Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” 111Equation Chapter Section 1SỞ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn thi: Tốn (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên Câu (2,0 điểm) x2 P 5x 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức y m x m 1 m 0 m 2) Tìm tất giá trị tham số để đường thẳng đường thẳng y 9 x song song 3) Tính diện tích tam giác ABC cạnh 3cm 4) Tính thể tích hình nón có đường sinh 5cm bán kính đáy 3cm x2 x 1 x x 25 x Q x x x x x 1 x x Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ Câu (2,5 điểm) 2 1) Cho phương trình x 2m 1 x m 0 1 m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có nghiệm b) Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2) Giải phương trình : x x x x 0 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AP Các đường cao BE , CF cắt H 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp AE AC AF AB 2) Gọi K , I trung điểm EF , AH Chứng minh IK / / AP 3) Gọi M giao điểm IK , BC , N giao điểm MH với cung nhỏ AC đường tròn O Chứng minh HMC HAN Câu (1,0 điểm) Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” 8 x y y 3 x y 1 13 x y2 1) Giải hệ phương trình 1 2021 x , y , z x y z 2) Cho số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 2021 x xy y y yz z z zx x ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 1O CHUYÊN NAM ĐỊNH 2021 – 2022 TOÁN CHUYÊN – DÀNH CHO TỰ NHIÊN Câu x2 P 5x 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức x2 1 P x x ( x 0) x xác định Biểu thức x2 1 P x x xác định Vậy biểu thức y m x m 1 m 0 m 2) Tìm tất giá trị tham số để đường thẳng đường thẳng y 9 x song song Đường thẳng y m x m 1 m 0 y 9 x song song với m 9 m Vậy m m 3 m m 3 3) Tính diện tích tam giác ABC cạnh 3cm Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” A B C H 1 BC BH CH BC cm 2 Gọi H trung điểm Vì ABC nên AH BC (trung tuyến đồng thời đường cao) Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ABH ta có : AH AB BH 3 12 9 AH 3cm 1 S ABC AH BC 3.2 3 cm 2 Vậy 4) Tính thể tích hình nón có đường sinh 5cm bán kính đáy 3cm Hình nón cho có đường sinh l 5cm bán kính đáy R 3cm 2 2 Chiều cao hình nón : h l R 16 4(cm) 1 V R h 32.4 12 (cm2 ) 3 Vậy thể tích khối nón: Câu 1) Rút gọn biểu thức Q Với x 0, x 1 Ta có : Đề thi tuyển sinh 10_Tốn_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” x2 x 1 x x 25 x Q x x x x x x x 1 x2 x 1 x 1 x 25 x x x x x1 x 1 x x 1 x x 1 x 25 x x x x x 1 x 1 x x 25 x x x 25 x x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x 25 x 25 Q x x x 1 x x 1 x x 1 Q x 25 x Vậy với x 0, x 1 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ Q x 25 25 CO SI x x x Ta có : Vậy MinQ 10 x 25 x 25 10 x 25(tm) x Câu 2 1) Cho phương trình x 2m 1 x m 0 1 m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có nghiệm Phương trình 1 có nghiệm : 0 2m 1 m 3 0 4m 4m 4m 12 0 11 4m 11 0 m 11 m phương trình cho có nghiệm Vậy với Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” b) Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt : 2m 1 m2 3 4m 4m 4m 12 4m 11 m 11 * x1 x2 2m x x m Khi theo định lý Vi-et ta có : Theo đề phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 nên ta x1 x2 x 1 x2 1 có : x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 2 m 2m 2m m 2m 1 m m m 1 0(luon dung ) 11 m * Kết hợp điều kiện suy 2) Giải phương trình : x x x x 0 a x 2 x 0 * b x b 0 x x ĐKXĐ: Đặt a 3b x 1 3 x 1 x x Khi ta có phương trình: a b a 3b 0 a b a 3b Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” a b 0 2 a b a b a b 0 a b 0 2 2 a 2ab b a 3b 2ab 2b 0 b x x (tmdk (*)) a b x x *** *** x x 2 x x 0 x 0(tm(*)) a b 0 2a a b 0 S ;0 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Câu A F I NE J K O H C M B P a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp AE AC AF AB +) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” Xét tứ giác BCEF có CEB CFB 90 gt Mà hai góc CEB, CFB nhìn cạnh BC Vậy tứ giác BCEF nội tiếp (dhnb) +) Chứng minh AE AC AF AB Xét ACF ABE có: CAB chung, AEB CFB 90 ACF ∽ ABE ( g.g ) AF AC AE AB (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) AE AC AF AB(dfcm) b) Gọi K , I trung điểm EF AH Chứng minh IK song song với AP Gọi J AO EF Xét tứ giác AEHF có : AEH AFH 90 90 180 Tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn đường kính AH (dhnb) Mà I trung điểm AH nên I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AEHF Xét (I) có K trung điểm dây AF gt IK EF * (quan hệ đường kính – dây cung) Do OAC , OBC , OAB tam giác cân O nên ta có : OAC OCA, OBC OCB, OBA OAB OAC OBC OBA OCA OCB OAB 1 Mà CAB CBA ACB 180 (tổng góc tam giác) OAC OAB OBC OBA OCB OCA 180 180 OAC OBC OBA 90 Từ (1) (2) suy : OAC CBA 90 3 Mặt khác CBA FEA (do tứ giác BCEF nội tiếp ) (4) Từ (3) (4) OAC FEA 90 Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” Xét tam giác AEJ có OAC FEA 90 nên AJE 90 AP EF ** Từ (*) (**) IK / / AP (từ vng góc đến song song) c) Gọi M giao điểm IK BC ; N giao điểm MH với cung nhỏ AC đường tròn O Chứng minh HMC HAN Gọi M ' BC HP Ta có : ABP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BP AP Lại có CH AB( gt ) CH / / BP (từ vng góc đến song song) Chứng minh tương tự ta có BH / / CP BHCP hình bình hành hai đường chéo BC HP cắt trung điểm đường M ' trung điểm HP, BC P , M , H , N thẳng hàng Ta có : HMC sd BP 5 sdCN Có APB ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB) 90 APB 90 ACB PAB HAC sd BP Có HAN HAC NAC sdCN sd BP 6 Từ (5) (6) HMC HAN (dfcm) Câu 8 x y y 3 x y 1 1 13 (2) x y2 1) Giải hệ phương trình x y y 0 y x 1 0 y ĐKXĐ: Ta có : Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” 1 3 x 1 x y y 0 x 1 x y x y y 0 x x 1 y 0 y 0 x2 y y x2 y x2 1 x y 0(do x y 0) x 9 y x 9 y 13 y y 81y 81y 22 0 Thay vào (2) ta : 2 Ta có : 81 4.81. 22 13689 117 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 81 117 y 2.81 (tm) x 9 y 1 x 1 y 81 117 11 (ktm) 2.81 2 x; y 1; ; 1; Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 2021 x , y , z x y z 2) Cho số dương thỏa mãn Chứng minh : x xy y y yz z 7 x xy y 2 7 y yz z 7 z zx x ĐKXĐ: z zx x 2021 Ta có : 2 x xy y x y 3 x xy y 3 x y 0 x xy y x y x, y x xy y x y 2 x y (do x, y 0) Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” 10 y xy z 2 y z z zx x 2 z x Chứng minh tương tự , ta có : Do : x xy y y yz z z zx x 1 2x y y z 2z x 1 1 (Co si ) 2x y x y Lại có : x x y x y 1 1 1 , Tương tự ta có : y z y z z x z x Cộng vế theo vế ta có: 1 1 3 1 2021 (dfcm) 2x y y z 2z x x y z x y z Dấu " " xảy x y z 2021 Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Nam Định_tự nhiên Success has only one destination, but has a lot of ways to go