UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn TỐN Bài (4 điểm) a) So sánh hai số : 39 91 n2 n1 b) Chứng minh : Số A 11 12 chia hết cho 133, với n Bài (4 điểm) a) Tìm tất cặp số x; y thỏa mãn x y 2012 x 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: n aaa Bài (4 điểm) Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh 1 số học sinh lớp A2 số học sinh lớp A3 thi học sinh lớp giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K A1 , Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có A 3B 6C a) Tính số đo góc ABC b) Kẻ AD BC D BC Chứng minh : AD BD CD Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho AM AN 2 AB a) Chứng minh rằng: BM CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác BAC cắt K Chứng minh KC AC ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: 5 39 13 539 53 12513 ; 2 91 13 291 12813 39 13 13 13 13 Ta thấy : 125 128 125 128 b) Ta có: 91 n A 11n2 122 n1 112.11n 12. 122 121.11n 12.144 n 133 12 11n 12.144n 133.11n 12.11n 12.144n 133.11n 12. 144 n 11n Ta thấy : 133.11n 133 144 n 11n 144 11 133 12 144 n 11n 133 133.11n 12. 144n 11n Do suy chia hết cho 133 n2 n 1 Vậy: số A 11 12 chia hết cho 133, với n Bài a) Ta có 2012 số tự nhiên chẵn x y Và x 0 x Do đó, từ x y 7 2012 2013 2012 0 0 x 2013 0 suy ra: x y 2012 0 & x 2 x y 0 x 3 x 0 y 13 b) Ta có: n n n 1 aaa a.111 a.3.37 Do đó, từ n aaa n n 1 2.3.37 a n n 1 chia hết cho số nguyên tố 37 n n chia hết cho 37 (1) n n 1 aaa 999 n n 1 1998 n 45 Mặt khác: (2) 2013 0 Từ (1) (2) n 37 n 37 37.38 n 37 aaa 703(ktm) Với 36.37 n 37 aaa 666(tm) Với Vậy n 36 a 6 Bài Goi tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 a, b, c a, b, c * 1 a a b b c c(*) Theo ta có: a b c 147 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c 18 16 15 18 16 15 Từ (*) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a b c 147 3 a 54, b 48, c 45 18 16 15 18 16 15 49 Vậy tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 54;48;45 Bài A B D C A 3B 6C A B C A B C 180 200 6 1 a) Từ 400 , C 200 A 1200 , B Vậy A 120 , B 40 , C 20 b) Trong ACD có: ADC 900 , C 200 A 700 A 500 0 2 Xét ABD có B 40 C 20 AB AC AB AC * Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB, ADC có: 2 AB AD BD AC AD CD 2 2 2 Do đó, từ (*) AD BD AD CD BD CD BD CD Từ (1) (2) AD BD CD Bài A M B I C E K N a) Theo giả thiết, ta có: 2AB AB AB AB AM BM AM AN AM AC CN , ABC cân A AB AC Do đó, từ AM AN 2 AB BM CN b) Qua M kẻ ME / / AC E BC ABC cân A BME cân M EM BM CN (2) MEI NCI ( g.c.g ) IM IN Vậy BC qua trung điểm MN c) K thuộc đường trung trực MN KM KN (1) ABK ACK (c.g c ) KB KC (2); ABK ACK (*) Kết chứng minh câu a: BM CN (3) Từ 1 , , BMK CNK (c c c ) ABK NCK (**) 1800 ACK NCK 900 KC AN Từ (*) (**)