Chuyên đề hsg phần dãy số 11

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Cho dãy số dãy cho  un  xác định : u1 11  un 1 10un   9n, n  N Xác định số hạng tổng quát Hướng dẫn giải Ta có: u1 11 10  u2 10.11   102 100  u3 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán: un 10 n  n  1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1 11 101  Ta có: uk 1 Cơng thức , cơng thức  1  1 với n k ta có uk 10k  k với n 1 Giả sử công thức 10  10k  k    9k 10k 1   k  1  1 với n k  n Vậy un 10  n , n  N Bài Cho dãy số (un ) biết u1   un 3un  1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un 3un    u n  Đặt un  1 3un    un  3(u n   )(1) 2 2 1 5  v1 u1   2 (1)  3vn  , n 2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q 3 Nên v1.q n   Do un vn   n  n 1   , n 1, 2, 2 Trang1 Bài 3 n4  * u1 1; u n 1   un   , n  N un   n  n    Cho dãy số xác định Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI * Với n   , ta có 2un 1 3(un   2(un 1  Dãysố 3 3 ) 3(un  )  un 1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 (vn ), un   3    2 Bài n4 )  2un 1 3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 n 3 q v1  n  cấp số nhân có cơng bội 1 3  1    , n  *  un     n 1    2 n , n  *   Cho hàm số f : Z  Z thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) f  n  1  f  n  n  Z  , (2) f  f  n    n  2000 n  Z  , a/Chứng minh: b/Tìm biểu thức f  n  1  f  n  n  Z  , f  n HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f  n  Z  f  n  1  f  n   n  Z  nên từ giả thiết (1) ta được: ,  Kết hợp giả thiết (2) ta n  Z n  2001  n  1  2000  f  f  n  1   f  f  n    n  2001 f  n  1  f  n   n  Z  đó: , Câu b f  n   f  1  n –1, n  Z   f  f  1   f  1  f  1 –1 Suyra: ,  2000 2 f  1 –1  f  1 1001  f  n  n  1000, n  Z  Thử lại thỏa điều kiện, nên f  n  n  1000, n  Z  Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Trang2 b)Cho dãy số  un  u1 16   15  n.un  1 , n 1 un 1  14  n   có Tìm số hạng tổng quát un Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d  a  d  a  a  d 9  2  a  d   a   a  d  125 Theo giả thiết ta có hệ:  3a 9  2 3a  2d 125  a 3   d 7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số  un  u1 16   15  n.un  1 , n 1 un 1  14  n   có Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un  1 un 1  14    un 1  14   n  1 15  n.un  1 n 1 Ta có:   n  1 un 1 15nun  14n  Đặt nun   v1 16  (1) trở thành: Đặt 1 15vn  14n   1   n  1 15   n  w n vn  n   w1 15  (2) trở thành: (1) (2) wn 1 15wn   w n  n csn có w1 15, q 15  w n 15 15n  n un  n Từ ta có: Bài Cho dãy số  un  xác định : u1 1; u2 4; un 2 7un 1  un  2, n   * Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1 1; u2 4; u3 25 Trang3 Đặt un vn  18 123 v1  ; v2  ; v3  5 un 2 7un 1  un  2, n   * Khi  2 7vn 1  , n   *  2  2  7  1    5  2      2, n   * 5  2 2 Ta có : 2  1 (7vn 1  ).vn  1 vn 1 (7vn  1 )  vn 1vn   2  vn21 vn 1vn   vn2  v3v1  v22  ; n   * Suy : Suy :  un  2un  2  2  2   un 2    un     un1     un 2un   un 2  un    5  5  5 5 25  4    un 1  un 1    25    7un1    un21  un1   u u u  2u  (u  1) ; n   * n 2 n n 1 n 1 n 1 5 Từ hệ thức un 2un (un1  1) ; n   * u1 ; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương  Bài Cho dãy số n xn  i 1  an  n 1 tăng, an  n 1, 2,3,   Xét dãy số   xn  n 1 xác định 1  xn 1ai Chứng minh tồn nlim   Hướng dẫn giải  x Dễ dàng thấy dãy  n  n 1 tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1         xn     1 1ai ai 1ai ai 1 a1 dãy  xn  n 1 bị chặn tồn lim xn n   Trường hợp Nếu    1   1         *  1ai   ai 1   *   ai11  1    ai1  ai 1 ai1  ai    1  ** 1  Ta chứng minh (**) Xét hàm số số f  x   x c   ; 1  Trên đoạn  ; 1  f '  c  thoả mãn rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn ai1  ai a  a a  a   c   i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1  đpcm Trang4 Từ ta có  xn    lim xn x  a1 dãy  n  n 1 bị chặn đótồn n   Bài Cho dãy số  xn  xác định : x4 1 xn 1  xn  1 n     n  3   n       n   1, với n 4 xn Tính giới hạn n   n lim Hướng dẫn giải Ta có: 1 n     n  3   n     n     n  1  1    n        n  1  3    n     n  1   n     n  1       n     12  2  32    n      =  n  1  n    n  1   n    n  1  2m  3  n  n  1  n   Do ta suy : Ta chứng minh xn 1  xn  n  n  1  n    xn  Cn3  * xn Cn4 Thật với n 4 , ta có x4 1 C44 Giả sử với n 4 ta có : xn Cn 4 Ta có : xn 1 xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn Cn  Cn Cn lim n   xn n!  lim  4 n   n 4! n   ! n Bài 1  f  3x   f  f  x    x f :  0;     0;   2  Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với x  Chứng minh f  x  x với x  Hướng dẫn giải 1  f (3x )  f  f (2 x)   x (1) 2  Ta có:   x   2x 2x f ( x)  f  f      f ( x)  , x     Từ (1) suy (2)   2x   2x  2x  2x  2x  x   f ( x)  f  f      f    f     x     3   3    27  Khi Trang5 2 an 1  an2  a1  n  1, 2,    ( a ) 3 Xét dãy n , xác định sau: * Ta chứng minh quy nạp theo n với n   ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n 1 theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x)  f  f      a f     a a     k   k k a2   k x ak 1.x Vậy (3) với n k  Tiếp theo ta chứng minh lim an 1 Thật vậy, ta thấy an  n  * Do đó: an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt l  l2  ( a ) lim a  l n 3 với l 1 , suy l 1 Vậy Dãy n tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an 1 Do từ (3) suy f ( x ) x với x  (đpcm) Bài 10 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y  f  x  f  y  f  x  e x  với x, y   với x   Hướng dẫn giải f  x    f  x   f    f   0 f   e  0 f  x    x    f  x   f   x   f  x   f   x  0  x f  x  f     2  1  x   x f   2  e    2    2x   4x   x  x f  x  2  e  1  f  x   f    f   4  e  1  2 2      xn  f  x  2n  e  1   Dùng quy nạp theo n 1, 2, ta CM Trang6 f   0  2x0n  f  x0  2  e  1   Cố định x0   ta có n  x0n  an 2n  e  1   ta có: Xét dãy  x0n   e2   lim an lim  x0  x0 x  0n    Vậy f  x0   x0 x0   Vậy f  x   f   x   x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta Từ (2)  2 f  x   f   x  0  f   x   x  f  x   x ta thấy Vậy  3   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x f  x   f   x   x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x  0  f   x   x  f  x   x Từ (2) ta thấy  3   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x 2015   x1  2016    x x   xn  , n 1 n    n1  n Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n 1 dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1; x3  x2  x22  x1  x12  3x1 ; Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk  xk2  kx1  x12  (k  1) x1 k2 Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  Trang7 Ta xm  m  m 2017 thật có : mx1  m   m   x1    m  Do : 1  m  m  2016 2015  x1 1 2016 ; x m