030 đề hsg toán 8 nguyễn khuyến 2010 2011

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP Năm học: 2010-2011 Bài (3 điểm) Tìm x biết: a) x  x  25 x  17 x  21 x  b)   4 1990 1986 1004 c)4 x  12.2 x  32 0 Bài (1,5 điểm) 1   0 x , y , z x y z Cho đơi khác A Tính giá trị biểu thức: yz xz xy   x  yz y  xz z  xy Bài (1,5 điểm) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm HA ' HB ' HC '   a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC ; IM , IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN BI CM BN IC AM  AB  BC  CA 4 2 c) Chứng minh rằng: AA '  BB '  CC ' ĐÁP ÁN Bài a) Tính x 7; x  b) Tính x 2007 c) x  12.2 x  32 0  x.2 x  4.2 x  8.2 x  4.8 0  x. x    8. x   0   x    x   0  x 8  x 3  x   x 2  4 Bài 1 xy  yz  xz   0  0  xy  yz  xz 0  yz  xy  xz x y z xyz x  yz x  yz  xy  xz x  x  y   z  x  y   x  y   x  z  2 Tương tự: y  xz  y  x   y  z  ; z  xy  z  x   z  y  A Do đó: yz  xz  x  y  x  z  y  x  y  z  xy  z  x  z  y Tính A 1 Bài Gọi abcd số phải tìm , a, b, c, d  ,0 a, b, c, d 9; a 0 abcd k  k , m  ;31  k  m  100   a  b  c  d   m     Ta có:  abcd k  abcd  1353 m 2 Do đó: m  k 1353   m  k   m  k  123.11 41.33  k  m  200  m  k 123   m  k 11 m  k 41  m  k 33  m 67  k 56   m 37   k 4 Kết luận đúng: abcd 3136 Bài x A B' C' M N C B A' I S HAB HA '.BC HA '   S ABC AA '.BC AA ' a) S HAB HC ' S HAC HB '  ;  S CC ' S BB ' ABC Tương tự: ABC D HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC      1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC    1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN CM BN IC AM c) Vẽ Cx  CC ' Gọi D điểm đối xứng A qua Cx Chứng minh góc BAD vng, CD  AC , AD 2.CC ' Xét điểm B, C , D ta có : BD BC  CD  BAD vuông A nên : AB  AD BD  AB  AD  BC  CD  AB  4CC '2  BC  AC  2 4CC '2  BC  AC   AB Tương tự: AA '2  AB  AC   BC 2 BB '2  AB  BC   AC  AA '2  BB '2  CC '2   AB  BC  AC  Chứng minh được: AB  BC  AC    4 AA '2  BB '2  CC '2 Đẳng thức xảy  BC  AC , AC  AB, AB BC  AB  AC BC  ABC