PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút a , b Bài (2,0 điểm) Cho số thỏa mãn a b 1 Tính giá trị biểu thức P a3 3ab b3 x Q : x x x x (với x 2) Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q có giá trị số nguyên 1 1 abc 2021 Bài (2,0 điểm) Cho số nguyên a, b, c khác thỏa mãn a b c Chứng minh K 2021 a 2021 b 2021 c số phương Bài (2,0 điểm) Giải phương trình x 1 x 1 x 3 18 15 3 Bài (2,0 điểm)Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn x y z x y z 2021 Bài (2,0 điểm) Cho đa thức f x bậc 4, có hệ số bậc cao Biết f 1 f f 3 0 Tính f 10 f Bài (5,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC , cắt AC M cắt AB K Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F vẽ đường thẳng song song với AC , cắt BC P Chứng minh : a) Tứ giác BCDK hình bình hành AK BF b) MP / / AB c) Ba đường thẳng MP, CF , DB đồng quy Bài (2,0 điểm) Cho số nguyên phân biệt cho tổng ba số chúng lớn tổng hai số cịn lại Tìm giá trị nhỏ tích năm số ngun ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) Cho số a, b thỏa mãn a b 1 Tính giá trị biểu thức P a3 3ab b3 Ta có : 3 P a 3ab b3 a b 3ab a b 3ab a b 3ab a b 1 Thay a b 1 , ta có : P 13 3ab 1 1 Vậy P 1 x Q : x x x x (với x 2) Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức Q Với x 2 ta có : x x Q x 2 : x x x x x 2 x 2 x x x x 2 x x 2x x 6 x 2 x x x 2 x 2 Vậy Q 6 x x 2 d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q có giá trị số nguyên Với x 2 , để Q x U (6), x x x 3; 6 x x x x (tm) Vậy x 1; 4 Q 1 1 abc 2021 a , b , c Bài (2,0 điểm) Cho số nguyên khác thỏa mãn a b c Chứng minh K 2021 a 2021 b 2021 c số phương Với số nguyên a, b, c khác 0, ta có : ab bc ca 1 1 abc 2021 ab bc ca 2021 abc 2021 abc a b c Thay vào biểu thức K ta K 2021 a 2021 b 2021 c ab bc ca a ab bc ca b ab bc ca c b a c a a c a b c b b c b a c c a c a c a b b c a b a c b c a b b c a c Vì số nguyên a, b, c khác nên K số phương Bài (2,0 điểm) Giải phương trình x 1 x 1 x 3 18 Ta có : x 1 x 1 x 3 18 x x x 3 x x 1 18 x x 3 x x 1 18 Đặt t x x ta có : 4t 3 t 1 18 4t 4t 3t 18 0 4t 7t 15 0 t 4t 12t 5t 15 0 t 3 4t 0 t 5 2 *)t x x x x ( x 1) 2(ktm) x 5 *)t x x x x 0 x x 1 0 4 x 1 1 S ; 2 2 Vậy phương trình có tập nghiệm 15 3 Bài (2,0 điểm)Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn x y z x y z 2021 Với số nguyên x, y, z ta có : 15 15 x y z x y z 20214 x x y y z z 20214 15 x x 1 y y 1 z z 1 20214 15 x x 1 x 1 y y 1 y 1 z z 1 z 1 20214 * Ta có x x 1 x 1 ; y y 1 y 1 ; z z 1 z 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên x x 1 x 1 3; y y 1 y 1 3; z z 1 z 1 3 x x 1 x 1 y y 1 y 1 z z 1 z 1 3 15 15 4 Mà 2021 chia dư -1 nên 2021 chia dư nên 2021 không chia hết cho Vậy vế trái (*) chia hết cho mà vế phải (*) không chia hết khơng có ba số ngun x, y, z thỏa mãn đầu Bài (2,0 điểm) Cho đa thức f x bậc 4, có hệ số bậc cao Biết f 1 f f 3 0 Tính f 10 f Ta có f x đa thức bậc 4, có hệ số cao 1, mà f 1 f f 3 0 nên f x có nghiệm x1 1; x2 2; x3 3 nên f x có dạng f x x a x 1 x x 3 với a f a 1 a 60 120 60a f a 1 3 a 24 6a f 10 f 120 60a 10 24 6a 120 60a 240 60a 360 Vậy f 10 f 360 Bài (5,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC , cắt AC M cắt AB K Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F vẽ đường thẳng song song với AC , cắt BC P Chứng minh : D C I M A F P K B d) Tứ giác BCDK hình bình hành AK BF Tứ giác BCDK có DK / / BC gt DC / / BK AB / /CD , tứ giác BCDK có cạnh đối song song nên hình bình hành suy BK CD 1 Tương tự, tứ giác ADCF có AD / / CF , AF / / CD( gt ) ADCF hình bình hành nên AF / /CD Từ (1) (2) ta có AF BK CD AF FK BK FK AK BF e) MP / / AB CP AF 3 Ta có PF / / AC ( gt ) nên theo định lý Talet, ta có PB BF CM CD 4 CD / / AK ( gt ) nên theo hệ định lý Talet, ta có : MA AK Theo ý a ta có AF CD, BF AK AF CD 5 BF AK CP CM MP / / AB Từ (3), , 5 ta có : PB MA (định lý Talet đảo) f) Ba đường thẳng MP, CF , DB đồng quy DI CD CD / / BF CF , DB IB BF Gọi I giao điểm Vì CM CD Từ (4) ta có MA AK mà BF AK (chứng minh câu a) DI CM IM / / AB IB MA (định lý Talet đảo) Vậy MP / / AB, MI / / AB MP MI (Tiên đề Oclit) nên MP qua I Suy ba đường thẳng MP, CF DB đồng quy I Bài (2,0 điểm) Cho số nguyên phân biệt cho tổng ba số chúng ln lớn tổng hai số cịn lại Tìm giá trị nhỏ tích năm số ngun Gọi số nguyên phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Khơng tính tổng quát, ta giả sử a5 a4 a3 a2 a1 , a5 a3 2; a4 a2 2 Theo ta , ta có a1 a2 a3 a4 a5 a1 a5 a3 a4 a2 2 4 a1 5 Mà a5 a4 a3 a2 a1 nên ta suy a2 6, a3 7, a4 8, a5 9 Từ ta có : a1.a2 a3 a4 a5 5.6.7.8.9 15120 Vậy giá trị nhỏ tích a1a2 a3a4 a5 15120 a1 5; a2 6; a3 7; a4 8; a5 9