của M
V/Ƒ: AM — ƒ(M) và g: N — g(N) là các đẳng cấu, ta biết rằng F(/(A1)) = F(ø(N)) Ta tiễn hành chứng minh rằng f(A1) & g(N) Goi h: E(g(N)) 3 E((M)) là một đẳng cấu Đặt Ä/ = đ~!{ƒ(W)) ng(N) và N? = h(ø(N))n f(AL) Theo cach xây dựng ha, : Af' —y N? là một đẳng cấu Hơn nữa, vì ø(V) <° ⁄(øg(N)), nên ta suy ra h(g(N)) <° E((M)) Tương tự, h~!(ƒ(M)) <° E(g(N)) Vì thế, A1 <° (ø(N)) và
N' <* E(J(M)) Đặc biét, M’ <¢ g(N) va N’ <é f(A) Ta cĩ
MỸ els yh BN FM)
|
g(N)
6 day way va uy’ la cdc đơn câu chính tác Hơn nữa, ø(W) là mơđun con của
Af và /(M) là đẳng cấu đến A/ Do đĩ, ƒ(A/) là bất biến đẳng cấu và vì ua¿ o h[a/: là đơn cấu nên tồn tại : g(N) > f(M) sao cho o uy, = uy: hịn; Tương tự, tồn tại ¿: /(M) — g(N) sao cho @ou, = ứaz©h—![yy; Hợp hành ta nhận được sơ đồ holly M! Noo s2" canal | |» | g(N) — “+ g(M) —“> g(N) Nag
Vì vậy poyousp = youn oh|yy = uyroh||yroh|an = ugar Va diéu nay cé nghia
ring (1yv) vow) oun =0 Vì ua là đơn cầu nên ta suy ra rang Ker(1y(n)— pov) là mơđun con cốt yếu của øg(N) và đo đĩ (ly) —@©0) € J(End(g(N)) vì g(N) là bất biến tự đẳng cấu Do đĩ, pow là một đẳng cấu Tương tự, ở ¿ là một đẳng cấu và do dé ¿: ƒ(M) — g(N) là dang cau Vi M & f(M) va N % g(N), ta suy ra tằng Aƒ % N
Hệ quả 3.2 Gọi A1, N là hai mơđun bất biến đưới tự đẳng cấu của bao nội œạ lành
Trang 4029
Nhận xét 3.3 Các kết quả trên gợi ý rằng cĩ thể mỏ rộng Dinh ly 2.7 trong phần trước thành mơđun #-bắt biến đẳng cấu cho uành đồng cấu của bao tổng quát A là đối xoắn phải; uí dụ đối uới các mơdun phẳng bắt biến dưới các tự đồng cấu của bao đối soắn của chúng Tuy nhiên, các phương pháp của chúng đường như thơng hoạt động trong thiết lập chung này
Ví dụ tiếp theo của chúng tơi cho thấy rằng ta khơng thể suy ra kết quả này từ Dịnh lý 3.1, Hệ quả 3.2 hoặc các kết quả trong phần 2.1 Ví dụ của chúng tơi cho thấy rằng tồn tại các mơđun phẳng luơn bất biến dưới các tự đẳng cấu của các bao đối xoắn của chúng nhưng chúng khơng bất biến dưới tự đồng cấu của các bao đối xoắn của chúng, cũng khơng phải dưới dạng đẳng cấu của chúng trong bao nội
xạ hoặc bao nội xạ tỉnh và do đĩ kết quá của chúng tơi khơng thể được áp dụng cho các mơđun này
Vi dụ 3.4 Gọi K là một trường của đặc trưng khơng và 5, K - đại số cĩ cấu trúc trong phần 2.1 Khi đĩ # là vành artin phải khơng phải là một vành nội xạ tỉnh phải Vì %s là artin, nên bất kì mơđun # là đối xoắn và do đĩ là bất biến dưới các tự đẳng cấu của bao đối xoắn Giả sử rằng bất kì tổng trực tiếp của các bản sao của 5% là bất biến dưới đẳng cấu của bao nội xạ tỉnh của nĩ Với char(K) = 0, điều này cĩ nghĩa rằng bất kì tổng trực tiếp nào của các bản sao 5s cũng là bất biến dưới đẳng cấu của bao nội xạ tỉnh của nĩ và do đĩ H(Sg) la Đ-tựa nội xạ trong phạm tri: D Nhung sau dé, E(H(Ss)) la &-ndi xa va điều này cĩ nghĩa rằng bao nội xạ tỉnh của % là nội xạ tỉnh Do đĩ, S„ cũng là 5-nội xạ tỉnh như nĩ là mơđumn con tỉnh của bao nội xạ tỉnh của nĩ, mâu thuẫn Do đĩ, ta kết luận rằng
tồn tại một tập hệ số 7 sao cho a khơng phải là bất biến dưới đẳng cấu của bao noi xa tinh cia nd Goi Mg = Sh
Bay gid R 1A vanh cia tat cd cac day khong déi cuéi cing trén Fh trudng ctia hai nguyên tố Ta biết rằng R là vành chính quy von Neumamn, va Ry la modun