http //ipt hcmute edu vn Bộ môn vật lý 1 Chương 21 Thuyết động học chất khí Mô hình phân tử của khí lý tưởng Mô hình khí lý tưởng Một số giả thiết đơn giản hóa tính chất của một hệ khí lý tưởng Chất[.]
http://ipt.hcmute.edu.vn Bộ môn vật lý Chương 21: Thuyết động học chất khí Mơ hình phân tử khí lý tưởng Mơ hình khí lý tưởng Một số giả thiết đơn giản hóa tính chất hệ khí lý tưởng: Chất khí bao gồm số lớn phân tử Mỗi phân tử có khối lượng kích thước bỏ qua so với khoảng cách trung bình phân tử Chuyển động phân tử cá thể mô tả học Newton Phân tử chuyển động tự trừ va chạm với phân tử khác hay với thành bình chứa Tất va chạm xem đàn hồi Bỏ qua tương tác phân tử khí Liên hệ áp suất động phân tử Xét hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử (phân tử khí có ngun tử) Để xây dựng mối liên hệ áp suất khí động phân tử khí, ta dựa việc khảo sát chuyển động phân tử khí va chạm đàn hồi với thành bình (hình 21.1) Giả sử phân tử chuyển động mặt phẳng xy (hình 21.2) Các biến đổi toán học dẫn được: 𝑃= 𝐹 𝑁 ̅̅̅2 = ( ) 𝑚0 𝑣 𝐴 𝑉 (21.1) Hay 𝑃𝑉 = 𝑁 ( 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 2) (21.2) Với P áp suất khí, V thể tích khí, N số phân tử hệ, 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 động tịnh tiến trung bình phân tử khí Hình 21.1: Một hộp hình lập phương cạnh d chứa phân tử khí lý tưởng Phương trình (21.1) cho thấy áp suất tỉ lệ với: Số phân tử đơn vị thể tích (N/V) Động tịnh tiến trung bình phân tử Như vậy, có cách làm tăng áp suất khí tăng số phân tử đơn vị thể tích tăng tốc độ (động năng) phân tử, tăng nhiệt độ khí Diễn giải nhiệt độ theo góc độ phân tử Ta so sánh áp suất tìm từ động áp suất phương trình trạng thái khí lý tưởng: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh 𝑃𝑉 = 2021 ̅̅̅2 ) = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 𝑁 ( 𝑚𝑣 Suy ra: 𝑇= ( 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 2) 3𝑘𝐵 (21.3) Phương trình 21.3 cho thấy nhiệt độ số đo trực tiếp động phân tử trung bình Từ phương trình (21.3) ta suy mối liên hệ: Hình 21.2: Phân tử khí va chạm đàn hồi với thành bình Giả sử chúng với động tịnh tiến trung bình phân tử 𝑘𝐵 𝑇 chuyển động mặt phẳng xy Khi xét chiều khơng gian ta có ̅̅̅ 𝑣𝑥2 = ̅̅̅ 𝑣 Từ suy động tịnh tiến cho chiều không gian là: 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 = 𝑘𝐵 𝑇 (21.4) ̅̅̅2 𝑚𝑣𝑥 = 𝑘𝐵 𝑇 (21.5) 2 Vì vậy, bậc tự tịnh tiến phân tử khí đóng góp lượng lượng ½kBT cho lượng hệ Một cách tổng quát, lý thuyết phân bố lượng hệ khí sau: Mỗi bậc tự đóng góp ½kBT cho lượng hệ, bậc tự liên quan đến chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay dao động phân tử Cuối cùng, ta tính tổng động tịnh tiến N phân tử: 3 𝐾𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑁 ( 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 ) = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 = 𝑛𝑅𝑇 2 Với 𝑘𝐵 = 𝑅 𝑁𝐴 số Boltzmann 𝑛 = 𝑁 𝑁𝐴 (21.6) số mol khối khí Tốc độ quân phương (Root-Mean-Square speed - rms): 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √̅̅̅ 𝑣2 = √ 3𝑘𝐵 𝑇 3𝑅𝑇 =√ 𝑚0 𝑀 (21.7) với 𝑀 = 𝑚0 𝑁𝐴 khối lượng chất khí 𝑚0 khối lượng mol chất khí Câu hỏi 21.1: Hai bình chứa loại khí lý tưởng nhiệt độ, áp suất, thể tích bình B gấp đơi bình A (i) Động tịnh tiến trung bình phân tử khí bình B so với bình A (a) gấp đôi, (b) bằng, (c) nửa, (d) không xác định (ii) Cùng lựa chọn (i), so sánh nội hệ khí bình B so với bình A http://ipt.hcmute.edu.vn Bộ mơn vật lý Bảng 21.1: Tốc độ quân phương số phân tử khí Bài tập mẫu 21.1: Một bong bóng chứa đầy lượng mol khí heli tích 0,3 m3 nhiệt độ 20oC Giả sử hệ khí xem khí lý tưởng (A) Tính tổng động tịnh tiến hệ khí (B) Tính động trung bình phân tử? Giải: (A) Bởi khí xem khí lý tưởng, phân tử chuyển động khơng ngừng bình chứa Tốc độ chuyển động phân tử nhanh nhiệt độ cao Áp dụng phương trình (21.6) với số mol hệ khí n = mol, T = (273 + 20) = 293 K, ta tính tổng động tịnh tiến hệ khí: 3 2 𝐾𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑛𝑅𝑇 = × × 8,31 × 293 = 7,3 × 103 𝐽 (B) Áp dụng hệ thức (21.4) ta tính động trung bình phân tử: 3 2 𝑚0 ̅̅̅ 𝑣 = 𝑘𝐵 𝑇 = × 1,38 × 10−23 × 293 = 6,07 × 10−21 𝐽 Sự phân bố lượng Hình 21.3: Số bậc tự khối khí lý tưởng đơn nguyên tử (i = 3), hai nguyên tử (i = 5) ba nguyên tử trở lên (i = 6) Số bậc tự phân tử khí i Từ lý thuyết phân bố lượng hệ khí trình bày trên, ta phân tích cụ thể số bậc tự hệ khí bất kỳ: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh 2021 Khí đơn ngun tử (phân tử khí có nguyên tử): ví dụ phân tử khí heli, neon, argon… Các phân tử khí đơn nguyên tử chuyển động tịnh tiến theo ba trục tọa độ xyz, chuyển động tịnh tiến có động tương ứng ½kBT Chuyển động quay phân tử khí đơn nguyên tử ứng với trục quay qua khối tâm phân tử khí có lượng khơng đáng kể Tóm lại, phân tử khí đơn ngun tử có số bậc tự i = Khí hai nguyên tử (hay lưỡng ngun tử phân tử khí có hai nguyên tử): ví dụ khí oxy, nito… Các phân tử khí lưỡng ngun tử có ba chuyển động tịnh tiến hai chuyển động quay quanh hai trục không qua hai nguyên tử phân tử (một trục quay qua hai nguyên tử phân tử có lượng không đáng kể), chuyển động tương ứng động ½kBT Tóm lại, phân tử khí lưỡng nguyên tử có số bậc tự i = Khí đa ngun tử (phân tử khí có ba nguyên tử trở lên): Các phân tử khí đa nguyên tử có chuyển động tịnh tiến chuyển động quay quanh trục, chuyển động tương ứng động ½kBT Tóm lại, phân tử khí đa nguyên tử có số bậc tự i = Tuy nhiên phân tử đa nguyên tử, nhiều trường hợp i có giá trị lớn có thêm lượng dao động nguyên tử, phân tử Nội khí lý tưởng Nội hệ khí lượng bên hệ bao gồm động phân tử (năng lượng chuyển động tự phân tử), tương tác phân tử lượng bên phân tử, nguyên tử Đối với khí lý tưởng, ta bỏ qua tương tác phân tử lực tương tác phân tử yếu Ngồi ra, khơng xét đến trình biến đổi diễn phân tử Hình 21.4: Một chất khí Tóm lại, nội khí lý tưởng tổng động lý tưởng biến đổi từ trạng phân tử hệ khí Từ phương trình (21.6) khái niệm số bậc thái có nhiệt độ Ti đến Tf tự phân tử khí, ta có biểu thức tính nội khí lý q trình khác tưởng là: 𝑖 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝑅𝑇 (21.8) Phương trình (21.8) cho thấy nội khí lý tưởng phụ thuộc vào nhiệt độ hệ khí Nhiệt độ biến trạng thái, nội hàm trạng thái Độ biến thiên nội hệ khí lý tưởng hệ khí thay đổi lượng nhiệt ∆𝑇 là: 𝑖 (21.9) ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝑅 ∆𝑇 Ví dụ vài trình làm thay đổi nhiệt độ khối khí lý tưởng hình 21.4 Cả ba trình làm thay đổi lượng nhiệt ∆𝑇 = 𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 Do ∆𝑇 http://ipt.hcmute.edu.vn Bộ mơn vật lý trình nên Eint Tuy nhiên công thực chất khí khác đường nhiệt lượng tương ứng với đường biến đổi khơng giống Bởi cơng nhiệt lượng hàm trình, trình biến đổi khác chúng khác Nhiệt dung phân tử (nhiệt dung mol) khí lý tưởng Giả sử khối khí lý tưởng biến đổi từ trạng thái i có thơng số (Pi, Vi, Ti) sang trạng 𝑚 thái f (Pf, Vf, Tf) có khối lượng m, phân tử gam M suy số mol khối khí 𝑛 = Xét 𝑀 số trình đặc biệt thường xảy sau: Q trình đẳng tích: q trình thể tích khí khơng đổi Vi = Vf, đồ thị đường thẳng đứng hình 21.5 Nhiệt lượng trao đổi q tình đẳng tích là: 𝑄 = 𝑛𝐶V ∆𝑇 (21.10) với CV nhiệt dung mol đẳng tích Cơng thực q trình 𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 = Vi = Vf dV = Áp dụng nguyên lý nhiệt động lực học ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑊 + 𝑄 cho q trình đẳng tích ta có: 𝑖 𝑛 𝑅 ∆𝑇 = + 𝑛𝐶V ∆𝑇 Suy nhiệt dung mol đẳng tích: Hình 21.5: Năng lượng truyền nhiệt cho hệ khí theo cách 𝑖 𝑅 (21.11) Quá trình đẳng áp: trình áp suất khí khơng đổi Pi = Pf, hình 21.5 đường thẳng nằm ngang 𝐶V = Nhiệt lượng trao đổi trình 𝑄 = 𝑛𝐶P ∆𝑇 (21.12) với CP nhiệt dung mol đẳng áp Cơng thực q trình 𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 = −𝑃 ∫ 𝑑𝑉 = 𝑃(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 ) Áp dụng nguyên lý nhiệt động lực học ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑊 + 𝑄 cho trình đẳng tích: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh 2021 𝑖 𝑛 𝑅 ∆𝑇 = 𝑃(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 ) + 𝑛𝐶P ∆𝑇 Cộng thêm từ phương trình trạng thái khí lý tưởng 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 thay vào phương trình trên, ta được: 𝑖 𝑛 𝑅 ∆𝑇 = 𝑛𝑅(𝑇𝑖 − 𝑇𝑓 ) + 𝑛𝐶P ∆𝑇 Hay 𝑖 𝑛 𝑅 ∆𝑇 = −𝑛𝑅∆𝑇 + 𝑛𝐶P ∆𝑇 Suy nhiệt dung mol đẳng áp: 𝑖 𝑅 + 𝑅 = 𝐶𝑉 + 𝑅 (21.13) Quá trình đẳng nhiệt: trình nhiệt độ khối khí khơng đổi Ti = Tf, đồ thị đường cong thừ f f’ hình 21.5 𝐶P = Độ biến thiên nội trình đẳng nhiệt ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = ∆𝑇 = Cơng thực q trình là: 𝑊 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉 = − ∫ 𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉 𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇 ∫ 𝑉 𝑉 Suy ra: 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 𝑉𝑖 𝑉𝑓 (21.14) Áp dụng nguyên lý nhiệt động lực học ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑊 + 𝑄 để xác định nhiệt lượng trao đổi trình đẳng nhiệt: = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 𝑉𝑖 +𝑄 𝑉𝑓 Suy ra: 𝑉𝑓 𝑉𝑖 (21.15) 𝐶𝑃 𝑖+2 = 𝐶𝑉 𝑖 (21.16) 𝑄 = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 Tỉ số nhiệt dung phân tử Ta định nghĩa tỉ số nhiệt dung phân tử: 𝛾= với 𝐶𝑉 = 𝑖 𝑅, 𝐶𝑃 = 𝐶𝑉 + 𝑅 = 𝑖+2 𝑅 http://ipt.hcmute.edu.vn Bộ môn vật lý Bảng 21.2: Tỷ số nhiệt dung phân tử số chất khí Câu hỏi 21.2: (i) Nội khí lý tưởng thay đổi từ trạng thái i đến f hình 21.5 (a) nội tăng, (b) nội giảm, (c) nội không đổi (d) không đủ thông tin để xác định nội (ii) Cùng lựa chọn phần (i), nội thay đổi hệ khí biến đổi từ f f’ hình 21.5 Bài tập mẫu 21.2: Một xylanh chứa mol khí lý tưởng heli 300 K (A) Khối khí nung nóng đẳng tích, tính nhiệt lượng truyền cho khối khí để làm tăng nhiệt độ lên 500K (B) Khối khí nung nóng đẳng áp, tính nhiệt lượng truyền cho khối khí để làm tăng nhiệt độ lên 500K Giải: He khí đơn ngun tử nên ta có i = (A) Nhiệt lượng truyền cho khối khí để làm tăng nhiệt độ lên 500K q trình đẳng tích là: 𝑖 2 𝑄1 = 𝑛𝐶V ∆𝑇 = 𝑛 𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) = × × 8,31 × (500 − 300) = 7,5 × 103 𝐽 (B) Nhiệt lượng truyền cho khối khí để làm tăng nhiệt độ lên 500K trình đẳng áp là: 𝑄2 = 𝑛𝐶P ∆𝑇 = 𝑛 𝑖+2 𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) = × × 8,31 × (500 − 300) = 12,5 × 103 𝐽 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh 2021 Q trình đoạn nhiệt cho khí lý tưởng Nhiều trình quan trọng diễn nhanh phần nhiệt thêm vào cho hệ không đáng kể, q trình đoạn nhiệt Nếu chất khí lý tưởng thực trình đoạn nhiệt chuẩn tĩnh, chất khí qua chuỗi trạng thái cân biểu diễn đường cong giản đồ p-V Ta xét bước vô nhỏ trình đoạn nhiệt dQ = Áp dụng định luật thứ cho trình đoạn nhiệt: 𝑑𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 = −𝑃𝑑𝑉 Lấy vi phân phương trình trạng thái khí lý tưởng: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ta có 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 = 𝑛𝑅𝑑𝑇 Khử dT n từ biểu thức trên, được: 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 = − Hình 21.6: Đường biểu diễn trình đoạn nhiệt 𝑅 𝑃𝑑𝑉 𝐶𝑉 Thay R = CP – CV chia PV: 𝑑𝑉 𝑑𝑃 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 ) 𝑑𝑉 = −(1 − 𝛾 )𝑑𝑉 + = −( 𝑉 𝑃 𝐶𝑉 Hay 𝑑𝑃 𝑑𝑉 +𝛾 =0 𝑃 𝑉 Đối với biến đổi lớn P V, ta thực lấy tích phân hai vế: 𝑙𝑛𝑃 + 𝛾𝑙𝑛𝑉 = constant Tương dương với: 𝑃𝑉 𝛾 = constant (21.17) 𝑇𝑉 𝛾−1 = constant (21.18) Hay Phương trình (21.17) (21.18) phương trình biểu diễn mối liên hệ thơng số trạng thái q trình đoạn nhiệt Tóm lại q trình đoạn nhiệt ta có: 𝑄 = 0, 𝑖 ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑊 = 𝑛 𝑅 ∆𝑇 http://ipt.hcmute.edu.vn Bộ môn vật lý Bài tập mẫu 21.3: Trong xy lanh động diesel chứa lượng khơng khí áp suất thể tích ban đầu atm, 800 cm3 nén đoạn nhiệt cho thể tích cịn 60 cm3 Giả sử khí xem khí lý tưởng, 𝛾 = 1,4 Tính áp suất trạng thái lúc sau khối khí Giải Khối khí thực q trình nén đoạn nhiệt từ trạng thái đầu Pi = atm, Vi = 800 cm3 đến trạng thái sau có Vf = 60 cm3 Áp dụng phương trình (21.7) ta tính áp suất trạng thái lúc sau là: 𝛾 𝛾 𝑃𝑉 𝛾 = constant ↔ 𝑃𝑖 𝑉𝑖 = 𝑃𝑓 𝑉𝑓 Suy ra: 𝛾 𝑃𝑓 = 𝑃𝑖 𝑉𝑖 𝛾 𝑉𝑓 = 1×8001,4 601,4 = 37,6 𝑎𝑡𝑚 Câu hỏi lý thuyết chương 21 Tại nhiệt độ, lượng lượng mol khí lưỡng nguyên tử lại lớn khí đơn nguyên tử? Cái đậm đặc hơn: khơng khí khơ, hay khơng khí bão hịa với nước? Giải thích Một thùng chứa đầy khí heli bình khác chứa khí argon Cả hai thùng chứa nhiệt độ Những phân tử có tốc độ hiệu dụng vrms cao hơn? Giải thích Bài tập chương 21 Trong khoảng thời gian 30 s, 500 cục mưa đá cơng tới bề mặt cửa sổ làm kính có diện tích 0,6 m2 theo góc 450 Mỗi cục mưa đá có khối lượng g tốc độ m/s Giả sử va chạm đàn hồi, tìm (a) lực trung bình (b) áp suất trung bình lên cửa sổ khoảng thời gian ĐS: 0,94 N; 1,57 Pa Một bình lít chứa khí nitơ 27°C atm Tìm (a) tổng động chuyển động tịnh tiến phân tử khí (b) động trung bình phân tử ĐS: 2,3 kJ; 6,2.10-21 J Trong trình đẳng tích, 209 J nhiệt lượng truyền tới mol khí đơn nguyên tử trạng thái lý tưởng, ban đầu 300 K Tìm (a) cơng thực khí, (b) độ tăng nội khí, (c) nhiệt độ cuối ĐS: 0; 209 J; 317 K Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh 2021 Cho 1mol khí hydro nung nóng áp suất khơng đổi từ 300 K đến 420 K Tính (a) nhiệt lượng khí nhận được, (b) độ tăng nội nó, (c) cơng khí thực ĐS: 3,46 kJ; 2,45 kJ; -1,01kJ Một xylanh đứng với piston nặng phía có chứa khối khơng khí (xem khí lưỡng nguyên tử) 300 K Áp suất khí ban đầu 2.105 Pa, thể tích ban đầu 0,35 m3 Khối lượng mol khơng khí 28,9 g/mol (a) Tính nhiệt dung riêng đẳng tích khối khí theo đơn vị kJ/kg.oC (b) Tính khối lượng khối khí xylanh (c) Giả sử piston giữ cố định, hỏi cần truyền cho khối khí lượng để khí tăng nhiệt độ lên 700 K (d) Giả sử piston tự dịch chuyển, hỏi cần truyền cho khối khí lượng để khí tăng nhiệt độ lên 700 K ĐS: 0,719 kJ/kg.oC; 0,811 kg; 233 kJ; 327 kJ (giả sử đẳng áp) Tính cơng cần thiết để nén mol khơng khí 200C 1atm đến phần mười thể tích ban đầu (a) trình đẳng nhiệt? (b) trình đoạn nhiệt? (c) Tính áp suất cuối q trình đẳng nhiệt? (d) Tính áp suất cuối q trình đoạn nhiệt? ĐS: 28 kJ; 46 kJ; 10 atm; 25,1 atm Trong q trình sinh cơng động tơ bốn thì, Piston chuyển động xuống cylinder (xi-lanh) tạo khoảng không cylinder để chứa nhiên liệu phun sương từ chế hồ khí Xem nhiên liệu gồm hỗn hợp sản phẩm đốt khơng khí Chúng thực q trình giãn đoạn nhiệt Giả sử (1) động chạy tốc độ 2500 vòng/phút; (2) áp suất đo trước giãn nở 20 atm; (3) thể tích hỗn hợp trước sau giãn nở 50 cm3 400 cm3, tương ứng (Hình P21.31); (4) khoảng thời gian cho việc giãn nỡ phần tư tổng chu kỳ; (5) hỗn hợp hoạt động loại khí lý tưởng với tỷ lệ nhiệt cụ thể 1,4 Tìm cơng suất trung bình tạo q trình sinh cơng ĐS: 25 kW 10