038 đề hsg toán 9 hồ chí minh 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MƠN TỐN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: ( điểm ) Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a  b 1, a  b4  Tính giá trị biểu thức P a 2018 b 2018 Câu 2: ( điểm ) Giải phương trình:  x   x 6 Câu 3: ( điểm ) Hình bên gồm hình vng giống hệt nhau, hình vng có diện tích cm2 Các điểm A, B, C , D đỉnh hình vng Điểm E nằm đoạn CD cho AE chia hình vng thành hai phần có diện tích Tính độ dài đoạn CE Câu 4: ( điểm ) 1) Cho hai số thực x , y Chứng minh   x    y  2 x   y  2) Các số A; B; C ; D; A  C ; B  C ; A  D; B  D tám số tự nhiên khác từ đến Biết A số lớn số A, B, C , D Tìm A Câu 5: ( điểm ) 1) Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB 4cm Góc   phần đường trịn tâm DAB 30 cung DB A Tính diện tích phần tơ đậm 2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vng góc với I Đường thẳng qua I vng góc AD cắt cạnh BC N Đường thẳng qua I vuông góc BC cắt cạnh AD M Chứng minh AB  CD 2 MN ABCD hình thang Câu 6: ( điểm ) Một tô dự định từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi v km / h vận tốc tơ tăng thêm 20% đến B sớm dự định Tuy nhiên sau 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự định 48 phút Tính quãng đường hai thành phố LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MƠN TỐN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1: ( điểm ) Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a  b 1, a  b  2018 2018 Tính giá trị biểu thức P a  b Lời giải 1 1 4 2 2 2 2 Ta có a  b   a  b  2a b   a b   a  a  2 4 1 4a  4a  0  2a  0  a   b  2    Do P  a 1009   Bài 2: b    1009  1    2 1009 1    2 1009  1008 ( điểm ) Giải phương trình:  x   x 6 Lời giải ĐKXĐ:   x 5 Bình phương vế phương trình ta được: 5 x 4   x   x  3    x  36    x   x  3 19  3x 19 Với ĐK:   x  Ta có phương trình 16   x   x  3  19  3x   25 x  146 x  121 0   x  1  25 x  121 0 121  x 1 hay x  ( thỏa mãn điều kiện) 25  121  Vây phương trình có tập nghiệm S 1;   25  Bài 3: ( điểm ) Hình bên gồm hình vng giống hệt nhau, hình vng có diện tích cm Các điểm A, B, C , D đỉnh hình vng Điểm E nằm đoạn CD cho AE chia hình vng thành hai phần có diện tích Tính độ dài đoạn CE Lời giải Mỗi hình vng có diện tích cm nên hình vng nhỏ có cạnh cm 1 S AOE SOBMC  S9 hinhvuong 4  9.4 cm 2 22.2 11 OA.OE 22  OE    cm  ( OA 4.2 8cm ) 11 Vậy CE OE  OC     cm  ) 2  Bài 4: ( điểm ) 1) Cho hai số thực x , y Chứng minh  x  y 2 x  y      Lời giải 2 Ta có  x  y 2 x  y       x y  x  y  2 x  xy   x  x  1   x y  xy  y  0 2   x  1   xy  y  0 ( bất đẳng thức đúng) 2 Vậy  x  y 2 x  y      2) Các số A; B; C ; D; A  C ; B  C ; A  D; B  D tám số tự nhiên khác từ đến Biết A số lớn số A, B, C , D Tìm A Lời giải Ta có tổng số:  A  B  C  D  36  A  B  C  D 12 (1) Mà B  C  D 1   6  A 6 Hơn A  A  B  C  D 12  A  Nếu A 4  B, C , D   1; 2;3  B  C  D 6 Điều mâu thuẫn (1) Nếu A 5  B, C , D   1; 2;3; 4  1  B  C  D 7 Do B, C , D   1; 2; 4 Do A  D A  C bé nên C , D 4  B 4 Nếu C 1, D 2 A  C B  D 6 vô lý Nếu C 2, D 1 A  D B  C 6 vơ lý Do A 6, suy B, C , D   1; 2;3; 4;5 Từ (1) ta có B  C  D 6 Do B, C , D   1; 2;3 Hơn A  D, A  C 8 nên C , D 3 , suy B 3 Với C 1, D 2 hay C 2, D 1 thỏa mãn yêu cầu đề Vậy A 6 Bài 5: ( điểm )   1) Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB 4cm Góc DAB 30 cung DB phần đường trịn tâm A Tính diện tích phần tơ đậm Lời giải 2 S phần trắng SOAE  Squạt OBE   S phần tô đậm Snửa hình tròn  Squạt 2  ABD  2S phần trắng  4 2   2   3   2  2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vng góc với I Đường thẳng qua I vuông góc AD cắt cạnh BC N Đường thẳng qua I vng góc BC cắt cạnh AD M Chứng minh AB  CD 2MN ABCD hình thang Lời giải B K N A C I F O M D Gọi K giao điểm MI BC Gọi F trung điểm BD    ) MDI   Ta có: BIK (cùng phụ với IBK ( góc nội tiếp chắn KIC KIC AB  O  )       mà BIK (2 góc đối đỉnh) nên MDI  BIK MDI MID MID  MID cân M  MI MD   MAI MIA  MAI cân M  MI MA mà MI MD  MI MA  M trung điểm AD 1 Ta có MF  AB; NF  DC 2 mà 2.MF  2.NF 2 MN  MF  NF MN  M , F , N AB  CD 2MN nên thẳng hàng Từ suy AB // CD nên ABCD hình thang Bài 6: ( điểm ) Một ô tô dự định từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi v km / h vận tốc tơ tăng thêm 20% đến B sớm dự định Tuy nhiên sau 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự định 48 phút Tính quãng đường hai thành phố Lời giải Đổi đơn vị : 48 phút  48  (giờ) 60 Gọi s  km  quãng đường hai thành phố A B  s   Nếu vận tốc tơ tăng thêm 20% đến B sớm dự định nên ta s s s 1  v   1 có phương trình:  v v  20% v Sau 120 km với vận tốc , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự 120 s  120 s    định 48 phút nên ta có phương trình: (2) s v  25%v v s  v  v 60  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   s 360 120  s  120  s   s v  25%v v Vậy quãng đường hai thành phố A B 360 km