đây là tài liệu về các bài toán liên quan đến đồ thị và dãy số, hình học có kèm lời giải và hình vẽ chi tiết trong chương trình trung học phổ thông ôn thi trung học phổ thông quốc gia và một số vấn đề toán học có liên quan
BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON TRìNG I HÅC S× PHM H NËI KHOA TON - TIN -o0o- BI TP LỴN PHN MM TON HÅ V TN: É THÀ KHNH HUYN Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Ng y 21 th¡ng n«m 2022 Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON PHN I: a V hẳnh phng Bi 1: Tứ im M nơm ngoi ữớng trỏn (O; R) k hai tiáp tuyán M A v M B vợi ữớng trỏn (A v l hai ti¸p iºm) 1) Chùng minh tù gi¡c M AOB nëi tiáp 2) V tia M x nơm giỳa hai tia M A v M O Tia M x ct ÷íng trỏn (O; R) tÔi im C v im D ( im C n¬m giúahai iºm M v D Chùng minh hai tam giĂc M AC v M DA ỗng dÔng rỗi tø AC â suy MM DC = AD 3) Gåi H l giao iºm cõa OM v AB K DK vuổng gõc vợi AB tÔi K , OP vuổng gõc vợi CD tÔi P , OQ vuổng gõc vối HD tÔi Q Chựng minh tự giĂc HKP Q l hẳnh thang cƠn B Lới giÊi B M H O C E Q K P A D 1) Chùng minh tù gi¡c MAOB nëi ti¸p \ = 90 (Tẵnh chĐt tiáp tuyán cừa ữớng trỏn) l tiáp tuyán ữớng trỏn (O) OAM \ = 90 (Tẵnh chĐt tiáp tuyán cừa ữớng trỏn) l tiáp tuyán ữớng trỏn (O) → OBM \ + OBM \ = 90 + 90 = 180 m hai gâc n y èi Tù gi¡c M AOB câ OAM Suy M AOB l tù gi¡c nëi ti¸p ◦ MA MB ◦ ◦ ◦ ◦ 2 MC AC 2) Chùng minh hai tam giĂc MAC v MDA ỗng dÔng rỗi tứ õ suy = MD AD \ \ (O) ADC = M AC AC \ \ →M AC = ADM △M AC △M DA ) \ AM D → △M AC ∼ △M DA g.g \ \ (cmt) M AC = ADM MA MC → = MD MA 2 MC M A2 MA → M C.M D = M A → = = MD M D2 MD MA AC = △M AC ∼ △M DA cmt → MD AD X²t Xt cõ: (gõc nởi tiáp; gõc tÔo bi tiáp tuyán v d¥y cung cịng chn cung ) v câ: chung ( ) (cp cÔnh tữỡng ựng t lằ) Mt khĂc, ( ) Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN Suy MỈN: PHN MM TON 2 AC AD 3) Chùng minh HKPQ l h¼nh thang cƠn MC = MD +) Ta cõ: nản O thuởc trung trỹc AB (tẵnh chĐt hai tiáp tuyán ct nhau) n¶n M thuëc trung trüc AB l trung trỹc cừa AB OM AB tÔi H Xt tam giĂc OAM vuổng tÔi A, ữớng cao AH cõ: (hằ thùc l÷đng tam gi¡c vng) OA = OB(= R) MA = MB → OM OA2 = OH.OM OD = m OA = OD → OD = OH.OM → OH OD OM X²t △ODH v △OM D câ: \ chung DOM → △ODH ∼ △OM D (c.g.c ) OD OH = OD OM \ = ODM \ → OHD ◦ \ = 90◦ − ODM \ → AHD \ = DOP \ → 90 − OHD ◦ \ \ = 90 ODP Q OP D = OQD (2 gâc t÷ìng ùng) (1) X²t tù gi¡c câ (gt) m hai gõc ny cõ nh kà nhẳn cÔnh OD ODP Q l tự giĂc nởi tiáp (dĐu hiằu nhên biát) \ = DQP \ (2 gõc nởi ti¸p cịng chn cung) → DOP (2) \ \ Tø (1) v (2) → AHD = DQP , m hai gõc ny v trẵ ỗng v P Q HK HKP Q l hẳnh thang (dĐu hiằu nhên biát) +) Ta cõ: M C.M D = M A (cmt ), M H.M O = M A (h» thùc l÷đng tam gi¡c vng OAM ) → M C.M D = M H.M O → MO MC = MH MD X²t △M CH v △M OD câ: \ OM Dchung → △M CH ∼ △M OD (c.g.c ) MO MC = (cmt) MH MD \ \ →M HC = ODM \ = ODM \ →M \ \ OHD HC = OHD ◦ ◦ \ \ → 90 − M HC = 90 − OHD \ = AHD \ → AHC \ → HA CHD HC DK E △HDE HK → △HDE E → HK →K P DC OP ⊥ CD △DCE → KP ∥CE KP ∥HC \ \ →P KH = AHC \=P \ \ =P \ → AHD KH ↔ KHQ KH \ =P \ HKP Q KHQ KH HKP Q m (2 gâc tữỡng ựng) (3) l phƠn giĂc cừa Ko di cưt tÔi cõ l ữớng cao ỗng thới phƠn giĂc cƠn tÔi ỗng thới l ữớng trung tuyán l trung im cõa DE m l trung iºm (do - quan hằ vuổng gõc giỳa ữớng kẵnh v dƠy cung) KP l ữớng trung bẳnh cừa ( nh nghắa) hay (4) Tứ (3) v (4) Xt hẳnh thang cõ Vêy l hẳnh thang cƠn ( nh nghắa) Hồ tản: ộ Th Kh¡nh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON B i 2: Cho tam gi¡c ABC câ ba gõc nhồn nởi tiáp ữớng trỏn (O) CĂc ữớng cao AD, BE, CF cưt tÔi H v cưt ữớng tron (O) lƯn lữủt tÔi M, N, P Chựng minh rơng: Tự giĂc CEHD nởi tiáp Bốn im B, C, E, F nơm trản mởt ÷íng trán AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H v M èi xùng qua BC Líi gi£i A N E P F H O B C D M Tù gi¡c CEHD nëi ti¸p X²t tù gi¡c CEHD cõ: CEH = 90 (Vẳ BE l ữớng cao) CDH = 90 (Vẳ AD l ữớng cao) CEH + ∠CDH = 180 m hai gâc n y ð tr½ èi cõa tù gi¡c CEHD → CEHD l tù gi¡c nëi ti¸p 2.Bèn iºm B, C, E, F cịng nơm trản mởt ữớng trỏn Theo giÊ thiát: BE l ÷íng cao → BE ⊥ AC → ∠BEC = 90 E thuởc ữớng trỏn ữớng kẵnh BC (1) CF l ÷íng cao → CF ⊥ AB → ∠BF C = 90 F thuởc ữớng trỏn ữớng kẵnh BC (2) Tø (1) v (2) → B, C, E, F nơm trản ữớng trỏn ữớng kẵnh BC 3.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC X²t △AEH v △ADC ta câ: ∠AEH = ∠ADC = 90 → △AEH ∼ △ADC (g.g ) ∠A l gâc chung ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ AH AE = AD AC → AE.AC = AH.AD △BEC △ADC ∠BEC = ∠ADC = 90◦ → (dpcm) X²t v ta câ: Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON - ∠C l gâc chung → △BEC ∼ △ADC BC BE = → AD AC → AD.BC = BE.AC (dpcm) H v M èi xùng qua BC Ta câ ∠BAM = ∠BCM (hai gâc nëi ti¸p cịng chn cung BC) X²t △BAD câ ∠ADB = 90 → ∠BAD + ∠ABD = 90 (3) X²t △CF B câ ∠CF B = 90 → ∠F CB + ∠CBF = 90 (4) Tø (3) v (4) → ∠F CB = ∠BAD m ∠BAD = ∠BCM (cmt ) → ∠F CB = ∠BCM ↔ ∠HCD = ∠DCM → CD l ph¥n gi¡c ∠HCM X²t △CHM câ - CD l ph¥n gi¡c - AD BC tÔi D (GT) CD HM CD l ữớng cao CHM cƠn tÔi C CD l trung tuy¸n → D l trung iºm cõa HM → HD = HM m HD ⊥ BC → H v M èi xùng qua BC B i 3: Cho nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB = 2R Tứ A v B k´ hai ti¸p tuy¸n Ax, By Qua iºm M thuởc nỷa ữớng trỏn k tiáp tuyán thự ba cưt Ax, By lƯn lữủt C v D CĂc ữớng thng AD v BC cưt tÔi N Chùng minh AC + BD = CD Chùng minh ∠COD = 90 Chùng minh AC.BD = AB4 Chùng minh OC∥BM Chùng minh AB l ti¸p tuy¸n cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh CD ◦ Líi gi£i D M I C N B A O Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON AC + BD = CD Ta câ: - CA = CM (Tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau) - DB = DM (Tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau) m DM + CM = CD → AC + BD = CD COD = 90 Theo tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt cõ: - OC l tia phƠn giĂc ∠AOM → ∠AOC = ∠COM - OD l tia ph¥n gi¡c ∠M OB → ∠M OD = ∠DOB m ∠AOD + ∠COM + ∠M OD + ∠DOB = 180 ◦ ↔ 2∠COM + 2∠M OD = 180◦ ↔ 2∠COD = 180◦ ↔ ∠COD = 90◦ AB2 AC.BD = △COD ∠COD = 90◦ cmt OM ⊥ CD → OM = CM.DM CN = AC DM = BD cmt → AC.BD = OM AB AB → AC.BD = OM = R = 4 OC∥BM ∠COD = 90◦ → CO ⊥ OD DM = DB → D MB OM = OB = R → O MB → OD ⊥ M B → OC∥M B 5.AB l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh CD I CD → I CD AC (O) A → AC ⊥ AB BD (O) B → BD ⊥ AB → AC∥BD → ABDC ABDC O AB I CD → OI ABDC OI∥DB → OI ⊥ AB ∠COD = 90◦ → O CD CD OI ⊥ AB O → AB CD X²t câ: m m Cõ Cõ ; ( ) (Tẵnh chĐt tiáp tuyán) (Hằ thực lữủng tam giĂc vuổng) ( ) (1) thuëc trung trüc thuëc trung trüc (2) Tø (1) v (2) (tẵnh chĐt) Gồi l trung im l tƠm ữớng trỏn ữớng kẵnh Cõ l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn tÔi im l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn tÔi iºm l h¼nh thang X²t h¼nh thang câ: - trung im - trung im l ữớng trung bẳnh cừa hẳnh thang m thuởc ữớng trỏn ữớng kẵnh Xt ữớng trỏn ữớng kẵnh cõ tÔi l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON B i (3 iºm) Cho tam gi¡c ABC nhån nëi ti¸p (O) Gồi I l tƠm nởi tiáp tam giĂc ABC Tia AI cưt BC tÔi J v cưt (O) tÔi M khĂc A Chựng minh rơng: M I = M J.M A [ v ACB [ tÔi P K ữớng kẵnh M N cừa (O) ữớng thng AN ct tia ph¥n gi¡c gâc ABC v Q tữỡng ựng Chựng minh im N l trung im oÔn P Q L§y iºm E thuëc cung nhä M C cõa (O)(E kh¡c M )) Gåi F l iºm èi xùng vỵi iºm I qua iºm E Gåi R l giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng P C v QB Chùng minh iºm P, Q, R, F còng thc mët ÷íng trán Líi gi£i: P N A Q K I J B E C M F R MI2 = MJ.MA [ + IBA [ Trong tam gi¡c IAB câ gâc ngo i M\ IB = IAB [ = IAC [ = CBM \ ; IBA [ = IBC [ n¶n M \ \ + IBC [ =M \ Tø gi£ thi¸t ta câ: IAB IB = CBM BI → MB = MI [ = CM \ Theo chùng minh IAB B n¶n △BM J ∼ △AM B (g.g), Suy ra: M B = M J.M A = M I (d.p.c.m) N l trung im oÔn PQ Vẳ M N l ữớng kẵnh cừa (O) nản AM ⊥AN Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 2 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON [ suy AN l ph¥n gi¡c ngo i cõa BAC [ LÔi cõ: AM l phƠn giĂc cừa BAC [ v ACB [ Ta câ: I l giao hai ph¥n gi¡c gâc ABC Do â P, Q l tƠm ữớng trỏn bng tiáp tam giĂc ABC Vêy P\ BQ = P[ CQ = 90 nản tự giĂc P QBC nởi tiáp ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q, câ t¥m thuëc P Q v c¡ch ·u B v C Vẳ im N thuởc ữớng thng P Q v N B = N C n¶n N l tƠm ữớng trỏn i qua im P, Q, R, F , tùc l N l trung iºm P Q ( .p.c.m) 3.Bèn iºm P, Q, R, F còng thuëc mët ữớng trỏn Theo chựng minh trản suy I l trỹc tƠm tam giĂc P QR vợi ba ữớng cao RA, P B, QC Tam giĂc IBR vuổng tÔi B câ M B = M I n¶n M l trung iºm IR, suy M E∥RF Chùng minh t÷ìng tü K l trung iºm IP v KE∥F P [ \ Vªy RF P =M EK [ = 1/2(AB + KM ) Trong (O)ta câ: M\ EK = 1/2(M B + AB + AK); AIB [ V¼ M B + AK=M C + KC=KM ; suy M\ EK = AIB [ = 180 → RF [ [ = 180 Vªy M\ EK = AQB P + AQB Do â tù gi¡c P QRF nëi ti¸p ( .p.c.m) ◦ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ Bi 5: Cho ữớng trỏn tƠm (O), tứ im M ngoi ữớng trỏn (O) k´ c¡c ti¸p tuy¸n M A, M B(A, B l c¡c ti¸p iºm), k´ c¡t tuy¸n M CD khỉng i qua tƠm O(C nơm giỳa M v D; O v B nơm và hai phẵa so vợi cĂt tuyán M CD) Chùng minh tù gi¡c M AOB nëi ti¸p Chùng minh M B = M C.M D \ Gåi H l giao iºm cõa AB v OM Chùng minh AB l ph¥n gi¡c cõa CHD A M H O C D B Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON Líi gi£i: 1.Tù gi¡c MAOB nëi ti¸p \ = OBM \ = 90 (Do M A, M B l tiáp tuyán cừa ữớng trỏn (O)) Ta câ OAM X²t tù gi¡c OAM B câ: \ + OBM \ = 90 + 90 = 180 OAM → Tù gi¡c OAM B l tù gi¡c nëi ti¸p (Tù gi¡c câ têng hai gâc èi b¬ng 180 ) MB = MC.MD X²t tam gi¡c M BC v tam gi¡c M DB câ: \ BM D chung; \ \ M BC = M DB )(Gõc tÔo bi tiáp tuyán v dƠy cung v gõc nởi tiáp chưn BC ) ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ⌢ → △M BC ∼ △M DB(g.g) MC MB = → MD MB → M B = M C.M D \ 3.AB l ph¥n gi¡c cõa CHD H AB OM AB MA = MB →M OA = OB = R → O AB; → OM AB → OM ⊥AB OM B M B = M H.M O M B = M C.M D(cmt) → M H.M O = M C.M D MH MC = → MO MD M CH M OD \ OM D MH MC = (cmt); MO MD → △M CH ∼ △M OD(c.g.c) \ \ →M HC = M DO \ \ = 180◦ → M \ \ = 180◦ M HC + OHC DO + OHC → OHCD ⌢ \ = OCD \ → OHD OD \ = ODC \=M \ OCD DO OCD O \ \ → M HC = OHD ◦ \ \ → CHB \ = BHD \ → 90 − M HC = 90◦ − OHD HB CHD AB Gåi l giao iºm cõa v Chùng minh l ph¥n gi¡c cõa CHD Ta cõ (tẵnh chĐt hai tiáp tuyán cưt nhau) thuởc trung trüc AB; thuëc trung trüc cõa l trung trüc cõa X²t tam gi¡c vng câ (h» thùc l÷đng tam gi¡c vuæng) M X²t tam gi¡c chung; v câ: (hai gâc t÷ìng ùng)(1) M Tù gi¡c l tù gi¡c nởi tiáp (Tự giĂc cõ tờng hai gõc ối bơng 180 ) (hai gâc nëi ti¸p cịng chn cung ) (2) M (tam giĂc cƠn tÔi ) (3); Tứ (1),(2) v (3) Vêy l tia phƠn giĂc cừa gâc hay l tia ph¥n gi¡c cõa gâc CHD ◦ b V hẳnh tồa ở Hồ tản: ộ Th KhĂnh Huy·n Trang BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON B i Cho h m sè y = −x2 2x + Lêp bÊng bián thiản v v ỗ th cĂc hm số trản Tẳm m ỗ th hm số trản cưt ữớng thng y = m tÔi hai im phƠn biằt Lới giÊi Lêp bÊng bián thiản v v ỗ th cĂc hm số trản * BÊng bián thiản: Xt hm hm số y = −x a = −1 < Tåa ë nh I(1; 4) Tứ dõ ta cõ bÊng bián thiản x − 2x + −∞ câ: −1 +∞ y - - * V ỗ th Xt hm h m sè y = −x − 2x + câ: Tồa ở nh I(1; 4) ỗ th hm số giao trửc Oy tÔi im A(0; 3) ỗ th hm số giao tröc Ox ↔ −x2 − 2x + = ↔ x=1 x = −3 Ox B(1; 0), C(−3; 0) x = −1 A x = → D(2; 3) Vêy ỗ th hm số giao trửc tÔi hai im ỗ th hm số nhên ữớng thng lm trửc ối xựng v hữợng bà lóm xuống dữợi D l iºm èi xùng vỵi qua trưc → y I D A −4 C −3 −2 −1 O −1 B x −2 Tẳm m ỗ th hm số trản cưt ữớng thng y = m tÔi hai im phƠn biằt ữớng thng y = m song song hoc trũng vợi trửc honh õ dỹa vo ỗ th ta cõ Vợi m < ữớng thng y = m v paraboly = x 2x + cưt tÔi hai im phƠn biằt Hồ tản: ộ Th KhĂnh HuyÃn Trang 10 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON Bi 4: KhÊo sĂt sỹ bián thiản v v ỗ th (C) cừa hm số: y = x+1 Líi gi£i 2x + TX : D=R / {−1} 2(x + 1) − (2x + 1) = (x + 1) (x + 1)2 ′ y > ∀x ∈ (−∞; −1); (−1; +∞) (−∞; −1); (−1; +∞) y′ = KhoÊng ỗng bián Hm số khổng cõ cỹc tr Giợi hÔn v tiằm cên 2x + x =2 = lim lim y = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ x + 1+ x y = lim − y = +∞, lim + y = −∞ 2+ Vêy ữớng tiằm cên ngang Vêy ữớng tiằm cên ựng x + = BÊng bián thiản x −∞ −1 y' + x→−1 +∞ + +∞ y x→−1 Giao vợi Ox tÔi A( 12 ; 0) ; Giao vợi Oy tÔi B(0; 1) ỗ th nhên I(1; 2) lm tƠm ối xựng −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 13 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON Bi Hẳnh l ỗ th cừa ba hm sè y = ax , y = bx , y = cx ë Kh¯ng ành n o sau ¥y l kh¯ng ành óng? A c > b > a B a > b > c C a > c > b D b > a > c ữủc v trản mët h» tröc tåa y y = bx y = ax y = cx x O −1 Líi gi£i Tø h¼nh v³ ta câ: y = a v y = b l hai hm ỗng bián a, b > y = c l h m nghàch bi¸n → < c < → c b²nh§t L§y y = m vỵi (m > 0) ta câ y v y cho ab == yy ta câ h¼nh v³: x x x m m y y = cx y = bx y2 y = ax y1 O y=m x −1 Tø h¼nh v³ ta câ y2 > y1 ↔ bm > am →a0 c < a < b Chån Vªy (do ) D Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 14 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON PHN II: a Giợi hÔn dÂy số (13 + 3)n (13 3)n CƠu 1: Cho dÂy số un cõ số hÔng tờng quĂt un = Tẵnh số hÔng Ưu tiản cừa dÂy số v v ỗ th h m sè kh£o s¡t sü hëi tư hay ph¥n ký cõa d¢y sè â Líi gi£i: số hÔng Ưu cừa dÂy số n un 1 26 510 8944 147884 V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy số phƠn ký Hồ tản: ộ Th KhĂnh Huy·n Trang 15 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON CƠu 2: Cho dÂy số thỹc (xn ) thọa mÂn: x1 = , xn+1 = vợi mồi n nguyản dữỡng Tẵnh 10 số hÔng Ưu cừa dÂy số V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số õ 3xn 2xn + Lới giÊi: 10 số hÔng Ưu cõa d¢y sè x1 0.167 x2 0.375 x3 0.643 x4 0.844 x5 0.942 x6 0.98 x7 0.993 x8 0.998 x9 0.9992 x10 0.9997 V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số Quan sĂt dÂy số thĐy dÂy số hởi tử Hồ t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n → Trang 16 BI KIM TRA IU KIN CƠu 3: Cho dÂy số MặN: PHN MM TON u = 1 un = un1 + 2.n > Tẵnh 10 số hÔng tiáp theo cừa dÂy số V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy số õ số hÔng tiáp cừa dÂy số 10 n un 2.5 3.25 3.625 3.8125 Líi gi£i: 3.90625 3.953125 3.9765625 3.9882812 10 3.9941406 11 3.9970703 V ỗ th hm số khÊo sĂt sỹ hởi tử hay phƠn ký cừa dÂy sè → Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Quan s¡t dÂy số thĐy dÂy số hởi tử Trang 17 BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON CƠu 4: Tẵnh giĂ tr Ưu tiản cừa dÂy số xĂc ành bði → Líi gi£i: gi¡ trà ¦u cõa d¢y sè n un n un = + , ∀n = 1, n 2 2.25 2.37 2.44 2.52 2.55 2.57 Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy số hëi tư Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 18 BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON CƠu 5: Tẵnh phƯn tỷ Ưu cừa dÂy số xĂc ành bði: un = + → Líi giÊi: giĂ tr Ưu cừa dÂy số n un 1 + + + ∀n = 1, 2, 1! 2! n! 2 2.5 2.667 2.708 2.717 2.718 2.7182 Quan sĂt ỗ th thĐy dÂy số hởi tử Hồ tản: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 19 BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON b V ỗ th h m sè y = −x − 2x + y = −x + 3x2 − Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 20 BI KIM TRA IU KIN y = x MỈN: PHN MM TON − 2x2 − y = 2xx ++11 Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 21 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON H m mơ Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 22 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON PHN III: CC BI TON V NGHIM CÕA A THÙC B i 1: Cho a thùc P (x) = + x2 + x9 + xn1 + + xns + x2022 Vỵi n1 , n2 , , ns l c¡c sè tü nhiản thọa mÂn < n < n < < n < 1992 √ 1− Chùng minh r¬ng nghi»m cõa a thùc P (x) (n¸u câ) khỉng thº lỵn hìn s Líi gi£i Vỵi x ≥ th¼ P (x) ≥ > Ta s³ chùng minh ta câ: √ 1− P (x) > 0∀x ∈ ( ; 0) Thªt vêy vợi x < 0, x = 1, P (x) ≥ + x + x3 + x5 + + x2k+1 + + x2021 = + x (x2020 + x2018 + + 1)(1 − x2 ) − x2 − x2022 − x2 + x − x2023 = − x2 − x2 √ 1− ; 0) − x2 > 0; −x2023 > 0; − x2 + x > x∈( √ 1− ⇛ P (x) > 0∀x ∈ ( ; +∞) = + x th¼ Vợi nản ; 0) P (x) > 0∀x ∈ ( ( i·u ph£i chùng minh) B i 2: Cho a thùc P (x), k = 1, 2, 3, x¡c àn bði: P (x) = x − 2, P (x) = P (P (x))∀n = 1, 2, 3, Chựng minh rơng vợi mội số nguyản dữỡng n, P (x) = x câ nghi»m thüc ph¥n bi»t k n+1 n n n Líi gi£i Vỵi n = 1, P (x) = x − Phữỡng trẳnh x = x cõ hai thüc nghi»m ph¥n bi»t l 2, −1 a thùc P (x) cõ bêc l Ta s tẳm cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản khoÊng (2; 2) v ch¿ â l t§t c£ c¡c nghi»m cõa a thùc P (x) °t x = 2cost t ∈ (0, π) ⇒ P (2cost) = 2cos(2t) ⇒ P (2cost) = P (P (2cost) = P (2cos2t) = 2cos4t = 2cos(2 t) Bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc P (2cost) = 2cos2 t Phữỡng trẳnh P (x) = x tr th nh: n n n 1 n n 2n t = t + 2kπ 2cos2n t = 2cost ⇔ cos2n t = cost ⇔ n (k ∈ Z) t = −t + 2kπ 2kπ t= n −1 2n 2kπ t= n + 1 2kπ n−1 − t = 2n − (0 ≤ k ≤ 0≤t≤π⇒ 2kπ t= n (0 ≤ k ≤ 2n−1 + +1 2n1 2n1 Vêy ta ữủc nghiằm ) ) Kát hủp vợi ta ữủc: NgoÔi nghiằm chung t = thẳ mội trữớng hủp cho ta v nghiằm cỏn lÔi phƠn biằt Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ ỷ nghiằm ( iÃu phÊi chùng minh) B i 3: Cho a thùc P (x) = x(x − 1)(x − a) − vỵi a ≥ n a) Chùng minh r¬ng P (x) luổn cõ nghiằm thỹc phƠn biằt Kẵ hiằu l x , x , x , x , x Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 23 BI KIM TRA IU KIN b) T½nh têng sau T = P x i=1 i MỈN: PHN MM TON − x2i Líi gi£i a) Ta câ P (x) l h m sè li¶n tưc v lim = −∞, P (−2) = 6a − 25 > 0, P (−1) = −1 < 0, x→−∞ n¶n s³ câ nghi»m thuëc (−∞; −2), (−2; −1), (−1; 12 v x −1 x = x2 + x +1 − x −1 12a − 35 P( ) = > 0, P (1) = −1 < 0, lim = +∞ P (x) x→+∞ 32 ′ ′′ P (x) = 5x4 − 3(a + 1)x2 + a, P (x) = 20x3 − 6(a + 1)x b) P P P 2 1 + − i=1 xi i=1 xi + i=1 xi − ′ 5 P P P (x) P 1 ′ ′ = − = −P (−1) + P (1) = P (x) i=1 x − xi i=1 xi + i=1 xi − ′′ ′ ′′ ′ 5 P P P (x)P (x) − [P (x)]2 P (0)P (0) − [P (0)]2 =− = a2 ⇒ =− 2 2 P (x) P (0) i=1 (x − xi ) i=1 x T = 2a2 ⇒T = LÔi cõ nản Vêy ta tẵnh ữủc Bi 4: Cho a thùc: P (x) = 5x Ti¸p tưc Ôo hm ta cõ 40x2 + 100x − 79 a) Chùng minh r¬ng a thùc câ ba nghiằm thỹc l ở di ba cÔnh cừa mởt tam gi¡c ABC vỵi mët gâc lỵn hìn 120 b) Chựng minh rơng cĂc trung tuyán cừa ABC l ở di ba cÔnh mởt tam giĂc tũ no õ o Líi gi£i a) P (x) li¶n tóc tr¶n R v P (1) = −14 < 0, P (2) = > 0, P (3) = −4 < 0, P (4) = > n¶n a thùc P (x) câ c¡c nghi»m ph¥n bi»t (1; 2), (2; 3), (3; 4) Gồi cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l a, b, c (a > b > c) Theo ành lẵ Viete thẳ a + b + c = Do a l số lợn nhĐt nản a (3; 4) ⇒ b + c = − a > > a hay a, b, c l ë d i ba cÔnh mởt tam giĂc Gõc tũ náu cõ phÊi l gõc ối diằn vợi cÔnh lợn nhĐt tực ch¿ ra79tam gi¡c câ mët gâc lỵn79hìn 120 ta 79 c¦n chùng minh: b + c + bc < a ⇔ (8 − a) − 5a < a ⇔ 64 − 5a < 16a ⇔ a > 4a − 80 Bơng bián ời tữỡng ữỡng, ta ữủc o 2 2 241 (a − 2)2 > ⇔a>2+ 80 r 241 80 15 Do < a < 4, thĐy 241 < ta s chựng minh bĐt ng thực mÔnh hỡn l a > 80 4 10 Ta câ P (x) = 15x − 80x + 100 n¶n P (x) = ⇔ x = 2, x = Suy a thùc P (x) ỗng bián trản 10 15 10 15 181 15 ( ; +∞) Rã r ng > ,P( ) = − < = P (a) n¶n suy a > Do â a > b + c + bc hay3 tam gi¡c a, b, c câ4 mët 3gâc lỵn4 hìn 12064 b)Bê ·: Cho tam gi¡c ABC câ BC > CA > AB thẳ ba ữớng trung tuyán tữỡng ựng AD, BE, CF s lêp thnh ở di ba cÔnh mởt tam giĂc mợi vợi CF > BE > AD r ′ ′ 2 o Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 24 BI KIM TRA IU KIN MỈN: PHN MM TON K A F E B D C Gåi m , m , m l ở di cĂc ữớng trung tuyán ựng vợi AD, BE, CF a, b, c l ë d i ba cÔnh BC, CA, AB a > b > c.Theo cổng thực dữớng trung tuyán, a b c 4m2a = 2(b2 + c2 ) − a2 < 2(c2 + a2 ) − b2 = 4m2b < 2(b2 + a2 ) − c2 = 4m2c ⇒ ma < mb < mc ADBK ⇒ F KD BK = AD −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ DF ABC DF = CA = CE ⇒ F K = DF = CE ⇒ KE = CF BKE M°t kh¡c, düng h¼nh b¼nh h nh l trung im v l ữớng trung bẳnh tam giĂc nản Tực ECF K cụng l hẳnh bẳnh hnh Vêy tam giĂc ữủc lêp thnh ba cÔnh câ ë d i m , m , m Trð lÔi bi toĂn, a > b > c nản m < m < m , ba ữớng trung tuyán cừa △ABC cơng lªp th nh mët tam gi¡c º chùng minh tam gi¡c tị, ta c¦n chùng minh m > m + m ⇔ 4m > 4m + 4m a b c b a c c a b b a c ⇔ 2(b2 + a2 ) − c2 > 2(b2 + c2 ) − a2 + 2(c2 + a2 ) − b2 ⇔ a2 + b2 > 5c2 ⇔ a2 + b2 + c2 > 6c2 (1) a + b + c = 8, ab + bc + ca = 20 ⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 24 (1) ⇔ 24 > 6c2 ⇔ > c2 c ∈ (1; 2) Theo inh lẵ Viete, Vêy ( úng Bi 5: Cho c¡c a thùc bªc 3: ) v Q(x) = x + 3x + 8x − a) Chùng minh r¬ng méi a thùc P (x) v Q(x) ·u câ mët nghiằm dữỡng nhĐt b) Gồi cĂc nghiằm dữỡng cừa P (x) v Q(x) lƯn lữủt l p v q Chùng minh r¬ng √p − √q = P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 16 Líi gi£i a) Ta câ P (x) = 3x ′ " x=1 x=− 40 P (− ) = − < 0, P (1) = −20 < 27 (1; +∞) P (x) + 4x − = nghch bián trản ( 37 ; 1) v n¶n P (x) khỉng câ nghi»m kho£ng (0, 1] mt khĂc P (x) ỗng bián trản , li¶n tuc v lim P (x) = +∞ n¶n P (x) cõ nghiằm dữỡng nhĐt Q (x) = 3x + 6x + > 0, ∀x ∈ R v Q(0) = −4, lim Q(x) = +∞ M Q(x) li¶n tửc trản R nản Q(x) cõ nghiằm dữỡng nhĐt b) Do p l nghiằm dữỡng cừa P (x) nản √p s³ l nghi»m cõa a thùc P (x ) = x + 2x − 7x − 16 Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n Trang 25 P (x) ′ x→∞ x→+∞ BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON Phữỡng trẳnh: P (x ) = x + 2x −√7x − 16√ = ⇔√(x + 3x) = (2x − 4) P (2) = −14 < ⇒ p > ⇒ p > nản p l ngiằm phữỡng trẳnh x + 3x = 2x − ⇔ x − 2x + 3x − = T÷ìng tü, q l nghi»m dữỡng Q(x) v Q(1) = > nản q ∈ (0; 1) v √q l nghi»m cõa a thùc Q(x ) = x + 3x + 8x − Phữỡng trẳnh Q(x ) = x + 3x + 8x − = ⇔ (x + 2x) = (x 2) q nghiằm cừa phữỡng trẳnh x + 2x = − x ⇔ x + x + 2x − = √ ⇒ q + l nghi»m cõa (x − 1) + (x − 1) + 2(x − 1) − = ⇔ x − 2x + 3x − = X²t h m sè f (x) = x − 2x √+ 3x −√4 câ f (x)√= 3x√− 4x + > 0, x R Do õ phữỡng trẳnh f (x) = câ nhi·u nh§t nghi»m ⇒ p = q + ⇒ p − q = Nhªn x²t: é phƯn a, sỷ dửng quy tưc dĐu Descartes, ta thĐy P (x), Q(x) Ãu cõ số lƯn ời dĐu l nản chúng ch cõ nhĐt mởt nghi»m d÷ìng u −v ; n ≥ 1, u, v l nghiằm cừa phữỡng trẳnh: x x = B i 6: Cho d¢y sè: a = u−v HÂy tẳm tĐt cÊ cĂc cp số nguyản dữỡng (a; b) â a < b thäa m¢n: a − 2n.a b vợi mồi n nguyản dữỡng 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 n n n n u, v 2 ′ n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x Lới giÊi 21=0 nản theo nh lẵ Viete, ta cõ: u + v = 1; uv = −1 an+2 = (un+1 − v n+1 )(u + v) − uv(un − v n ) un+2 − v n+2 = = an+1 + an u−v u−v n an − 2n.a b Trong â, a = 1, a2 = n¶n ⇒ 2(n + 2)a − 2(n + 1)a − 2na b a − 2(n + 2).a b (1) Do a = ⇒ − 2a b ⇒ b l sè l´, hìn núa b > a n¶n ta ph£i câ b = 2a − Tứ õ, kát hủp vợi (1) (n + 2)a − (n + 1)a − na b ∀n ∈ N (a, b) = (a, 2a − 1) = ⇒ (a , b) = ⇒ (n + 2)a − (n + 1)a − n.b Thay n bði n + ⇒ (n + 3)a − (n + 2)a.− n b ⇒ a − a − b ⇒ a − a − 2a − ⇒ 2a − 2a − 2a − ⇒ 2a(2a − 1) − a − 2a − ⇒ a + 2a − ⇒ 2a + 2a − ⇒ 2a a(n) chẵnh l dÂy Fibonacci Ta cõ: a n+1 − 2(n + 1).an+1 b n+2 n+1 n n+2 n+2 n+2 n n+1 ∗ n 2 2 Vêy ta ữủc aa == 1,3, bb == 15 Do a < b n¶n a = 3, b = Ta c¦n chùng minh a − 2n.3 n N Dạ dng kim tra nhên xt úng vợi n = 1; n = Bơng quy nÔp ta s ch nhên xt úng vợi mồi số nguyản dữỡng n GiÊ sỷ úng tợi n = k (k ≥ 2) a − 2k.3 5; a − 2(k − 1).3 ⇒ (a + a ) − [2k.3 + 2(k − 1).3 ] ⇒a − 2(k + 1).3 − (2k − + 6k − 18k − 18) ( i·u ph£i chùng minh) (2k − + 6k − 18k − 18) = (−10k − 20) ⇒ a − 2(k + 1).3 Vªy c°p (a; b) = (3; 5) l c°p cƯn tẳm n k k k k+1 k1 n ∗ k−1 k−1 k k+1 k−1 k−1 k−1 Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n k−1 k+1 k+1 Trang 26 BI KIM TRA IU KIN MặN: PHN MM TON Bi têp Tỗn tÔi hay khổng dÂy vổ hÔn cĂc số thỹc a , a , a , cho c¡c a thùc P (x) = a + a x + a x + câ õ n nghi»m thüc kh¡c vợi mồi số nguyản dữỡng n? 1 Cho m, n l hai số nguyản dữỡng nguyản tố v sè thüc x > Gi£ sû r¬ng x + ,x + x x l nhúng sè nguyản Chựng minh rơng x + x cụng l số nguy¶n Cho hai a thùc + an xn n 2 n m m n P (x) = 4x3 − 2x2 − 15x + 9; Q(x) = 12x3 + 6x2 − 7x + a) Chùng minh r¬ng méi a thùc ·u câ nghi»m thüc ph¥n bi»t b) Gåi α, β l nghiằm lợn nhĐt cừa P (x), Q(x) Chựng minh α + 3β = 4 Cho n l số nguyản dữỡng Chựng minh rơng: tỗn tÔi cĂc số thüc d÷ìng a , a , , a cho vợi mội cĂch chồn dĐu thẳ a thực: P (x) = ±a x ±a x ± ±a x±a = ·u câ óng n nghi»m thüc 2 n Hå t¶n: é Thà Kh¡nh Huy·n n n−1 n−1 n Trang 27