UBND HUYỆN PHÙ MỸ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian : 150 phút Bài (4,0 điểm) 2x Phân tích đa thức 2 4 a) thành nhân tử b) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn 2020 2021 1 n3 2021n Bài (4,0 điểm) a b c 2021 a) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện b c c a a b a2 b2 c2 P : a b c b c c a a b Tính giá trị biểu thức x 4x2 x 2 5 b) Giải phương trình Bài (5,0 điểm) a) Cho số a, b, c không âm thỏa mãn a b c 3 3 P a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Một học sinh từ lớp đến lớp trải qua 31 kỳ thi, số kỳ thi năm sau nhiều số kỳ thi năm trước số kỳ thi năm lớp gấp ba lần số kỳ thi năm lớp Hỏi học sinh thi kỳ thi năm lớp Bài (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM CP Kẻ BH vng góc với AC H Gọi Q trung điểm CH , đường thẳng qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vng góc với NP Bài (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có BAD 120 Một đường thẳng qua đỉnh D hình thoi cắt tia đối hai tia AB CB M, N Gọi E giao điểm AN CM Chứng minh AD AN AE ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) c) 2x Phân tích đa thức 2 4 thành nhân tử Ta có : x 4 x 16 x 25 x 20 x 25 36 x x x x x x x 2 2 2 d) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn 2020 2021 1 n3 2021n 2021 Ta thấy 2020 có giá trị số nguyên lẻ Mặt khác: Với số nguyên n n 2021n hai số ngun có tính chẵn, lẻ nên n 2021n số nguyên chẵn với số nguyên n 20202021 1 n 2021n Vậy không tồn số nguyên n thỏa mãn Bài (4,0 điểm) a b c 2021 c) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện b c c a a b a2 b2 c2 P : a b c b c c a a b Tính giá trị biểu thức Vì a, b, c số dương nên a b c 0 Ta có : a b c 2021 b c c a a b b c a a b c 2021 a b c b c c a a b a b c a b c a b c a b c 2021 a b c bc ca a b a2 b2 c2 a b c 2021(a b c) bc ca a b a2 b2 c2 2021(a b c ) a b c b c c a a b a2 b2 c2 2020 a b c b c c a a b a2 b2 c2 P : a b c 2020 a b c : a b c 2020 b c c a a b Vậy x2 d) Giải phương trình x2 x 2 5 Phương trình xác định x 0 x Khi phương trình cho tương đương 2x 4x2 2x x 2.x 2.x 5 x x x x2 2x 2x 4x2 2x x2 x 5 5 x2 x2 x2 x2 x2 x2 4x2 5 x2 x2 x2 y x ta phương trình y y 5 Đặt y 3 y 1 y y 9 y 9 y y *Trường hợp 1: y 1 Ta có : x2 1 x x x x 0 x 1 *Trường hợp 2: y Ta có : x 2(tm) x 1(tm) x2 25 15 x x 10 0 x 2.x 0 x2 4 5 15 x ( ktm) 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1; 2 Bài (5,0 điểm) c) Cho số a, b, c không âm thỏa mãn a b c 3 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 1 b 1 c 1 Với số a, b, c không âm thỏa mãn a b c 3 Ta có : 3a 3a 3a *) a 1 a 3a 3a a a 3a a a 1 1 4 2 4 3b 3b 3b *) b 1 b 3b 3b b b 3b b b 1 4 2 4 3 2 3c 3c 3c *) c 1 c 3c 3c c c 3c c c 1 4 2 4 Cộng theo vế (1), (2) (3) ta : a 1 3 b 1 c 1 3 3 a b c P 4 4 Dấu xảy : 3 a a 0 b b 0 2 c c 0 2 a b c 3 Min P 3 a; b; c 0; ; 3 (a; b; c) ;0; 2 3 (a; b; c) ; ;0 2 3 a; b; c 0; ; 2 hoán vị Vậy d) Một học sinh từ lớp đến lớp trải qua 31 kỳ thi, số kỳ thi năm sau nhiều số kỳ thi năm trước số kỳ thi năm lớp gấp ba lần số kỳ thi năm lớp Hỏi học sinh thi kỳ thi năm lớp Gọi số kỳ thi năm (từ lớp đến lớp 9) mà học sinh trải qua x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 x1; x2 ; x3 ; x4 ; x5 số nguyên dương) Ta có x1 x2 x3 x4 x5 ; x1 x2 x3 x4 x5 31 x5 3x1 Vì x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 5x5 hay x5 31 x5 1 Vì x5 3x1 x5 3 (2) Giả sử x5 12 3x1 12 x1 4 x1 x2 x3 x4 x5 4 12 34 Suy khơng xảy x1 x2 x3 x4 x5 31 x5 12 3 Từ (1), (2), (3) suy x5 9, x1 3 x2 x3 x4 19 Mà x2 x3 x4 x2 x3 x4 3x4 hay 3x4 19 x4 Do x4 x5 9 nên x4 7 x4 8 *Nếu x4 7 x2 x3 x4 18 19 (loại) x2 4; x3 7 x 5; x 6 (tm) x x x 11 *Nếu Khi Vậy học sinh thi kỳ thi năm lớp Bài (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM CP Kẻ BH vng góc với AC H Gọi Q trung điểm CH , đường thẳng qua P song song với MQ cắt AC N B A N M E P H Q D C c) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Hình chữ nhật ABCD AD BC DAC BCA PN / / MQ( gt ) AQM CNP Mà AQM DAC AMQ 180 CPN BCA CNP 180 AMQ CPN Xét AMQ CPN có : AM CP, DAC BCA, AMQ CPN AMQ CPN ( g.c.g ) MQ PN Tứ giác MNPQ có MQ / / PN , MQ PN Vậy tứ giác MNPQ hình bình hành d) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vuông góc với NP Gọi E trung điểm BH, mà Q trung điểm HC BC QE BHC QE / / BC Nên QE đường trung bình QE / / BC QE AB , mà BH AQ nên E trực tâm ABQ AE BQ BC AD , AM AD BC QE AM QE mà Mặt khác QE / / AM (cùng // với BC) nên AEQM hình bình hành AE / / MQ AE / / PN / / MQ Do AE BQ AE / / PN nên BQ PN Vậy M trung điểm AD BQ NP Bài (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có BAD 120 Một đường thẳng qua đỉnh D hình thoi cắt tia đối hai tia AB CB M, N Gọi E giao điểm AN CM Chứng minh AD AN AE M A E D B C N Hình thoi ABCD nên AD DC AB / / DC AB / / DC ADC BAD 180 ADC 180 BAD 180 120 60 AD DC ADC cân D, mà ADC 60 ADC AD AC DC Xét ADM CDN có : AMD CDN (hai góc đồng vị AB / /CD), ADM CND (đồng vị AB / / BC ) AM AD AM AC ADM ∽ CND( g g ) CD CN hay AC CN AM AC ; MAC ACN 120 Xét AMC CAN có : AC CN AMC ∽ CAN (c.g c ) ACM CNA hay ACE ANC Xét ACE ANC có : NAC chung, ACE ANC AE AC AC AE AN AC AN Mà AC AD Vậy AD AN AE ACE ∽ ANC ( g.g )