BÀI BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Mục tiêu Kiến thức + Nắm ba trường hợp đồng dạng tam giác Kĩ + Vận dụng khái niệm tính chất trường hợp đồng dạng tam giác để giải tốn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trường hợp đồng dạng thứ Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam AB BC CA ABC ” A ' B ' C ' giác hai tam giác đồng dạng A ' B ' B 'C ' C ' A ' Trường hợp đồng dạng thứ hai Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam Trường hợp 2: giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, AB BC , B B ' ABC ” A ' B ' C ' hai tam giác đồng dạng A ' B ' B 'C ' Trường hợp đồng dạng thứ ba Nếu hai góc tam giác hai góc Trường hợp 3: tam giác hai tam giác đồng dạng với A A ', B B ' ABC ” A ' B ' C ' II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải Sử dụng ba trường hợp đồng dạng tam giác Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AB 2 cm, AD 3 cm, để chứng minh hai tam giác đồng dạng BD 4 cm, BC 6 cm, CD 8 cm Chứng minh - Trường hợp đồng dạng thứ ABCD hình thang - Trường hợp đồng dạng thứ hai Hướng dẫn giải - Trường hợp đồng dạng thứ ba Xét hai tam giác ABD BDC , ta có: AB BD AD , , BD DC BC AB BD AD BD DC BC Theo trường hợp đồng dạng thứ nhất, ta suy ra: ABD ” BDC (hai góc tương ứng) ABD BDC Trang AB / / DC Vậy ABCD hình thang Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E DH, điểm K CB cho DE CK DH CB Chứng minh rằng: ADE ” ACK Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm AC BD Các tam giác OAD, OBC cân O có góc đỉnh nên C D 1 B 90 , D C Xét ADH ACB ta có: H 1 Do ADH ” ACB (theo trường hợp thứ ba) AD DH 1 AC CB Theo giả thiết, DE CK DE DH 2 nên DH CB CK CB Từ (1) (2) suy AD DE AC CK C , AD DE Xét ADE ACK ta có: D 1 AC CK ADE ” ACK (theo trường hợp đồng dạng thứ hai) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi P, Q, R trung điểm đoạn thẳng OA, OB, OC a) Chứng minh PQR ” ABC b) Cho biết tam giác ABC có chu vi 54 cm Tính chu vi tam giác PQR Hướng dẫn giải Trang a) Xét tam giác OAB, OAC, OBC, ta có: QR OQ PR OP ; PR / / AC ; BC OB AC OA PQ OP PQ QR PR PQ / / AB AB OA AB BC AC QR / / BC Vậy PQR ” ABC c.c.c b) Ta có PQR ” ABC (chứng minh trên) Suy CPQR CPQR C ABC 54 27 cm Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn Hai đường cao BE CF cắt H Chứng minh rằng: a) AB AF AC AE b) AEF ” ABC Hướng dẫn giải a) Xét ABE ACF , ta có: A chung, AEB AFC 90 ABE ” ACF g.g AE AB AB AF AC AE AF AC b) Xét AEF ABC , ta có: A chung; AE AF (chứng minh câu a) AB AC Trang Suy AEF ” ABC c.g c Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC AB AC có đường phân giác AD Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho ACI BDA Chứng minh: a) ABD ” AIC b) ABD ” CID Câu 2: Cho O điểm nằm tam giác ABC Trên OA lấy điểm D cho OD OA Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt OB E Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt OC F Chứng minh DEF ” ABC xác định tỉ số đồng dạng Dạng 2: Tính độ dài cạnh, chứng minh góc nhau, tính số đo góc Phương pháp giải - Nếu hai tam giác đồng dạng ta có kết Ví dụ Cho tam giác ABC tam giác DEF sau: Các cặp góc tương ứng nhau, cặp cạnh đồng dạng với nhau, biết AB 6 cm, DE 9 cm, tương ứng tỉ lệ, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng,… - Để chứng minh hai góc hay cặp đoạn thẳng tỉ lệ phương pháp tam giác đồng dạng ta làm theo bước sau: EF 3 cm Tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn giải Do DEF ” ABC (giả thiết) nên ta có: DE EF AB.EF 6.3 BC BC 2 cm AB BC DE Bước Xét hai tam giác có chứa hai góc hay Ví dụ Cho hình thang ABCD có đáy chứa cặp đoạn thẳng Bước Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bước Suy cặp góc tương ứng nhau, cặp cạnh tương ứng tỉ lệ AB 4 cm, DC 9 cm BD 6 cm Tính số đo ABC biết ADB 45 Hướng dẫn giải Xét ABD BDC ta có: + ABD BDC (hai góc so le trong); + AB DB BD DC Trang ABD ” BDC c.g.c ABD BCD 45 180 Mà ta lại có: ABC C Vậy ABC 180 45 135 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB, CD đáy), biết AB 9 cm, BD 12 cm, DC 16 cm a) Chứng minh ABD ” BDC b) Cho A 110 ; ADB 40 Tính góc cịn lại hình thang ABCD c) Tia phân giác góc DAB cắt BD M Kẻ tia phân giác góc DBC cắt DC N Chứng minh: MD.ND MB.NC Hướng dẫn giải a) Xét ABD BDC , ta có: + ABD BDC (hai góc so le trong); + BA DB BD DC Vậy ABD ” BDC c.g c b) Theo câu a) ta có: ABD ” BDC ADB BCD 40 (hai góc tương ứng) Mà ABC BCD 180 ABC 180 40 140 Ta lại có: BAD ADC 180 ADC 180 110 70 c) Theo câu a) ta có: ABD ” BDC AB BD (các cạnh tương ứng tỉ lệ) AD BC Mặt khác: AM BN đường phân giác góc BAD góc DBC, nên ta có: AB MB BD ND ; AD MD BC NC MB ND MD NC Trang Vậy MD.ND MB.NC Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho xOy Trên Ox lấy điểm A C, Oy lấy điểm B D cho: OA 4 cm, OC 15 cm, OB 6 cm, OD 10 cm Chứng minh: OAB ODC Câu 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD M, tia DE cắt đường thẳng AB N Chứng minh rằng: a) NBC ” BCM b) BM CN Câu 3: Cho ABC nhọn, có AD đường cao D BC , H trực tâm, BC a không đổi a) Chứng minh rằng: ADB ” CDH b) Tính giá trị lớn tích DA.DH ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng Câu 1: , BDA a) Xét ABD AIC có: BAD (giả thiết) IAC ICA Suy ABD ” AIC g g b) Xét ABD CID có: + ABD AIC DIC (do ABD ” AIC ); + BDA (đối đỉnh) IDC Suy ABD ” CID g g Câu 2: + Xét OAB , ta có: DE / / AB OD DE OA AB + Tương tự với tam giác OAC OBC, ta có: + Xét DEF ABC có: DF EF ; AC BC DE DF EF AB AC BC Suy DEF ” ABC c.c.c + Tỉ số đồng dạng Dạng Tính độ dài cạnh, chứng minh góc nhau, tính số đo góc Câu 1: Xét OAB ODC , ta có: góc chung, +O + OA OB OD OC Trang OAB ” ODC c.g.c Suy OAB (hai góc tương ứng) ODC Câu 2: a) Theo giả thiết ta có: + AB / / CM AB EB ; CM EC 1 + BN / / CD BN EB CD EC 2 Từ (1) (2), suy AB BN CM CD 3 Mặt khác, AB BC CD nên từ (3) suy BC BN CM CB C 90 ; BC BN nên NBC ” BCM c.g c Xét NBC BCM có B CM CB b) Theo phần a) ta có: NBC ” BCM BCN (hai góc tương ứng) BMC Gọi O giao điểm BM CN MCO Xét OCM có M BCN MCO 90 Suy BM CN Câu 3: a) Xét ADB CDH , ta có: + BAD (cùng phụ với Bˆ ); HCD + ADB HDC 90 Suy ADB ” CDH g.g b) Ta có: ADB ~ CDH (theo câu a)) AD DB (các cạnh tương ứng tỉ lệ) CD DH AD.DH DB.CD Ta lại có: DB.DC Suy DA.DH DB DC a2 4 a2 Trang Giá trị lớn DA.DH a2 DB DC , tam giác ABC cân A Trang