PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN 2022-2023 Bài (3,0 điểm) x2 x x2 A 1 2x 8 x x x x x2 a) Cho biểu thức Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên b) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn x y z 0 Tính giá trị biểu thức : xy z yz x zx y B xy yz zx 3xyz 2 2 2 Bài (2,5 diểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy 2014 x 2015 y 2016 0 b) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a b, 2b c, 2c a số phương Biết số phương chia hết cho 3 Chứng minh P a b b c c a Bài (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn chia hết cho 81 4 a ;b ;c 3 a b c 6 a b c Chứng minh a b c Bài (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D AB CD a) Chứng minh BD AB b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2;3; chia cách thành nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) x2 2x x2 A 1 2x 8 x 2x x x x2 c) Cho biểu thức Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Điều kiện : x 0; x 2 Ta có : x2 x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x x2 x x2 x 2 x2 x2 4 x x2 x x2 x x 2 4x2 x 2 x2 4 x x x 1 2x x 4 x 1 x x3 x x x x x2 x2 4 x2 x 1 2x x 1 2x Z Z 22 x 1x x 1(tm) 2x 2x d) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn x y z 0 Tính giá trị biểu thức : xy z yz x zx y B xy yz zx2 3xyz A Z Ta có x y z 0 x y z Do : xy z xy z z x y z x z y Tương tự : yz x x y x z ; zx y y z y x Nên tử số B x y Chứng minh : 2 y z z x 2 xy yz zx 3xyz x y y z z x x y y z z x Nên mẫu số B : Bài (2,5 diểm) 2 c) Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy 2014 x 2015 y 2016 0 x xy 2014 x 2015 y 2016 0 x xy x 2015 x 2015 y 2015 1 x x y 1 2015 x y 1 1 x y 1 x 2015 1 1.1 x 2015 1 * x y 1 x 2016 x 2015 x 2014 * y 2016 x y y 2016 x 2016 x 2014 ; y 2016 y 2016 Vậy phương trình có nghiệm d) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a b, 2b c, 2c a số phương Biết số phương chia hết cho 3 Chứng minh P a b b c c a chia hết cho 81 Vì số 2a b; 2b c; 2c a số phương nên số chia dư 3 Chứng minh x y z 0 x y z 3 xyz Vì số có số chia hết cho suy số chia hết cho Mặt khác : Suy Vì 2a b 3a a b a b 3 2a b 2b c 2c a 3 a b c 3 nên Tương tự chứng minh b c, c a chia hết cho a b b c c a 27 a b b c c a 0 nên 3 P a b b c c a 3 a b b c c a 27.381 4 a ;b ;c 3 a b c 6 Bài (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh a b c a 3a a 0 Vì 3a 16a 28a 16 0 25a 16a 16 3a 3a 25a a 1 16 3a * a2 16 3a 25 a 1 25 Chia vế (*) cho ta a b 16 3b c 16 3c ; 25 c 1 25 Tương tự ta có : b 48 a b c 30 a b c 25 25 Dấu xảy a b c 2 Do : a b c a b c Vậy a b c Bài (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D y D x I C A M K H B O AB CD d) Chứng minh BD AB Chứng minh OAC ∽ DBO g g OA AC OA.OB AC BD DB OB AB AB AB CD AC.BD ( dfcm) 2 BD AB e) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH OC AC OC AC OC OD OA OB OD OB mà OD OA AC OA Theo cau a ta có Chứng minh OAC ∽ DOC (c.g.c) ACO OCM OAC ∽ DBO ( g.g ) Chứng minh OAC OMC (ch gn) AC MC Ta có OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA OM OB AMB vuông M Suy OC / / BM (vì vng góc với AM) suy OC / / BI Xét ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI IC AC MK BK KH MH / / AI theo hệ định lý Talet ta có : IC BC AC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (dpcm) f) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Tứ giác ABDC hình thang vng nên S ABCD AC BD AB Ta thấy AC , BD , nên theo BĐT Cơ si ta có : AC BD 2 AC.BD 2 Dấu xảy AB AB S ABCD AB 4 AB CD AB OA Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2;3; chia cách thành nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang Ta chia số 1; 2;3; 4;5 thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số khơng trùng với số nhóm Ta có hai số nhóm 2 Số khơng thể nhóm với số 1 Như số phải ở nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn số 5, số khơng thể nhóm 4, 3 (mâu thuẫn) Từ suy điều phải chứng minh