Giải bài tập toán 9 tập 2

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 GIẢI BÀI TẬP TOÁN LỚP TẬP (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com PHẦN ĐẠI SỐ Chương III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §1 Phương trình bậc hai ẩn Khái niệm phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa 1: Phương trình bậc hai ẩn phương trình dạng: ax + by = c (1) , a, b, c số biết ( a ≠ b ≠ ); x y ẩn Định nghĩa 2: Nếu x = x0 y = y0 mà vế trái phương trình (1) có giá trị vế phải cặp số ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm phương trình Chú ý quan trọng: Khi nói đến cặp số ( x0 ; y0 ) cần kể đến thứ tự chúng Như vậy, chẳng hạn ta có ( 2;3) ≠ ( 3; ) Tập nghiệm biểu diễn hình học - Mỗi nghiệm ( x0 ; y0 ) phương trình ax + by = c biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ Oxy - Tập nghiệm phương trình ax + by = c biểu diễn đường thẳng (d), ta gọi đường thẳng ax + by = c Kết luận - Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm số Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c - Các trường hợp cần lưu ý: + Nếu a ≠ 0, b ≠ tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn ax + by = c đồ thị hàm số a c y= − x+ b b + Nếu a = b ≠ đường thẳng (d) song song với trục hoành + Nếu a ≠ b = đường thẳng (d) song song với trục tung BÀI TẬP Trong cặp số ( −2;1) ; ( 0; ) ; ( −1;0 ) ; (1,5;3) ( 4; −3) , cặp số nghiệm phương trình: a) x + y = b) x + y = −3? Hướng dẫn Để giải tập dạng này, ta đem giá trị cặp số cho vào biểu thức vế trái với ý số thứ thay vào biến x, số thứ hai thay vào biến y tính tốn để: + Nếu kết có với vế phải cặp số cho nghiệm phương trình Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + Nếu kết có khơng vế phải cặp số cho khơng phải nghiệm phương trình a) Xét phương trình x + y = + Với cặp số ( −2;1) , ta có: ( −2 ) + 4.1 =−10 + =−6 Vì −6 ≠ nên cặp số ( −2;1) khơng phải nghiệm phương trình cho + Với cặp số ( 0; ) , ta có: 5.0 + 4.2 = Vì = nên cặp số ( 0; ) nghiệm phương trình cho Tương tự, ta có kết quả: + Cặp ( −1;0 ) nghiệm phương trình + Cặp (1,5;3) : khơng phải nghiệm phương trình cho + Cặp ( 4; −3) : nghiệm phương trình cho b) Với phương trình x + y = −3 thì: + Các cặp ( −1;0 ) ( 4; −3) nghiệm + Các cặp ( −2;1) ; ( 0; ) (1,5;3) nghiệm Với phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát phương trình sau vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm nó: a) x − y = 2; b) x + y = 3; c) x − y = −1; d) x + y = 0; e) x + y = −2; f) x + y = Hướng dẫn a c Để biểu diễn tập nghiệm phương trình ax + by = − x + Đồ thị c ta vẽ đồ thị hàm số y = b b đường thẳng x ∈  a) x − y = có nghiệm tổng quát là:  y 3x − = Để vẽ đồ thị hàm số = y x − biểu diễn tập nghiệm phương trình x − y = , ta lấy hai điểm: A ( 0; −2 ) , B (1;1) Đường thẳng AB đồ thị hàm số = y x − đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x − y = Chú ý: Có thể viết nghiệm tổng quát phương trình x − y = là:  x y+ = 3   y ∈  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) Phương trình x + y = x ∈   x= − y  Nghiệm tổng quát    ∈ y y x = − +   5 Đồ thị qua hai điểm: A ( −2;1) , B ( 3;0 ) ta đồ thị hàm số: y= − x+ 5 c) Phương trình x − y = −1 Nghiệm tổng quát: x ∈   x y− =  4   = + y x  y ∈   3 Tập hợp nghiệm đồ thị hàm số = y x + qua hai điểm: 3 1  A ( −1; −1) , B  ;1 2  d) x + y = Nghiệm tổng quát: x ∈   x = −5 y    y∈  y = − x Tập hợp nghiệm đồ thị hàm số y = − x qua gốc tọa độ O điểm A ( −5;1) e) Phương trình x + y = −2 y∈  Nghiệm tổng quát  x = −    Đồ thị đường thẳng qua điểm  − ;0  song song với trục   tung f) Phương trình x + y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x ∈   Nghiệm tổng quát  y =  Đồ thị biểu diễn tập nghiệm đường thẳng song song với trục hoành qua điểm có tung độ y = trục tung a c Chú ý chung: Khi vẽ đồ thị hàm y = − x + biểu diễn tập nghiệm phương trình ax + by = c , ta cần b b chọn hai điểm thuộc đồ thị Nên ý chọn điểm có tọa độ số nguyên để việc vẽ đồ thị dễ dàng xác Cho hai phương trình x + y = x − y = Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình hệ tọa độ Xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng cho biết tọa độ nghiệm phương trình nào? Hướng dẫn Để vẽ đồ thị đường thẳng xác định phương trình x + y = , ta lấy hai điểm A ( 0; ) ; B ( 4;0 ) Để vẽ đường thẳng xác định x − y = , ta lấy hai điểm C ( 0; −1) ; D (1;0 ) Hai đường thẳng AB CD giao điểm M có tọa độ ( 2;1) Vì M nằm AB nên tọa độ M nghiệm phương trình x + 2y = Vì M nằm CD nên tọa độ M nghiệm phương trình x− y = Vậy tọa độ M nghiệm hai phương trình x + y = x − y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com §2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Một hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng: c ax + by =  c′ a′x + b′y = (1) ( 2) Trong ax + by = c a′x + b′y = c′ phương trình bậc hai ẩn Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung nghiệm chung gọi nghiệm hệ Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ gọi vơ nghiệm Minh họa hình học Gọi (d) đường thẳng biểu diễn tập nghiệm ax + by = c ( d ′) đường thẳng biểu diễn tập nghiệm a′x + b′y = c′ thì: a) Nếu (d) cắt ( d ′ ) hệ có nghiệm Tọa độ giao điểm nghiệm hệ b) Nếu (d) song song với ( d ′ ) hệ vơ nghiệm c) Nếu (d) trùng với ( d ′ ) hệ vơ số nghiệm Chú ý: Trong chương II ta biết hai đường thẳng = y a′x + b′ có vị trí tương đối y ax + b = sau: a) Nếu a ≠ a′ hai đường thẳng cắt b) Nếu a = a′ b ≠ b′ hai đường thẳng song song với c) Nếu a = a′ b = b′ hai đường thẳng trùng Hệ phương trình tương đương Định nghĩa: Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm BÀI TẬP Chỉ dựa vào phương trình hệ, cho biết số nghiệm hệ phương trình sau giải thích sao:  y= − x a)  y 3x − =  − x+3  y = b)  y = − x +1  2 y = −3 x c)  3 y = x 3 x − y =  d)  1  x − y = Hướng dẫn a) Đường thẳng y = −2 x + có hệ số góc a = −2 = y x − có hệ số góc a′ = Vì a ≠ a′ nên hai đường thẳng cắt Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hệ có nghiệm 1 b) Đường thẳng y = − x + có hệ số góc − có tung độ gốc ≠ nên chúng − x + y = 2 song song với Hệ vô nghiệm −3 c) y = 2x ⇒ y = x −3 x ⇒ y = x;3 y = Vì ≠ − ⇒ hai đường thẳng cắt Dễ thấy hai đường thẳng qua gốc tọa độ O ( 0;0 ) nên hệ có nghiệm ( 0;0 ) d) x − y = ⇒ y = x − 3; x − y = ⇒ y = x − Hai đường thẳng trùng Hệ có vơ số nghiệm Đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau hình học: 2 x − y = a)  −1 x − y = 2 x + y = b)  − x − y = Hướng dẫn 2 x − y = a) Để đoán nhận số nghiệm hệ  phương pháp hình học, ta xét hai đường thẳng −1 x − y = y 2x − y = x − y = −1 , tức vẽ đồ thị hai hàm số = y x − = 1 x+ 2 1  Hai đường thẳng có hệ số góc khác  ≠  nên chúng cắt điểm 2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm −2 x + y = b) Hệ phương trình cho tương đương với hệ   y= x + Hệ số góc hai đường thẳng y = −2 x + y= x + khác ( −2 ≠ 1) nên chúng cắt Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm ln tương đương với Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm ln tương đương với Theo em, ý kiến bạn Nga bạn Phương hay sai? Vì sao? (có thể cho ví dụ minh họa đồ thị) Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com - Ý kiến Nga theo định nghĩa hệ phương trình tương đương, chúng có tập nghiệm tập ∅ - Ý kiến Phương sai Chẳng hạn xét hai hệ: x − y = x + y = ( II )  −8 −2 x + y = 2 x + y = (I ) Cả hai hệ hệ có vơ số nghiệm Cặp ( x; y ) = (1; ) nghiệm hệ (I) Thế vào hệ (II) thì: − ≠ Vậy ( x; y ) = (1; ) nghiệm hệ (II) Do vậy, hai hệ vô số nghiệm không tương đương với Minh họa đồ thị, ta hai đường thẳng khác LUYỆN TẬP Cho hai phương trình: x + y = x + y = a) Tìm nghiệm tổng quát phương trình b) Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình hệ tọa độ xác định nghiệm chung chúng Hướng dẫn x ∈  a) Nghiệm tổng quát phương trình x + y = là:  −2 x + y = Nghiệm tổng quát phương trình x + y = là: x ∈  y= − x+ 2 b) - Đường thẳng xác định phương trình x + y = đồ thị hàm số y= −2 x + Đồ thị qua hai điểm A ( 0; ) ; B ( 2;0 ) - Đường thẳng xác định phương trình x + y = đồ thị hàm số  5 y= − x + Đồ thị qua hai điểm C (1;1) ; D  0;  2  2 Hai đồ thị cắt điểm M ( 3; −2 ) Vậy nghiệm chung hai phương trình x + y = x + y = ( 3; −2 ) Cho hệ phương trình sau: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + 3y = b)  2 y = x = a)  2 x − y = Trước hết đốn nhận số nghiệm hệ phương trình (giải thích rõ lí do), sau giải hệ cho cách vẽ hình Hướng dẫn a) Đồ thị biểu diễn tập nghiệm phương trình x = đường thẳng (d) song song với trục Oy Đồ thị biểu diễn tập nghiệm phương trình y x − có hệ số góc a = Rõ ràng (d) 2x − y = đường thẳng ( d ′ ) = x = ( d ′ ) hai đường thẳng cắt điểm Do hệ  2 x − y = có nghiệm Ta vẽ hệ trục tọa độ Oxy hai đường thẳng ( d ) x = y ( d ′) = 2x − Hai đường thẳng cắt điểm M ( 2;1) x = Vậy nghiệm hệ  ( 2;1) 2 x − y = b) Đường thẳng x + y = − x + có hệ số góc hay y = 3 a= − Đường thẳng y = ⇒ y = song song với trục Ox Hai đường thẳng cắt điểm N ( −4; ) Hệ có nghiệm ( −4; ) Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau, giải thích sao: x + y = a)  3 x + y = 3 x − y = b)  −6 x + y = Hướng dẫn a) Đường thẳng (d) biểu diễn tập nghiệm phương trình x + y = đồ thị hàm số y =− x + có hệ số góc a = −1 tung độ gốc b = Đường thẳng ( d ′ ) biểu diễn tập nghiệm phương trình x + y = đồ thị hàm số y =− x + góc a′ = −1 tung độ gốc b′ = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 có hệ số Website: tailieumontoan.com Vì a = a′ b ≠ b′ nên (d) ( d ′ ) song song với Vậy hệ cho vô nghiệm b) Tương tự trên, ta xét hai đường thẳng= y thẳng y = 3 x − có hệ số góc a = , tung độ gốc b = − đường 2 2 3 x có hệ số góc a′ = , tung độ gốc b′ = Hai đường thẳng song song với 2 Hệ cho vô nghiệm 10 Đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau, giải thích sao: 1  x− y = b)  3  x − y = 2 4 x − y = a)  −1 −2 x + y = Hướng dẫn Xét tương tự a) Xét hai đường thẳng ( d ) : x − y = ⇒ y = x − đường thẳng ( d ′ ) : −2 x + y = x −1 hay y =− Hai đường thẳng trùng Vậy hệ cho có vô số nghiệm b) 2 x− y= ⇒ y= x − ; x − 3y = ⇒ y = x− 3 3 3 Hai đường thẳng trùng Vậy hệ cho có vơ số nghiệm 11 Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt hệ hai phương trình bậc hai ẩn (nghĩa hai nghiệm biểu diễn hai đồ thị phân biệt) ta nói số nghiệm hệ phương trình đó? Vì sao? Hướng dẫn Ta biết tập nghiệm trình biểu diễn đường thẳng Khi có hai nghiệm phân biệt hệ phương trình bậc hai ẩn hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình hệ phải trùng (vì qua hai điểm có đường thẳng nhất) vậy, trường hợp hai phương trình có chung vơ số nghiệm hay hệ vơ số nghiệm Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 π2 r V2 V3 = πr πr = Từ (1) ( ) suy ra: ( 2) V12 = V2 V3 b) Tương tự, ta có diện tích tồn phần hình trụ: S1 = 3πr Diện tích tồn phần hình nón: S2= Diện tích mặt cầu: S3 = 4πr πr Từ ta có: S12 =π 9π r (3 r2 ) = S2 S3 = πr 4πr =9π2 r 4 Vậy: S12 = S2 S3 45 Hình bên mơ tả hình cầu đặt khít vào hình trụ thủy tinh, kích thước cho hình vẽ Hãy tính: a) Thể tích hình cầu b) Thể tích hình trụ c) Thể tích hình trụ trừ thể tích hình cầu d) Thể tích hình nón có bán kính đường trịn đáy r cm chiều cao 2r cm e) Từ kết a, b, c, d tìm mối liên hệ chúng Giải a) Thể tích hình cầu: Vcầu= πr cm ( ) b) Thể tích hình trụ, với bán kính đáy r chiều cao 2r: ( Vtruï = 2πr cm ) (1) c) Vtrụ − Vcầu = 2πr − πr = πr cm 3 ( ) ( 2) d) Thể tích hình nón bán kính đáy r đường cao 2r: Vnón = πr 2r = πr cm 3 ( ) e) Từ (1) ; ( ) ; ( 3) ta có: Vtrụ − Vcầu = Vnón ( 3) BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM A PHẦN ĐẠI SỐ Xét mệnh đề sau: I ( −4 ) ( −25) = −4 −25 ; II III 100 = 10 ; 100 ; ( −4 ) ( −25) = IV 100 = ±10 Những mệnh đề sai? Hãy chọn câu trả lời câu A, B, C, D đây: A Chỉ có mệnh đề I sai B Chỉ có mệnh đề II sai C Các mệnh đề I IV sai D Khơng có mệnh đề sai Trả lời Chọn (C) M = 3−2 − 6+ ; Rút gọn biểu thức: N = 2+ + 2− Giải ) ( = − − ( + ) =−3 a) M = − 2 − + = = −1 − + ( 2 −1 − b) N = + + −  =4 +   2+ ) ( + )( − ) = + 22 − = ⇒ N =6 Giá trị biểu thức A ( 2+ 2+ 2 B ) bằng: 3 C Chọn câu trả lời Trả lời ( ) ( ) ( ) 2 +  + 12 2+ 16  = Ta có:  = ⇒ =   9 2+ 3 2+  2+   Vậy chọn D ( ) D 4 Nếu 2+ x = x bằng: A B C D 49 Chọn câu trả lời Trả lời  + x = 3 = 32 ⇔ + x = ⇔ x = ⇔ x = 49   Chọn D Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:  2+ x x −  x x + x − x −1 −    x + x +1 x −1  x   Giải Với điều kiện x ≥ , x ≠ , biểu thức cho viết thành:   2+ x −   x +1    x −2  x +1 x −1   ( ) ( )( ( + x )( x − 1) − ( = ) x −2 )( x ( )( x +1 )= x −1 x )= x = không phụ thuộc x x +1 x x Cho hàm số = y ax + b Tìm a b, biết đồ thị hàm số cho thỏa mãn điều kiện sau: a) Đi qua hai điểm A (1;3) B ( −1; −1) ; b) Song song với đường thẳng y= x + qua điểm C (1;2 ) Giải a) Điểm A (1;3) thuộc đồ thị nên: = a.1 + b ⇒ b = − a Điểm B ( −1; −1) thuộc đồ thị nên: −1 = a ( −l ) + − a ⇒ a = 2, b = − a = − = l b) Đồ thị hàm số = y ax + b song song với đường thẳng y= x + nên a = Điểm C (1;2 ) thuộc đồ thị nên: = 1.1 + b ⇒ b = Đáp số: a = , b = Cho hai đường thẳng: y = ( m + 1) x + ( d1 ) ; = y 2x + n ( d ) Với giá trị m n thì: a) d1 trùng d ? b) d1 cắt d ? c) d1 song song với d ? Giải a) d1 trùng d ⇔ m + = , n = , nghĩa với m = , n = b) d1 cắt d ⇔ m + ≠ , tức với m ≠ c) d1 / /d ⇔ m + = , n ≠ , tức m = , n ≠ Chứng minh k thay đổi, đường thẳng ( k + 1) x − 2y = qua điểm cố định Tìm điểm cố định Giải Với giá trị k cặp số x = , y = − luôn nghiệm phương trình ( k + 1) x − 2y = Vậy  1 đường thẳng ( k + 1) x − 2y = qua điểm A  0; −  cố định k thay đổi 2  Giải hệ phương trình: 3 x − y = −2 b)  2 x + y = 2x + 3y = 13 a)  3x − y = Giải a) Với y ≥ , hệ phương trình có dạng: 2x= x + 3y 13 2x= + 3y 13 2x= + 3y 13 = ⇔ ⇔ ⇔  = 9x − 3y = 3x − y = 11x 22 = y Với y < , hệ phương trình có dạng: 2x= 2x= − 3y 13 2x= − 3y 13 − 3y 13 ⇔ ⇔  3x − y =3 −9x + 3y =−9 −7x =4  x = ⇔ y =  −4 −33  −4 −33  Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm ( 2;3)  ;   7  b) ĐKXĐ: x ≥ , y ≥ Đặt x= u ≥ , y= v ≥ ta được: 3u − 2v = 3u − 2v = 3u − 2v = −2 −2 −2 ⇔ ⇔  2u + v = + 2v = = 4u 7u  u = ⇔ v = 1( nhaän ) x =u =0 ⇒ x =0, y =v =1 ⇒ y =1 Đáp số x = , y = 10 Giải hệ phương trình: ( x − 1)2 − 2y = b)  3 ( x − 1) + 3y = 2 x − − y − = a)   x − + y − =2 Giải a) ĐKXĐ: x ≥ , y ≥ Đặt x −1 = u ≥ , y − = v ≥ ta − v 2u= −v = 2u= u ⇔ ⇔  = u + v = 3u = v x −1 =1 ⇒ x = , y −1 =1 ⇒ y = Đáp số: x = , y = b) Đặt ( x − l ) =u ≥ , ta có:  u=  − = − + = − u 2y 3u 6y    ⇒ ⇒  3y 3u += 3y 3u += v = −  2 u =( x − 1) = ⇒ x − =±  2 5 Đáp số: 1 + ; −  , 9   2 5 ; −  1 − 9  11 Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tính số sách giá Giải Đặt x số sách giá thứ nhất, y số sách giá thứ hai Điều kiện x, y nguyên dương Ta có hệ phương trình: 450 x + y =    y + 50= ( x − 50 ) Giải hệ phương trình ta được: x = 300 , y = 150 Kết luận số sách giá sách theo thứ tự 300 150 12 Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Giải Gọi x (km/phút), y (km/phút) vận tốc xe lúc lên dốc xuống dốc ta hệ phương trình: 4 40 x + y =   5 + = 41  x y Giải hệ phương trình ta Suy x = 1 = 5, = x y 1 , y= Kết luận: Vận tốc lên dốc 0,2 km/phút, xuống dốc 0,25 km/phút 13 Xác định hệ số a hàm số y = ax , biết đồ thị qua điểm A ( −2;1) Vẽ đồ thị hàm số Giải Thay x = −2 , y = vào công thức hàm số ta được: = a ( −2 ) ⇒ a = Bạn tự vẽ đồ thị hàm số y = x 14 Gọi x1 , x hai nghiệm phân biệt phương trình 3x − ax − b = Tổng x1 + x bằng: A − a B a C b D − b Chọn câu trả lời Giải Chọn B 15 Hai phương trĩnh: x + ax + = x − x − a = có nghiệm thực chung a bằng: A B C D Chọn câu trả lời Giải Điều kiện để hai phương trình có nghiệm a ≥ Thử thấy a = hai phương trình có nghiệm chung x = −1 Chọn C 16 Giải phương trình: b) x ( x + l )( x + )( x + ) = 12 a) 2x − x + 3x + =; Giải a) Phân tích vế trái thành nhân tử: 2x − x + 3x + = ( 2x + 2x ) − ( x + x ) + ( x + 1) = 2x ( x + 1) − 3x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( 2x − 3x + ) ⇒ 2x − x + 3x + = ⇒ ( x + 1) = 2x − 3x + = Phương trình 2x − 3x + = vơ nghiệm, phương trình x + = có nghiệm x = −1 Vậy phương trình cho có nghiệm X = -1 b) x ( x + 1)( x + )( x + ) = 12 ⇔ ( x + 5x )( x + 5x + ) − 12 = ⇔  x ( + 5x ) + ( x + 5x ) − 12 = Đặt x + 5x = t , ta được: t + 4t − 12 =0 ⇒ t =−6 t = Giải phương trình x + 5x = −6 ta được: x1 = −2 , x = −3 Giải phương trình x + 5x = ta được: x = −5 + 33 −5 − 33 , x4 = 2 −5 + 33 −5 − 33   Tập nghiệm phương trình cho là: −2; −3; ;  2   17 Một lớp học có 40 học sinh xếp ngồi ghế băng Nếu ta bớt ghế băng ghế cịn lại phải xếp thêm học sinh Tính số ghế băng lúc đầu Giải Cách Đặt x số học sinh ngồi ghế băng lúc đầu Điều kiện x ngun dương Ta có phương trình: 40 40 − =⇒ x1 = 4, x = −5 (loại) x x +1 Suy số ghế lúc ban đầu 10 ghế Cách Đặt x số ghế băng lúc ban đầu Điều kiện x nguyên dương Ta có phương trình: 40 40 +1 = ⇒ x1 =10, x =−8 (loại) x x−2 Vậy số ghế lúc ban đầu 10 18 Cạnh huyền tam giác vng 10cm Hai cạnh góc vng có độ dài 2cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng Giải Gọi cạnh góc vng nhỏ có độ dài x (cm) Điều kiện x > Ta có: x + ( x + 2) = 102 ⇒ x1 = 6, x = −8 (loại) Vậy cạnh góc vng tam giác có độ dài 6cm, 8cm B PHẦN HÌNH HỌC Chu vi hình chữ nhật ABCD 20cm Hãy tìm giá trị nhỏ độ dài đường chéo AC Giải Gọi AB = x , AD = y , ta có x > , y > 10 x + y =  2 AC2 x + y = AC2 = x + y = ( x + y ) − 2xy = 100 − 2xy ≤ 100 2 Từ hệ thức AC = 100 − 2xy , ta nhận thấy AC nhỏ tích xy lớn Hai số dương x, y có tổng x + y = 10 khơng đổi nên tích chúng xy lớn x= y= Lúc AC2 = 52 + 52 ⇒ AC = ( cm ) Chú ý: AC đạt giá trị nhỏ ABCD hình vng, cạnh 5cm = 45° , C = 30° Nếu AC = AB bằng: Tam giác ABC có B A B C D Chọn câu trả lời Giải = 30° , Kẻ đường cao AH Tam giác vuông AHC có AC = , C  ⇒ AH = = cho ta AH = ACsin C = 45° nên Trong tam giác vng AHB, có AH = B AB = AH ⇒ AB = = =4 sin B 2 Vậy B Cho tam giác ABC vuông C có trung tuyến BN vng góc với trung tuyến CM, cạnh BC = a Tính độ dài trung tuyến BN Giải Ta có: CM = a a ,= GM = CM a a Trong tam giác vng BGM BG = BM − GM =   −   2 6 2 2 8a a ⇒ BG = ⇒ BG = 36 BN = 3 a a BG ⇒ BN = ⇒ BN = 2 Tam giác ABC vng C có sin A = A B tgB : C D Chọn câu trả lời Giải ∆ABC vuông C nên A B hai góc phụ nhau, cho ta cos B = sin A ⇒ cos B = sin B =1 − cos B ⇒ sin B =1 − 5 = ⇒ sin B = 9 sin B tgB = = ⇒ tgB = cos B Vậy D Tam giác ABC vng C có AC = 15cm Đường cao CH chia AB thành hai đoan AH HB Biết HB = 16cm , tính diện tích tam giác ABC Giải Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AC2 = AH.AB = AC2 AH ( AH + 16 ) ⇒ = 225 AH + 16AH ⇒ AH + 16AH − 225 = 0  (1) Phương trình (1) có ∆′ =289 , có hai nghiệm –25 Ta nhận giá trị dương, AH =⇒ AB = 25 BC2 = AB2 − AC2 = 252 − 152 = 400 ⇒ BC = 20 = SABC = AC.BC 150 ( cm ) Một hình chữ nhật cắt đường trịn hình vẽ Biết AB = , BC = , DE = với đơn vị đo Độ dài EF bằng: A B C 20 D Chọn câu trả lời Giải Kẻ EH ⊥ AC , BK ⊥ EF , CI ⊥ EF Ta có EK = − = Do tính chất đối xứng, ta có EK = IF ⇒ IF = BCIK hình chữ nhật: KI = BC = Vậy EF = EK + KI + IF = l + + l = Vậy B Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động D = 60° E cho DOE a) Chứng minh tích BD.CE khơng đổi  b) Chứng minh ∆BOD ∽ ∆OED Từ suy tia DO tia phân giác ADE c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE Giải a) Ta có:  +O  +O  = 180° O ⇒  +O  = 120° O (1)  +B  +O  = 180° D 1  +D  = 120° O 1 ⇒ ( 2)  =O  hay BDO  = COE  Từ (1) ( ) suy D Hai tam giác BOD CEO có  = COE  BDO = OCE =( 60° ) nên ∆BOD ∽ ∆CEO DBO BD CO  BC  ⇒ = ⇒ BD.CE = BO.CO =   = không đổi BO CE   b) Từ ∆BOD ∽ ∆CEO , ta có: OD BD OD BD hay (vì BO = CO ) = = OE OC OE BO = EOD =( 60° ) Suy ∆BOD ∽ ∆OED Kết hợp với DBO  = ODE  Từ ∆BOD ∽ ∆OED ta suy BDO hay OD phân giác góc BDE c) Kẻ OK ⊥ BD OH ⊥ DE Vì OD phân giác góc BDE nên OK = OH Đường tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB K, bán kính OK Do OH = OK nên H nằm đường tròn Mặt khác DE ⊥ OH chứng tỏ DE tiếp tuyến đường tròn điểm H Vậy đường trịn tâm O tiếp xúc với AB ln tiếp xúc với DE Cho hai đường tròn ( O, R ) ( O′, r ) tiếp xúc ( R > r ) Hai tiếp tuyến chung AB A′B′ hai đường tròn ( O ) , ( O′ ) cắt P (A A′ thuộc đường tròn ( O′ ) , B B′ thuộc đường tròn ( O ) ) Biết PA = AB = 4cm Tính diện tích hình trịn ( O′ ) Giải Ta có: Kẻ O′K ⊥ OB ⇒ KB = O′A = r ′K AB O= = O′A PA r = ⇒ = ⇒ R = 2r OB PB R Từ đây, ta có: OO′ = R + r = 3r OK = R − r = r Trong tam giác vuông OKO′ thì: OO′2 − OK = O′K ⇒ 9r − r = 16 ⇒ r = Diện tích hình trịn tâm O′ là: πr =2π ( cm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O′ ) ngoại tiếp đường tròn ( O ) Tia AO cắt đường trịn ( O′ ) D Ta có: A CD = BD = O′D B AO = CO = OD C CD = CO = BD Hãy chọn câu trả lời Giải  Tia AO phân giác góc BAC  =A  ⇒ BD  =CD  A ⇒ CD = BD (1) O tâm đường tròn nội tiếp nên BO phân giác góc B, cho  =B  Mặt khác B  =A  (cùng chắn cung DC) ta B  =B  +B  =B  +A  hay OBD   +A  Vì OBD = B 1  góc ngồi ∆AOB nên BOD   +A  Góc BOD = B 1  = BOD  hay ∆BOD cân D, cho ta Từ suy OBD D CD = OD = BD BD = OD ( 2) Từ (1) ( ) suy CD = OD = BD Vậy D 10 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo x + 75° , 2x + 25° , 3x − 22° Một góc tam giác ABC có số đo là: A 57°5 B 59° C 61° D 60° Chọn câu trả lời Giải  + sđBC  + sđCA = Ta có: sđAB 360° ⇒ x + 75° + 2x + 25° + 3x − 22= ° 360° ⇒ 6x= 282° ⇒ x= 47° Ta tính x + 75= ° 47 + 75= 122° Góc nội tiếp chắn cung 122° 61° Vậy C 11 Từ điếm P ngồi đường trịn ( O ) ta kẻ hai cát tuyến PAB PCD tới đường tròn Gọi Q = 42° sđQD = 38° Tính tổng điểm nằm cung nhỏ BD khơng chứa A C cho sđBQ  + AQC  BPD Giải  = sđAC  Ta có: AQC (  sđBD  − sđAC  BPD =  − BPD  ⇒ AQC )    = 40° sđBD = D + AQC ( 42° + 38° ) ⇒ BP 2 12 Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn ? Giải Gọi cạnh hình vng a chu vi hình vng 4a diện tích hình vng a Gọi r bán kính hình trịn chu vi hình trịn 2πr diện tích πr Giả thiết cho 2πr= 4a ⇒ a= πr π2 r π  πr  Diện tích hình vng tính theo r là:  = πr = 4  2 π2 r π Vì π < nên < Suy < πr 4 Vậy hình trịn có diện tích lớn 13 Cho đường tròn ( O ) , cung BC có số đo 120°, điểm A di chuyển cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Hỏi điểm D di chuyển đường nào? Giải = sđBC = 60° Ta có: BAC =  + CDB  =° BAC ACD 60 (1)  = CDB , Vì AD = AC , suy ACD = 60° ⇒ CDB = 30° từ (1) suy ra: 2CDB = 30° không đổi Vậy D chạy cung chứa góc B, C cố định, góc CDB 30° dựng BC A chạy cung lớn BC = 60° , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác 1cm 14 Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm , A Giải = 60° đường trịn nội tiếp ( I;1cm ) tiếp xúc Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC có BC = 4cm , A với cạnh BC E IE ⊥ BC , IE = 1cm Vậy I nằm đường thẳng song song với BC cách BC khoảng cách 1cm ( ) (   + ICB = 180° − B  +C  Mặt khác: BIC = 180° − IBC ( ) ) = 180° −  180° − A = 180° − (180° − 60°=) 120° Vậy I nằm cung chứa góc 120° dựng BC Cách dựng: – Dựng đoạn thẳng BC = 4cm – Dựng đường thẳng d song song với BC cách BC khoảng cách 1cm – Dựng cung chứa góc 120° BC Đường thẳng d cắt cung chứa góc điểm I – Dựng đường trịn tâm I, bán kính 1cm Đường trịn tiếp xúc với BC điểm E – Từ B C dựng tiếp tuyến với đường tròn ( I ) Các tiếp tuyến cắt điểm A Tam giác ABC tam giác cần dựng 15 Tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O ) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC tia AB D E Chứng minh: a) BD = AD.CD b) Tứ giác BCDE tứ giác nội tiếp c) BC song song với DE Giải  =B  (cùng chắn cung BC) a) Ta có A Hai tam giác ABD BCD có:  =B  D  chung A ∆ABD ∽ ∆BCD ⇒ BD CD = AD BD ⇒ BD = AD.CD  =C  (cùng chắn cung BC) b) Ta có A =  ⇒ ABD =  Suy B C ACE 1  chung AB = AC , suy Kết hợp với A =  ∆ABD = ∆ACE ⇒ BDC BEC Hai điểm D E nhìn hai điểm B, C góc Suy bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn c) Từ ∆ABD = ∆ACE ⇒ AD = AE ⇒ ∆ADE cân đỉnh A  = AED  ⇒ ED / /BC ⇒ ABC 16 Một mặt phẳng chứa trục OO′ hình trụ, phần mặt phẳng nằm hình trụ hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Giải Xét hai trường hợp: a) V = π (1,5 ) = 4,5π ( cm3 ) S= 2.π.1,5.2 = 6π ( cm ) b) V = π.12.3 = 3π ( cm3 ) S =π .1.3 =π ( cm ) 17 Khi quay tam giác ABC vng A vịng quanh cạnh góc vng AC cố định, ta hình nón = 30° Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Biết BC = 4dm , ACB Giải Ta có: Đường sinh=l BC = 4dm Bán kính đáy= r AB = CB.sin 30= ° 4.= 2 Đường cao = h CA = CB.cos 30= ° = Vậy: Sxq = π.2.4 = 8π 1 3π V = πr h = π.22.2 = 3 18 Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị: m số đo thể tích (đơn vị: m3 ) Tính bán kính hình cầu, diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Giải Gọi R bán kính hình cầu, ta có: πR =4πR ⇒ R =3 ( m ) ( ) ( ) = 36π ( m ) ≈ 113 ( m ) Scaàu = 36π m ≈ 113 m Vcaàu 3